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中小學教育資源及組卷應用平臺
第六章 實數(shù)章末總復習十大題型
【人教版】
題型一：求一個數(shù)的平方根或算數(shù)平方根
【例題1】（八年級下·山東聊城·階段練習）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（七年級下·安徽阜陽·階段練習）一個正數(shù)的平方根是與，則的值是 .
【變式1-2】（七年級下·山東臨沂·階段練習）81的算數(shù)平方根是 ；的平方根是 ．
【變式1-3】（七年級下·山東日照·階段練習）若x，y為實數(shù)，且與互為相反數(shù)，則的平方根為 ．
【變式1-4】（七年級下·山東德州·階段練習）如果一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，的算術(shù)平方根是1．
(1)求和的值．
(2)求的算術(shù)平方根．
【變式1-5】（七年級下·四川綿陽·階段練習）已知，．
(1)已知x的算術(shù)平方根為3，求a的值；
(2)如果一個正數(shù)的平方根分別為x，y，求這個正數(shù)．
題型二：算術(shù)平方根的雙重非負性
【例題2】（七年級下·湖南長沙·階段練習）若x， y是實數(shù)，且
(1)求x， y的值；
(2)求 的值．
【變式2-1】（七年級下·山東德州·階段練習）已知與互為相反數(shù)，求
【變式2-2】（七年級下·湖北孝感·階段練習）（1）已知的算術(shù)平方根是4，的立方根是3．求的平方根．
（2）設都是實數(shù)，且滿足，求的算術(shù)平方根．
【變式2-3】（七年級下·重慶江北·階段練習）已知實數(shù)a、b滿足，c為最大的負整數(shù)．
(1)求a、b、c的值：
(2)求的平方根．
【變式2-4】（七年級下·江蘇南通·階段練習）已知正數(shù)a的兩個平方根分別是和，且與相等，求的算術(shù)平方根．
題型三：求一個數(shù)的立方根
【例題3】（七年級下·山東日照·階段練習）已知是的算術(shù)平方根，是的立方根，求的平方根．
【變式3-1】（七年級下·河南漯河·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．的立方根是 B．的相反數(shù)是
C．平方根等于本身的數(shù)有和 D．的絕對值是
【變式3-2】（七年級下·山東德州·階段練習）的相反數(shù)是 ，絕對值是 ．的算術(shù)平方根是 ，的立方根的相反數(shù)是 ．
【變式3-3】（七年級下·河南漯河·階段練習）（1）已知，求的值；
（2）已知的算術(shù)平方根是，的立方根是3．求的平方根．
【變式3-4】（七年級下·河南信陽·階段練習）（1）已知的平方根是的立方根是2．求的值；
（2）若，且的平方根是它本身，求的立方根．
題型四：開平方和開立方
【例題4】（七年級下·湖北武漢·階段練習）解方程：
(1)
(2)
【變式4-1】（七年級下·江蘇南通·階段練習）求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
【變式4-2】（七年級下·河南漯河·階段練習）求下列各式中x的值．
(1)
(2)
【變式4-3】（七年級下·山東日照·階段練習）解方程
(1)；
(2)
【變式4-4】（七年級下·山東德州·階段練習）求下列各式中x的值：
(1)
(2)．
【變式4-5】（七年級下·四川瀘州·階段練習）求下列各式中x的值
(1)
(2)
題型五：平方根和立方根的實際應用
【例題5】（七年級下·安徽阜陽·階段練習）如圖，這是一個3階魔方，由三層完全相同的27個小立方體組成，體積為27．
(1)求出這個魔方的棱長．
(2)圖中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分的面積及其邊長．
【變式5-1】（七年級下·安徽亳州·期中）如圖是一塊體積為216立方厘米的正方體鐵塊．
(1)求該正方體鐵塊的棱長及表面積；
(2)現(xiàn)在工廠要將這塊鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為2厘米的小正方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為8厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長．
【變式5-2】（八年級上·河北石家莊·期末）請根據(jù)如圖所示的對話內(nèi)容解答下列問題．
(1)求大正方體木塊的棱長
(2)求截得的每個小正方體木塊的棱長．
【變式5-3】（八年級上·河南駐馬店·階段練習）球形容器又稱球罐、殼體是球形，是貯存和運輸各種氣體、液體的一種有效、經(jīng)濟的壓力容器．現(xiàn)某公司要生產(chǎn)一種容積為升的球形容器存放某種特殊氣體，則這種球形的內(nèi)半徑是多少分米？（注：球的體積公式是，其中是球的半徑）
【變式5-4】（七年級上·浙江溫州·期中）如圖，是一塊體積為立方厘米的立方體鐵塊．
(1)求出這個鐵塊的棱長．
(2)現(xiàn)在工廠要將這個鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為厘米的小立方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為厘米，求長方形鐵塊底面正方形的邊長．
【變式5-5】（七年級下·安徽淮北·階段練習）已知一個正方體的體積是，現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小正方體，截去后余下部分的體積為，則截去的每個小正方體的棱長是 ．
題型六：實數(shù)的概念及分類
【例題6】（七年級上·江蘇無錫·期中）下列各數(shù)0， ，，，，（相鄰兩個1之間的0的個數(shù)逐次增加），其中有理數(shù)的個數(shù)是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式6-1】（七年級下·安徽淮北·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．實數(shù)包括正有理數(shù)、負有理數(shù)和無理數(shù) B．無限小數(shù)是無理數(shù)，有限小數(shù)是有理數(shù)
C．有理數(shù)運算法則和運算律適合實數(shù)運算 D．有理數(shù)和無理數(shù)之間不可以大小比較
【變式6-2】（2024九年級下·廣東·專題練習）下列語句正確的是（　　）
A．是有理數(shù)
B．無理數(shù)分為正無理數(shù)、零、負無理數(shù)
C．無限小數(shù)不能化成分數(shù)
D．無限循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)
【變式6-3】（八年級上·山東青島·期中）把下列各數(shù)填入相應的集合內(nèi)：
0，，，，，，，3.1011，0.3737737773…（相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次加1）．
(1)整數(shù)集合{ …}；
(2)分數(shù)集合{ …}；
(3)無理數(shù)集合{ …}．
【變式6-4】（七年級下·山東德州·階段練習）將下列各數(shù)填在相應的集合里．
，3.1415926，，（每兩個3之間依次多1個0），0，，
有理數(shù)集合：{______________________________…}；
無理數(shù)集合：{______________________________…}；
正實數(shù)集合：{______________________________…}；
整數(shù)集合：{______________________________…}．
【變式6-5】（八年級上·廣東佛山·階段練習）已知下列9個數(shù)．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（兩個2之間依次增加1個0）．請把這些數(shù)對應的編號，填入合適的集合中．
(1)有理數(shù)集合：（ ……）
(2)無理數(shù)集合：（ ……）
(3)負實數(shù)集合：（ ……）
題型七：實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系
【例題7】（八年級上·山東菏澤·階段練習）如圖，數(shù)軸上表示0，1，的點分別為A，B，C，點B到點C的距離與點B到點D的距離相等，則點D所表示的數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（七年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點與數(shù)軸上表示的點重合．將圓沿數(shù)軸滾動1周，點到達點的位置，則點表示的數(shù)是（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式7-2】（八年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，在數(shù)軸上表示，的對應點分別是A，B，若點A是線段的中點，則C點表示的實數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（七年級下·安徽亳州·期中）如圖，已知正方形的面積為，頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為．現(xiàn)以為圓心，長為半徑畫圓，與數(shù)軸交于點（點在點的左側(cè)），則點表示的數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-4】（七年級下·四川綿陽·階段練習）如圖，數(shù)軸上表示2、的對應點分別為C、B，點C是的中點，則點A表示的數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
【變式7-5】（七年級下·江蘇南通·階段練習）如圖，數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)分別為和，點A是的中點，則點C所表示的數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
題型八：無理數(shù)的估算
【題型8】（2024年天津市南開區(qū)中考一模數(shù)學試題）估計的值在（ ）
A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間
【變式8-1】（八年級下·陜西延安·階段練習）黃金分割數(shù)為，下列估算黃金分割正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-2】（七年級下·河南信陽·階段練習）大家都知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．
請解答：
(1)的整數(shù)部分為________，小數(shù)部分可以表示為________；
(2)已知的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．
【變式8-3】（七年級下·山東濟寧·階段練習）我們知道，是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請回答以下問題：
(1)的小數(shù)部分是______，的小數(shù)部分是______．
(2)若是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求的平方根．
(3)若，其中是整數(shù)，且，求的值．
【變式8-4】（七年級下·安徽蚌埠·階段練習）閱讀下面的文字，解答問題．
大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，由于的整數(shù)部分是1，所以我們用來表示的小數(shù)部分．
請解答下列問題：
(1)求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分；
(2)已知，其中x是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．
題型九：實數(shù)與程序框圖
【例題9】（七年級下·安徽蚌埠·階段練習）根據(jù)如圖所示的計算程序，若開始輸入x的值為，則輸出y的值為（　　）
A． B．6 C．0 D．
【變式9-1】（七年級下·重慶·階段練習）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下圖所示，當輸入的時，輸出的值是（ ）
A．4 B． C． D．2
【變式9-2】（七年級下·山西大同·期中）按如圖所示的程序計算，若開始輸入x的值為25，則最后輸出的y值是（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】．（七年級上·浙江金華·階段練習）按如圖所示的程序計算，輸入是（　　）時，始終無法輸出．
A．無理數(shù) B．0 C．1 D．0或1
【變式9-4】（七年級上·浙江·期中）用表示不大于x的最大整數(shù)，如，，則的值是（ ）
A． B． C． D．1
【變式9-5】（八年級下·山東濰坊·階段練習）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為25，則最后輸出的y值是 ．
題型十：實數(shù)的綜合運算
【例題10】（七年級下·江蘇南通·階段練習）計算：
(1)
(2)
【變式10-1】（七年級下·河南漯河·階段練習）計算
(1)
(2)
【變式10-2】（七年級下·山東日照·階段練習）計算：
(1)；
(2)
【變式10-3】（七年級下·云南·期中）計算
(1)
(2)
【變式10-4】（七年級下·福建龍巖·階段練習）計算：
(1)
(2)
【變式10-5】（七年級下·河南信陽·階段練習）計算：．
題型十一：實數(shù)與定義新運算
【例題11】（七年級下·江蘇無錫·階段練習）定義：如果（m，n為正數(shù)），那么我們把m叫做n的D數(shù)，記作．
(1)根據(jù)D數(shù)的定義，填空： ， ．
(2)D數(shù)有如下運算性質(zhì)：；，其中．
計算：若已知，，試求，，，的值（用a、b、c表示）．
【變式11-1】（八年級下·黑龍江哈爾濱·開學考試）用“”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定．
如：．
(1)請求出的值；
(2)若，求的值．
【變式11-2】（七年級下·貴州遵義·階段練習）閱讀材料：
我們定義：如果一個數(shù)的平方等于，記作，那么這個i就叫做虛數(shù)單位，虛數(shù)與我們學過的實數(shù)結(jié)合在一起叫做復數(shù)，一個復數(shù)可以表示為（，均為實數(shù)）的形式，其中叫做它的實部，叫做它的虛部.
復數(shù)的加、減、乘的運算與我們學過的整式加、減、乘的運算類似.
例如：計算.
根據(jù)上述材料，解決下列問題：
(1)填空：______，______；
(2)計算：；
(3)計算：.
【變式11-3】（七年級下·浙江杭州·階段練習）定義：若，則稱x與y是關(guān)于m的好數(shù)．
(1)若5與a是關(guān)于2的好數(shù)，則_____；
(2)若，，判斷b與c是否是關(guān)于3的好數(shù)，并說明理由；
(3)若，，且e與d是關(guān)于的好數(shù)，求x的值．
題型十二：實數(shù)與找規(guī)律
【題型12】（七年級下·山東日照·階段練習）閱讀理解題
閱讀下列解題過程：第1個等式為：；第2個等式為：；第3個等式為：；…根據(jù)等式所反映的規(guī)律，解答下列問題：
(1)第4個等式為________
(2)猜想：第n個等式為________（n為正整數(shù)）
(3)利用上面的解法，請化簡：
【變式12-1】（七年級下·重慶巴南·階段練習）先觀察下列等式，再回答問題：
①；
②；
③；
(1)根據(jù)、、的規(guī)律，直接寫出的值：______；
(2)猜想____________；
(3)計算的值．
【變式12-2】（八年級下·安徽阜陽·階段練習）觀察下列計算：
第一個等式：
第二個等式：
第三個等式：
……
根據(jù)以上規(guī)律，完成下列問題：
(1)寫出第四個等式： ．
(2)猜想第 n個等式（用含 n的代數(shù)式表示），無需說明理由．
(3)計算：
【變式12-3】（2024·安徽六安·一模）觀察下列各式的規(guī)律．
第1個等式：．
第2個等式：．
第3個等式：．
(1)根據(jù)上述規(guī)律，直接寫出第4個等式：________________．
(2)猜想滿足上述規(guī)律的第個等式，并證明其成立．
【變式12-4】（2023九年級·安徽·專題練習）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
第5個等式：；
按照上述規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個等式：__________________；
(2)寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．
題型梳理
知識點1
1.平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于，即，那么這個數(shù)叫做的平方根。的平方根記為，讀作“正負二次根號”，叫做被開方數(shù)。求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方。
2.正數(shù)的平方根有兩個他們互為相反數(shù)，負數(shù)沒有平方根，0的平方根是0
3.一個數(shù)的平方根中，正的那個平方根就是這個數(shù)的算數(shù)平方根
0的算數(shù)平方根是0
知識點2
算術(shù)平方根(a≥0)具有雙重非負性，一是被開方數(shù)具有非負性，即a≥0；二是算平方根本身具有非負性，即。
知識點3
立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫的立方根，也稱為三次方根，也就是說，如果,那么叫做的立方根。
正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0
求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方。
知識點4
開平方步驟： 開立方步驟：
知識點5
平方根和立方根的實際應用
本題型結(jié)合生活實際情況對平方根和立方根進行考察，熟練的運用平方根和立方根的性質(zhì)以及開平方和開立方運算是解題的關(guān)鍵。
知識點6
實數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。
無理數(shù)：也稱為無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比。
實數(shù)分類
知識點7
實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應關(guān)系，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．
知識點8
無理數(shù)的估算主要依賴于夾逼法和比較法，特別是通過與已知的有理數(shù)進行比較來逼近無理數(shù)的真實值。例如，估算的大小，首先對進行平方得到2，由此可以確定的個位數(shù)部分為1。如果想精確到十分位，則進行下一步縮放，取1和2的中間數(shù)1.5與進行比較，接著取1和1.5的中間數(shù)1.25與進行比較，然后取1.25和1.5的中間數(shù)1.375與√2進行比較。由此可以確定的十分位數(shù)為4。
知識點9
此題型考查了實數(shù)的運算，根據(jù)運算程序列式計算，熟練的掌握開平方、開立方以及實數(shù)的綜合運算是解此類題型的關(guān)鍵
知識點10
本題考查實數(shù)的混合運算．熟練掌握實數(shù)的運算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．先進行乘方，開方和去絕對值運算，再進行加減運算．
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第六章 實數(shù)章末總復習十大題型
【人教版】
題型一：求一個數(shù)的平方根或算數(shù)平方根
【例題1】（八年級下·山東聊城·階段練習）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
B、沒有意義，不可以計算，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
C、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
D、，原計算正確，故此選項符合題意；
故選：D．
【變式1-1】（七年級下·安徽阜陽·階段練習）一個正數(shù)的平方根是與，則的值是 .
【答案】
【詳解】解：∵一個正數(shù)的平方根是與，
∴，
解得：，
∴這個數(shù)為，
∴，
故答案為：．
【變式1-2】（七年級下·山東臨沂·階段練習）81的算數(shù)平方根是 ；的平方根是 ．
【答案】
【詳解】解：依題意，81的算數(shù)平方根是；
∵
則的平方根是
故答案為：，
【變式1-3】（七年級下·山東日照·階段練習）若x，y為實數(shù)，且與互為相反數(shù)，則的平方根為 ．
【答案】
【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，
∴，
∴，，
解得：，，
則，
故的平方根為：．
故答案為：．
【變式1-4】（七年級下·山東德州·階段練習）如果一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，的算術(shù)平方根是1．
(1)求和的值．
(2)求的算術(shù)平方根．
【答案】(1)，(2)6
【詳解】（1）解：∵一個正數(shù)m的兩個平方根分別是和，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵的算術(shù)平方根是1
∴
∴；
（2）由（1）得，，
∴，
∴的算術(shù)平方根為6．
【變式1-5】（七年級下·四川綿陽·階段練習）已知，．
(1)已知x的算術(shù)平方根為3，求a的值；
(2)如果一個正數(shù)的平方根分別為x，y，求這個正數(shù)．
【答案】(1)；(2)25
【詳解】（1）解：∵x的算術(shù)平方根為3，
∴，
即，
∴；
（2）根據(jù)題意得：，
即：，
∴，
∴，
∴這個正數(shù)為．
題型二：算術(shù)平方根的雙重非負性
【例題2】（七年級下·湖南長沙·階段練習）若x， y是實數(shù)，且
(1)求x， y的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)，(2)5
【詳解】（1）解：∵
∴，，
∴，
∴，則
（2）∵，
∴
【變式2-1】（七年級下·山東德州·階段練習）已知與互為相反數(shù)，求
【答案】
【詳解】解：∵與互為相反數(shù),
∴.
∴，,
∴，,
∴.
【變式2-2】（七年級下·湖北孝感·階段練習）（1）已知的算術(shù)平方根是4，的立方根是3．求的平方根．
（2）設都是實數(shù)，且滿足，求的算術(shù)平方根．
【答案】（1）；（2）2
【詳解】（1）∵的算術(shù)平方根是4，的立方根是3，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根；
（2）∵，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴的算術(shù)平方根為2．
【變式2-3】（七年級下·重慶江北·階段練習）已知實數(shù)a、b滿足，c為最大的負整數(shù)．
(1)求a、b、c的值：
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，(2)
【詳解】（1）解：由題意得，，
又∵，
∴，
解得：，，
∵c為最大的負整數(shù)，
∴．
（2）將，，代入得，
，
所以的平方根為．
【變式2-4】（七年級下·江蘇南通·階段練習）已知正數(shù)a的兩個平方根分別是和，且與相等，求的算術(shù)平方根．
【答案】2
【詳解】解：∵正數(shù)a的兩個平方根分別是和，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵與相等，
∴，
∴，
∴，
∵4的算術(shù)平方根是2，
∴的算術(shù)平方根是2．
題型三：求一個數(shù)的立方根
【例題3】（七年級下·山東日照·階段練習）已知是的算術(shù)平方根，是的立方根，求的平方根．
【答案】
【詳解】解：∵是的算術(shù)平方根，
∴
∵是的立方根，
∴
由①②得：
∴
∴的平方根為
【變式3-1】（七年級下·河南漯河·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．的立方根是 B．的相反數(shù)是
C．平方根等于本身的數(shù)有和 D．的絕對值是
【答案】B
【詳解】解：A．的立方根是，故此選項不符合題意；
B．的相反數(shù)是，故此選項符合題意；
C．平方根等于本身的數(shù)只有，故此選項不符合題意；
D．的絕對值是，故此選項不符合題意．
故選：B．
【變式3-2】（七年級下·山東德州·階段練習）的相反數(shù)是 ，絕對值是 ．的算術(shù)平方根是 ，的立方根的相反數(shù)是 ．
【答案】 / / 2
【詳解】解：的相反數(shù)是，絕對值是．
，4的算術(shù)平方根是2，
，8的立方根是2 ，2的相反數(shù)是，
故答案為： ，，2，．
【變式3-3】（七年級下·河南漯河·階段練習）（1）已知，求的值；
（2）已知的算術(shù)平方根是，的立方根是3．求的平方根．
【答案】（1）4；（2）
【詳解】（1）∵
∴，
∴，
∴
∴
∴；
（2）∵的算術(shù)平方根是的立方根是3
∴，
∴，
∴．
∴的平方根是．
【變式3-4】（七年級下·河南信陽·階段練習）（1）已知的平方根是的立方根是2．求的值；
（2）若，且的平方根是它本身，求的立方根．
【答案】（1）；（2）
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，可得，
解得；
（2）根據(jù)題意，可得，
解得，，
所以，
所以的立方根．
題型四：開平方和開立方
【例題4】（七年級下·湖北武漢·階段練習）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式4-1】（七年級下·江蘇南通·階段練習）求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）解：
所以或．
（2）解：
．
【變式4-2】（七年級下·河南漯河·階段練習）求下列各式中x的值．
(1)
(2)
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式4-3】（七年級下·山東日照·階段練習）解方程
(1)；
(2)
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）解：
解得：，
（2）解：
【變式4-4】（七年級下·山東德州·階段練習）求下列各式中x的值：
(1)
(2)．
【答案】(1)(2)，
【詳解】（1）解：
（2）解：
解得：，
【變式4-5】（七年級下·四川瀘州·階段練習）求下列各式中x的值
(1)
(2)
【答案】(1)(2)或
【詳解】（1）
（2）
或
題型五：平方根和立方根的實際應用
【例題5】（七年級下·安徽阜陽·階段練習）如圖，這是一個3階魔方，由三層完全相同的27個小立方體組成，體積為27．
(1)求出這個魔方的棱長．
(2)圖中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分的面積及其邊長．
【答案】(1)3．(2)正方形的面積是5，邊長為．
【詳解】（1）設魔方的棱長為x，根據(jù)題意，得，
解得．
故魔方的棱長為3．
（2）∵魔方的棱長為3，
∴陰影面積為：，
設正方形的邊長為y，則，
解得，（舍去），
故正方形的面積是5，邊長為．
【變式5-1】（七年級下·安徽亳州·期中）如圖是一塊體積為216立方厘米的正方體鐵塊．
(1)求該正方體鐵塊的棱長及表面積；
(2)現(xiàn)在工廠要將這塊鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為2厘米的小正方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為8厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長．
【答案】(1)棱長為厘米，表面積為平方厘米(2)5厘米
【詳解】（1）解：由題意可知，該正方體鐵塊的棱長為（厘米）；
該正方體鐵塊的表面積為（平方厘米）；
（2）解：設長方體鐵塊的底面正方形的邊長為x厘米．
由題意，得，
解得（負值已舍去）．
答：長方體鐵塊的底面正方形的邊長為5厘米．
【變式5-2】（八年級上·河北石家莊·期末）請根據(jù)如圖所示的對話內(nèi)容解答下列問題．
(1)求大正方體木塊的棱長
(2)求截得的每個小正方體木塊的棱長．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1），
大正方體木塊的棱長
（2）截得的每個小正方體木塊的棱長，根據(jù)題意得：
解得：，
截得的每個小正方體木塊的棱長．
【變式5-3】（八年級上·河南駐馬店·階段練習）球形容器又稱球罐、殼體是球形，是貯存和運輸各種氣體、液體的一種有效、經(jīng)濟的壓力容器．現(xiàn)某公司要生產(chǎn)一種容積為升的球形容器存放某種特殊氣體，則這種球形的內(nèi)半徑是多少分米？（注：球的體積公式是，其中是球的半徑）
【答案】3分米．
【詳解】解：注：1升=1立方分米，
設這種球形的內(nèi)半徑是R分米，
則，由題意得：
，
，
；
答：這種球形的內(nèi)半徑是3分米．
【變式5-4】（七年級上·浙江溫州·期中）如圖，是一塊體積為立方厘米的立方體鐵塊．
(1)求出這個鐵塊的棱長．
(2)現(xiàn)在工廠要將這個鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為厘米的小立方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為厘米，求長方形鐵塊底面正方形的邊長．
【答案】(1)厘米；(2)厘米．
【詳解】（1）根據(jù)題意可得：鐵塊的棱長為（厘米），
答：這個鐵塊的棱長為厘米；
（2）由題可知，設長方體鐵塊底面正方形的邊長為厘米，
∴，，
解得：，
答：長方體鐵塊底面正方形的邊長為厘米．
【變式5-5】（七年級下·安徽淮北·階段練習）已知一個正方體的體積是，現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小正方體，截去后余下部分的體積為，則截去的每個小正方體的棱長是 ．
【答案】2
【詳解】解：設截去的每個小正方體的棱長是，
由題意得：，
整理得：，
解得：，
截去的每個小正方體的棱長是，
故答案為：．
題型六：實數(shù)的概念及分類
【例題6】（七年級上·江蘇無錫·期中）下列各數(shù)0， ，，，，（相鄰兩個1之間的0的個數(shù)逐次增加），其中有理數(shù)的個數(shù)是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【詳解】解：0是整數(shù)，屬于有理數(shù)；
是分數(shù)，屬于有理數(shù)；
是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；
是循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)；
，（相鄰兩個1之間的0的個數(shù)逐次增加）是無理數(shù)，
所以有理數(shù)有4個．
故選：B．
【變式6-1】（七年級下·安徽淮北·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．實數(shù)包括正有理數(shù)、負有理數(shù)和無理數(shù) B．無限小數(shù)是無理數(shù)，有限小數(shù)是有理數(shù)
C．有理數(shù)運算法則和運算律適合實數(shù)運算 D．有理數(shù)和無理數(shù)之間不可以大小比較
【答案】C
【詳解】解：A、實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，故原說法錯誤，不符合題意；
B、無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，有限小數(shù)是有理數(shù)，故原說法錯誤，不符合題意；
C、有理數(shù)運算法則和運算律適合實數(shù)運算，故原說法正確，符合題意；
D、有理數(shù)和無理數(shù)之間可以大小比較，故原說法錯誤，不符合題意；
故選：C．
【變式6-2】（2024九年級下·廣東·專題練習）下列語句正確的是（　　）
A．是有理數(shù)
B．無理數(shù)分為正無理數(shù)、零、負無理數(shù)
C．無限小數(shù)不能化成分數(shù)
D．無限循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)
【答案】A
【詳解】解：A、是有理數(shù)，故A符合題意；
B、無理數(shù)分為正無理數(shù)和負無理數(shù)，故B不符合題意；
C、無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)，故C不符合題意；
D、無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故D不符合題意；
故選：A．
【變式6-3】（八年級上·山東青島·期中）把下列各數(shù)填入相應的集合內(nèi)：
0，，，，，，，3.1011，0.3737737773…（相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次加1）．
(1)整數(shù)集合{ …}；
(2)分數(shù)集合{ …}；
(3)無理數(shù)集合{ …}．
【答案】(1)0，，
(2)，，3.1011
(3)，，0.3737737773…（相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次加1）
【詳解】（1）解：是分數(shù)，是整數(shù)，是整數(shù)．
故整數(shù)集合{ 0，，,...}；
（2）解：分數(shù)集合{，，3.1011,...}；
（3）解：無理數(shù)集合{，，0.3737737773…（相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次加1）,...}．
【變式6-4】（七年級下·山東德州·階段練習）將下列各數(shù)填在相應的集合里．
，3.1415926，，（每兩個3之間依次多1個0），0，，
有理數(shù)集合：{______________________________…}；
無理數(shù)集合：{______________________________…}；
正實數(shù)集合：{______________________________…}；
整數(shù)集合：{______________________________…}．
【答案】見解析
【詳解】
有理數(shù)集合：{，3.1415926，，0，，…}．
無理數(shù)集合：{π， ，（每兩個3之間依次多1個0）…}．
正實數(shù)集合：{，π，3.1415926，（每兩個3之間依次多1個0），，，…}．
整數(shù)集合：{，0，…}．
【變式6-5】（八年級上·廣東佛山·階段練習）已知下列9個數(shù)．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（兩個2之間依次增加1個0）．請把這些數(shù)對應的編號，填入合適的集合中．
(1)有理數(shù)集合：（ ……）
(2)無理數(shù)集合：（ ……）
(3)負實數(shù)集合：（ ……）
【答案】(1)①③④⑤⑥
(2)②⑦⑧⑨
(3)②⑤⑦⑧
【詳解】（1）解：，，
有理數(shù)集合：①③④⑤⑥，
故答案為： ①③④⑤⑥；
（2）解：無理數(shù)集合：②⑦⑧⑨，
故答案為：②⑦⑧⑨；
（3）解：負實數(shù)集合：②⑤⑦⑧，
故答案為：②⑤⑦⑧．
題型七：實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系
【例題7】（八年級上·山東菏澤·階段練習）如圖，數(shù)軸上表示0，1，的點分別為A，B，C，點B到點C的距離與點B到點D的距離相等，則點D所表示的數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵點B到點C的距離與點B到點D的距離相等，
∴
∴
∴點D所表示的數(shù)為．
故選：C．
【變式7-1】（七年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點與數(shù)軸上表示的點重合．將圓沿數(shù)軸滾動1周，點到達點的位置，則點表示的數(shù)是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【詳解】解：∵圓的直徑為1個單位長度，
∴圓的周長，
∵該圓可向右滾動一周，也可向左滾動一周，
∴點表示的數(shù)是或
故選：D
【變式7-2】（八年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，在數(shù)軸上表示，的對應點分別是A，B，若點A是線段的中點，則C點表示的實數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設表示的數(shù)是，
是中點，
，
．
故選：A．
【變式7-3】（七年級下·安徽亳州·期中）如圖，已知正方形的面積為，頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為．現(xiàn)以為圓心，長為半徑畫圓，與數(shù)軸交于點（點在點的左側(cè)），則點表示的數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵正方形的面積為，且，
∴，
∵點表示的數(shù)是，且點在點的左側(cè)，
∴點表示的數(shù)為．
故選：B．
【變式7-4】（七年級下·四川綿陽·階段練習）如圖，數(shù)軸上表示2、的對應點分別為C、B，點C是的中點，則點A表示的數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設點表示的數(shù)是，
在數(shù)軸上數(shù)表示2，的對應點分別是C、B，
、之間的距離是，
點C是的中點，
，
點表示的數(shù)是2，點表示的數(shù)是，
，
解得：．
故選：C．
【變式7-5】（七年級下·江蘇南通·階段練習）如圖，數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)分別為和，點A是的中點，則點C所表示的數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)分別為和，
∴
∵點A是的中點，
∴
∵點在的左邊
∴
∴則點C所表示的數(shù)為
故選：A
題型八：無理數(shù)的估算
【題型8】（2024年天津市南開區(qū)中考一模數(shù)學試題）估計的值在（ ）
A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間
【答案】B
【詳解】解：∵，則，
∴，
故選：B．
【變式8-1】（八年級下·陜西延安·階段練習）黃金分割數(shù)為，下列估算黃金分割正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
故選：C．
【變式8-2】（七年級下·河南信陽·階段練習）大家都知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．
請解答：
(1)的整數(shù)部分為________，小數(shù)部分可以表示為________；
(2)已知的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，求的值．
【答案】(1)；(2)
【詳解】（1）解： ，即
的整數(shù)部分為2．小數(shù)部分為．
（2）解： ，即；
，；
的整數(shù)部分為8，小數(shù)部分；
的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分；
．
【變式8-3】（七年級下·山東濟寧·階段練習）我們知道，是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請回答以下問題：
(1)的小數(shù)部分是______，的小數(shù)部分是______．
(2)若是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求的平方根．
(3)若，其中是整數(shù)，且，求的值．
【答案】(1)，(2)(3)11
【詳解】（1）解：∵，
∴的整數(shù)部分為3，
∴的小數(shù)部分為，
∵，
∴，
∴即，
∴的整數(shù)部分為1，
∴的小數(shù)部分為，
故答案為：，
（2）∵，a是的整數(shù)部分，
∴，
∵，
∴的整數(shù)部分為1，
∵b是的小數(shù)部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）∵，
∴即，
∵，其中x是整數(shù)，且，
∴，，
∴．
【變式8-4】（七年級下·安徽蚌埠·階段練習）閱讀下面的文字，解答問題．
大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，由于的整數(shù)部分是1，所以我們用來表示的小數(shù)部分．
請解答下列問題：
(1)求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分；
(2)已知，其中x是整數(shù)，且，求的相反數(shù)．
【答案】(1)整數(shù)部分是的小數(shù)部分是(2)
【詳解】（1）解： ，
，
的整數(shù)部分是的小數(shù)部分是；
（2）解：，
，
的整數(shù)部分是12，
的小數(shù)部分是，
即，
，
則的相反數(shù)是．
題型九：實數(shù)與程序框圖
【例題9】（七年級下·安徽蚌埠·階段練習）根據(jù)如圖所示的計算程序，若開始輸入x的值為，則輸出y的值為（　　）
A． B．6 C．0 D．
【答案】B
【詳解】解：∵
∴
∴
則不滿足
∴把代入，得
故選：B
【變式9-1】（七年級下·重慶·階段練習）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下圖所示，當輸入的時，輸出的值是（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【詳解】解：當輸入的時，
第一次計算，，為有理數(shù)，
第二次計算，為有理數(shù)，
第三次計算，為無理數(shù)，
∴,
故選：B．
【變式9-2】（七年級下·山西大同·期中）按如圖所示的程序計算，若開始輸入x的值為25，則最后輸出的y值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵25的算術(shù)平方根為，5是有理數(shù)，
∴取5的平方根，是無理數(shù)．
∴輸出y值是．
故選：A．
【變式9-3】．（七年級上·浙江金華·階段練習）按如圖所示的程序計算，輸入是（　　）時，始終無法輸出．
A．無理數(shù) B．0 C．1 D．0或1
【答案】D
【詳解】解：當時，因為0的算術(shù)平方根為0，0的立方根為0，所以輸入是0時，始終無法輸出；
當時，因為1的算術(shù)平方根為1，1的立方根為1，所以輸入是1時，始終無法輸出；
故選：D．
【變式9-4】（七年級上·浙江·期中）用表示不大于x的最大整數(shù)，如，，則的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【詳解】解：由題意可得，，
∴，
故選：B．
【變式9-5】（八年級下·山東濰坊·階段練習）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為25，則最后輸出的y值是 ．
【答案】
【詳解】解：由所示的程序可得：25的算術(shù)平方根是5，5是有理數(shù)，
再取5的平方根，是無理數(shù)，輸出為y，
∴開始輸入的x值為25，則最后輸出的y值是．
故答案為：．
題型十：實數(shù)的綜合運算
【例題10】（七年級下·江蘇南通·階段練習）計算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【變式10-1】（七年級下·河南漯河·階段練習）計算
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
【變式10-2】（七年級下·山東日照·階段練習）計算：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式10-3】（七年級下·云南·期中）計算
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
【變式10-4】（七年級下·福建龍巖·階段練習）計算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：原式．
（2）原式．
【變式10-5】（七年級下·河南信陽·階段練習）計算：．
【答案】
【詳解】解：原式
．
題型十一：實數(shù)與定義新運算
【例題11】（七年級下·江蘇無錫·階段練習）定義：如果（m，n為正數(shù)），那么我們把m叫做n的D數(shù)，記作．
(1)根據(jù)D數(shù)的定義，填空： ， ．
(2)D數(shù)有如下運算性質(zhì)：；，其中．
計算：若已知，，試求，，，的值（用a、b、c表示）．
【答案】(1)1；4(2)；；；
【詳解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
故答案為：1；4；
（2）解：∵，，
∴；
；
；
．
【變式11-1】（八年級下·黑龍江哈爾濱·開學考試）用“”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定．
如：．
(1)請求出的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
【變式11-2】（七年級下·貴州遵義·階段練習）閱讀材料：
我們定義：如果一個數(shù)的平方等于，記作，那么這個i就叫做虛數(shù)單位，虛數(shù)與我們學過的實數(shù)結(jié)合在一起叫做復數(shù)，一個復數(shù)可以表示為（，均為實數(shù)）的形式，其中叫做它的實部，叫做它的虛部.
復數(shù)的加、減、乘的運算與我們學過的整式加、減、乘的運算類似.
例如：計算.
根據(jù)上述材料，解決下列問題：
(1)填空：______，______；
(2)計算：；
(3)計算：.
【答案】(1)；1(2)(3)
【詳解】（1）解：原式，原式；
故答案為：；1；
（2）原式；
（3）原式．
【變式11-3】（七年級下·浙江杭州·階段練習）定義：若，則稱x與y是關(guān)于m的好數(shù)．
(1)若5與a是關(guān)于2的好數(shù)，則_____；
(2)若，，判斷b與c是否是關(guān)于3的好數(shù)，并說明理由；
(3)若，，且e與d是關(guān)于的好數(shù)，求x的值．
【答案】(1)；(2)與是關(guān)于的好數(shù)，理由見解析；(3)．
【詳解】（1）解：∵5與a是關(guān)于2的好數(shù)，
．
（2）解：
，
∴與是關(guān)于的好數(shù)．
（3）解：∵，，且e與d是關(guān)于的好數(shù)，
整理得：，
解得：．
題型十二：實數(shù)與找規(guī)律
【題型12】（七年級下·山東日照·階段練習）閱讀理解題
閱讀下列解題過程：第1個等式為：；第2個等式為：；第3個等式為：；…根據(jù)等式所反映的規(guī)律，解答下列問題：
(1)第4個等式為________
(2)猜想：第n個等式為________（n為正整數(shù)）
(3)利用上面的解法，請化簡：
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：第1個等式為：；
第2個等式為：；
第3個等式為：；
…
第4個等式為：．
故答案為：．
（2）解：解：第n個等式為：（n為正整數(shù)）；
故答案為：．
（3）解：
．
【變式12-1】（七年級下·重慶巴南·階段練習）先觀察下列等式，再回答問題：
①；
②；
③；
(1)根據(jù)、、的規(guī)律，直接寫出的值：______；
(2)猜想____________；
(3)計算的值．
【答案】(1)(2)，(3)
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）解：，
故答案為：，；
（3）解：
．
【變式12-2】（八年級下·安徽阜陽·階段練習）觀察下列計算：
第一個等式：
第二個等式：
第三個等式：
……
根據(jù)以上規(guī)律，完成下列問題：
(1)寫出第四個等式： ．
(2)猜想第 n個等式（用含 n的代數(shù)式表示），無需說明理由．
(3)計算：
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：∵第1個等式：．
第2個等式：．
第3個等式：．
……
∴第4個等式為：，
故答案為：；
（2）解：∵第1個等式：．
第2個等式：．
第3個等式：．
……
∴第n個等式為：，
故答案為：；
（3）解：
．
【變式12-3】（2024·安徽六安·一模）觀察下列各式的規(guī)律．
第1個等式：．
第2個等式：．
第3個等式：．
(1)根據(jù)上述規(guī)律，直接寫出第4個等式：________________．
(2)猜想滿足上述規(guī)律的第個等式，并證明其成立．
【答案】(1)(2)，證明見詳解
【詳解】（1）解：依題意，第4個等式；
（2）解：由第1個等式：．
第2個等式：．
第3個等式：
第4個等式：
……
第個等式：
證明如下：
等式左邊為
等式右邊為
左邊等于右邊，即
【變式12-4】（2023九年級·安徽·專題練習）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
第5個等式：；
按照上述規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個等式：__________________；
(2)寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．
【答案】(1)(2)，見解析
【詳解】（1）解：；
（2）第個等式是．
左邊右邊，
猜想成立．
題型梳理
知識點1
1.平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于，即，那么這個數(shù)叫做的平方根。的平方根記為，讀作“正負二次根號”，叫做被開方數(shù)。求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方。
2.正數(shù)的平方根有兩個他們互為相反數(shù)，負數(shù)沒有平方根，0的平方根是0
3.一個數(shù)的平方根中，正的那個平方根就是這個數(shù)的算數(shù)平方根
0的算數(shù)平方根是0
知識點2
算術(shù)平方根(a≥0)具有雙重非負性，一是被開方數(shù)具有非負性，即a≥0；二是算平方根本身具有非負性，即。
知識點3
立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫的立方根，也稱為三次方根，也就是說，如果,那么叫做的立方根。
正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0
求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方。
知識點4
開平方步驟： 開立方步驟：
知識點5
平方根和立方根的實際應用
本題型結(jié)合生活實際情況對平方根和立方根進行考察，熟練的運用平方根和立方根的性質(zhì)以及開平方和開立方運算是解題的關(guān)鍵。
知識點6
實數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。
無理數(shù)：也稱為無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比。
實數(shù)分類
知識點7
實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應關(guān)系，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．
知識點8
無理數(shù)的估算主要依賴于夾逼法和比較法，特別是通過與已知的有理數(shù)進行比較來逼近無理數(shù)的真實值。例如，估算的大小，首先對進行平方得到2，由此可以確定的個位數(shù)部分為1。如果想精確到十分位，則進行下一步縮放，取1和2的中間數(shù)1.5與進行比較，接著取1和1.5的中間數(shù)1.25與進行比較，然后取1.25和1.5的中間數(shù)1.375與√2進行比較。由此可以確定的十分位數(shù)為4。
知識點9
此題型考查了實數(shù)的運算，根據(jù)運算程序列式計算，熟練的掌握開平方、開立方以及實數(shù)的綜合運算是解此類題型的關(guān)鍵
知識點10
本題考查實數(shù)的混合運算．熟練掌握實數(shù)的運算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．先進行乘方，開方和去絕對值運算，再進行加減運算．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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