資源簡介

運用函數導函數求函數的極值（或最值）
【考綱解讀】
理解函數極值（或最值）的定義，理解并掌握函數極值（或最值）存在定理；
掌握判斷函數極值（或最值）存在和求函數極值（或最值）的基本方法，能夠求出給定函數的極值（或最值）。
【知識精講】。
一、函數極值的定義：
1、函數極大值定義：設函數f(x)在點附近有意義，如果對附近的點，都有f(x)2、函數極小值定義：設函數f(x)在點附近有意義，如果對附近的點，都有f(x)>f()，則稱f()是函數的一個極小值，記作。
二、函數極值存在定理：
1、函數極大值存在定理：設函數f(x)在點處連續，且（）=0，如果當x＞時，有（x）<0，當x＜時，有（x）>0，則f()是函數f(x)的一個極大值；
2、函數極小值存在定理：設函數f(x)在點處連續，且（）=0，如果當x＞時，有（x）>0，當x＜時，有（x）<，則f()是函數f(x)的一個極小值。
三、運用函數導函數求函數極值的基本方法：
1、確定函數的定義域；
2、求函數的導數（x），令導函數（x）=0，求出函數可能的極值點（注意：導函數為0的點是函數極值點的必要條件，但不是充分條件）；
3、根據函數極值存在定理，判斷函數在該點的極值是否存在（注意：當方程（x）=0的根有參數時，應注意對根是否在定義域內進行討論），并確定出函數在該點是極大值還是極小值；
4、確定函數在該點存在極值的基礎上，求出函數在該點的函數值就可求出函數在該點的極大值（或極小值）。
四、函數最值存在定理：
如果函數f(x)在閉區間〔a，b〕上連續，則函數f(x)在閉區間〔a，b〕上一定存在最大值與最小值。
五、運用函數導函數求函數在閉區間上最值的基本方法：
1、根據運用函數導函數求函數極值的基本方法，求出函數在區間上的極值；
2、求出函數在閉區間上兩個端點的函數值；
3、比較所求極值與端點函數值的大小，最大的一個函數值為函數在閉區間上的最大值，最小的一個函數值為函數在閉區間上的最小值。
【探導考點】
考點1運用函數導函數求函數的極值：熱點①判斷函數在某點的極值是否存在；熱點②求函數的極值；熱點③已知函數在某點的極值，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）；
考點2運用函數導函數求函數的最值：熱點①判斷函數在某區間上的最值是否存在；熱點②求函數在某區間上的最大值；熱點③求函數在某區間上的最小值；
考點3運用函數導函數求函數極值和最值的綜合問題。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題： y
設（x）是函數f(x)的導函數，函數y=（x）
的圖像如圖所示，則函數f(x) 的圖像最有可能是（ ） 0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
2、設函數f(x)在R上可導，其導函數為（x）， y
且函數y=(1-x) （x）的圖像如圖所示，則下列 -2 0 1 2 x
結論中一定成立的是（ ）
A函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B函數f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)
C函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2) D函數f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)
3、求函數f(x)= 的極大值；
4、已知函數f(x)=x-1+ (a∈R,e為自然對數的底數)。
（1）若曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處的切線平行于X軸，求a的值；
（2）求函數f(x)的極值。
5、已知函數f(x)=x-alnx(a∈R)。
（1）當a=2時，求曲線y=f(x)在點A（1，f(1)）處的切線方程；
（2）求函數f(x)的極值。
6、設函數f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1處有極值，且f(1)=-1。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數f(x)的單調區間及極值。
7、已知函數f(x)=a +b -3x在x= 1處取得極值。
（1）求a、b的值；
（2）求函數f(x)的極值；
（3）過點A（0,16）作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。
8、若函數y= f(x)在x=處取得極大值或極小值，則稱為函數y= f(x)的極值點。已知a、b是實數，-1和1是函數f(x)= +a+bx的兩個極值點。
（1）求a和b的值；
（2）設函數g(x)的導函數（x）=f(x)+2，求g(x)的極值點。
『思考問題1』
（1）【典例1】是運用導數求函數極值的問題，解答這類問題應該理解函數極值的定義，掌握函數極值存在的判定方法和求函數極值的基本方法；
（2）函數在某點存在極值的必要條件是該點的導數值為0；函數的導數在某點的導數值為0，函數在該點的極值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函數在某點的極值是否存在或確定函數在某點存在極大值還是極小值的基本方法是：①求出該點的導數值，看是否為0，②判定函數在該點左右的導數值的符號，③運用極值存在定理判定該點是否是極值點，④運用極大值或極小值的判斷方法確定函數在該點是極大值還是極小值并求出該點的函數值，⑤得出結果；
（4）與函數極值相關問題的常見題型有：①根據函數圖像判斷函數的極值；②求函數的極值；③已知函數的極值求參數的值或取值范圍；
（5）求函數極值的基本方法是：①求函數的導函數，②求出導函數等于0這個方程的根，③判定這些點哪些極值點，④確定極值點是極大值還是極小值，⑤求出函數在該點的極大值或極小值。
〔練習1〕按要求解答下列問題：
1、函數f(x)= +2的極值點的（ ）
A x=1 B x=-1 C x=1或x=-1或x=0 D x=0
2、函數y=-2x-的極大值是 ；
3、已知函數f(x)= +3a+bx+在x=-1時有極值0，則a-b= ；
4、已知函數f(x)= -3+6，求函數的單調區間及極值；
5、已知函數f(x)=a+b-3x在x=±1處取得極值。
（1）判斷f(1)和f(-1)是函數f(x)的極大值還是極小值；
（2）過點A（0，16）作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。
6、已知函數f(x)=x-1+ (aR,e為自然對數的底數)。
（1）若曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處的切線平行于X軸，求a的值；
（2）求函數f(x)的極值。
7、已知函數f(x)=2ax- +lnx在x=1，x= 處取得極值。
（1）求a、b的值；
求函數f(x)的極值；
若對x∈〔，4〕時，f(x)＞c恒成立，求實數c的取值范圍。
【典例2】解答下列問題：
1、求函數y=-2+5在區間〔-2，2〕上的最大值與最小值；
2、求函數y= - 的值域。
3、已知aR，函數f(x)= +lnx-1。
（1）當a=1時，求曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處的切線方程；
（2）求函數f(x)在區間（0，e）上的最小值。
4、已知函數f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函數f(x)在區間〔0，2〕的最小值。
5、已知函數f(x)=ax- ，x∈（0，2〕。
（1）若函數f(x) 在區間（0，2〕上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f(x) 在區間（0，2〕上的最大值。
6、已知函數f(x)=lnx-ax（a∈R）。
（1）求函數f(x)的單調區間；
（2）當a＞0時，求函數f(x)在［1，2］上的最小值。
『思考問題2』
（1）【典例2】是求函數的最值（或值域）的問題，解答這類問題應該理解函數最值（或值域）的定義和函數最值存在定理，掌握求函數最值（或值域）的基本求法，注意函數極值與最值之間的關系；
（2）利用導數求函數的最大值與最小值的理論依據是函數最值存在定理；
（3）函數的極值與最值的關系是：①區別：函數的極值是定義域上某一區間函數的最值，而函數最值是函數在整個定義域上的最值；②聯系：當函數在某一開區間上只有一個極值點時，函數的極值就是函數的最值，當函數在區間上的極值點有多個時函數的極值不一定是函數的最值 ；
（4）求函數f(x)在閉區間〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函數在閉區間〔a，b〕上的所有極值；②求出函數的端點值f(a) ，f(b)；③比較函數在閉區間〔a，b〕上的極值與端點值f(a) ，f(b)的大小，④得出函數的最值。
〔練習2〕按要求解答下列問題：
設函數f(x)= +2+x+1，試求函數f(x)在區間〔-1,1〕上的最大值與最小值；
已知a≥0,函數f(x)=( -2ax) ，求函數f(x)的最小值；
3、已知函數f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函數f(x)在(0,1〕上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f(x)在(0,1〕上的最大值。
【典例3】解答下列問題：
1、若函數f(x)= - +x+1在區間（，3）上有極值點，則實數a的取值范圍是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
2、設函數f(x)= --2x+5，若對任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，則實數a的取值范圍是 ；
3、已知函數f(x)=lnx，g(x)= a+2x(a 0)。
（1）若函數h(x)=f(x)-g(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（2）若函數h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上單調遞減，求a的取值范圍。
『思考問題3』
（1）【典例】是已知函數的極值（或最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）的問題，解答這類問題需要根據運用函數導函數判斷函數在某點存在極值和求函數極值（或最值）的基本方法得到關于參數的方程，不等式（或不等式組），然后求解方程，不等式（或不等式組）就可得出答案；
（2）已知函數極值（或最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）的基本方法是：①根據函數f(x)在某點存在極值的必要條件和求函數極值（或最值）的基本方法尋求函數解析式中參數應該滿足的條件；②函數f(x)在某點存在極值的必要條件是函數在該點的導數值為0，判斷函數在該點是否存在極值的基本方法是函數在該點左右的導函數符號相異，函數在某點的極值就是函數在該點的函數值，函數最值是依據函數最值存在定理，在求出函數極值的基礎上確定函數的最值；③根據②得到關于參數的方程，不等式（或不等式組）；④求解方程，不等式（或不等式組）。
〔練習3〕解答下列問題：
已知函數f(x)= +3a+bx+在x=-1時有極值0，則a-b= ；
2、已知函數f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函數f（x）在點（1，f(1)）處的切線與直線y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函數f(x)在（0，+∞）上是單調函數，求實數a的取值范圍。
3、已知函數f(x)=2ax- +lnx在x=-1，x= 處取得極值。
（1）求a，b的值；
（2）求函數f(x)的極值；
（3）若對x〔，4〕時，f(x)＞c恒成立，求實數c的取值范圍。
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
1、若函數f(x)= - +x+1在區間（，3）上有極值點，則實數a的取值范圍是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
2、已知函數f(x)= +a+bx+在x=1處有極值為10，求f(x)。
『思考問題4』
【典例4】是解答運用函數導函數求函數極值（或最值）問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要是忽視函數極值點與函數導函數零點之間的關系，導致解答出現錯誤；
解答運用函數導函數求函數極值（或最值）問題時，為避免忽視函數極值點與函數導函數零點之間關系的雷區，需要注意函數導函數的零點只是函數極值點的必要條件，而不是充分條件。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)= +3a+bx+在x=-1時有極值0，則a-b= 。
2、設函數f(x)= --2x+5，若對任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，則實數a的取值范圍是 。
【追蹤考試】
若函數f(x)=alnx++(a0)既有極大值又有極小值，則（ ）（2023全國高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
（理）若函數f(x)=x在x=1處有極大值，則實數a的值為（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函數f(x)=+2a+x在x=1處有極大值，則實數a的值為（ ） （成都市高2020級高三一診）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（理）若函數f(x)=xlnx-a存在極大值點，且2f（）>，則實數a的取值范為 。
（文）函數f(x)=-+1的最大值為 （成都市高2020級高三二診）
4、（理）已知函數f(x)= ，g(x)=lnx，若對任意， （0，2]，且，都有>-1，則實數a的取值范圍是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函數f(x)= +lnx，若對任意， （0，2]，且，都有>-1，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市2019級高三零診）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
5、若函數f(x)= x-x-lnx-1的零點個數為（ ）（成都市2019級高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
6、函數f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為 （2021全國高考新高考I）
7、若函數f(x)= -3+a有且僅有一個零點，則實數a的取值范圍為（ ）（2021成都市高三一診）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
『思考問題5』
【典例5】是近幾年高考（或成都市高三診斷考試）試卷中運用函數導函數求函數極值（或最值）的問題，歸結起來主要包括：①運用函數導函數求函數的極值；②運用函數導函數求函數的最值；③已知函數的極值（或最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）幾種類問題；
（2）解答問題的基本方法是：①根據問題的結構特征判斷其所屬類型；②運用解答該類型問題的解題思路和基本方法實施解答；③得出問題的解答結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、（理）已知函數f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，則（-）
lnt的最小值為（ ）
A B C - D -
（文）已知函數f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，則lnt的最小值為（ ）（2021成都市高三一診）
A B C - D -
2、已知P是曲線y=sinx+cosx(x［0, ］)上的動點，點Q在直線x+y-6=0上運動，則當|PQ|取最小值時，點P的橫坐標為（ ）（2021成都市高三二診）
A B C D
3、已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是 （2020全國高考新課標I）
4、已知函數f(x)=（+x+1），則“a=”是“函數f(x)在x=-1處取得極小值”的（ ）（2020成都市高三零診）
A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件
5、（理）已知函數f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，則的最大值為（ ）
A B e C D
（文）已知函數f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，則的最小值為（ ）（2020成都市高三二診）
A -1 B - C - D -
運用函數導函數求函數的極值（或最值）
【考綱解讀】
理解函數極值（或最值）的定義，理解并掌握函數極值（或最值）存在定理；
掌握判斷函數極值（或最值）存在和求函數極值（或最值）的基本方法，能夠求出給定函數的極值（或最值）。
【知識精講】。
一、函數極值的定義：
1、函數極大值定義：設函數f(x)在點附近有意義，如果對附近的點，都有f(x)2、函數極小值定義：設函數f(x)在點附近有意義，如果對附近的點，都有f(x)>f()，則稱f()是函數的一個極小值，記作。
二、函數極值存在定理：
1、函數極大值存在定理：設函數f(x)在點處連續，且（）=0，如果當x＞時，有（x）<0，當x＜時，有（x）>0，則f()是函數f(x)的一個極大值；
2、函數極小值存在定理：設函數f(x)在點處連續，且（）=0，如果當x＞時，有（x）>0，當x＜時，有（x）<，則f()是函數f(x)的一個極小值。
三、運用函數導函數求函數極值的基本方法：
1、確定函數的定義域；
2、求函數的導數（x），令導函數（x）=0，求出函數可能的極值點（注意：導函數為0的點是函數極值點的必要條件，但不是充分條件）；
3、根據函數極值存在定理，判斷函數在該點的極值是否存在（注意：當方程（x）=0的根有參數時，應注意對根是否在定義域內進行討論），并確定出函數在該點是極大值還是極小值；
4、確定函數在該點存在極值的基礎上，求出函數在該點的函數值就可求出函數在該點的極大值（或極小值）。
四、函數最值存在定理：
如果函數f(x)在閉區間〔a，b〕上連續，則函數f(x)在閉區間〔a，b〕上一定存在最大值與最小值。
五、運用函數導函數求函數在閉區間上最值的基本方法：
1、根據運用函數導函數求函數極值的基本方法，求出函數在區間上的極值；
2、求出函數在閉區間上兩個端點的函數值；
3、比較所求極值與端點函數值的大小，最大的一個函數值為函數在閉區間上的最大值，最小的一個函數值為函數在閉區間上的最小值。
【探導考點】
考點1運用函數導函數求函數的極值：熱點①判斷函數在某點的極值是否存在；熱點②求函數的極值；熱點③已知函數在某點的極值，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）；
考點2運用函數導函數求函數的最值：熱點①判斷函數在某區間上的最值是否存在；熱點②求函數在某區間上的最大值；熱點③求函數在某區間上的最小值；
考點3運用函數導函數求函數極值和最值的綜合問題。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題： y
1、設（x）是函數f(x)的導函數，函數y=（x）
的圖像如圖所示，則函數f(x) 的圖像最有可能是（ ） 0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數極值的定義與性質；③函數極值存在定理及運用；④運用函數導函數求函數極值的基本方法。
【解題思路】根據函數導函數和函數極值的性質，運用函數極值存在定理和求函數極值的基本方法，結合函數（x）的圖像，確定出函數f(x) 最有可能的圖像就可得出選項。
【詳細解答】由函數函數（x）的圖像可知，函數f(x) 在點x=0處取得極大值，在點x=2處取得極小值，函數f(x) 最有可能的圖像是C中的圖像，C正確，選C。
2、設函數f(x)在R上可導，其導函數為（x）， y
且函數y=(1-x) （x）的圖像如圖所示，則下列 -2 0 1 2 x
結論中一定成立的是（ ）
A函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B函數f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)
C函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2) D函數f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數極值的定義與性質；⑤判定函數在某點存在極值的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），運用函數極值的性質和判定函數在某點存在極值的基本方法對各選項進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】當x<-2時，(1-x)>0，函數y=(1-x) （x）>0，（x）>0，當-20，函數y=(1-x) （x）<0，（x）<0，當10，（x）<0，當x>2時，(1-x)<0，函數y=(1-x) （x）<0，（x）>0，
函數f(x)在x=-2時，取得極大值f(-2)，在x=2時，取得極小值f(2)，D正確，選D。
3、求函數f(x)= 的極大值；
【解析】
【知識點】①函數導函數定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；④
函數極值的定義與性質；⑤判定函數在某點存在極值的基本方法；⑥求函數極值的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），運用判定函數在某點存在極值和求函數極值的基本方法就可求出函數f(x)= 的極大值。
【詳細解答】（x）===，令（x）=0解得：x=-1或x=1，①當b>0時，x，（x）， x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
f(x)的變化情況如表所示， （x） - 0 + 0 -
= f(1)= = ； f(x)
②當b<0時，x，（x），f(x)的變化情況如表所示，= f(-1)
= = ；綜上所述，當b>0 x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
時，=；當b<0時， （x） + 0 - 0 +
=。 f(x)
4、已知函數f(x)=x-1+ (a∈R,e為自然對數的底數)。
（1）若曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處的切線平行于X軸，求a的值；
（2）求函數f(x)的極值。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數在某點導數的幾何意義；⑤函數極值的定義與性質；⑥判定函數在某點存在極值的基本方法；⑦求函數極值的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），根據函數在某點導數的幾何意義得到關于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）運用判定函數在某點存在極值和求函數極值的基本方法就可求出函數f(x)的極值。
【詳細解答】（1）（x）=1-=，曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處的切線平行于X軸，（1）==0，即a=e；（2）（x）=1-=，①當a0時，（x）>0在R上恒成立，函數f(x)在R上單調遞增，此時函數f(x)不存在極值；②當a>0時，令（x）=0解得：x=lna， x（-∞，lna）時，（x）<0，x（lna，+∞）時，（x）>0，函數f(x)在（-∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，即
= f(lna)= lna-1+1= lna，綜上所述，當a0時，函數f(x)不存在極值；當a>0時，函數f(x)存在極小值lna。
5、已知函數f(x)=x-alnx(a∈R)。
（1）當a=2時，求曲線y=f(x)在點A（1，f(1)）處的切線方程；
（2）求函數f(x)的極值。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數在某點導數的幾何意義；⑤函數極值的定義與性質；⑥判定函數在某點存在極值的基本方法；⑦求函數極值的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)當a=2時的導函數（x），根據函數在某點導數的幾何意義和求曲線在某點處切線方程的基本方法就可求出曲線y=f(x)在點A（1，f(1)）處的切線方程；（2）運用判定函數在某點存在極值和求函數極值的基本方法就可求出函數f(x)的極值。
【詳細解答】（1）當a=2時，f(x)=x-2lnx，（x）=1-，（1）=1-2=-1，
f(1)=1-0=1，曲線y=f(x)在點A（1，f(1)）處的切線方程為：y-1=-(x-1),即y=-x+2；（2）
（x）=1-=，①當a0時， （x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函數f(x)在（0，+∞）上單調遞增，即此時函數f(x)沒有極值；②當a＞0時，令 （x）=0解得：
x=a， x（0，a）時，（x）<0，x（a，+∞）時，（x）>0，函數f(x)在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，即函數f(x)存在極小值f(a)=a-alna, 綜上所述，當a0時，函數f(x)沒有極值；當a＞0時，函數f(x)有= a-alna。
6、設函數f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1處有極值，且f(1)=-1。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數f(x)的單調區間及極值。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數極值的定義與性質；⑤求函數單調區間的基本方法；⑥判定函數在某點存在極值的基本方法；⑦求函數極值的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），根據函數極值的性質和判定函數在某點存在極值的基本方法，結合問題條件得到關于a，b，c的方程組，求解方程組就可求出a，b，c的值；（2）運用求函數單調區間和求函數極值的基本方法就可求出函數f(x)的單調區間與極值。
【詳細解答】（1）（x）=3a+2bx+c，函數f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1處有極值，且f(1)=-1，（1）=3a+2b+c=0①， （-1）=3a-2b+c=0②，f(1)= a+b+c =-1③，聯立①②③解得a=,b=0，c=-, a=,b=0，c=-；（2）由（1）知f(x)= -x，
（x）=-=（-1）=（x+1） x （-∞，-1）-1 （-1，1）1（1，+∞）
（x-1）,x，（x），f(x)的變化情況如表所示：（x） + - +
函數f(x)在區間（-∞，-1），（1，+∞）上單 f(x)
調遞增，在區間（-1，1）上單調遞減；= f(1)= -=-1，= f(-1)= -
+=1。
7、已知函數f(x)=a +b -3x在x= 1處取得極值。
（1）求a、b的值；
（2）求函數f(x)的極值；
（3）過點A（0,16）作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數極值的定義與性質；⑤判定函數在某點存在極值的基本方法；⑥求函數極值的基本方法；⑦函數在某點導數的幾何意義；⑧求曲線在某點處切線方程的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），根據函數極值的性質和判定函數在某點存在極值的基本方法，結合問題條件得到關于a，b的方程組，求解方程組就可求出a，b的值；（2）運用函數極值的性質和求函數極值的基本方法就可求出函數f(x)的極值；（3）利用函數在某點導數的幾何意義和求曲線在某點處切線方程的基本方法就可求出點A（0,16）曲線y=f(x)的切線方程。
【詳細解答】（1）（x）=3a+2bx-3，函數f(x) 在x= 1處取得極值，（1）=3a+2b-3=0①， （-1）=3a-2b-3=0②，聯立①②解得：a=1，b=0；（2）由（1）知f(x)=-3x，
（x）=3-3=3（x+1）（x-1），令（x）=0解得x=-1或x=1，x，（x），f(x)的變化情況如表所示：函數f(x)在區間（-∞，-1）， x （-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）
（1，+∞）上單調遞增，在區間（-1，1）上單 （x） + - +
調遞減；= f(1)=1-3=-2， f(x)
= f(-1)= -1+3=2；（3）當x=0時，f(0)=0-0=0 16，點A（0,16）不在曲線y=f(x)上，設切線與曲線y=f(x)的切點為（，f()）, （）=3-3, f()=-3,曲線y=f(x)在點（，f()）處的切線方程為：y-(-3)=(3-3)(x-),y=(3-3)x-2,
點A（0，16）在切線上，16=-2，=-2，過點A（0，16）曲線y=f(x)的切線方程為：y=9x-16。
8、若函數y= f(x)在x=處取得極大值或極小值，則稱為函數y= f(x)的極值點。已知a、b是實數，-1和1是函數f(x)= +a+bx的兩個極值點。
（1）求a和b的值；
（2）設函數g(x)的導函數（x）=f(x)+2，求g(x)的極值點。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數極值定義與性質；⑤判定函數在某點存在極值的基本方法；⑥求函數極值的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），根據函數極值的性質和判定函數在某點存在極值的基本方法，結合問題條件得到關于a，b的方程組，求解方程組就可求出a，b的值；（2）運用判斷函數在某點存在極值的基本方法就可求出函數f(x)的極值點。
【詳細解答】（1）（x）=3+2ax+b，函數f(x) 在x= 1處取得極值，（1）=3+2a+b=0①， （-1）=3-2a+b=0②，聯立①②解得：a=0，b=-3；（2）由（1）知f(x)=-3x，
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 （x）=f(x)+2=-3x+2=（x-1）(+x-2)= (x+2)，令（x）=0解得x=-2或x=1，x，（x），f(x)的變化情況如表所示： x （-∞，-2）-2 （-2，1）1（1，+∞）
函數f(x)在點x=-2處取得極小值f(-2) ，即 （x） - + +
函數f(x)只有一個極小值點（-2，f(-2) ）。 f(x)
『思考問題1』
（1）【典例1】是運用導數求函數極值的問題，解答這類問題應該理解函數極值的定義，掌握函數極值存在的判定方法和求函數極值的基本方法；
（2）函數在某點存在極值的必要條件是該點的導數值為0；函數的導數在某點的導數值為0，函數在該點的極值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函數在某點的極值是否存在或確定函數在某點存在極大值還是極小值的基本方法是：①求出該點的導數值，看是否為0，②判定函數在該點左右的導數值的符號，③運用極值存在定理判定該點是否是極值點，④運用極大值或極小值的判斷方法確定函數在該點是極大值還是極小值并求出該點的函數值，⑤得出結果；
（4）與函數極值相關問題的常見題型有：①根據函數圖像判斷函數的極值；②求函數的極值；③已知函數的極值求參數的值或取值范圍；
（5）求函數極值的基本方法是：①求函數的導函數，②求出導函數等于0這個方程的根，③判定這些點哪些極值點，④確定極值點是極大值還是極小值，⑤求出函數在該點的極大值或極小值。
〔練習1〕按要求解答下列問題：
1、函數f(x)= +2的極值點的（ ）（答案：C）
A x=1 B x=-1 C x=1或x=-1或x=0 D x=0
2、函數y=-2x-的極大值是 ；（答案：函數y=-2x-的極大值是1。）
3、已知函數f(x)= +3a+bx+在x=-1時有極值0，則a-b= ；（答案：a-b=2或a-b=-23。）
4、已知函數f(x)= -3+6，求函數的單調區間及極值； （答案：函數f(x)在（-∞，-），（0，）上單調遞減，在（-，0），（，+∞）上單調遞增；= f(-)
=f()=-+6= ，= f(0)= 0-0+6=6。）
5、已知函數f(x)=a+b-3x在x=±1處取得極值。
（1）判斷f(1)和f(-1)是函數f(x)的極大值還是極小值；
（2）過點A（0，16）作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。（答案：（1）f(-1)是函數f(x)的極大值，f(1) 是函數f(x)的極小值；（2）過點A（0，16）曲線y=f(x)的切線方程為y=21x 16 。）
6、已知函數f(x)=x-1+ (aR,e為自然對數的底數)。
（1）若曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處的切線平行于X軸，求a的值；
（2）求函數f(x)的極值。（答案：（1）a=e；（2）= f(lna)=lna-1+1=lna。）
7、已知函數f(x)=2ax- +lnx在x=1，x= 處取得極值。
（1）求a、b的值；
求函數f(x)的極值；
（3）若對x∈〔，4〕時，f(x)＞c恒成立，求實數c的取值范圍。（答案：（1）a=-，b=-；（2）= f()=-+-ln2=-ln2，= f(1)=- ++0=-；（3）實數c的取值范圍（-∞，-ln2））
【典例2】解答下列問題：
1、求函數y=-2+5在區間〔-2，2〕上的最大值與最小值；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數極值定義與性質；⑤判定函數在某點存在極值的基本方法；⑥求函數極值的基本方法；⑦函數最值的定義與性質；⑧求函數最值的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），根據函數極值的性質和判定函數在某點存在極值的基本方法，求出函數f(x) 在區間〔-2，2〕上的極值，同時求出f(-2)，f(2)的函數值，利用函數最值的性質和求函數最值的基本方法就可求出函數y=-2+5在區間〔-2，2〕上的最大值與最小值。
【詳細解答】（x）=4-4x x -2 (-2，-1) -1（-1，0）0（0，1） 1（1，2） 2
=4x(x+1)(x-1)，令 （x）=0解 （x） - + - +
得：x=-1或x=0或x=1，x， f(x) 13 4 5 4 13
（x），f(x)的變化情況如圖所示：= f(-2)= f(2)=13，= f(-1)= f(1)=4。
2、求函數y= - 的值域。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數最值的定義與性質； ⑤求函數最值的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x) 的導數（x），運用求函數最值的基本方法，求出函數f(x)的最小值與最大值，就可求出函數f(x)的值域。
【詳細解答】函數f(x)的定義域為［-2，+），（x）= -
==
=0在［-2，+）恒成立，函數f(x) 在區間［-2，+）上單調遞增，= f(-2)=0-1=-1，無最大值，函數f(x)的值域為［-1，+）。
3、已知aR，函數f(x)= +lnx-1。
（1）當a=1時，求曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處的切線方程；
（2）求函數f(x)在區間（0，e）上的最小值。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數在某點導數的幾何意義；⑤求曲線y=f(x)在某點處切線方程的基本方法；⑥求函數
極值的基本方法；⑦函數最值的定義與性質；⑧求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x) 當a=1時的導數（2）的值，根據函數在某點導數的幾何意義和求曲線y=f(x)在某點處切線方程的基本方法就可求出曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處的切線方程；（2）運用求函數最值的基本方法，就可求出函數f(x) 在區間（0，e）上的最小值。
【詳細解答】（1）當a=1時，（x）=-+=，（2）=， f(2)
= +ln2-1=ln2- ，曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處的切線方程為：y-( ln2- )= (x-2)，
即：y=x+ln2-1；（2）（x）=-+=，①當a0時，（x）＞0在（0，+）上恒成立，函數f(x)在區間（0，+）上單調遞增，此時函數f(x)在區間（0，e）上無最值；②當a＞0時，令（x）=0得x=a，x（0，a）時，（x）＜0， x（a，+）時，（x）＞0，函數f(x)在區間（0，a）上單調遞減，在區間（0，+）上單調遞增，若a＜e, = f(a)=1+lna-1=lna，若a＞e，＞f(e)= +1-1=，綜上所述，當a0時，函數f(x)在區間（0，e）上無最值，當0＜a＜e時，函數f(x)在區間（0，e）上的最小值為lna，當ae時，函數f(x)在區間（0，e）上無最小值。
4、已知函數f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函數f(x)在區間〔0，2〕的最小值。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數最值的定義與性質；⑤求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，就可求出函數f(x) 的導數（x）；（2）運用求函數最值的基本方法，就可求出函數f(x) 在區間〔0，2〕上的最小值。
【詳細解答】（1）函數f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)，（x）=-1=；（2）令
（x）=0得x=1-a, ①當1-a0，即a1時，（x）＜0在區間〔0，2〕上恒成立，函數f(x)在區間〔0，2〕上單調遞減，即= f(2)=ln(2+a)-2；②當0＜1-a2，即0＜a＜1時，x［0，1-a）時，（x）＞0， x（a，+）時，（x）＜0，函數f(x)在區間（0，1-a）上單調遞增，在區間（1-a，2］上單調遞減， f(2)=ln(2+a)-2，f(0)=lna-0
=lna, f(2)- f(0) =ln(2+a)-2- lna=ln -2，若0＜a ＜，= f(0)= lna，若
a＜1，= f(2) =ln(2+a)-2，綜上所述，當0＜a ＜時，函數f(x)在區間〔0，2〕的最小值為= lna，當a時，函數f(x)在區間〔0，2〕的最小值為=ln(2+a)-2。
5、已知函數f(x)=ax- ，x∈（0，2〕。
（1）若函數f(x) 在區間（0，2〕上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f(x) 在區間（0，2〕上的最大值。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數單調性的定義與性質；⑤運用導函數判斷函數單調性的基本方法；⑥函數最值的定義與性質；⑦求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，就可求出函數f(x) 的導數（x），運用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍；（2）運用求函數最值的基本方法，就可求出函數f(x) 在區間（0，2〕上的最大值。
【詳細解答】（1）（x）=a+=，①當a0時， （x）＞0在（0，2］上恒成立，函數f(x)在區間（0，2］上單調遞增；②當a＜0時，令（x）=0解得：x=-或x=，若2，即a-時，（x）＞0在（0，2］上恒成立，函數f(x)在區間（0，2］上單調遞增， 綜上所述，若函數f(x) 在區間（0，2〕上單調遞增，則實數a的取值范圍是［-，+）；（2）由（1）知，①當a-時，函數f(x) 在區間（0，2〕上單調遞增，函數f(x) 在區間（0，2〕上的最大值為= f(2)=2a-;②當＜2，即a＜-時， x∈（0，）時，（x）＞0，x∈（，2］時，（x）＜0，函數f(x) 在區間（0，）上單調遞增，在區間（，2〕上單調遞減，函數f(x) 在區間（0，2〕上的最大值為= f()=-2， 綜上所述，當a［-，+）時，函數f(x) 在區間（0，2〕上的最大值為= f(2)=2a-，當a（-，-）時，函數f(x) 在區間（0，2〕上的最大值為=f()=-2。
6、已知函數f(x)=lnx-ax（a∈R）。
（1）求函數f(x)的單調區間；
（2）當a＞0時，求函數f(x)在［1，2］上的最小值。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數單調性的定義與性質；⑤運用導函數判斷函數單調性的基本方法；⑥函數最值的定義與性質；⑦求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，就可求出函數f(x) 的導數（x），運用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法就可求出函數f(x)的單調區間；（2）運用求函數最值的基本方法，就可求出函數f(x) 在區間［1，2〕上的最小值。
【詳細解答】（1）（x）=-a=，①當a0時，（x）＞0在（0，+）上恒成立， 函數f(x) 在區間（0，+）上單調遞增；②當a＞0時，令（x）=0解得：x=，
x（0，）時，（x）＞0， x（，+）時，（x）＜0，函數f(x)在區間（0，）上單調遞增，在區間（，+）上單調遞減，綜上所述，當a0時，函數f(x) 在區間（0，+）上單調遞增；當a＞0時，函數f(x)在區間（0，）上單調遞增，在區間（，+）上單調遞減；（2）①當＜1，即a＞1時，由（1）知（x）＜0在［1，2］上恒成立，函數f(x)在區間［1，2］上單調遞減，= f(2)=ln2-2a；②當1＜2，即＜a1時，由（1）知， x［1，）時，（x）＞0， x（，2］時，（x）＜0， 函數f(x) 在區間［1，）上單調遞增，在區間（，2］上單調遞減， f(2)=ln2-2a，f(1)=ln1-a=-a，f(2)- f(1)=ln2-2a+a= ln2-a，若ln2＜a， =f(2)=ln2-2a，若ln2＞a，=f(1)=ln1-a=-a；③當2，即0＜a時，由（1）知（x）＞0在［1，2］上恒成立，函數f(x)在區間［1，2］上單調遞增，
=f(1)=ln1-a=-a，綜上所述，當0＜a＜ln2時，函數f(x)在區間［1，2］的最小值為=f(1)=ln1-a=-a；當ln2a時，函數f(x)在區間［1，2］的最小值為=f(2)=ln2-2a。
『思考問題2』
（1）【典例2】是求函數的最值（或值域）的問題，解答這類問題應該理解函數最值（或值域）的定義和函數最值存在定理，掌握求函數最值（或值域）的基本求法，注意函數極值與最值之間的關系；
（2）利用導數求函數的最大值與最小值的理論依據是函數最值存在定理；
（3）函數的極值與最值的關系是：①區別：函數的極值是定義域上某一區間函數的最值，而函數最值是函數在整個定義域上的最值；②聯系：當函數在某一開區間上只有一個極值點時，函數的極值就是函數的最值，當函數在區間上的極值點有多個時函數的極值不一定是函數的最值 ；
（4）求函數f(x)在閉區間〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函數在閉區間〔a，b〕上的所有極值；②求出函數的端點值f(a) ，f(b)；③比較函數在閉區間〔a，b〕上的極值與端點值f(a) ，f(b)的大小，④得出函數的最值。
〔練習2〕按要求解答下列問題：
1、設函數f(x)= +2+x+1，試求函數f(x)在區間〔-1,1〕上的最大值與最小值；（答案：函數f(x)在區間〔-1,1〕上的最大值為f(1)= +2+1+1=，最小值為f(-2+ )=（7-4）（-2+）+2（7-4）-2++1=-2。）
2、已知a≥0,函數f(x)=( -2ax) ，求函數f(x)的最小值；（答案：= f(a-1+ )=2(1-)。）
3、已知函數f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函數f(x)在(0,1〕上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f(x)在(0,1〕上的最大值。（答案：（1）實數a的取值范圍是[0，+）；（2）①當a0時，函數f(x)在(0,1〕上的最大值為f(1)=2a-1；②當a-1時，函數f(x)在(0,1〕上的最大值為f(1)=2a-1；③當-1【典例3】解答下列問題：
1、若函數f(x)= - +x+1在區間（，3）上有極值點，則實數a的取值范圍是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數極值的定義與性質；⑤運用導函數判斷函數存在極值的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，就可求出函數f(x) 的導數（x），運用函數極值的性質和判斷函數存在極值的基本方法得到關于參數a的不等式組，求解不等式組求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】（x）=-ax+1，函數f(x)= - +x+1在區間（，3）上有極值點，=-40①，（3）=10-3a＞0②，（）=-a＞0③，聯立①②③解得：
2a＜，實數a的取值范圍是［2，），B正確，選B。
2、設函數f(x)= --2x+5，若對任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，則實數a的取值范圍是 ；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數最值的定義與性質；⑤運用導函數求函數最值的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，就可求出函數f(x) 的導數（x），運用函數最值的性質和求函數最值的基本方法求出函數f(x)= --2x+5在區間［-1,2］的最小值，從而得到實數a的取值范圍。
【詳細解答】（x）=3-x-2，令 x -1 (-1,- ) - (-,1) 1 (1,2) 2
EMBED Equation.DSMT4 （x）=0解得：x=- 或x=1，x， （x） + - +
（x），f(x)在區間［-1,2］上的變化 f(x) 7
情況如表所示： x∈［-1,2］時, = ，對任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，實數a的取值范圍是（-∞，）。
3、已知函數f(x)=lnx，g(x)= a+2x(a 0)。
（1）若函數h(x)=f(x)-g(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（2）若函數h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上單調遞減，求a的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數單調性的定義與性質； ⑤運用導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，求出函數g(x) 的導數（x），運用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍；（2）利用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】（1） h(x)=f(x)-g(x)= lnx-a-2x， (x)= -ax-2=，
函數h(x)=f(x)-g(x)存在單調遞減區間， (x)= 0，即a+2x-10有解，①當a＞0時，=4+4a=4（a+1）＞0, x∈［，+∞）時， (x)= 0，即函數h(x)在區間; ［，+∞）上單調遞減 ②當a＜0時，=4+4a=4（a+1）＞0，即-1＜a＜0時，x∈（，）時， (x)= 0，即函數h(x)在區間; （，）上單調遞減 ，綜上所述，若函數h(x)=f(x)-g(x)存在單調遞減區間，則實數a的取值范圍是(-1，0) （0，+∞）；（2）函數h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上單調遞減， (x)= 0，即a-在［1，4］上恒成立，設函數m（x）=-，（x）=-+=0在區間［1，4］上恒成立，函數m（x）在區間［1，4］上單調遞增， x［1，4］時，= m（4）=-=-，若函數h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上單調遞減，則實數a的取值范圍是［-，+∞）。
『思考問題3』
（1）【典例】是已知函數的極值（或最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）的問題，解答這類問題需要根據運用函數導函數判斷函數在某點存在極值和求函數極值（或最值）的基本方法得到關于參數的方程，不等式（或不等式組），然后求解方程，不等式（或不等式組）就可得出答案；
（2）已知函數極值（或最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）的基本方法是：①根據函數f(x)在某點存在極值的必要條件和求函數極值（或最值）的基本方法尋求函數解析式中參數應該滿足的條件；②函數f(x)在某點存在極值的必要條件是函數在該點的導數值為0，判斷函數在該點是否存在極值的基本方法是函數在該點左右的導函數符號相異，函數在某點的極值就是函數在該點的函數值，函數最值是依據函數最值存在定理，在求出函數極值的基礎上確定函數的最值；③根據②得到關于參數的方程，不等式（或不等式組）；④求解方程，不等式（或不等式組）。
〔練習3〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)= +3a+bx+在x=-1時有極值0，則a-b= ；（答案：a-b=2或a-b=-23。）
2、已知函數f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函數f（x）在點（1，f(1)）處的切線與直線y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函數f(x)在（0，+∞）上是單調函數，求實數a的取值范圍。（答案：（1）a=2；（2）若函數f(x)在（0，+∞）上是單調函數，則實數a的取值范圍是（-∞，1]。）
3、已知函數f(x)=2ax- +lnx在x=-1，x= 處取得極值。
（1）求a，b的值；
（2）求函數f(x)的極值；
（3）若對x〔，4〕時，f(x)＞c恒成立，求實數c的取值范圍。（答案：（1）a=-，b=-；（2）= f(1)=- ++0=-，= f()=-+-ln2=-ln2；
（3）實數c的取值范圍是（-∞，-+2ln2）。）
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
1、若函數f(x)= - +x+1在區間（，3）上有極值點，則實數a的取值范圍是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數極值的定義與性質；⑤運用導函數判斷函數存在極值的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，就可求出函數f(x) 的導數（x），運用函數極值的性質和判斷函數存在極值的基本方法得到關于參數a的不等式組，求解不等式組求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】（x）=-ax+1，函數f(x)= - +x+1在區間（，3）上有極值點，=-40①，（3）=10-3a＞0②，（）=-a＞0③，聯立①②③解得：
2a＜，實數a的取值范圍是［2，），B正確，選B。
已知函數f(x)= +a+bx+在x=1處有極值為10，求f(x)。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③運用函數導函數求函數極值的基本方法。
【解題思路】根據函數導函數的性質，運用函數求導公式，法則和基本方法，求出函數f(x) 的導數（x），利用函數導函數求函數極值的基本方法，結合問題條件得到關于參數a的方程組，求解方程組求出實數a，b的值，從而就可求出函數f(x)的解析式。
【詳細解答】（x）=3+2ax+b，函數f(x)在x=1處有極值為10，（1）=3+2a+b=0①，f(1)= 1+a+b+=10②，聯立①②解得：a=4，b=-11，或a=-3，b=3，當a=-3，b=3時，f(x)= -3+3x+9，（x）=3-6x+3=3≥0在R上恒成立，函數f(x)在R上單調遞增，此時x=1不是函數f(x)的極值點，a=4，b=-11，f(x)= +4-11x+16。
『思考問題4』
【典例4】是解答運用函數導函數求函數極值（或最值）問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要是忽視函數極值點與函數導函數零點之間的關系，導致解答出現錯誤；
解答運用函數導函數求函數極值（或最值）問題時，為避免忽視函數極值點與函數導函數零點之間關系的雷區，需要注意函數導函數的零點只是函數極值點的必要條件，而不是充分條件。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)= +3a+bx+在x=-1時有極值0，則a-b= 。（答案：a-b=2或a-b=-23。）
2、設函數f(x)= --2x+5，若對任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，則實數a的取值范圍是 。（答案：實數a的取值范圍是（-∞，）。）
【追蹤考試】
1、若函數f(x)=alnx++(a0)既有極大值又有極小值，則（ ）（2023全國高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
【解析】
【考點】①函數導函數定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③函數極值定義與性質；④運用函數導函數求函數極值的基本方法。
【解題思路】根據函數導函數的性質，運用函數求導公式，法則和基本方法求出函數的導函數，利用函數導函數判斷函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于a的不等式，求解不等式求出a的最小值就可得出選項。
【詳細解答】（x）=--=，函數f(x)=alnx++(a0)既有極大值又有極小值，方程 a-bx-2c=0在（0，+∞）有不同的兩個根，= b+8ac＞0，且b/a＞0，且-2c/a＞0， b+8ac＞0，且a，b同號，a，c異號，綜上所述，A錯誤，B，C，D正確，選BCD。
2、（理）若函數f(x)=x在x=1處有極大值，則實數a的值為（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函數f(x)=+2a+x在x=1處有極大值，則實數a的值為（ ） （成都市高2020級高三一診）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
【解析】
【考點】①函數極值定義與性質；②函數求導法則和基本方法；③判斷函數在某點存在極值的基本方法。
【解題思路】（理）根據函數求導法則和基本方法，求出函數f(x)的導函數 (x)，運用函數極值的性質和判斷函數在某點存在極值的基本方法得到關于的方程，求解方程求出實數a的值就可得出選項。（文）根據函數求導法則和基本方法，求出函數f(x)的導函數 (x)，運用函數極值的性質和判斷函數在某點存在極值的基本方法得到關于的方程，求解方程求出實數a的值就可得出選項。
【詳細解答】（理） (x)=+2x（x+a）=（x+2）(3x+a)，函數f(x)=x在x=1處有極大值， (1)=（1+2）(3+a)=0，a=-3，若函數f(x)=x在x=1處有極大值，則實數a的值為-3，D正確，選D。
（文） (x)=3+4ax+=（3x+a）(x+a)，函數f(x)=+2a+x在x=1處有極大值， (1)=（3+a）(1+a)=0，a=-3，或a=-1，若函數f(x)=+2a+x在x=1處有極大值，則實數a的值為-3或-1，B正確，選B。
3、（理）若函數f(x)=xlnx-a存在極大值點，且2f（）>，則實數a的取值范為 。
（文）函數f(x)=-+1的最大值為 （成都市高2020級高三二診）
【解析】
【考點】①函數導函數定義與性質；②函數求導法則和基本方法；③運用函數導函數求函數極值的基本方法；④參數分類討論原則與基本方法；⑤運用函數導函數求函數最值的基本方法。
【解題思路】（理）根據函數導函數的性質和函數求導法則與基本方法，求出函數f(x)的導函數(x)，運用參數分類討論原則與基本方法和函數導函數求函數極值的基本方法，結合問題條件就可求出實數a的取值范圍。（文）根據函數導函數的性質和函數求導法則與基本方法，求出函數f(x)的導函數(x)，運用函數導函數求函數最值的基本方法，結合問題條件就可求出函數f(x)的最大值。
【詳細解答】（理）(x)=lnx+1-ax，設函數g(x)=lnx+1-ax，(x)=-a，①當a≤0時，(x)=-a＞0在（0，+）上恒成立，函數g(x)=(x)在（0，+）上單調遞增，(1)=0+1-a>0，存在點（0，1）使()=0，x（0，）時，(x)<0，x（，1）時，(x)>0，此時函數f(x)存在極小值點，與題意不符；②當a>0時，令(x)=-a=0，解得x=，x（0，）時，(x)>0，x（，+）時，(x)<0，函數g(x)=(x)在（0，）上單調遞增，在（，+）上單調遞減，g()=()=-lna+1-1=-lna，若a≥1，()=-lna<0，函數g(x)=(x)<0在（0，+）上恒成立，函數f(x)在（0，+）上單調遞減，此時函數f(x)不存在極大值點；若00，存在點（，+）使()=ln+1-a=0，即a=，x（，）時，(x)>0，x（，+）時，(x)<0，函數f(x)存在極大值點，2f（）=2ln-
=ln-）>（（，+）），設函數h(x)=xlnx-x-，（x（，+）），(x)=lnx+1-1=lnx，令(x)=lnx=0解得x=1，(x)>0在（，+）上恒成立，函數h(x)在（，+）上單調遞增，h()=2--=0，>，a=（x（，+）），設函數u（x）=（x（，+）），(x)==<0在（，+）上恒成立，函數u（x）在（，+）上單調遞減，0，則實數a的取值范圍為（0，）。
（文）(x)=-2x，令(x)=0解得：x=0或x=2，x（-，0）（2，+）時，(x)>0，x（0，2）時，(x)<0，函數f(x)在（-，0），（2，+）上單調遞增，在（0，2）上單調遞減，函數f(x)的最大值為f(0)=0-0+1=1。
4、當x=1時，函數f(x)=alnx+ 取得最大值-2，則（2）=（ ）（2022全國高考甲卷）
A -1 B - C D 1
【解析】
【考點】①函數導函數定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③運用函數導函數求函數最值的基本方法。
【解題思路】根據函數導函數的性質，函數求導公式，法則和基本方法，運用函數導函數求函數最值的基本方法，得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，從而求出（2）的值就可得出選項。
【詳細解答】當x=1時，函數f(x)=alnx+ 取得最大值-2，（x）=-， （1）
a-b=0①，f(1)= aln1+b=b=-2②，聯立①②解得：a=b=-2，（2）=-=-1+=-， B正確，選B。
5、（理）已知x=和x=分別是函數f(x)=2-e（a>0且a1）的極小值點和極大值點，若<，則a的取值范圍是 。
（文）函數f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區間[0,2]的最小值，最大值分別為（ ）（2022全國高考乙卷）
A - ， B - ， C - ，+2 D - ，+2
【解析】
【考點】①函數導函數定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③函數極值定義與性質；④函數極值存在定理及運用；⑤運用函數導函數求函數最值的基本方法。
【解題思路】（理）根據函數求導公式，法則和基本方法，求出函數f(x)的導函數（x），運用函數極值的性質和判定函數在某點存在極值的基本方法對各選項進行判斷就可得出選項。（文）根據函數導函數的性質，函數求導公式，法則和基本方法，運用函數導函數求函數最值的基本方法，分別求出函數f(x)的最小值，最大值，就可得出選項。
【詳細解答】（理）（x）=2lna-2ex=2(lna—ex)，設函數g(x)= 2lna-2ex，（x）=2lna-2e=2(lna-e)，①當a>1時，存在R，使（）=0，x（-∞，）時，（x）<0，x（，+∞）時，（x）>0，函數（x）=g(x)在（-∞，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，此時，函數f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分別取得極小值和極大值，必有>，與題意不符；②當0R，使（）=0，x（-∞，）時，（x）>0，x（，+∞）時，（x）
<0，函數（x）=g(x)在（-∞，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減，此時，函數f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分別取得極小值和極大值，且<，
（）>0，2 lna-2e >0，>，000且a1）的極小值點和極大值點，且<，則a的取值范圍是（0，）。（文）（x）=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，令（x）=0解得：x=或x=，當x[0, )[,2]時，（x）>0，當x[ ，)時，（x）<0，函數f(x)在[0, )， [,2]上單調遞增，在[ ，)上單調遞減， f(0)=1+0+1=2，f()=0+(+1) 1+1=+2，f()=0+(+1) （-1）=-，f(2)=1+0+1=2，當x[0, 2]時，=-，=+2，D正確，選D。
6、已知函數f(x)= -x+1，則（ ）（2022全國高考新高考I卷）
A 函數f(x)有兩個極值點 B 函數f(x)有三個零點
C 點（0，1）是曲線y=f(x)的對稱中心 D 直線y=2x是曲線y=f(x)的切線
【解析】
【考點】①函數導函數定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③函數極值定義與性質；⑤判斷函數在某點存在極值的基本方法；⑥函數零點定義與性質；⑦確定函數零點的基本方法；⑧中心對稱圖形定義與性質；⑨求曲線曲線方程的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式，法則和基本方法，求出函數f(x)的導函數（x），運用函數極值的性質和判定函數在某點存在極值的基本方法得到函數f(x)有兩個極值點，可以判斷A的正確與錯誤；求出函數f(x)的極大值和極小值，得到函數f(x)只有一個零點，可以判斷B的正確與錯誤；由f(x)+ f(-x)=2，得到點（0，1）是曲線y=f(x)的對稱中心，可以判斷C的正確與錯誤；利用求曲線在某點處切線方程的基本方法，求出曲線y=f(x)在點（1，1）處的切線方程，可以判斷D的正確與錯誤，從而得到所有正確的選項，就可得出選項。
【詳細解答】（x）=3-1 x (-∞,- ) -(-，) （，+∞）
=3（x+）（x-），令 （x） + 0 - 0 +
（x）=0解得：x=-或x=，f(x)
x，（x），f(x)的變換情況如表所示，函數f(x)有兩個極值點，A正確； f(-)=-+
+1=+1>0，f()=-+1=-+1>0，函數f(x)只有一個零點，B錯誤；
f(x)+ f(-x)= -x+1-+x+1=2，點（0，1）是曲線y=f(x)的對稱中心，C正確；
（1）=3-1=2，f(1)=1-1+1=1，曲線y=f(x)在點（1，1）處的切線方程為：y-1=2(x-1)，
即y=2x-1，D錯誤，綜上所述，AC正確，選AC。
7、（理）已知函數f(x)= ，g(x)=lnx，若對任意， （0，2]，且，都有>-1，則實數a的取值范圍是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函數f(x)= +lnx，若對任意， （0，2]，且，都有>-1，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市2019級高三零診）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
【解析】
【考點】①函數單調性定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法；④運用函數導函數求函數最值的基本方法。
【解答思路】（理）根據函數單調性的性質，結合問題條件得到函數h(x)= + lnx+x（0，2]上單調遞增，運用函數求導公式，法則和基本方法求出函數h(x)的導函數（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，從而得到a，設M（x）=，利用函數導函數求函數最值的基本方法求出函數M（x）的最小值，從而得到實數a的取值范圍就可得出選項。（文）
根據函數單調性的性質，結合問題條件得到函數g(x)= + lnx+x在（0，2]上單調遞增，運用函數求導公式，法則和基本方法求出函數g(x)的導函數（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，從而得到a，設h（x）=，利用函數導函數求函數最值的基本方法求出函數h（x）的最小值，從而得到實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】（理）設<，對任意， （0，2]，且<，都有>-1成立，對任意， （0，2]，且<，都有f()+ g()+>f()+ g()+成立，函數h(x)= f(x)+ g(x)+x= + lnx +x在（0，2]上單調遞增，函數（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，設函數M（x）=，（x）=
==，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，當x（0，）時，（x）<0，當x（，2]時，（x）>0， 函數M（x）在（0，）上單調遞減，在（，2]上單調遞增，當x（0，2]，= M（）==，若對任意， （0，2]，且，都有 >-1，則實數a的取值范圍是（-，]，A正確，選A。（文）設<，對任意， （0，2]，且<，都有>-1成立，對任意， （0，2]，且<，都有f()+>f()+成立，函數g(x)= f(x)-+x= + lnx +x在（0，2]上單調遞增，函數（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，設函數h（x）=，（x）=
=，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，當x（0，）時，（x）<0，當x（，2]時，（x）>0， 函數h（x）在（0，）上單調遞減，在（，2]上單調遞增，當x（0，2]，= h（）==，若對任意， （0， 2]，且，都有>-1，則實數a的取值范圍是（-，]，A正確，選A。
8、若函數f(x)= x-x-lnx-1的零點個數為（ ）（成都市2019級高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考點】①函數零點定義與性質；②對數定義與性質；③運用函數導函數求函數最值的基本方法。
【解題思路】設t= x，t（0，+ ），結合問題條件得到函數f(t)=t-lnt-1，根據函數零點的性質，運用函數導函數求函數最值的基本方法，求出函數f(t)在（0，+ ）上的最小值為0，從而得到函數f(x)= x-x-lnx-1的零點個數就可得出選項。
【詳細解答】 函數f(x)= x-x-lnx-1，函數f(x)= x-ln（x）-1，設t= x，t（0，
+ ），函數f(x)= x-ln（x）-1，函數f(t)=t-lnt-1，（t）=1-=，令（t）=0解得：t=1，當t（0，1）時，（t）<0，當t[1，+ ）時，（t）>0，函數f(t)在（0，1）上單調遞減，在[1，+ ）上單調遞增， f(1)=1-ln1-1=1-0-1=0，函數f(x)= x-x-lnx-1的零點個數為1，B正確，選B。
9、函數f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為 （2021全國高考新高考I）
【解析】
【考點】①函數求導公式，法則和基本方法；②運用函數導函數求函數最值的基本方法。
【解答思路】根據函數求導公式，法則和基本方法求出函數f(x)的導函數，運用函數導函數求函數最值的基本方法，結合問題條件就可求出函數f(x)的最小值。
【詳細解答】①當x時，f(x)=2x-1-2lnx，（x）=2-=，令（x）=0解得x=1，當x[，1）時，（x）<0，當x,（1，+）時，（x）>0，
= f(1)=2-1-0=1；②當0上恒成立，函數f(x)在（0，）上單調遞減，> f()=1-1+2ln2=2ln2>1, 綜上所述，函數f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為1。
10、若函數f(x)= -3+a有且僅有一個零點，則實數a的取值范圍為（ ）（2021成都市高
三一診）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
【解析】
【考點】①函數零點的定義與性質；②確定函數零點的基本方法；③函數求導公式，法則和基本方法；④運用函數導函數求函數極值的基本方法。
【解題思路】根據函數零點的性質和確定函數零點的基本方法，得到f(x)= -3+a=0，-+3=a，設g(x)= -+3，運用函數求導公式，法則和基本方法求出函數g(x)的導函數，利用函數導函數確定函數極值的基本方法求出函數g(x)的極值，作出函數g(x)的大致圖像，由函數圖像求出函數f(x)= -3+a有且僅有一個零點時，實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】 f(x)= -3+a=0，-+3=a，設g(x)= -+3，（x）=-3+6x=-3x(x-2)，令（x）=0解得：x=0或x=2，當x（-，0）（2，+）時，（x）＜0，當x（0，2）時，（x）＞0，函數g(x)在（-，0），（2，+）上單調遞減，在（0，2）上單調遞增，
= g(0)=-0+0=0，= g(2)=-8+12=4，作出函數 y y=a
g(x)的大致圖像如圖所示，函數f(x)= -3+a有 g(x)= -+3且僅有一個零點，直線y=a與函數g(x)的圖 0 1 2
像有且僅有一個交點，由圖知實數a的取值范圍是（-，0）（4，+），A正確，選A。
『思考問題5』
【典例5】是近幾年高考（或成都市高三診斷考試）試卷中運用函數導函數求函數極值（或最值）的問題，歸結起來主要包括：①運用函數導函數求函數的極值；②運用函數導函數求函數的最值；③已知函數的極值（或最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）幾種類問題；
（2）解答問題的基本方法是：①根據問題的結構特征判斷其所屬類型；②運用解答該類型問題的解題思路和基本方法實施解答；③得出問題的解答結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、（理）已知函數f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，則（-）
lnt的最小值為（ ）（答案：C）
A B C - D -
（文）已知函數f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，則lnt的最小值為（ ）（2021成都市高三一診）（答案：C）
A B C - D -
2、已知P是曲線y=sinx+cosx(x［0, ］)上的動點，點Q在直線x+y-6=0上運動，則當|PQ|取最小值時，點P的橫坐標為（ ）（2021成都市高三二診）（答案：C）
A B C D
3、已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是 （2020全國高考新課標I）（答案：函數f(x)=2sinx+sin2x的最小值為-。）
4、已知函數f(x)=（+x+1），則“a=”是“函數f(x)在x=-1處取得極小值”的（ ）（2020成都市高三零診）（答案：A）
A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件
5、（理）已知函數f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，則的最大值為（ ）（答案：C）
A B e C D
（文）已知函數f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，則的最小值為（ ）（2020成都市高三二診）（答案：D）
A -1 B - C - D -

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