資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題10 二次函數問題
考點掃描☆聚焦中考
二次函數問題是中考的重點內容，近幾年各地中考題目主要以選擇題與解答題的形式考查，也可能在填空題中出現，題目難度中高檔；考查內容主要有：二次函數的性質與圖象；用待定系數法確定函數解析式；二次函數的最值與平移問題；與方程、不等式、幾何知識結合的綜合題等；考查熱點主要有：二次函數的性質與圖象；通過具體問題情境學會用三種方式表示二次函數關系；通過在實際問題中應用二次函數的性質，發展應用二次函數解決實際問題的能力。
考點剖析☆典型例題
例1 （2022 株洲）已知二次函數y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數的圖象可能為（　　）
A．B． C．D．
例2（2023 蘭州）已知二次函數y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（　　）
A．對稱軸為直線x＝﹣2 B．頂點坐標為（2，3）
C．函數的最大值是﹣3 D．函數的最小值是﹣3
例3（2023 達州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）關于直線x＝1對稱．下列五個結論：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正確的有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
例4（2023 西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（　　）
A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
例5（2023 無錫）二次函數y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠），有下列結論：
①該函數圖象過定點（﹣1，2）；
②當m＝1時，函數圖象與x軸無交點；
③函數圖象的對稱軸不可能在y軸的右側；
④當1＜m＜時，點P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲線上兩點，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，則y1＞y2．
其中，正確結論的序號為 　　．
例6（2023 麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數y＝ax2+bx+3（a，b是常數，a≠0）的圖象上．
（1）當m＝﹣1時，求a和b的值；
（2）若二次函數的圖象經過點A（n，3）且點A不在坐標軸上，當﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；
（3）求證：b2+4a＝0．
例7（2023 遼寧）商店出售某品牌護眼燈，每臺進價為40元，在銷售過程中發現，月銷量y（臺）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，規定銷售單價不低于進價，且不高于進價的2倍，其部分對應數據如下表所示：
銷售單價x（元） … 50 60 70 …
月銷量y（臺） … 90 80 70 …
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）當護眼燈銷售單價定為多少元時，商店每月出售這種護眼燈所獲的利潤最大？最大月利潤為多少元？
例8（2023 山西）綜合與探究
如圖，二次函數y＝﹣x2+4x的圖象與x軸的正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數圖象交于點B（1，3），與y軸交于點C．
（1）求直線AB的函數表達式及點C的坐標；
（2）點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，過點P作直線PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，設點P的橫坐標為m．
①當時，求m的值；
②當點P在直線AB上方時，連接OP，過點B作BQ⊥x軸于點Q，BQ與OP交于點F，連接DF．設四邊形FQED的面積為S，求S關于m的函數表達式，并求出S的最大值．
考點過關☆專項突破
類型一 二次函數的圖象與性質
1．（2023 沈陽）二次函數y＝﹣（x+1）2+2圖象的頂點所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021 江西）在同一平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2與一次函數y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數y＝ax2+bx+c的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
3．（2023 陜西）在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數）的圖象經過點（0，6），其對稱軸在y軸左側，則該二次函數有（　　）
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4．（2023 衢州）已知二次函數y＝ax2﹣4ax（a是常數，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點．若點A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．m＞2
5．（2023 大連）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣1，當0≤x≤3時，函數的最大值為（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
6．（2023 揚州）已知二次函數y＝ax2﹣2x+（a為常數，且a＞0），下列結論：①函數圖象一定經過第一、二、四象限；②函數圖象一定不經過第三象限；③當x＜0時，y隨x的增大而減小；④當x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結論的序號是（　　）
A．①② B．②③ C．② D．③④
7．（2021 福建）二次函數y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四個點，下列說法一定正確的是（　　）
A．若y1y2＞0，則y3y4＞0 B．若y1y4＞0，則y2y3＞0
C．若y2y4＜0，則y1y3＜0 D．若y3y4＜0，則y1y2＜0
8．（2022 長春）已知二次函數y＝﹣x2﹣2x+3，當a≤x≤時，函數值y的最小值為1，則a的值為 　　．
9．（2023 福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側，且y1＜y2，則n的取值范圍是 　　．
10．（2023 北京）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x＝t．
（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
類型二 二次函數的圖象與系數的關系
1．（2023 阜新）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸是直線x＝1，下列結論正確的是（　　）
A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．點（﹣2，0）在函數圖象上
2．（2023 雅安）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B兩點，對稱軸是直線x＝2，下列結論中，所有正確結論的序號為（　　）
①a＞0； ②點B的坐標為（6，0）； ③c＝3b； ④對于任意實數m，都有4a+2b≥am2+bm．
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
3．（2023 黃石）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過三點A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且對稱軸為直線x＝﹣1．有以下結論：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③當﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1時，有y1＜y2；④對于任何實數k＞0，關于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有兩個不相等的實數根．其中結論正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．（2023 遂寧）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣2．下列說法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t為全體實數）；④若圖象上存在點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當m＜x1＜x2＜m+3時，滿足y1＝y2，則m的取值范圍為﹣5＜m＜﹣2，其中正確的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．（2023 湖北）拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸相交于點A（﹣3，0），B（1，0）．下列結論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若點P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在拋物線上，且y1＜y2，則m≤﹣1．其中正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．（2023 南京）已知二次函數y＝ax2﹣2ax+3（a為常數，a≠0）．
（1）若a＜0，求證：該函數的圖象與x軸有兩個公共點．
（2）若a＝﹣1，求證：當﹣1＜x＜0時，y＞0．
（3）若該函數的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是 　a＞3或a＜﹣1　．
類型三 二次函數的圖象變換
1．（2022 瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經平移后，不可能得到的拋物線是（　　）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
2．（2023 徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（　　）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4
3．（2020 衢州）二次函數y＝x2的圖象平移后經過點（2，0），則下列平移方法正確的是（　　）
A．向左平移2個單位，向下平移2個單位 B．向左平移1個單位，向上平移2個單位
C．向右平移1個單位，向下平移1個單位 D．向右平移2個單位，向上平移1個單位
4．（2020 陜西）在同一平面直角坐標系中，若拋物線y＝mx2+2x﹣n與y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n關于x軸對稱，則m，n的值為（　　）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3 C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
5．（2022 黔東南州）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2+2x﹣1先繞原點旋轉180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是 　　．
6．（2023 益陽）我們在學習一次函數、二次函數圖象的平移時知道：將一次函數y＝2x的圖象向上平移1個單位得到y＝2x+1的圖象；將二次函數y＝x2+1的圖象向左平移2個單位得到y＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數y＝的圖象向下平移3個單位，如圖所示，則得到的圖象對應的函數表達式是 　　．
7．（2022 河北）如圖，點P（a，3）在拋物線C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的對稱軸右側．
（1）寫出C的對稱軸和y的最大值，并求a的值；
（2）坐標平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及C的一段，分別記為P′，C′．平移該膠片，使C′所在拋物線對應的函數恰為y＝﹣x2+6x﹣9．求點P′移動的最短路程．
類型四 二次函數的圖象與x軸的交點
1．（2023 郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝　　．
2．（2023 甘孜州）下列關于二次函數y＝（x﹣2）2﹣3的說法正確的是（　　）
A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與x軸沒有交點
C．當x＜2時，y隨x增大而增大 D．圖象的頂點坐標是（2，﹣3）
3．（2023 陜西）如表中列出的是一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值：
x … ﹣3 0 3 5 …
y … 16 ﹣5 ﹣8 0 …
則下列關于這個二次函數的結論中，正確的是（　　）
A．圖象的頂點在第一象限 B．有最小值﹣8
C．圖象與x軸的一個交點是（﹣1，0） D．圖象開口向下
4．（2023 衡陽）已知m＞n＞0，若關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結論正確的是（　　）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
5．（2023 巴中）規定：如果兩個函數的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數互為“Y函數”．例如：函數y＝x+3與y＝﹣x+3互為“Y函數”．若函數y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為 　 　．
6．（2023 云南）數和形是數學研究客觀物體的兩個方面，數（代數）側重研究物體數量方面，具有精確性，形（幾何）側重研究物體形的方面，具有直觀性．數和形相互聯系，可用數來反映空間形式，也可用形來說明數量關系．數形結合就是把兩者結合起來考慮問題，充分利用代數、幾何各自的優勢，數形互化，共同解決問題．
同學們，請你結合所學的數學解決下列問題．
在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數，則稱這樣的點為整點．設函數y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數a為常數）的圖象為圖象T．
（1）求證：無論a取什么實數，圖象T與x軸總有公共點；
（2）是否存在整數a，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數a的值；若不存在，請說明理由．
類型五 二次函數的實際應用
1．（2023 宜昌）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝　　m．
2．（2023 濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根頂部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水平距離也為3m，那么水管的設計高度應為 　　．
3．（2023 天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結論的個數是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023 德州）某商場購進了A，B兩種商品，若銷售10件A商品和20件B商品，則可獲利280元；若銷售20件A商品和30件B商品，則可獲利480元．
（1）求A，B兩種商品每件的利潤；
（2）已知A商品的進價為24元/件，目前每星期可賣出200件A商品，市場調查反映：如調整A商品價格，每降價1元，每星期可多賣出20件，如何定價才能使A商品的利潤最大？最大利潤是多少？
5．（2023 湖北）加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在當地政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地．2023年計劃將其中1000m2的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/m2）與其種植面積x（單位：m2）的函數關系如圖所示，其中200 x 700；乙種蔬菜的種植成本為50元/m2．
（1）當x＝　　m2時，y＝35元/m2；
（2）設2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？
（3）學校計劃今后每年在這1000m2土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術改進，預計種植成本逐年下降．若甲種蔬菜種植成本平均每年下降10%，乙種蔬菜種植成本平均每年下降a%，當a為何值時，2025年的總種植成本為28920元？
類型六 二次函數的綜合
1．（2023 湖北）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣6（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0），B（6，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接BC．
（1）拋物線的解析式為 　；（直接寫出結果）
（2）在圖1中，連接AC并延長交BD的延長線于點E，求∠CEB的度數；
（3）如圖2，若動直線l與拋物線交于M，N兩點（直線l與BC不重合），連接CN，BM，直線CN與BM交于點P．當MN∥BC時，點P的橫坐標是否為定值，請說明理由．
2．（2023 西寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點A（6，0），與y軸交于點B（0，﹣6），拋物線經過點A，B，且對稱軸是直線x＝1．
（1）求直線l的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，交直線1于點D，過點P作PM⊥l，垂足為M．求PM的最大值及此時P點的坐標．
3．（2023 赤峰）定義：在平面直角坐標系xOy中，當點N在圖形M的內部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．
（1）如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在點M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“夢之點“的是 　　；
（2）點G（2，2）是反比例函數y1＝圖象上的一個“夢之點”，則該函數圖象上的另一個“夢之點”H的坐標是 　　，直線GH的解析式是y2＝　　，y1＞y2時，x的取值范圍是 　　；
（3）如圖②，已知點A，B是拋物線y＝﹣x2+x+上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點．連接AC，AB，BC，判斷△ABC的形狀，并說明理由．
4．（2023 新疆）【建立模型】（1）如圖1，點B是線段CD上的一點，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分別為C，B，D，AB＝BE．求證：△ACB≌△BDE；
【類比遷移】（2）如圖2，一次函數y＝3x+3的圖象與y軸交于點A、與x軸交于點B，將線段AB繞點B逆時針旋轉90°得到BC，直線AC交x軸于點D．
①求點C的坐標；
②求直線AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C點，已知點Q（0，﹣1），連接BQ，拋物線上是否存在點M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出點M的橫坐標．
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專題10 二次函數問題
考點掃描☆聚焦中考
二次函數問題是中考的重點內容，近幾年各地中考題目主要以選擇題與解答題的形式考查，也可能在填空題中出現，題目難度中高檔；考查內容主要有：二次函數的性質與圖象；用待定系數法確定函數解析式；二次函數的最值與平移問題；與方程、不等式、幾何知識結合的綜合題等；考查熱點主要有：二次函數的性質與圖象；通過具體問題情境學會用三種方式表示二次函數關系；通過在實際問題中應用二次函數的性質，發展應用二次函數解決實際問題的能力。
考點剖析☆典型例題
例1 （2022 株洲）已知二次函數y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數的圖象可能為（　　）
A．B． C．D．
【答案】C
【點撥】根據c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D選項，當a＞0時，可知對稱軸＜0，可排除B選項，當a＜0時，可知對稱軸＞0，可知C選項符合題意．
【解析】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D選項不符合題意；
當a＞0時，
∵b＞0，
∴對稱軸x＝＜0，
故B選項不符合題意；
當a＜0時，b＞0，
∴對稱軸x＝＞0，
故C選項符合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象，熟練掌握二次函數的圖象與系數的關系是解題的關鍵．
例2（2023 蘭州）已知二次函數y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（　　）
A．對稱軸為直線x＝﹣2 B．頂點坐標為（2，3）
C．函數的最大值是﹣3 D．函數的最小值是﹣3
【答案】C
【點撥】利用二次函數的性質進行判斷即可．
【解析】解：二次函數y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的圖象的開口向下，對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為（2，﹣3），
x＝2時，y有最大值為y＝﹣3，
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數的最值問題，解題關鍵是掌握二次函數的性質．
例3（2023 達州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）關于直線x＝1對稱．下列五個結論：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正確的有（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【點撥】由拋物線開口方向以及與y軸的交點可知a＞0，c＜0，根據對稱軸為直線x＝1得出b＝﹣2a＜0，即可判斷①；由對稱軸為直線x＝1得出2a+b＝0，即可判斷②；由拋物線的對稱性即可判斷③；根據函數的最值即可判斷④，由x＝﹣1時，y＞0，得出a﹣b+c＞0，由b＝﹣2a得出3a+c＞0即可判斷⑤．
【解析】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）關于直線x＝1對稱，
∴﹣＝1，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，
故①正確；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②正確；
∵x＝0時，y＜0，對稱軸為直線x＝1，
∴x＝2時，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故③錯誤；
∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
故④錯誤；
∵x＝﹣1時，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＞0．
故⑤正確．
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
例4（2023 西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（　　）
A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
【答案】D
【點撥】先確定兩個拋物線的頂點坐標，再利用點平移的規律確定拋物線平移的情況．
【解析】解：拋物線y＝（x﹣1）2+5的頂點坐標為（1，5），拋物線y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的頂點坐標為（﹣1，2），
而點（1，5）向左平移2個，再向下平移3個單位可得到（﹣1，2），
所以拋物線y＝（x﹣1）2+5向左平移2個，再向下平移3個單位得到拋物線y＝x2+2x+3．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
例5（2023 無錫）二次函數y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠），有下列結論：
①該函數圖象過定點（﹣1，2）；
②當m＝1時，函數圖象與x軸無交點；
③函數圖象的對稱軸不可能在y軸的右側；
④當1＜m＜時，點P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲線上兩點，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，則y1＞y2．
其中，正確結論的序號為 　①②④　．
【答案】①②④．
【點撥】拋物線整理為y＝x2+（2m﹣1）x+2m＝x2+2mx﹣x+2m＝2m（x+1）+x2﹣x可判斷①，將m＝1代入并計算b2﹣4ac即可判斷②，計算拋物線對稱軸并根據m≠可判斷③，根據題意確定對稱軸的范圍后可確定P、Q的位置，再根據增減性可判斷④．
【解析】解：y＝x2+（2m﹣1）x+2m＝x2+2mx﹣x+2m＝2m（x+1）+x2﹣x，
當x＝﹣1時，y＝2，
∴該函數圖象過定點（﹣1，2），故①正確；
當m＝1時，y＝x2+x+2，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，
∴函數圖象與x軸無交點，故②正確；
拋物線的對稱軸為：x＝，
∵m≠，
∴，
∴當m＞時，對稱軸在y軸左側，當m＜時，對稱軸在y軸右側，故③錯誤；
∵，
∴﹣1＜﹣m＜﹣，
∵﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，
∴P（x1，y1）在對稱軸左側，Q（x2，y2）在對稱軸右側，
∵a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，在對稱軸左側，y隨x增大而減小，在對稱軸右側，y隨x增大而增大，
∴當x＝﹣2時，y1最小＝y＝4﹣4m+2+2m＝﹣2m+6，
當x＝0時，y2最大＝2m，
此時，y1﹣y2＝﹣4m+6，
∵，
∴﹣4m+6＞0，
∴y1＞y2，故④正確，
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查的是二次函數的綜合題，解題的關鍵是熟練理解并綜合運用二次函數的各個特征．
例6（2023 麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數y＝ax2+bx+3（a，b是常數，a≠0）的圖象上．
（1）當m＝﹣1時，求a和b的值；
（2）若二次函數的圖象經過點A（n，3）且點A不在坐標軸上，當﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；
（3）求證：b2+4a＝0．
【答案】（1）a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）﹣4＜n＜﹣2；
（3）證明見解析．
【點撥】（1）當m＝﹣1時，二次函數y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），用待定系數法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），可知拋物線的對稱軸為直線x＝m，而y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標軸上，可得m＝，根據﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由拋物線過（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3變形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【解析】（1）解：當m＝﹣1時，二次函數y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標軸上，
∴由圖象的對稱性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）證明：∵拋物線過（﹣m，0），（3m，0），
∴拋物線對稱軸為直線x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【點睛】本題考查二次函數圖象上點坐標的特征，涉及待定系數法，不等式，方程組等知識，解題的關鍵是整體思想的應用．
例7（2023 遼寧）商店出售某品牌護眼燈，每臺進價為40元，在銷售過程中發現，月銷量y（臺）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，規定銷售單價不低于進價，且不高于進價的2倍，其部分對應數據如下表所示：
銷售單價x（元） … 50 60 70 …
月銷量y（臺） … 90 80 70 …
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）當護眼燈銷售單價定為多少元時，商店每月出售這種護眼燈所獲的利潤最大？最大月利潤為多少元？
【答案】見解析
【點撥】（1）設月銷量y（臺）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系式為y＝kx+b，把（50，90）和（60，80）代入解方程組即可得到結論；（2）設每月出售這種護眼燈所獲的利潤為w元，根據題意得到二次函數解析式，根據二次函數的性質即可得到結論．
【解析】解：（1）設月銷量y（臺）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系式為y＝kx+b，
把（50，90）和（60，80）代入得，
解得，
∴y＝﹣x+140；
（2）∵規定銷售單價不低于進價，且不高于進價的2倍，
∴40≤x≤80，
設每月出售這種護眼燈所獲的利潤為w元，
根據題意得，w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+140）＝﹣x2+180x﹣5600＝﹣（x﹣90）2+2500，
∴當護眼燈銷售單價定為80元時，商店每月出售這種護眼燈所獲的利潤最大，最大月利潤為2400元．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，解題的關鍵是列出關系式，熟練掌握二次函數的性質，準確計算．
例8（2023 山西）綜合與探究
如圖，二次函數y＝﹣x2+4x的圖象與x軸的正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數圖象交于點B（1，3），與y軸交于點C．
（1）求直線AB的函數表達式及點C的坐標；
（2）點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，過點P作直線PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，設點P的橫坐標為m．
①當時，求m的值；
②當點P在直線AB上方時，連接OP，過點B作BQ⊥x軸于點Q，BQ與OP交于點F，連接DF．設四邊形FQED的面積為S，求S關于m的函數表達式，并求出S的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x+4，點C的坐標為（0，4）；
（2）①2或3或 ；②，S的最大值為．
【點撥】（1）利用待定系數法可求得直線AB的函數表達式，再求得點C的坐標即可；
（2）①分當點P在直線AB上方和點P在直線AB下方時，兩種情況討論，根據 PD＝2 列一元二次方程 求解即可；
②證明△FOQ∽△POE，推出 FQ＝﹣m+4，再證明四邊形FQED為矩形，利用矩形面積公式得到二次 函數的表達式，再利用二次函數的性質即可求解．
【解析】解：（1）由 y＝﹣x2+4x 得，當 y＝0 時，﹣x2+4x＝0，
解得 x1＝0，x2＝4，
∵點A在x軸正半軸上．
∴點A的坐標為（4，0）．
設直線AB的函數表達式為 y＝kx+b（k≠0）．
將A，B兩點的坐標 （4，0），（1，3）分別代入 y＝kx+b，
得 ，
解得，
∴直線AB的函數表達式為 y＝﹣x+4．
將x＝0代入 y＝﹣x+4，得 y＝4．
∴點C的坐標為（0，4）；
（2）①解：∵點P在第一象限內二次函數 y＝﹣x2+4x的圖象上，且PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，其橫坐標為m．
∴點P，D的坐標分別為 P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PE＝﹣m2+4m．DE＝﹣m+4，OE＝m，
∵點C的坐標為（0，4），
∴OC＝4． ，
∴PD＝2．
如圖1，當點P在直線AB上方時，PD＝PE﹣DE＝﹣m2+4m﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，
∵PD＝2，
∴﹣m2+5m﹣4＝2，
解得 m1＝2．m2＝3．
如圖2，當點P在直線AB下方時，PD＝DE﹣PE＝﹣m+4﹣（﹣m2+4m）＝m2﹣5m+4，
∵PD＝2，
∴m2﹣5m+4＝2，
解得 ，
∵0＜m＜1，m＝．
綜上所述，m的值為2或3或；
②解：如圖3，
由（2）①得，OE＝m，PE＝﹣m2+4m，DE＝﹣m+4．
∵BQ⊥x軸于點Q，交OP于點F，點B的坐標為（1，3），
∴OQ＝1，
∵點P在直線AB上方，
∴EQ＝m﹣1．
∵PE⊥x軸于點E，
∴∠OQF＝∠OEP＝90°，
∴FQ∥DE，∠FOQ＝∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴，
∴，
∴，
∴FQ＝DE，
∴四邊形FQED為平行四邊形，
∵PE⊥x軸，
∴四邊形FQED為矩形．
∴S＝EQ FQ＝（m﹣1）（﹣m+4），即S＝﹣m2+5m﹣4＝，
∵﹣1＜0，1＜m＜4，
∴當m＝時，S的最大值為；
【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，一次函數的性質，特殊四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建二次函數解決問題，屬于中考壓軸題．
考點過關☆專項突破
類型一 二次函數的圖象與性質
1．（2023 沈陽）二次函數y＝﹣（x+1）2+2圖象的頂點所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【點撥】首先確定二次函數的頂點坐標，然后根據點的坐標特點寫出頂點的位置．
【解析】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴頂點坐標為（﹣1，2），
∴頂點在第二象限．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是確定二次函數的頂點坐標．
2．（2021 江西）在同一平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2與一次函數y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數y＝ax2+bx+c的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
【答案】D
【點撥】根據二次函數y＝ax2與一次函數y＝bx+c的圖象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函數y＝ax+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點在y軸負半軸，再對照四個選項中的圖象即可得出結論．
【解析】解：觀察函數圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函數y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點在y軸負半軸．
故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數的圖象以及二次函數的圖象，根據二次函數圖象和一次函數圖象經過的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解題的關鍵．
3．（2023 陜西）在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數）的圖象經過點（0，6），其對稱軸在y軸左側，則該二次函數有（　　）
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
【答案】D
【點撥】將（0，6）代入二次函數解析式，進而得出m的值，再利用對稱軸在y軸左側，得出m＝3，再利用公式法求出二次函數最值．
【解析】解：由題意可得：6＝m2﹣m，
解得：m1＝3，m2＝﹣2，
∵二次函數y＝x2+mx+m2﹣m，對稱軸在y軸左側，
∴m＞0，
∴m＝3，
∴y＝x2+3x+6，
∴二次函數有最小值為：＝＝．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了二次函數的性質以及二次函數的最值，正確得出m的值是解題關鍵．
4．（2023 衢州）已知二次函數y＝ax2﹣4ax（a是常數，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點．若點A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．m＞2
【答案】C
【點撥】根據已知條件列不等式即可得到結論．
【解析】解：∵a＜0，
∴y＝﹣3a＞0，
∵A（m，y1）和B（2m，y2）兩點都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，
∴4am2﹣8am＞﹣3a，
∴4m2﹣8m+3＜0，
∴＜m＜①，
∵二次函數y＝ax2﹣4ax（a是常數，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點．
∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，
∴3am2＜4am，
∵a＜0，m＞0，
∴am＜0，
∴m＞②，
由①②得＜m＜．
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，一次函數圖象上點的坐標特征，正確地列出不等式是解題的關鍵．
5．（2023 大連）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣1，當0≤x≤3時，函數的最大值為（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】D
【點撥】根據二次函數的圖象，結合當0≤x≤3時函數圖象的增減情況，即可解決問題．
【解析】解：由二次函數的表達式為y＝x2﹣2x﹣1可知，
拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝＝1．
又1﹣0＜3﹣1，
所以當x＝3時，函數取得最大值，
y＝32﹣2×3﹣1＝2．
故選：D．
【點睛】本題考查二次函數的最值，能由二次函數的表達式得出拋物線的對稱軸及開口方向是解題的關鍵．
6．（2023 揚州）已知二次函數y＝ax2﹣2x+（a為常數，且a＞0），下列結論：①函數圖象一定經過第一、二、四象限；②函數圖象一定不經過第三象限；③當x＜0時，y隨x的增大而減小；④當x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結論的序號是（　　）
A．①② B．②③ C．② D．③④
【答案】B
【點撥】由a的正負可確定出拋物線的開口方向，結合函數的性質逐項判斷即可．
【解析】解：∵a＞0時，拋物線開口向上，
∴對稱軸為直線x＝＝＞0，
當x＜0時，y隨x的增大而減小，
當x＞時，y隨x的增大而增大，
∴函數圖象一定不經過第三象限，函數圖象可能經過第一、二、四象限．
故選：B．
【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握a決定二次函數的開口方向，進一步能確定出其最值是解題的關鍵．
7．（2021 福建）二次函數y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四個點，下列說法一定正確的是（　　）
A．若y1y2＞0，則y3y4＞0 B．若y1y4＞0，則y2y3＞0
C．若y2y4＜0，則y1y3＜0 D．若y3y4＜0，則y1y2＜0
【答案】C
【點撥】觀察圖象可知，y1＞y4＞y2＞y3，再結合題目一一判斷即可．
【解析】解：如圖，由題意對稱軸為直線x＝1，
觀察圖象可知，y1＞y4＞y2＞y3，
若y1y2＞0，如圖1中，則y3y4＜0，選項A不符合題意，
若y1y4＞0，如圖2中，則y2y3＜0，選項B不符合題意，
若y2y4＜0，如圖3中，則y1y3＜0，選項C符合題意，
若y3y4＜0，如圖4中，則y1y2＞0，選項D不符合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數的性質，二次函數圖象上的點的坐標特征，解題的關鍵是學會利用圖象法解決問題，屬于中考常考題型．
8．（2022 長春）已知二次函數y＝﹣x2﹣2x+3，當a≤x≤時，函數值y的最小值為1，則a的值為 　﹣1﹣　．
【答案】﹣1﹣．
【點撥】函數配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，當y＝1時，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因為﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤時，函數值y的最小值為1，進而可以解決問題．
【解析】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴圖象開口向下，頂點坐標為（﹣1，4），
根據題意，當a≤x≤時，函數值y的最小值為1，
當y＝1時，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±，
∵﹣1+＞，
∴﹣1﹣≤x≤時，函數值y的最小值為1，
∴a＝﹣1﹣．
故答案為：﹣1﹣．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的最值，熟練掌握二次函數的增減性質是解題的關鍵．
9．（2023 福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側，且y1＜y2，則n的取值范圍是 　﹣1＜n＜0　．
【答案】﹣1＜n＜0．
【點撥】由題意可知：拋物線的對稱軸為x＝1，開口向上，再分點A在對稱軸x＝1的左側，點B在對稱軸x＝1的右側和點B在對稱軸x＝1的左側，點A在對稱軸x＝1的右側兩種情況求解即可．
【解析】解：拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝1，
∵a＞0，
∴拋物線開口向上，
∵y1＜y2，
∴若點A在對稱軸x＝1的左側，點B在對稱軸x＝1的右側，
由題意可得：，
不等式組無解；
若點B在對稱軸x＝1的左側，點A在對稱軸x＝1的右側，
由題意可得：，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范圍為：﹣1＜n＜0．
故答案為：﹣1＜n＜0．
【點睛】本題主要考查的是二次函數的性質以及二次函數圖象上點的坐標的特征，能根據題意正確列出不等式組是解決本題的關鍵．
10．（2023 北京）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x＝t．
（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）t≤．
【點撥】（1）根據二次函數的性質求得對稱軸即可，
（2）根據題意判斷出離對稱軸更近的點，從而得出（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側，再根據對稱性即可解答．
【解析】解：（1）∵對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵對稱軸為x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）離對稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側，
∴＞t，
即t≤．
【點睛】本題考查二次函數的性質，熟練掌握二次函數的對稱性是解題關鍵．
類型二 二次函數的圖象與系數的關系
1．（2023 阜新）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸是直線x＝1，下列結論正確的是（　　）
A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．點（﹣2，0）在函數圖象上
【答案】B
【點撥】利用二次函數的圖象與系數的關系可得出，a、b、c的正負，進而得出abc的正負；利用對稱軸為直線x＝1，可得出2a+b與0的關系；由拋物線與x軸的交點情況，可得出b2與4ac的大小關系；由拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），再結合對稱軸為直線x＝1，可得出另一個交點坐標．
【解析】解：A：由二次函數的圖形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A錯誤．
B：因為二次函數的對稱軸是直線x＝1，則＝1，即2a+b＝0．故B正確．
C：因為拋物線與x軸有兩個交點，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C錯誤．
D：因為拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），且對稱軸為直線x＝1，所以它與x軸的另一個交點的坐標為（﹣1，0）．故D錯誤．
故選：B．
【點睛】本題考查二次函數圖象與各項系數的關系，正確求得a，b，c的正負以及巧妙利用拋物線的對稱軸是解決問題的關鍵．
2．（2023 雅安）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B兩點，對稱軸是直線x＝2，下列結論中，所有正確結論的序號為（　　）
①a＞0； ②點B的坐標為（6，0）； ③c＝3b； ④對于任意實數m，都有4a+2b≥am2+bm．
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【點撥】通過拋物線開口方向，對稱軸，拋物線與y軸交點可判斷①、②、③，通過x＝2時拋物線取得最大值判斷4a+2b≥am2+bm，進而求解．
【解析】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，①錯誤，
∵A、B關于對稱軸x＝2對稱，
∴B點的橫坐標為6，②正確，
∵二次函數y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，
∴﹣＝2，
∴，
把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，得：
4a﹣2b+c＝0，
∴﹣2b+c＝0，整理得：
c＝3b，③正確，
∵二次函數y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，
∴當x＝2時，拋物線取得最大值為y＝4a+2b+c，
當x＝m時，y＝am2+bm+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
即4a+2b≥am2+bm，④正確．
∴所有正確結論的序號為②③④．
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵是靈活運用二次函數圖象和性質．
3．（2023 黃石）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過三點A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且對稱軸為直線x＝﹣1．有以下結論：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③當﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1時，有y1＜y2；④對于任何實數k＞0，關于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有兩個不相等的實數根．其中結論正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【點撥】根據二次函數的對稱軸為直線x＝﹣1和經過點C（﹣3，0），再結合拋物線的對稱性即可解決問題．
【解析】解：因為二次函數的圖象過點C（﹣3，0），且對稱軸為直線x＝﹣1，
所以由拋物線的對稱性可知，點（1，0）也在拋物線上．
將（1，0）代入二次函數解析式得，
a+b+c＝0．
故①正確．
因為拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，
所以，即b﹣2a＝0．
又a+b+c＝0，
則將a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得，
2c+3b＝0．
故②正確．
因為﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
所以點A離對稱軸更近．
則當a＞0時，y1＜y2；
當a＜0時，y1＞y2．
故③錯誤．
由ax2+bx+c＝k（x+1）得，
ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0．
又a+b+c＝0，2c+3b＝0，
得．
則（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）
＝（）2﹣4×（）（c﹣k）
＝．
又k＞0，
所以＞0．
即該方程有兩個不相等的實數根．
故④正確．
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數的圖象與系數的關系及二次函數圖象上點的坐標特征，能根據拋物線的對稱軸及經過定點得出a，b，c的關系是解題的關鍵．
4．（2023 遂寧）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣2．下列說法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t為全體實數）；④若圖象上存在點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當m＜x1＜x2＜m+3時，滿足y1＝y2，則m的取值范圍為﹣5＜m＜﹣2，其中正確的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【點撥】①分別判斷a、b、c的符號，再判斷abc的符號；
②由對稱軸為直線x＝﹣2，可知a與b的數量關系，消去b可得僅含a、c的解析式，找特定點可判斷c﹣3a的符號．
③用a與b的數量關系，可將原式化簡得到關于t的不等式，再用函數的性質（t為全體實數）判斷．
④利用二次函數的性質及二次函數與一元二次方程的關系即可判斷．
【解析】解：①因圖象開口向下，可知：a＜0；
又∵對稱軸為直線x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同號．
由圖象可知，當x＝4時，y＜0，
又∵對稱軸為直線x＝﹣2，可知：當x＝0時，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正確．
②由①得：b＝4a．
代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；
由圖象可知，當x＝﹣1時，y＞0．
即：a （﹣1）2+4a （﹣1）+c＞0，
整理得：c﹣3a＞0，故②正確．
③設4a2﹣2ab≥at（at+b）
則4a﹣2b≤at t﹣bt，
兩邊+c得到4a﹣2b+c≤at t﹣bt+c，
左側為x＝﹣2時的函數值，右側為x＝t時的函數值，
顯然不成立，
故③錯誤．
④由題意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的兩個根，
從圖象上看，因二次函數有對稱性，x1、x2關于x＝﹣2對稱，
∴當且僅當m＜﹣2＜m+3時，存在點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當m＜x1＜x2＜m+3時，滿足y1＝y2，
即當﹣5＜m＜﹣2時，滿足題設，故④正確．
故本題選：C．
【點睛】本題考查了二次函數字母系數與圖象的關系、二次函數與一元二次方程的關系等知識．需綜合利用二次函數的性質，不等式的性質解題．
5．（2023 湖北）拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸相交于點A（﹣3，0），B（1，0）．下列結論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若點P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在拋物線上，且y1＜y2，則m≤﹣1．其中正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【點撥】根據二次函數的性質及數形結合思想進行判定．
【解析】解：①由題意得：y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故①是錯誤的；
②∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸相交于點A（﹣3，0），B（1，0）．
∴ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數根，
∴b2﹣4ac＞0，
故②是正確的；
③∵b＝2a，c＝﹣3a，
∴3b+2c＝6a﹣6a＝0，
故③是正確的；
④∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸相交于點A（﹣3，0），B（1，0）．
∴拋物線的對稱軸為：x＝﹣1，
當點P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在拋物線上，且y1＜y2，
∴m≤﹣1或，
解得：m＜0，
故④是錯誤的，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數與系數的關系，掌握二次函數的性質及數形結合思想是解題的關鍵．
6．（2023 南京）已知二次函數y＝ax2﹣2ax+3（a為常數，a≠0）．
（1）若a＜0，求證：該函數的圖象與x軸有兩個公共點．
（2）若a＝﹣1，求證：當﹣1＜x＜0時，y＞0．
（3）若該函數的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是 　a＞3或a＜﹣1　．
【答案】（1）證明見解析過程；
（2）證明見解析過程；
（3）a＞3或a＜﹣1．
【點撥】（1）證明b2﹣4ac＞0即可解決問題．
（2）將a＝﹣1代入函數解析式，進行證明即可．
（3）對a＞0和a＜0進行分類討論即可．
【解析】證明：（1）因為（﹣2a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，
又因為a＜0，
所以4a＜0，a﹣3＜0，
所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，
所以該函數的圖象與x軸有兩個公共點．
（2）將a＝﹣1代入函數解析式得，
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
所以拋物線的對稱軸為直線x＝1，開口向下．
則當﹣1＜x＜0時，
y隨x的增大而增大，
又因為當x＝﹣1時，y＝0，
所以y＞0．
（3）因為拋物線的對稱軸為直線x＝，且過定點（0，3），
又因為該函數的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，
所以當a＞0時，
a﹣2a+3＜0，
解得a＞3，
故a＞3．
當a＜0時，
a+2a+3＜0，
解得a＜﹣1，
故a＜﹣1．
綜上所述，a＞3或a＜﹣1．
故答案為：a＞3或a＜﹣1．
【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，熟知二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
類型三 二次函數的圖象變換
1．（2022 瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經平移后，不可能得到的拋物線是（　　）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1
【答案】D
【點撥】根據拋物線的平移規律，可得答案．
【解析】解：∵將拋物線y＝﹣x2+x+1經過平移后開口方向不變，開口大小也不變，
∴拋物線y＝﹣x2+x+1經過平移后不可能得到的拋物線是y＝﹣x2+x+1．
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，由平移規律得出a不變是解題的關鍵．
2．（2023 徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（　　）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4
【答案】B
【點撥】直接利用二次函數的平移規律，左加右減，上加下減，進而得出答案．
【解析】解：將二次函數y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故選：B．
【點睛】本題主要考查二次函數的幾何變換，掌握“左加右減，上加下減”的法則是解題的關鍵．
3．（2020 衢州）二次函數y＝x2的圖象平移后經過點（2，0），則下列平移方法正確的是（　　）
A．向左平移2個單位，向下平移2個單位 B．向左平移1個單位，向上平移2個單位
C．向右平移1個單位，向下平移1個單位 D．向右平移2個單位，向上平移1個單位
【答案】C
【點撥】求出平移后的拋物線的解析式，利用待定系數法解決問題即可．
【解析】解：A、平移后的解析式為y＝（x+2）2﹣2，當x＝2時，y＝14，本選項不符合題意．
B、平移后的解析式為y＝（x+1）2+2，當x＝2時，y＝11，本選項不符合題意．
C、平移后的解析式為y＝（x﹣1）2﹣1，當x＝2時，y＝0，函數圖象經過（2，0），本選項符合題意．
D、平移后的解析式為y＝（x﹣2）2+1，當x＝2時，y＝1，本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查二次函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的特征，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
4．（2020 陜西）在同一平面直角坐標系中，若拋物線y＝mx2+2x﹣n與y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n關于x軸對稱，則m，n的值為（　　）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3 C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
【答案】D
【點撥】根據關于x軸對稱，函數y是互為相反數即可求得．
【解析】解：∵拋物線y＝mx2+2x﹣n與y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n關于x軸對稱，
∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，
∴y＝﹣mx2﹣2x+n與y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n相同，
∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，
解得m＝6，n＝3，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，根據關于x軸對稱的坐標特征把拋物線y＝mx2+2x﹣n化成關于x軸對稱的拋物線的解析式是解題的關鍵．
5．（2022 黔東南州）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2+2x﹣1先繞原點旋轉180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是 　（1，﹣3）　．
【答案】（1，﹣3）．
【點撥】先求出繞原點旋轉180°的拋物線解析式，再求出向下平移5個單位長度的解析式，配成頂點式即可得答案．
【解析】解：將拋物線y＝x2+2x﹣1繞原點旋轉180°后所得拋物線為：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，
再將拋物線y＝﹣x2+2x+1向下平移5個單位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，
∴所得到的拋物線的頂點坐標是（1，﹣3），
故答案為：（1，﹣3）．
【點睛】本題考查二次函數圖象與幾何變換，熟知二次函數的圖象旋轉及平移的法則是解答此題的關鍵．
6．（2023 益陽）我們在學習一次函數、二次函數圖象的平移時知道：將一次函數y＝2x的圖象向上平移1個單位得到y＝2x+1的圖象；將二次函數y＝x2+1的圖象向左平移2個單位得到y＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數y＝的圖象向下平移3個單位，如圖所示，則得到的圖象對應的函數表達式是 　y＝﹣3　．
【答案】y＝﹣3．
【點撥】根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．
【解析】解：由題意，將反比例函數y＝的圖象向下平移3個單位，得到的圖象對應的函數表達式為y＝﹣3．
故答案為：y＝﹣3．
【點睛】本題考查的是一次函數、二次函數、反比例函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關鍵．
7．（2022 河北）如圖，點P（a，3）在拋物線C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的對稱軸右側．
（1）寫出C的對稱軸和y的最大值，并求a的值；
（2）坐標平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及C的一段，分別記為P′，C′．平移該膠片，使C′所在拋物線對應的函數恰為y＝﹣x2+6x﹣9．求點P′移動的最短路程．
【答案】（1）對稱軸是直線x＝6，y的最大值為4，a＝7；
（2）5．
【點撥】（1）根據拋物線的頂點式，判斷出頂點坐標，令y＝3，轉化為方程求出a即可；
（2）求出平移前后的拋物線的頂點的坐標，可得結論．
【解析】解：（1）∵拋物線C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，
∴拋物線的頂點為Q（6，4），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝6，y的最大值為4，
當y＝3時，3＝﹣（x﹣6）2+4，
∴x＝5或7，
∵點P在對稱軸的右側，
∴P（7，3），
∴a＝7；
（2）∵平移后的拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣3）2，
∴平移后的頂點Q′（3，0），
∵平移前拋物線的頂點Q（6，4），
∴點P′移動的最短路程＝QQ′＝＝5．
【點睛】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是理解題意，求出平移前后的拋物線的頂點坐標，屬于中考常考題型．
類型四 二次函數的圖象與x軸的交點
1．（2023 郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝　9　．
【答案】9
【點撥】利用判別式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出結論．
【解析】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案為：9．
【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點知識，明確Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數是解題的關鍵．
2．（2023 甘孜州）下列關于二次函數y＝（x﹣2）2﹣3的說法正確的是（　　）
A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與x軸沒有交點
C．當x＜2時，y隨x增大而增大 D．圖象的頂點坐標是（2，﹣3）
【答案】D
【點撥】由二次函數解析式可得拋物線開口方向、對稱軸、頂點坐標，與x軸的交點個數，由此解答即可．
【解析】解：A、∵a＝1＞0，圖象的開口向上，故此選項不符合題意；
B、∵y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣4x+1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，
即圖象與x軸有兩個交點，
故此選項不符合題意；
C、∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，
∴當x＜2時，y隨x增大而減小，
故此選項不符合題意；
D、∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴圖象的頂點坐標是（2，﹣3），
故此選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象性質，解題的關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．
3．（2023 陜西）如表中列出的是一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值：
x … ﹣3 0 3 5 …
y … 16 ﹣5 ﹣8 0 …
則下列關于這個二次函數的結論中，正確的是（　　）
A．圖象的頂點在第一象限 B．有最小值﹣8
C．圖象與x軸的一個交點是（﹣1，0） D．圖象開口向下
【答案】C
【點撥】由表格中的幾組數求得二次函數的解析式，然后通過函數的性質得到結果．
【解析】解：設二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c，
由題意知，
解得，
∴二次函數的解析式為y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1）＝（x﹣2）2﹣9，
∴函數的圖象開口向上，頂點為（2，﹣9），圖象與x軸的交點是（﹣1，0）和（5，0），
∴頂點在第四象限，函數有最小值﹣9，
故A、B、D選項不正確，選項C正確，符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是學會根據表格中的信息求得函數的解析式．
4．（2023 衡陽）已知m＞n＞0，若關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結論正確的是（　　）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
【答案】B
【點撥】畫出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據一元二次方程與二次函數的關系，觀察圖象可得答案．
【解析】解：關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點的橫坐標，
關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點的橫坐標，
如圖：
由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故選：B．
【點睛】本題考查一元二次方程與二次函數的關系，解題的關鍵是畫出圖象，數形結合解決問題．
5．（2023 巴中）規定：如果兩個函數的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數互為“Y函數”．例如：函數y＝x+3與y＝﹣x+3互為“Y函數”．若函數y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為 　（3，0）或（4，0）　．
【答案】（3，0）或（4，0）．
【點撥】根據關于y軸對稱的圖形的對稱點的坐標特點，分情況討論求出它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標．
【解析】解：當k＝0時，函數解析式為y＝﹣x﹣3，
它的“Y函數”解析式為y＝x﹣3，它們的圖象與x軸都只有一個交點，
∴它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為（3，0）；
當k≠0時，此函數為二次函數，
若二次函數的圖象與x軸只有一個交點，
則二次函數的頂點在x軸上，
即，
解得k＝﹣1，
∴二次函數的解析式為＝，
∴它的“Y函數”解析式為，
令y＝0，
則，
解得x＝4，
∴二次函數的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為（4，0），
綜上，它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為（3，0）或（4，0）．
故答案為：（3，0）或（4，0）．
【點睛】本題考查了新定義，二次函數與x軸的交點坐標，坐標與圖形變換——軸對稱，求一次函數解析式和二次函數解析式，理解題意，采用分類討論的思想是解題的關鍵．
6．（2023 云南）數和形是數學研究客觀物體的兩個方面，數（代數）側重研究物體數量方面，具有精確性，形（幾何）側重研究物體形的方面，具有直觀性．數和形相互聯系，可用數來反映空間形式，也可用形來說明數量關系．數形結合就是把兩者結合起來考慮問題，充分利用代數、幾何各自的優勢，數形互化，共同解決問題．
同學們，請你結合所學的數學解決下列問題．
在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數，則稱這樣的點為整點．設函數y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數a為常數）的圖象為圖象T．
（1）求證：無論a取什么實數，圖象T與x軸總有公共點；
（2）是否存在整數a，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數a的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；
（2）a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
【點撥】（1）分一次函數和二次函數分別證明函數圖象T與x軸總有交點即可；
（2）當a＝﹣時，不符合題意；當a≠時，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x＝﹣或x＝，即x＝＝2﹣，因a是整數，故當2a+1是6的因數時，是整數，可得2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，分別解方程并檢驗可得a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
【解析】（1）證明：當a＝﹣時，函數表達式為y＝12x+6，
令y＝0得x＝﹣，
∴此時函數y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數a為常數）的圖象與x軸有交點；
當a≠時，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4為二次函數，
∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，
∴函數y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數a為常數）的圖象與x軸有交點；
綜上所述，無論a取什么實數，圖象T與x軸總有公共點；
（2）解：存在整數a，使圖象T與x軸的公共點中有整點，理由如下：
當a＝﹣時，不符合題意；
當a≠﹣時，
在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，
解得x＝﹣或x＝，
∵x＝＝2﹣，a是整數，
∴當2a+1是6的因數時，是整數，
∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，
解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，
∵a是整數，
∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，其中還涉及了一次函數，二次函數與一元二次方程的關系，解題的關鍵是理解整點的意義．
類型五 二次函數的實際應用
1．（2023 宜昌）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝　10　m．
【答案】10．
【點撥】令y＝0，得到關于x的方程，解方程即可得出結論．
【解析】解：令y＝0，則﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合題意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10m．
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握二次函數的性質和利用點的坐標表示出相應線段的線段是解題的關鍵．
2．（2023 濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根頂部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水平距離也為3m，那么水管的設計高度應為 　m　．
【答案】m．
【點撥】利用頂點式求得拋物線的解析式，再令x＝0，求得相應的函數值，即為所求的答案．
【解析】解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，
∴設這段拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+3．
∵該拋物線過點（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣1）2+3．
∵當x＝0時，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，
∴水管的設計高度應為m．
故答案為：m．
【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，數形結合并熟練掌握待定系數法及二次函數的相關性質是解題的關鍵．
3．（2023 天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結論的個數是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【點撥】設AD邊長為x m，則AB邊長為長為m，根據AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根據x取值范圍判斷①；根據矩形的面積＝192．解方程求出x的值可以判斷②；設矩形菜園的面積為y m2，
根據矩形的面積公式列出函數解析式，再根據函數的性質求函數的最值可以判斷③．
【解析】解：設AD邊長為x m，則AB邊長為m，
當AB＝6時，＝6，
解得x＝28，
∵AD的長不能超過26m，
∴x≤26，
故①不正確；
∵菜園ABCD面積為192m2，
∴x ＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2，
故②正確；
設矩形菜園的面積為y m2，
根據題意得：y＝x ＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，
∵﹣＜0，20＜26，
∴當x＝20時，y有最大值，最大值為200．
故③正確．
∴正確的有2個，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程和二次函數的應用，讀懂題意，找到等量關系準確地列出函數解析式和方程是解題的關鍵．
4．（2023 德州）某商場購進了A，B兩種商品，若銷售10件A商品和20件B商品，則可獲利280元；若銷售20件A商品和30件B商品，則可獲利480元．
（1）求A，B兩種商品每件的利潤；
（2）已知A商品的進價為24元/件，目前每星期可賣出200件A商品，市場調查反映：如調整A商品價格，每降價1元，每星期可多賣出20件，如何定價才能使A商品的利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）A商品每件的利潤為12元，B商品每件的利潤為8元．
（2）定價為35元時，利潤最大，最大為2420元．
【點撥】（1）根據題意列出二元一次方程組解答即可；
（2）根據“商品利潤＝單件利潤×銷售數量“，列出二次函數解析式，將其化成頂點式，再結合“售價＝進價+利潤“解答即可．
【解析】解：（1）設A商品每件的利潤為x元，B商品每件的利潤為元，
根據題意，得，
解得：，
答：A商品每件的利潤為12元，B商品每件的利潤為8元．
（2）設降價a元利潤為w元根據題意，得：
w＝（12﹣a）（200+20a），
＝2400+240a﹣200a﹣20a，
＝﹣20a2+40a+2400，
＝﹣20（a﹣1）2+2420．
∵﹣20＜0．
∴當 a＝1 時，w有最大值，最大值為2420，此時定價 24+12﹣1＝35（元）．
答：定價為35元時，利潤最大，最大為2420元．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和二次函數的應用，讀懂題意并能列出等量關系式是解答本題的關鍵．
5．（2023 湖北）加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在當地政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地．2023年計劃將其中1000m2的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經調查發現：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/m2）與其種植面積x（單位：m2）的函數關系如圖所示，其中200 x 700；乙種蔬菜的種植成本為50元/m2．
（1）當x＝　500　m2時，y＝35元/m2；
（2）設2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？
（3）學校計劃今后每年在這1000m2土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術改進，預計種植成本逐年下降．若甲種蔬菜種植成本平均每年下降10%，乙種蔬菜種植成本平均每年下降a%，當a為何值時，2025年的總種植成本為28920元？
【答案】（1）500；
（2）當種植甲種蔬菜的種植面積為400m2，乙種蔬菜的種植面積為600m2 時，W最小；
（3）當a為20時，2025年的總種植成本為28920元．
【點撥】（1）當200≤x≤600時，由待定系數法求出一次函數關系式，當600＜x≤700時，y＝40，再求出當y＝35時y的值，即可得出結論；
（2）當200≤x≤600時，W＝（x﹣400）2+42000，由二次函數的性質得當x＝400時，W有最小值，最小值為42000，再求出當600≤x≤700時，W＝﹣10x+50000，由一次函數的性質得當x＝700時，W有最小值為43000，然后比較即可；
（3）根據2025年的總種植成本為28920元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：（1）當200≤x≤600時，設甲種蔬菜種植成本y（單位；元/m2 ）與其種植面積x（單位：m2 ）的函數關系式為y＝kx+b，
把（200，20），（600，40）代入得：，
解得：，
∴，
當600＜x≤700時，y＝40，
∴當y＝35時，35＝x+10，
解得：x＝500，
故答案為：500；
（2）當200≤x≤600時，W＝x（x+10）+50（1000﹣x）＝（x﹣400）2+42000，
∵，
∴拋物線開口向上，
∴當x＝400時，W有最小值，最小值為42000，
此時，1000﹣x＝1000﹣400＝600，
當600≤x≤700時，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，
∵﹣10＜0，
∴當x＝700時，W有最小值為：﹣10×700+50000＝43000，
∵42000＜43000，
∴當種植甲種蔬菜的種植面積為400m2，乙種蔬菜的種植面積為600m2時，W最小；
（3）由（2）可知，甲、乙兩種蔬菜總種植成本為42000元，乙種蔬菜的種植成本為50×600＝30000（元），
則甲種蔬菜的種植成本為42000﹣30000＝12000（元），
由題意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920，
設a%＝m，
整理得：（1﹣m）2＝0.64，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合題意，舍去），
∴a%＝20%，
∴a＝20，
答：當a為20時，2025年的總種植成本為28920元．
【點睛】本題考查了二次函數的應用、一元二次方程的應用以及一次函數的應用等知識，解題的關鍵：（1）用待定系數法正確求出一次函數關系式；（2）找出數量關系，正確求出二次函數關系式；（3）找準等量關系，正確列出一元二次方程．
類型六 二次函數的綜合
1．（2023 湖北）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣6（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0），B（6，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接BC．
（1）拋物線的解析式為 　y＝　；（直接寫出結果）
（2）在圖1中，連接AC并延長交BD的延長線于點E，求∠CEB的度數；
（3）如圖2，若動直線l與拋物線交于M，N兩點（直線l與BC不重合），連接CN，BM，直線CN與BM交于點P．當MN∥BC時，點P的橫坐標是否為定值，請說明理由．
【答案】（1）y＝．
（2）∠CEB＝45°．
（3）3，理由見解析．
【點撥】（1）利用待定系數法即可求解．
（2）求出直線AC，BD的解析式，聯立得出點E的坐標，根據題意，作輔助線，得出，證明△ABC∽△AEB，根據相似三角形的性質即可求解．
（3）設點M，點N的坐標，求出直線BC、CN、BM的解析式，聯立即可求解．
【解析】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣6（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0），B（6，0），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y＝．
故答案為：y＝．
（2）∵A（﹣2，0），C（0，﹣6），
設直線AC的解析式為y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣6，
同理，由點D（2，﹣8），B（6，0），可得直線BD的解析式為y＝2x﹣12，
令﹣3x﹣6＝2x﹣12，
解得x＝，
∴點E的坐標為（），
由題意可得，OA＝2，OB＝OC＝6，AB＝8，
∴AC＝，
如圖，過點E作EF⊥x軸于點F，
∴AE＝，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB，
∴∠ABC＝∠AEB，
∵OB＝OC，∠COB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠AEB＝45°，
∴∠CEB＝45°，
答：∠CEB的度數為45°．
（3）設點M的坐標為（m，），點N的坐標為（n，），
∵直線MN與BC不重合，
∴m≠0且m≠6，n≠0且n≠6，
如圖，
由點B（6，0），點C（0，﹣6），可得直線BC的解析式為y＝x﹣6，
∵MN∥BC，
設直線MN的解析式為y＝x+t，
∴x+t＝，
∴
∴m+n＝6
∴點N的坐標可以表示為（6﹣m，），
設直線CN的解析式為y＝k2x+b2，
∴，
解得，
∴直線CN的解析式為y＝，
同上，可得直線BM的解析式為y＝，
∴＝，
∴mx＝3m，
∴x＝3，
∴點P的橫坐標為定值3．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，解直角三角形，待定系數法求解析式，一次函數的平移，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
2．（2023 西寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點A（6，0），與y軸交于點B（0，﹣6），拋物線經過點A，B，且對稱軸是直線x＝1．
（1）求直線l的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，交直線1于點D，過點P作PM⊥l，垂足為M．求PM的最大值及此時P點的坐標．
【答案】（1）y＝x﹣6；
（2）y＝（x﹣1）2﹣；
（3）PM的最大值是，此時點P（3，﹣）．
【點撥】（1）運用待定系數法即可求得答案；
（2）根據拋物線的對稱軸是直線x＝1，可設y＝a（x﹣1）2+k，利用待定系數法即可求得答案；
（3）由∠PCA＝90°，∠OAB＝45°，可得∠PDM＝∠ADC＝45°，利用解直角三角形可得PM＝PD，設點P（t，t2﹣t﹣6），則D（t，t﹣6），可得PD＝t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，利用二次函數的性質即可求得答案．
【解析】解：（1）設直線l的解析式為y＝mx+n（m≠0），
∵直線l與x軸交于點A（6，0），與y軸交于點B（0，﹣6），
∴，
解得：，
∴直線l的解析式為y＝x﹣6；
（2）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，
∴y＝a（x﹣1）2+k，
∵拋物線經過點A，B，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣；
（3）∵A（6，0），B（0，﹣6），
∴OA＝OB＝6，
在△AOB中，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PC⊥x軸，PM⊥l，
∴∠PCA＝∠PND＝90°，
在Rt△ADC中，∵∠PCA＝90°，∠OAB＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠PDM＝∠ADC＝45°，
在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，∠PDM＝45°，
∴sin45°＝，
∴PM＝PD，
∵y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣6，
∴設點P（t，t2﹣t﹣6），
∴D（t，t﹣6），
∴PD＝t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴當t＝3時，PD有最大值是，此時PM最大，
PM＝PD＝×＝，
當t＝3時，t2﹣t﹣6＝×9﹣×3﹣6＝﹣，
∴P（3，﹣），
∴PM的最大值是，此時點P（3，﹣）．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法，二次函數的圖象和性質，解直角三角形等，本題難度適中，熟練掌握待定系數法和二次函數的圖象和性質是解題關鍵．
3．（2023 赤峰）定義：在平面直角坐標系xOy中，當點N在圖形M的內部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．
（1）如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在點M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“夢之點“的是 　M1，M2　；
（2）點G（2，2）是反比例函數y1＝圖象上的一個“夢之點”，則該函數圖象上的另一個“夢之點”H的坐標是 　H（﹣2，﹣2）　，直線GH的解析式是y2＝　x　，y1＞y2時，x的取值范圍是 　x＜﹣2或0＜x＜2　；
（3）如圖②，已知點A，B是拋物線y＝﹣x2+x+上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點．連接AC，AB，BC，判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【答案】（1）M1，M2；
（2）H（﹣2，﹣2），x，x＜﹣2或0＜x＜2；
（3）△ABC是直角三角形，理由見解析．
【點撥】（1）根據“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形的內部或邊上；
（2）把G（2，2）代入y1＝求出解析式，再求于y＝x的交點即為H，最后根據函數的圖象判斷y1＞y2時，x的取值范圍；
（3）根據“夢之點”的定義求出點A，B的坐標，再求出頂點C的坐標，最后求出AC，AB，BC，即可判斷△ABC的形狀．
【解析】解：（1）∵矩形ABCD的頂點坐標分別是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），
∴矩形ABCD的“夢之點”（x，y）滿足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2，
∴點M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“夢之點”，點M3（3，3）不是矩形ABCD的“夢之點”，
故答案為：M1，M2；
（2）∵點G（2，2）是反比例函數y1＝圖象上的一個“夢之點”，
∴把G（2，2）代入y1＝得k＝4，
∴y1＝，
∵“夢之點”的橫坐標和縱坐標相等，
∴“夢之點”都在y＝x的圖象上，聯立，
解得或，
∴H（﹣2，﹣2），
∴直線GH的解析式為y2＝x，
∴y1＞y2時，x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜2，
故答案為：H（﹣2，﹣2），x，x＜﹣2或0＜x＜2；
（3）△ABC是直角三角形，
理由：∵點A，B是拋物線y＝﹣上的“夢之點”，
∴y＝y2，
即﹣x2+x+＝x，
解得x1＝3，x2＝﹣3，
∴當x＝3時，y＝3，當x＝﹣3時，y＝﹣3，，
∴A（3，3），B（﹣3，﹣3），
∵y＝﹣＝﹣（x﹣1）2+5，
∴頂點C（1，5），
∴AC2＝（3﹣1）2+（3﹣5）2＝8，AB2＝（﹣3﹣3）2+（﹣3﹣3）2＝72，BC2＝（﹣3﹣1）2+（﹣3﹣5）2＝80，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了一次函數，反比例函數，二次函數，理解坐標與圖形性質，熟練掌握兩點間的距離公式，理解新定義是解題的關鍵．
4．（2023 新疆）【建立模型】（1）如圖1，點B是線段CD上的一點，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分別為C，B，D，AB＝BE．求證：△ACB≌△BDE；
【類比遷移】（2）如圖2，一次函數y＝3x+3的圖象與y軸交于點A、與x軸交于點B，將線段AB繞點B逆時針旋轉90°得到BC，直線AC交x軸于點D．
①求點C的坐標；
②求直線AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C點，已知點Q（0，﹣1），連接BQ，拋物線上是否存在點M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出點M的橫坐標．
【答案】（1）證明見解析；
（2）①C（﹣4，1）；②y＝x+3；
（3）拋物線上存在點M，使得tan∠MBQ＝，點M的橫坐標為﹣或﹣．
【點撥】（1）根據垂直定義可得∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，利用同角的余角相等可得∠A＝∠EBD，再利用AAS即可證明△ACB≌△BDE；
（2）①先求得A（0，3），B（﹣1，0），過點C作CG⊥x軸于點G，則∠BGC＝90°＝∠AOB，進而證得△BCG≌△ABO（AAS），得出BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，OG＝OB+BG＝4，即可求得點C的坐標；
②運用待定系數法即可求得直線AC的解析式；
（3）先求得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），分兩種情況：當點M在x軸上方時，當點M在x軸下方時，分別構造直角三角形，利用相似三角形的判定和性質即可求得直線BM上特殊點的坐標，運用待定系數法求得直線BM的解析式，聯立方程組求解即可得出點M的坐標．
【解析】（1）證明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）解：①∵一次函數y＝3x+3的圖象與y軸交于點A、與x軸交于點B，
∴A（0，3），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
過點C作CG⊥x軸于點G，如圖，
則∠BGC＝90°＝∠AOB，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，
∵線段AB繞點B逆時針旋轉90°得到BC，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBG＝90°，
∴∠BCG＝∠ABO，
∴△BCG≌△ABO（AAS），
∴BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，
∴OG＝OB+BG＝1+3＝4，
∴C（﹣4，1）；
②設直線AC的解析式為y＝kx+b，則，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x+3；
（3）解：拋物線上存在點M，使得tan∠MBQ＝．
∵拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C點，
當y＝0時，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
當x＝0時，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
當點M在x軸上方時，如圖，設BM交y軸于點K，過點K作KH⊥BQ于點H，
則∠KHQ＝∠KHB＝90°，
設K（0，t），
∵Q（0，﹣1），B（4，0），
∴OB＝4，OQ＝1，KQ＝t+1，
在Rt△BQO中，BQ＝＝＝，
∵∠BOQ＝90°，
∴∠KHQ＝∠BOQ，
∵∠KQH＝∠BQO，
∴△KQH∽△BQO，
∴＝＝，即＝＝，
∴QH＝（t+1），KH＝（t+1），
∴BH＝BQ﹣QH＝﹣（t+1）＝（16﹣t），
∵tan∠MBQ＝，
∴＝，
∴BH＝3KH，
∴（16﹣t）＝3×（t+1），
解得：t＝，
∴K（0，），
設直線BK的解析式為y＝mx+n，則，
解得：，
∴直線BK的解析式為y＝﹣x+，
聯立得，
解得：，（舍去），
∴M（﹣，）；
當點M在x軸下方時，如圖，過點Q作QE⊥BQ，交BM于點E，過點E作EF⊥y軸于點F，
則∠QFE＝∠BOQ＝∠BQE＝90°，
∵tan∠MBQ＝，
∴＝tan∠MBQ＝，
∴EQ＝BQ＝，
∵∠OBQ+∠BQO＝90°，∠BQO+∠EQF＝90°，
∴∠OBQ＝∠EQF，
∴△QEF∽△BQO，
∴＝＝，即＝＝，
∴EF＝，QF＝，
∴OF＝OQ+QF＝1+＝，
∴E（，﹣）；
設直線BM的解析式為y＝m′x+n′，則，
解得：，
∴直線BM的解析式為y＝x﹣，
聯立，得，
解得：（舍去），，
∴M（﹣，﹣）；
綜上所述，拋物線上存在點M，使得tan∠MBQ＝，點M的橫坐標為﹣或﹣．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法，勾股定理，直角三角形性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，旋轉變換的性質，二次函數的圖象及性質，熟練掌握三角形相似的判定及性質，直角三角形的性質，直角三角形的三角函數值，運用分類討論思想和數形結合思想是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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