資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
備考2024中考二輪數(shù)學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題12 概率問題
考點掃描☆聚焦中考
概率問題，是每年中考的必考內(nèi)容之一,題型以填空題、選擇題及解答題的形式出現(xiàn)；主要考查必然事件、不可能事件及隨機事件的區(qū)別，用列表、畫樹狀圖法求簡單事件發(fā)生的概率以及用頻率估計概率；考查的熱點有：隨機事件概率的計算；頻率估算概率的計算及應(yīng)用；統(tǒng)計與概率的以實際生活為背景的綜合問題的應(yīng)用解決。
考點剖析☆典型例題
例1（2023 營口）下列事件是必然事件的是（　　）
A．四邊形內(nèi)角和是360° B．校園排球比賽，九年一班獲得冠軍
C．擲一枚硬幣時，正面朝上 D．打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發(fā)射實況
【答案】A
【點撥】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．
【解析】解：A、四邊形內(nèi)角和是360°，是必然事件，故A符合題意；
B、校園排球比賽，九年一班獲得冠軍，是隨機事件，故B不符合題意；
C、擲一枚硬幣時，正面朝上，是隨機事件，故C不符合題意；
D、打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發(fā)射實況，是隨機事件，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵．
例2（2023 廣東）某學校開設(shè)了勞動教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機選擇一門學習，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】直接利用概率公式可得答案．
【解析】解：∵共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門興趣課程，
∴小明恰好選中“烹飪”的概率為．
故選：C．
【點睛】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
例3（2023 齊齊哈爾）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學和三名女同學表現(xiàn)優(yōu)異．若從以上四名同學中隨機抽取兩名同學擔任主持人，則剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中一名男同學和一名女同學的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中一名男同學和一名女同學的結(jié)果有6種，
∴剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是＝，
故選：A．
【點睛】本題考查了樹狀圖法，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
例4（2023 揚州）某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗的結(jié)果如下：
每批粒數(shù)n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
發(fā)芽的頻數(shù)m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
發(fā)芽的頻率（精確到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
這種綠豆發(fā)芽的概率的估計值為 　0.93　（精確到0.01）．
【答案】0.93
【點撥】當試驗次數(shù)足夠大時，發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定并趨于某一個值，這個值作為概率的估計值．
【解析】解：根據(jù)表中的發(fā)芽的頻率，當實驗次數(shù)的增多，發(fā)芽的頻率越來越穩(wěn)定在0.93左右，所以可估計這種綠豆發(fā)芽的機會大約是0.93．
故答案為：0.93．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率；用頻率估計概率得到的是近似值，隨試驗次數(shù)的增多，值越來越精確．
例5（2023 濟寧）某學校為扎實推進勞動教育，把學生參與勞動教育情況納入積分考核．學校抽取了部分學生的勞動積分（積分用x表示）進行調(diào)查，整理得到如下不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．
等級 勞動積分 人數(shù)
A x≥90 4
B 80≤x＜90 m
C 70≤x＜80 20
D 60≤x＜70 8
E x＜60 3
請根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）統(tǒng)計表中m＝　15　，C等級對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 　144°　；
（2）學校規(guī)定勞動積分大于等于80的學生為“勞動之星”．若該學校共有學生2000人，請估計該學校“勞動之星”大約有多少人；
（3）A等級中有兩名男同學和兩名女同學，學校從A等級中隨機選取2人進行經(jīng)驗分享，請用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽取一名男同學和一名女同學的概率．
【答案】（1）15，144°；
（2）估計該學校“勞動之星”大約有760人；
（3）．
【點撥】（1）由D等級的人數(shù)除以所占百分比得出抽取的學生人數(shù)，即可解決問題；
（2）由該學校共有學生人數(shù)乘以該學校“勞動之星”所占的比例即可；
（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽取一名男同學和一名女同學的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：（1）抽取的學生人數(shù)為：8÷16%＝50（人），
∴m＝50﹣4﹣20﹣8﹣3＝15，
C等級對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：360°×＝144°，
故答案為：15，144°；
（2）2000×＝760（人），
答：估計該學校“勞動之星”大約有760人；
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽取一名男同學和一名女同學的結(jié)果有8種，
∴恰好抽取一名男同學和一名女同學的概率為＝．
【點睛】本題考查了樹狀圖法以及頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖等知識，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
考點過關(guān)☆專項突破
類型一 事件的可能性
1．（2023 盤錦）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180° B．任意買一張電影票，座位號是單號
C．擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是3 D．射擊運動員射擊一次，命中靶心
【答案】A
【點撥】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．
【解析】解：A、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°，是必然事件，故A符合題意；
B、任意買一張電影票，座位號是單號，是隨機事件，故B不符合題意；
C、擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是3，是隨機事件，故C不符合題意；
D、射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了隨機事件，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 武漢）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（　　）
A．點數(shù)的和為1 B．點數(shù)的和為6 C．點數(shù)的和大于12 D．點數(shù)的和小于13
【答案】B
【點撥】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．
【解析】解：A、兩枚骰子的點數(shù)的和為1，是不可能事件，故不符合題意；
B、兩枚骰子的點數(shù)之和為6，是隨機事件，故符合題意；
C、點數(shù)的和大于12，是不可能事件，故不符合題意；
D、點數(shù)的和小于13，是必然事件，故不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
3．（2022 揚州）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（　　）
A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月
【答案】D
【點撥】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．
【解析】解：A、水落石出，是必然事件，不符合題意；
B、水漲船高，是必然事件，不符合題意；
C、水滴石穿，是必然事件，不符合題意；
D、水中撈月，是不可能事件，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
4．（2023 西寧）下列說法正確的是（　　）
A．檢測“神舟十六號”載人飛船零件的質(zhì)量，應(yīng)采用抽樣調(diào)查
B．任意畫一個三角形，其外角和是180°是必然事件
C．數(shù)據(jù)4，9，5，7的中位數(shù)是6
D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別是，，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
【答案】C
【點撥】直接利用中位數(shù)求法以及方差的意義、隨機事件的定義分別判斷得出答案．
【解析】解：A．檢測“神舟十六號”載人飛船零件的質(zhì)量，應(yīng)采用全面調(diào)查，故此選項不合題意；
B．任意畫一個三角形，其外角和是180°是不可能事件，故此選項不合題意；
C．數(shù)據(jù)4，9，5，7的中位數(shù)是：（5+7）÷2＝6，故此選項符合題意；
D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別是，，則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，故此選項不合題意．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了中位數(shù)以及方差、隨機事件，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
5．（2020 貴陽）下列4個袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個小球，任意摸出一個球，摸到紅球可能性最大的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】各選項袋子中分別共有10個小球，若要使摸到紅球可能性最大，只需找到紅球的個數(shù)最多的袋子即可得出答案．
【解析】解：在四個選項中，D選項袋子中紅球的個數(shù)最多，
所以從D選項袋子中任意摸出一個球，摸到紅球可能性最大，
故選：D．
【點睛】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法．
類型二 概率的意義及計算公式
1．（2021 郴州）下列說法正確的是（　　）
A．“明天下雨的概率為80%”，意味著明天有80%的時間下雨
B．經(jīng)過有信號燈的十字路口時，可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈
C．“某彩票中獎概率是1%”，表示買100張這種彩票一定會有1張中獎
D．小明前幾次的數(shù)學測試成績都在90分以上這次數(shù)學測試成績也一定在90分以上
【答案】B
【點撥】概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，機會大也不一定發(fā)生，機會小也有可能發(fā)生．
【解析】解：A．明天下雨的概率為80%，只是說明明天下雨的可能性大，與時間無關(guān)，故本選項不符合題意；
B．經(jīng)過有信號燈的十字路口時，可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈，故本選項符合題意；
C．某彩票中獎概率是1%，買100張這種彩票中獎是隨機事件，不一定會有1張中獎，故本選項不符合題意；
D．小明前幾次的數(shù)學測試成績都在90分以上這次數(shù)學測試成績不一定在90分以上，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查概率的意義，解題的關(guān)鍵是正確理解概率的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
2．（2023 成都）為貫徹教育部《大中小學勞動教育指導(dǎo)綱要（試行）》文件精神，某學校積極開設(shè)種植類勞動教育課．某班決定每位學生隨機抽取一張卡片來確定自己的種植項目，老師提供6張背面完全相同的卡片，其中蔬菜類有4張，正面分別印有白菜、辣椒、豇豆、茄子圖案；水果類有2張，正面分別印有草莓、西瓜圖案，每個圖案對應(yīng)該種植項目．把這6張卡片背面朝上洗勻，小明隨機抽取一張，他恰好抽中水果類卡片的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【點撥】根據(jù)概率公式直接計算即可．
【解析】解：∵卡片共6張，其中水果類卡片有2張，
∴恰好抽中水果類卡片的概率是．
故選：B．
【點睛】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
3．（2023 丹東）在一個不透明的袋子中，裝有3個紅球和若干個黑球，每個球除顏色外都相同，若從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為，則袋中黑球的個數(shù)為（　　）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【點撥】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出算式3÷﹣3，然后計算即可．
【解析】解：由題意可得，
黑球的個數(shù)為：3÷﹣3
＝3×4﹣3
＝12﹣3
＝9，
故選：D．
【點睛】本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用概率的知識解答．
4．（2023 十堰）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，向上一面的點數(shù)為偶數(shù)的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】由一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，擲一次這枚骰子，向上的一面的點數(shù)為偶數(shù)的有3種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：根據(jù)題意可得：擲一次骰子，向上一面的點數(shù)有6種情況，其中有3種為向上一面的點數(shù)偶數(shù)，
故其概率是＝．
故選：C．
【點睛】本題考查的是概率的求法的運用．如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．
5．（2023 朝陽）五一期間，商場推出購物有獎活動：如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被平均分成六份，其中紅色1份，黃色2份，綠色3份，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，指針指向紅色為一等獎，指向黃色為二等獎，指向綠色為三等獎（指針指向兩個扇形的交線時無效，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤）．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，獲得一等獎的概率為（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【點撥】根據(jù)概率公式計算獲得一等獎的概率即可．
【解析】轉(zhuǎn)盤共分成6等份，其中紅色區(qū)域1份，即獲得一等獎的區(qū)域是1份，
所以獲得一等獎的概率是．
故選：B．
【點睛】本題考查了概率公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握概率公式，一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）＝且0≤P（A）≤1．
6．（2023 深圳）小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機挑選一本，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為 　　．
【答案】．
【點撥】直接由概率公式求解即可．
【解析】解：小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機挑選一本，拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．
7．（2023 雅安）在一個不透明的口袋中，裝有1個紅球和若干個黃球，它們除顏色外都相同，從中隨機摸出一個球是紅球的概率為，則口袋中黃球有 　3　個．
【答案】3．
【點撥】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【解析】解：設(shè)有黃球x個，
根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝3，
經(jīng)檢驗x＝3是原方程的解．
故答案為：3．
【點睛】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．
8．（2023 鹽城）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同，任意投擲飛鏢1次（假設(shè)每次飛鏢均落在游戲板上），擊中有顏色的小正方形（陰影部分）的概率為 　　．
【答案】．
【點撥】根據(jù)幾何概率的定義，求出陰影部分占整體的幾分之幾即可．
【解析】解：正方形被分成9個小正方形，并且飛鏢落在每個小正方形的可能性是均等的，其中陰影部分是5個小正方形，
所以任意投擲飛鏢1次，擊中有顏色的小正方形（陰影部分）的概率是．
故答案為：．
【點睛】本題考查幾何概率，理解概率的定義，掌握幾何概率的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．
類型三 用樹狀圖法或列表法求概率
1．（2023 鎮(zhèn)江）如圖，桌面上有3張卡片，1張正面朝上．任意將其中1張卡片正反面對調(diào)一次后，這3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【點撥】用列舉法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出2張正面朝上的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求出即可．
【解析】解：∵任意將其中1張卡片正反面對調(diào)一次，有3種對調(diào)方式，其中只有對調(diào)反面朝上的2張卡片才能使3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上，
∴P＝，
故選：B．
【點睛】本題考查列舉法求等可能事件的概率，掌握等可能事件的概率公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 安徽）如果一個三位數(shù)中任意兩個相鄰數(shù)字之差的絕對值不超過1，則稱該三位數(shù)為“平穩(wěn)數(shù)”．用1，2，3這三個數(shù)字隨機組成一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】先羅列出所有等可能結(jié)果，從中找到“平穩(wěn)數(shù)”的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】解：用1，2，3這三個數(shù)字隨機組成一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)出現(xiàn)的等可能結(jié)果有：
123、132、213、231、312、321，
其中恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的有123、321，
所以恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為＝，
故選：C．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率．
3．（2023 永州）今年2月，某班準備從《在希望的田野上》、《我和我的祖國》、《十送紅軍》三首歌曲中選擇兩首進行排練，參加永州市即將舉辦的“唱響新時代，筑夢新征程”合唱選拔賽，那么該班恰好選中前面兩首歌曲的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【點撥】列出表格，得出所有等可能的結(jié)果共有6種，其中恰好選中前面兩首歌曲的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：設(shè)A《在希望的田野上》、B《我和我的祖國》、C《十送紅軍》．
列表如下：
歌曲 A B C
A （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，C）
C （C，A） （C，B）
由上表可知，所有可能結(jié)果共有6種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中恰好選中前面兩首歌曲的結(jié)果有2種，
則恰好選中前面兩首歌曲的概率為＝．
故選：B．
【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
4．（2023 臨沂）在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩人，組成調(diào)查小組進行社會調(diào)查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出所選的學生恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．
【解析】解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果，其中一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
故選：D．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
5．（2023 山西）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分．若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是 　　．
【答案】．
【點撥】畫樹狀圖，共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：把《論語》《孟子》《大學》《中庸》分別記為A、B、C、D，
畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的結(jié)果有2種，即AC、CA，
∴抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是＝，
故答案為：．
【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
6．（2022 寧夏）喜迎黨的二十大召開，學校推薦了四部影片：《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉業(yè)》、《建軍大業(yè)》．甲、乙同學用抽卡片的方式?jīng)Q定本班觀看哪部，四張卡片正面分別是上述影片劇照，除此之外完全相同．將這四張卡片背面朝上，甲隨機抽出一張并放回，洗勻后，乙再隨機抽出一張，則兩人恰好抽到同一部的概率是 　　．
【答案】．
【點撥】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好抽到同一部的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：把影片劇照《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉業(yè)》、《建軍大業(yè)》的四張卡片分別記為A、B、C、D，
畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好抽到同一部的結(jié)果有4種，
∴甲、乙兩人恰好抽到同一部的概率為＝，
故答案為：．
【點睛】此題考查的是樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
7．（2022 聊城）如圖，兩個相同的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤A被三等分，分別標有數(shù)字2，0，﹣1；轉(zhuǎn)盤B被四等分，分別標有數(shù)字3，2，﹣2，﹣3．如果同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A，B，轉(zhuǎn)盤停止時，兩個指針指向轉(zhuǎn)盤A，B上的對應(yīng)數(shù)字分別為x，y（當指針指在兩個扇形的交線時，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），那么點（x，y）落在直角坐標系第二象限的概率是 　　．
【答案】
【點撥】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】解：列表如下：
2 0 ﹣1
3 （2，3） （0，3） （﹣1，3）
2 （2，2） （0，2） （﹣1，2）
﹣2 （2，﹣2） （0，﹣2） （﹣1，﹣2）
﹣3 （2，﹣3） （0，﹣3） （﹣1，﹣3）
由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中點（x，y）落在直角坐標系第二象限的有2種，
所以點（x，y）落在直角坐標系第二象限的概率是＝，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查列表法與樹狀圖法，列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．
8．（2023 蘇州）一只不透明的袋子中裝有4個小球，分別標有編號1，2，3，4，這些小球除編號外都相同．
（1）攪勻后從中任意摸出1個球，這個球的編號是2的概率為 　　；
（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄球的編號后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的概率是多少？（用畫樹狀圖或列表的方法說明）
【答案】見解析
【點撥】（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的結(jié)果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解析】解：（1）∵一共有4個編號的小球，編號為2的有一個，
∴P（任意摸出1個球，這個球的編號是2）＝；
（2）畫樹狀圖如下：
一共有16個等可能的結(jié)果，其中第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1出現(xiàn)了3次，
∴P（第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1）＝．
【點睛】本題考查概率公式，列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率，掌握列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．
類型四 頻率估計概率
1．（2023 恩施州）縣林業(yè)部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率，所統(tǒng)計的銀杏樹苗移植成活的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
移植的棵數(shù)a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵數(shù)b 84 279 505 847 6337 13581
成活的頻率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根據(jù)表中的信息，估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（　　）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
【答案】C
【點撥】用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
【解析】解：由表格數(shù)據(jù)可得，隨著樣本數(shù)量不斷增加，這種樹苗移植成活的頻率穩(wěn)定在0.9左右，
故估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為0.9．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．
2．（2023 鞍山）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球200次，發(fā)現(xiàn)有50次摸到紅球，則口袋中紅球約有 　3　個．
【答案】3
【點撥】利用頻率估計隨機摸出1個球是紅球的概率為，根據(jù)概率公式即可求出答案．
【解析】解：由題意可得，
口袋中紅球的個數(shù)約為：12×＝3（個）．
故答案為：3．
【點睛】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，計算出相應(yīng)的紅球個數(shù)．
3．（2022 桂林）當重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，可用頻率來估計概率．歷史上數(shù)學家皮爾遜（Pearson）曾在實驗中擲均勻的硬幣24000次，正面朝上的次數(shù)是12012次，頻率約為0.5，則擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是 　0.5　．
【答案】0.5
【點撥】根據(jù)大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率可以表示概率解答即可．
【解析】解：當重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，頻率逐漸穩(wěn)定在0.5左右，
∴擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是0.5．
故答案為：0.5．
【點睛】本題主要考查了用頻率估計概率，熟練掌握大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率可以表示概率是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2022 益陽）近年來，洞庭湖區(qū)環(huán)境保護效果顯著，南遷的候鳥種群越來越多．為了解南遷到該區(qū)域某濕地的A種候鳥的情況，從中捕捉40只，戴上識別卡并放回；經(jīng)過一段時間后觀察發(fā)現(xiàn)，200只A種候鳥中有10只佩有識別卡，由此估計該濕地約有 　800　只A種候鳥．
【答案】800
【點撥】在樣本中“200只A種候鳥中有10只佩有識別卡”，即可求得有識別卡的所占比例，而這一比例也適用于整體，據(jù)此即可解答．
【解析】解：設(shè)該濕地約有x只A種候鳥，
則200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案為：800．
【點睛】本題考查的是通過樣本去估計總體，只需將樣本“成比例地放大”為總體即可．
5．（2021 甘肅）一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右．
（1）請你估計箱子里白色小球的個數(shù)；
（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）．
【答案】（1）估計箱子里白色小球的個數(shù)為1；（2）．
【點撥】（1）設(shè)白球有x個，根據(jù)多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右可估計摸到紅球的概率為0.75，據(jù)此利用概率公式列出關(guān)于x的方程，解之即可；
（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【解析】解：（1）∵通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，
∴估計摸到紅球的概率為0.75，
設(shè)白球有x個，
根據(jù)題意，得：＝0.75，
解得x＝1，
經(jīng)檢驗x＝1是分式方程的解，
∴估計箱子里白色小球的個數(shù)為1；
（2）畫樹狀圖為：
共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的球恰好顏色不同的結(jié)果數(shù)為6，
∴兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率為＝．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
類型五 統(tǒng)計與概率的綜合應(yīng)用
1．（2023 湖北）打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習慣．崇德中學計劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡的書籍”為主題的調(diào)查活動，學生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學類，C：政史類，D：藝術(shù)類，E：其他類）．張老師組織數(shù)學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示）．
根據(jù)圖中信息，請回答下列問題；
（1）條形圖中的m＝　18　，n＝　6　，文學類書籍對應(yīng)扇形圓心角等于 　72　度；
（2）若該校有2000名學生，請你估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數(shù)；
（3）甲同學從A，B，C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從B，C，D三類書籍中隨機選擇一種，請用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率．
【答案】見解析
【點撥】（1）由喜歡E的人數(shù)除以所占百分比得出調(diào)查的學生人數(shù)，即可解決問題；
（2）由該校共有學生人數(shù)乘以最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數(shù)所占的比例即可；
（3）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：（1）調(diào)查的學生人數(shù)為：4÷8%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
∴n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6，
文學類書籍對應(yīng)扇形圓心角＝360°×＝72°，
故答案為：18，6，72；
（2）2000×＝480（人），
答：估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數(shù)約為480人；
（3）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的結(jié)果有2種，即BB、CC，
∴甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率為．
【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
2．（2023 張家界）2022年4月21日新版《義務(wù)教育課程方案和課程標準（2022年版）》正式頒布，優(yōu)化了課程設(shè)置，其中將勞動教育從綜合實踐活動課程中獨立出來．某校為了初步了解學生的勞動教育情況，對九年級學生“參加家務(wù)勞動的時間”進行了抽樣調(diào)查，并將勞動時間x分為如下四組（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，單位：分鐘）進行統(tǒng)計，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）本次抽取的學生人數(shù)為 　50　人，扇形統(tǒng)計圖中m的值為 　30　；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）已知該校九年級有600名學生，請估計該校九年級學生中參加家務(wù)勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生有多少人？
（4）若D組中有3名女生，其余均是男生，從中隨機抽取兩名同學交流勞動感受，請用列表法或樹狀圖法，求抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）50，30；
（2）圖形見解析；
（3）估計該校九年級學生中參加家務(wù)勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生約有300人；
（4）．
【點撥】（1）由D組的人數(shù)除以所占百分比得出本次抽取的學生人數(shù)，即可解決問題；
（2）求出C組的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；
（3）由該校九年級學生人數(shù)乘以參加家務(wù)勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生所占的比例即可；
（4）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：（1）本次抽取的學生人數(shù)為5÷10%＝50（人），
∴m%＝15÷50×100%＝30%，
∴m＝30，
故答案為：50，30；
（2）C組的人數(shù)為：50﹣10﹣15﹣5＝20（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：
（3）600×＝300（人），
答：估計該校九年級學生中參加家務(wù)勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生約有300人；
（4）若D組中有3名女生，則有2名男生，
畫樹狀圖如下：
共有20種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的結(jié)果有12種，
∴抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的概率是＝．
【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
3．（2023 雅安）某校為了調(diào)查本校學生對航空航天知識的知曉情況，開展了航空航天知識競賽，從參賽學生中，隨機抽取若干名學生的成績進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計圖表：
成績/分 頻數(shù)/人 頻率
60≤x＜70 10 0.1
70≤x＜80 15 b
80≤x＜90 a 0.35
90≤x≤100 40 c
請根據(jù)圖表信息解答下列問題：
（1）求a，b，c的值；
（2）補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）某班有2名男生和1名女生的成績都為100分，若從這3名學生中隨機抽取2名學生參加演講，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2名學生恰好為1男1女的概率．
【答案】（1）a＝35，b＝0.15，c＝0.4；
（2）詳見解答；
（3）．
【點撥】（1）成績在60≤x＜70的有10人，占調(diào)查人數(shù)的10%，由頻率＝可求出調(diào)查人數(shù)，進而求出a、b、c的值；
（2）根據(jù)頻數(shù)分布表中的頻數(shù)補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）從2男1女三人中隨機選取2人，用樹狀圖法列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進行計算即可．
【解析】解：（1）調(diào)查人數(shù)為：10÷0.1＝100（人），b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，
答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；
（2）由各組頻數(shù)補全頻數(shù)分布直方圖如下：
（3）用樹狀圖法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：
共有6種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中1男1女的有4種，
所以抽取的2名學生恰好為1男1女的概率是＝．
【點睛】本題考查頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖以及列表法或樹狀圖法，掌握頻率＝以及列舉所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提．
4．（2023 鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，舉國振奮．為了使同學們進一步了解中國航天科技的快速發(fā)展，鄂州市某中學九（1）班團支部組織了一場手抄報比賽．要求該班每位同學從A：“北斗”，B：“5G時代”，C：“東風快遞”，D：“智軌快運”四個主題中任選一個自己喜愛的主題．比賽結(jié)束后，該班團支部統(tǒng)計了同學們所選主題的頻數(shù)，繪制成如圖兩種不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題．
（1）九（1）班共有 　50　名學生；并補全圖1折線統(tǒng)計圖；
（2）請閱讀圖2，求出D所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若小林和小峰分別從A，B，C，D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．
【答案】（1）50，折線圖見解析；
（2）108°；
（3）．
【點撥】（1）由B的人數(shù)除以所占百分比即可；求出D的人數(shù)，即可解決問題；
（2）由360°乘以D所占的比例即可；
（3）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，小林和小峰選擇相同主題的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解析】解：（1）九（1）班共有學生人數(shù)為：20÷40%＝50（名），
D的人數(shù)為：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
補全折線統(tǒng)計圖如下：
故答案為：50；
（2）D所對應(yīng)扇形圓心角的大小為：360°×＝108°，
∴D所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：108°；
（3）畫樹狀圖如圖：
共有16種等可能的結(jié)果，小林和小峰選擇相同主題的結(jié)果有4種，
∴小林和小峰選擇相同主題的概率為＝．
【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．掌握概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 丹東）為提高學生的安全意識，某學校組織學生參加了“安全知識答題”活動．該校隨機抽取部分學生答題成績進行統(tǒng)計，將成績分為四個等級：A（優(yōu)秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根據(jù)結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：
（1）這次抽樣調(diào)查共抽取 　　人，條形統(tǒng)計圖中的m＝　　；
（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整，在扇形統(tǒng)計圖中，求C等所在扇形圓心角的度數(shù)；
（3）該校有1200名學生，估計該校學生答題成績?yōu)锳等和B等共有多少人；
（4）學校要從答題成績?yōu)锳等且表達能力較強的甲、乙、丙、丁四名學生中，隨機抽出兩名學生去做“安全知識宣傳員”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學生恰好是甲和丁的概率．
【答案】（1）50，7；
（2）補充完整的條形統(tǒng)計圖見解答C等所在扇形圓心角的度數(shù)為108°；
（3）估計該校學生答題成績?yōu)锳等和B等共有672人；
（4）．
【點撥】（1）根據(jù)B等級的人數(shù)和所占的百分比，可以計算出本次抽取的人數(shù)，然后再計算m的值即可；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和A等級所占的百分比，可以計算出A等級的人數(shù)，然后即可將條形統(tǒng)計圖補充完整，再計算出C等所在扇形圓心角的度數(shù)即可；
（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出該校學生答題成績?yōu)锳等和B等共有多少人；
（4）根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后計算出抽出的兩名學生恰好是甲和丁的概率即可．
【解析】解：（1）由統(tǒng)計圖可得，
這次抽樣調(diào)查共抽取：16÷32%＝50（人），
m＝50×14%＝7，
故答案為：50，7；
（2）由（1）知，m＝7，
等級為A的有：50﹣16﹣15﹣7＝12（人），
補充完整的條形統(tǒng)計圖如圖所示，
C等所在扇形圓心角的度數(shù)為：360°×＝108°；
（3）1200×（24%+32%）
＝1200×56%
＝672（人），
即估計該校學生答題成績?yōu)锳等和B等共有672人；
（4）樹狀圖如下所示：
由上可得，一共存在12種等可能性，其中抽出的兩名學生恰好是甲和丁的可能性有2種，
∴抽出的兩名學生恰好是甲和丁的概率為＝．
【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、列表法與樹狀圖法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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備考2024中考二輪數(shù)學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題12 概率問題
考點掃描☆聚焦中考
概率問題，是每年中考的必考內(nèi)容之一,題型以填空題、選擇題及解答題的形式出現(xiàn)；主要考查必然事件、不可能事件及隨機事件的區(qū)別，用列表、畫樹狀圖法求簡單事件發(fā)生的概率以及用頻率估計概率；考查的熱點有：隨機事件概率的計算；頻率估算概率的計算及應(yīng)用；統(tǒng)計與概率的以實際生活為背景的綜合問題的應(yīng)用解決。
考點剖析☆典型例題
例1（2023 營口）下列事件是必然事件的是（　　）
A．四邊形內(nèi)角和是360° B．校園排球比賽，九年一班獲得冠軍
C．擲一枚硬幣時，正面朝上 D．打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發(fā)射實況
例2（2023 廣東）某學校開設(shè)了勞動教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機選擇一門學習，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（　　）
A． B． C． D．
例3（2023 齊齊哈爾）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學和三名女同學表現(xiàn)優(yōu)異．若從以上四名同學中隨機抽取兩名同學擔任主持人，則剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是（　　）
A． B． C． D．
例4（2023 揚州）某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗的結(jié)果如下：
每批粒數(shù)n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
發(fā)芽的頻數(shù)m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
發(fā)芽的頻率（精確到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
這種綠豆發(fā)芽的概率的估計值為 　　（精確到0.01）．
例5（2023 濟寧）某學校為扎實推進勞動教育，把學生參與勞動教育情況納入積分考核．學校抽取了部分學生的勞動積分（積分用x表示）進行調(diào)查，整理得到如下不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．
等級 勞動積分 人數(shù)
A x≥90 4
B 80≤x＜90 m
C 70≤x＜80 20
D 60≤x＜70 8
E x＜60 3
請根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）統(tǒng)計表中m＝　　，C等級對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 　　；
（2）學校規(guī)定勞動積分大于等于80的學生為“勞動之星”．若該學校共有學生2000人，請估計該學校“勞動之星”大約有多少人；
（3）A等級中有兩名男同學和兩名女同學，學校從A等級中隨機選取2人進行經(jīng)驗分享，請用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽取一名男同學和一名女同學的概率．
考點過關(guān)☆專項突破
類型一 事件的可能性
1．（2023 盤錦）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180° B．任意買一張電影票，座位號是單號
C．擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是3 D．射擊運動員射擊一次，命中靶心
2．（2023 武漢）擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機事件的是（　　）
A．點數(shù)的和為1 B．點數(shù)的和為6 C．點數(shù)的和大于12 D．點數(shù)的和小于13
3．（2022 揚州）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（　　）
A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月
4．（2023 西寧）下列說法正確的是（　　）
A．檢測“神舟十六號”載人飛船零件的質(zhì)量，應(yīng)采用抽樣調(diào)查
B．任意畫一個三角形，其外角和是180°是必然事件
C．數(shù)據(jù)4，9，5，7的中位數(shù)是6
D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別是，，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定
5．（2020 貴陽）下列4個袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個小球，任意摸出一個球，摸到紅球可能性最大的是（　　）
A． B． C． D．
類型二 概率的意義及計算公式
1．（2021 郴州）下列說法正確的是（　　）
A．“明天下雨的概率為80%”，意味著明天有80%的時間下雨
B．經(jīng)過有信號燈的十字路口時，可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈
C．“某彩票中獎概率是1%”，表示買100張這種彩票一定會有1張中獎
D．小明前幾次的數(shù)學測試成績都在90分以上這次數(shù)學測試成績也一定在90分以上
2．（2023 成都）為貫徹教育部《大中小學勞動教育指導(dǎo)綱要（試行）》文件精神，某學校積極開設(shè)種植類勞動教育課．某班決定每位學生隨機抽取一張卡片來確定自己的種植項目，老師提供6張背面完全相同的卡片，其中蔬菜類有4張，正面分別印有白菜、辣椒、豇豆、茄子圖案；水果類有2張，正面分別印有草莓、西瓜圖案，每個圖案對應(yīng)該種植項目．把這6張卡片背面朝上洗勻，小明隨機抽取一張，他恰好抽中水果類卡片的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 丹東）在一個不透明的袋子中，裝有3個紅球和若干個黑球，每個球除顏色外都相同，若從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為，則袋中黑球的個數(shù)為（　　）
A．1 B．3 C．6 D．9
4．（2023 十堰）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，向上一面的點數(shù)為偶數(shù)的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 朝陽）五一期間，商場推出購物有獎活動：如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被平均分成六份，其中紅色1份，黃色2份，綠色3份，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，指針指向紅色為一等獎，指向黃色為二等獎，指向綠色為三等獎（指針指向兩個扇形的交線時無效，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤）．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，獲得一等獎的概率為（　　）
A．1 B． C． D．
6．（2023 深圳）小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機挑選一本，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為 　　．
7．（2023 雅安）在一個不透明的口袋中，裝有1個紅球和若干個黃球，它們除顏色外都相同，從中隨機摸出一個球是紅球的概率為，則口袋中黃球有 　　個．
8．（2023 鹽城）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同，任意投擲飛鏢1次（假設(shè)每次飛鏢均落在游戲板上），擊中有顏色的小正方形（陰影部分）的概率為 　　．
類型三 用樹狀圖法或列表法求概率
1．（2023 鎮(zhèn)江）如圖，桌面上有3張卡片，1張正面朝上．任意將其中1張卡片正反面對調(diào)一次后，這3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2023 安徽）如果一個三位數(shù)中任意兩個相鄰數(shù)字之差的絕對值不超過1，則稱該三位數(shù)為“平穩(wěn)數(shù)”．用1，2，3這三個數(shù)字隨機組成一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 永州）今年2月，某班準備從《在希望的田野上》、《我和我的祖國》、《十送紅軍》三首歌曲中選擇兩首進行排練，參加永州市即將舉辦的“唱響新時代，筑夢新征程”合唱選拔賽，那么該班恰好選中前面兩首歌曲的概率是（　　）
A． B． C． D．1
4．（2023 臨沂）在項目化學習中，“水是生命之源”項目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要從四名同學（兩名男生，兩名女生）中隨機抽取兩人，組成調(diào)查小組進行社會調(diào)查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 山西）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分．若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是 　　．
6．（2022 寧夏）喜迎黨的二十大召開，學校推薦了四部影片：《1921》、《香山葉正紅》、《建黨偉業(yè)》、《建軍大業(yè)》．甲、乙同學用抽卡片的方式?jīng)Q定本班觀看哪部，四張卡片正面分別是上述影片劇照，除此之外完全相同．將這四張卡片背面朝上，甲隨機抽出一張并放回，洗勻后，乙再隨機抽出一張，則兩人恰好抽到同一部的概率是 　　．
7．（2022 聊城）如圖，兩個相同的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤A被三等分，分別標有數(shù)字2，0，﹣1；轉(zhuǎn)盤B被四等分，分別標有數(shù)字3，2，﹣2，﹣3．如果同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A，B，轉(zhuǎn)盤停止時，兩個指針指向轉(zhuǎn)盤A，B上的對應(yīng)數(shù)字分別為x，y（當指針指在兩個扇形的交線時，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），那么點（x，y）落在直角坐標系第二象限的概率是 　　．
8．（2023 蘇州）一只不透明的袋子中裝有4個小球，分別標有編號1，2，3，4，這些小球除編號外都相同．
（1）攪勻后從中任意摸出1個球，這個球的編號是2的概率為 　　；
（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄球的編號后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的概率是多少？（用畫樹狀圖或列表的方法說明）
類型四 頻率估計概率
1．（2023 恩施州）縣林業(yè)部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率，所統(tǒng)計的銀杏樹苗移植成活的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
移植的棵數(shù)a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵數(shù)b 84 279 505 847 6337 13581
成活的頻率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根據(jù)表中的信息，估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（　　）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
2．（2023 鞍山）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球200次，發(fā)現(xiàn)有50次摸到紅球，則口袋中紅球約有 　　個．
3．（2022 桂林）當重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，可用頻率來估計概率．歷史上數(shù)學家皮爾遜（Pearson）曾在實驗中擲均勻的硬幣24000次，正面朝上的次數(shù)是12012次，頻率約為0.5，則擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是 　　．
4．（2022 益陽）近年來，洞庭湖區(qū)環(huán)境保護效果顯著，南遷的候鳥種群越來越多．為了解南遷到該區(qū)域某濕地的A種候鳥的情況，從中捕捉40只，戴上識別卡并放回；經(jīng)過一段時間后觀察發(fā)現(xiàn)，200只A種候鳥中有10只佩有識別卡，由此估計該濕地約有 　　只A種候鳥．
5．（2021 甘肅）一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右．
（1）請你估計箱子里白色小球的個數(shù)；
（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）．
類型五 統(tǒng)計與概率的綜合應(yīng)用
1．（2023 湖北）打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習慣．崇德中學計劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡的書籍”為主題的調(diào)查活動，學生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學類，C：政史類，D：藝術(shù)類，E：其他類）．張老師組織數(shù)學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示）．
根據(jù)圖中信息，請回答下列問題；
（1）條形圖中的m＝　　，n＝　　，文學類書籍對應(yīng)扇形圓心角等于 　　度；
（2）若該校有2000名學生，請你估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數(shù)；
（3）甲同學從A，B，C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從B，C，D三類書籍中隨機選擇一種，請用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率．
2．（2023 張家界）2022年4月21日新版《義務(wù)教育課程方案和課程標準（2022年版）》正式頒布，優(yōu)化了課程設(shè)置，其中將勞動教育從綜合實踐活動課程中獨立出來．某校為了初步了解學生的勞動教育情況，對九年級學生“參加家務(wù)勞動的時間”進行了抽樣調(diào)查，并將勞動時間x分為如下四組（A：x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：x≥90，單位：分鐘）進行統(tǒng)計，繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）本次抽取的學生人數(shù)為 　 　人，扇形統(tǒng)計圖中m的值為 　 　；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）已知該校九年級有600名學生，請估計該校九年級學生中參加家務(wù)勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學生有多少人？
（4）若D組中有3名女生，其余均是男生，從中隨機抽取兩名同學交流勞動感受，請用列表法或樹狀圖法，求抽取的兩名同學中恰好是一名女生和一名男生的概率．
3．（2023 雅安）某校為了調(diào)查本校學生對航空航天知識的知曉情況，開展了航空航天知識競賽，從參賽學生中，隨機抽取若干名學生的成績進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計圖表：
成績/分 頻數(shù)/人 頻率
60≤x＜70 10 0.1
70≤x＜80 15 b
80≤x＜90 a 0.35
90≤x≤100 40 c
請根據(jù)圖表信息解答下列問題：
（1）求a，b，c的值；
（2）補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）某班有2名男生和1名女生的成績都為100分，若從這3名學生中隨機抽取2名學生參加演講，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2名學生恰好為1男1女的概率．
4．（2023 鄂州）2023年5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，舉國振奮．為了使同學們進一步了解中國航天科技的快速發(fā)展，鄂州市某中學九（1）班團支部組織了一場手抄報比賽．要求該班每位同學從A：“北斗”，B：“5G時代”，C：“東風快遞”，D：“智軌快運”四個主題中任選一個自己喜愛的主題．比賽結(jié)束后，該班團支部統(tǒng)計了同學們所選主題的頻數(shù)，繪制成如圖兩種不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題．
（1）九（1）班共有 　 　名學生；并補全圖1折線統(tǒng)計圖；
（2）請閱讀圖2，求出D所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若小林和小峰分別從A，B，C，D四個主題中任選一個主題，請用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相同主題的概率．
5．（2023 丹東）為提高學生的安全意識，某學校組織學生參加了“安全知識答題”活動．該校隨機抽取部分學生答題成績進行統(tǒng)計，將成績分為四個等級：A（優(yōu)秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根據(jù)結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：
（1）這次抽樣調(diào)查共抽取 　　人，條形統(tǒng)計圖中的m＝　　；
（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整，在扇形統(tǒng)計圖中，求C等所在扇形圓心角的度數(shù)；
（3）該校有1200名學生，估計該校學生答題成績?yōu)锳等和B等共有多少人；
（4）學校要從答題成績?yōu)锳等且表達能力較強的甲、乙、丙、丁四名學生中，隨機抽出兩名學生去做“安全知識宣傳員”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學生恰好是甲和丁的概率．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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