資源簡介

8.5.1直線與直線平行 導學案
學習目標
1.借助長方體，通過直觀感知、了解空間中直線與直線平行的關系．
2.了解基本事實及定理（等角定理）.
重點難點
重點：基本事實四，等角定理
難點：能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關問題.
課前預習 自主梳理
知識點一 基本事實4
（1）內容：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質通常叫做平行線的傳遞性．
（2）符號表示:
知識點二 等角定理
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”，
（1）若，則.( )
（2）若，則a，c無公共點，( )
（3）如果兩個角相等，則它們的邊互相平行，( )
（2022·高一課時練習）
2．（1）基本事實：平行于同一條直線的兩條直線 ．
（2）等角定理
文字語言 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角 或
圖形語言
作用 判斷或證明兩個角相等或互補
[微思考]如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？
（2023·高一課時練習）
3．基本事實4
基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線 .
（2023下·高一課時練習）
4．已知，，，則（ ）
A． B．或
C． D．或
（2022高一課時練習）
5．若兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形
A．全等 B．相似
C．僅有一個角相等 D．全等或相似
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
【實際情境】在長方體 中，，那么與平行嗎？觀察你所在的教室，你能找到實例嗎？實際生活中還有沒有這樣的實例呢？
問題1：在平面中平行線具有傳遞性，這個性質在空間中是否仍然成立？
【預設的答案】仍然成立
【設計意圖】本節課的內容就是平面圖形中的兩個結論推廣到空間圖形中，平面圖形的性質不一定能全部推廣立體圖形，一般來說，要把平面圖形的結論推廣到空間，要經過證明.
問題2：在平面內，一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則兩個角相等或互補，在空間中，這一結論是否還成立呢？
【活動預設】引導學生從已知到未知，由平面上的問題思考空間中的問題.
我們知道，在同一平面內，不相交的兩條直線是平行直線，并且當兩條直線都與第三條直線平行時，這兩條直線互相平行．在空間中，是否也有類似的結論？舉例說明.
要求：讓學生自由發言，教師不做判斷.而是引導學生進一步觀察.研探.
問題3：平行于同一條直線的兩條直線有什么關系？
要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題.
觀察：如圖8.5-1，在長方體中，，，與平行嗎？
觀察你所在的教室，你能找到類似的實例嗎？
環節二 觀察分析，感知概念
可以發現，，再觀察我們所在的教室（圖8.5-2），黑板邊所在直線和門框所在直線都平行于墻與墻的交線，那么，這說明空間中的平行直線具有與平面內的平行直線類似的性質．我們把它作為基本事實．
基本事實4 平行于同一條直線的兩條直線平行．
基本事實4表明，空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行．它給出了判斷空間兩條直線平行的依據．基本事實4表述的性質通常叫做平行線的傳遞性．
環節三 抽象概括，形成概念
例1.如圖8.5-3，空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
分析 要證明四邊形是平行四邊形，只需證明它的一組對邊平行且相等．而，分別是和的中位線，從而它們都與平行且等于的一半．應用基本事實4，即可證明．
證明：連接．是的中位線， ，且．
同理，且．，四邊形是平行四邊形．
在本例中，如果再加上條件，那么四邊形是什么圖形？
【設計意圖】創設數學情境，生活中的實例，讓學生體會到平行關系在空間中也具有傳遞性，從而很自然的得出基本事實4..
環節四 辨析理解，深化概念
問題:4：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角有什么關系？
要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題.
思考：在平面內，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．在空間中，這一結論是否仍然成立呢
與平面中的情況類似，當空間中兩個角的兩條邊分別對應平行時，這兩個角有如圖8.5-4所示的兩種位置．
環節五 概念應用，鞏固內化
對于圖8.5-4（1），我們可以構造兩個全等三角形，使和是它們的對應角，從而證明．
如圖8.5-5，分別在和的兩邊上截取，和，，使得，
，連接，，，，．
，四邊形是平行四邊形．，同理可證，．
四邊形是平行四邊形．，，．
對于圖8.5-4（2）的情形，請同學們自己給出證明，
這樣，我們就得到了下面的定理：
定理 如果空間中兩個角的兩條邊分別與對應平行，那么這兩個角相等或互補．
【設計意圖】證明空間中的等角定理，培養學生數學思維的嚴謹性.
環節六 歸納總結，反思提升
（1）梳理本節課的兩個重點內容，理解平面圖形的有關結論推廣到空間圖形，必須經過證明；
（2）求證兩直線平行，目前有兩種途徑：一是應用基本事實4，即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行，要充分用好平面幾何知識，如有中點時用好中位線性質等；二是證明在同一平面內，這兩條直線無公共點．
（3）求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
（4）證明線線平行的常用方法：（1）利用三角形、梯形中位線的性質．（2）利用平行四邊形的性質．（3）利用平行線分線段成比例定理．（4）利用基本事實4.
（5）進行數學文化滲透，進一步體會數學邏輯的嚴謹性以及數學在實際生活中的應用 .
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：第135頁 練習 第1，2，3，4題
備用練習
（2023上·江蘇鎮江·高二統考開學考試）
6．在長方體中，已知點P為線段的中點，且，，，則直線與AP所成的角為（ ）
A． B． C． D．
（2017·高一課時練習）
7．下列命題中，正確的結論有 ( 　)
①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；
②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；
③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；
④如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
（2023·高一課時練習）
8．過平面外的直線l作一組平面與相交，若所得交線分別為a，b，c…，則這些交線的位置關系為（ ）
A．相交于同一點 B．相交但交于不同的點
C．平行 D．平行或相交于同一點
（2023下·四川涼山·高二統考期末）
9．在正方體中，分別為的中點，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一課時練習）
10．下列結論中正確的是（ ）
①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 正確 錯誤
【分析】根據線線平行的性質可判斷（1）、（2）；由兩直線平行的判斷定理結合實例可判斷（3）.
【詳解】根據平行線的傳遞性可知：如果兩條直線都與第三條直線相平行，那么這兩條直線也是互相平行的，
對于（1），，正確；
對于（2），故無公共點，正確；
對于（3）根據平行直線判定定理可知：若兩直線同位角相等或內錯角相等，則兩直線平行，
如果兩個角相等，則他們的邊不互相平行，如等腰三角形中位線與兩腰所成角相等，但它們的邊不平行，錯誤.
故答案為：正確；正確；錯誤.
2． 平行 相等 互補 比一定平行，可以相交、異面、平行
【解析】略
3．平行
【分析】由平行公理求解.
【詳解】由平行公理得：平行于同一條直線的兩條直線平行，
故答案為：平行
4．B
【解析】根據等角定理，即可得到結論.
【詳解】的兩邊與的兩邊分別平行，
根據等角定理易知或.
故選：B.
【點睛】本題考查等角定理，屬基礎題.
5．D
【詳解】由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應相等.
故選：D.
6．B
【分析】
根據題意分析可知直線與AP所成的角即為（或其補角），進而在中，運算求解即可.
【詳解】因為∥，則直線與AP所成的角即為直線與AP所成的角，
如圖，連接，可知直線與AP所成的角即為（或其補角），
則，
因為平面，平面，則，
在，可知，且為銳角，則，
所以直線與AP所成的角為.
故選：B.

7．B
【詳解】①中，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故①錯誤；②中，如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等，故②正確；③中，如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，在空間中，兩角大小關系不確定，故③錯誤；④中，如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故④正確；故選B.
8．D
【分析】對于的位置關系進行分類討論，由此確定正確選項.
【詳解】當時，根據線面平行的性質定理以及平行公理可知：所得交線平行.
當時，所得交線交于同一點.
所以所得交線平行或相交于同一點.
故選：D
9．B
【分析】
由題意可得∥，則異面直線與所成角（或其補角），進而可得出為等邊三角形，從而得出所求角的大小為60°.
【詳解】
如下圖所示，連接，
因為分別為的中點，則∥，
又因為∥，且，
則為平行四邊形，可得∥，
所以∥，
可知異面直線與所成角為（或其補角），
又因為，即為等邊三角形
所以，即異面直線與所成角的大小為.
故選：B.

10．B
【分析】根據空間中直線間的位置關系逐項進行判斷即可.
【詳解】①錯誤，兩條直線可以異面；
②正確，平行的傳遞性；
③錯誤，和另一條直線可以相交也可以異面；
④正確，平行的傳遞性.
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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