資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
7.1.1數系的擴充和復數的概念
班級 姓名
學習目標
1．了解引進虛數單位i的必要性，了解數系的擴充過程．
2．理解復數的概念、表示法及相關概念．
3．掌握復數的分類及復數相等的充要條件．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 一、復數的概念及其表示1．復數的定義我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做 ，其中i叫做 ．全體復數所構成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做 ．規定i·i＝i2＝ ．2．復數的表示復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈ )．其中的a叫作復數z的 ,與b叫作復數z的 ．【即時訓練1】(1)復數z＝2＋5i的實部等于________，虛部等于________．(2)若復數z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的實部與虛部相等，則a＝________．二、復數相等的充要條件在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規定：a＋bi與c＋di相等當且僅當 且 ．【即時訓練2】已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，則x＋y＝________．三、復數的分類1．復數a＋bi(a，b∈R)2．復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系如圖所示．【即時訓練3】若復數z＝(m－2)＋(m＋1)i是純虛數，則實數m＝________．
復數的概念 【例1】給出下列說法：①復數2＋3i的虛部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的數一定是虛數；③若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數；④若兩個復數能夠比較大小，則它們都是實數．其中錯誤說法的是 .【變式1】下列說法中正確的是(　　)A．復數由實數、虛數、純虛數構成B．若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數，則必有x≠0C．在復數z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，則復數z一定不是純虛數D．若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i
復數的分類 【例2】實數x分別取什么值時，復數z＝＋(x2－2x－15)i是(1)實數？(2)虛數？(3)純虛數？
復數相等的充要條件 【例3】求滿足下列條件的實數，的值：(1)； (2)x2－y2＋2xyi＝2i .【例4】(1)若復數z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，則實數m的值等于________．(2)已知關于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有實數根，則實數m的值等于________．
課后作業
一、基礎訓練題
1．復數z＝－i的實部和虛部分別是(　　)
A．－，－　　 B．，－ C．， D．－，
2．下列命題：
①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數；
②若a，b∈R，且a>b，則a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數，則實數x＝±2；
④實數集是復數集的真子集．
其中正確的命題是(　　)
A．①　　　　 B．② C．③ D．④
3．下列命題中正確的是(　　)
A．0是實數不是復數
B．實數集與復數集的交集是實數集
C．復數集與虛數集的交集是空集
D．若實數a與ai對應，則實數集中的元素與純虛數集中的元素一一對應
4．若復數z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正實數，則實數m的值為 (　　)
A．－2 B．3 C．－3 D．±3
5．集合M＝{4,5，－3m＋(m－3)i}(其中i為虛數單位)，N＝{－9,3}，且M∩N≠ ，則實數m的值為(　　)
A．－3 B．3 C．3或－3 D．－1
6．若復數a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數，則(　　)
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2
7．設m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數，其中i是虛數單位，則m＝________．
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，則實數m＝________，n＝________．
9．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范圍．
10．求滿足下列條件的實數x，y的值：
(1)xi－i2＝y＋2i； (2)(x2＋y2)＋2xyi＝6－6i； (3)(2x－1)－(3－y)i＝0.
11．已知復數z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．
(1)若復數z是實數，求實數m的值；
(2)若復數z是虛數，求實數m的取值范圍；
(3)若復數z是純虛數，求實數m的值；
(4)若復數z是0，求實數m的值．
二、綜合訓練題
12．已知關于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實根n，且z＝m＋ni，則復數z＝(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
13．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝m2－2m－3＋(m2＋3m＋2)i(i為虛數單位)，b＝12，c＝13，∠ACB＝90°，則實數m＝________．
14．定義運算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，則實數x＝________，
y＝________．
三、能力提升題
15．已知復數z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范圍．
7.1.1數系的擴充和復數的概念
參考答案
1、【答案】B　
【解析】復數z＝－i的實部為，虛部為－．故選B．
2、【答案】D
【解析】對于復數a＋bi(a，b∈R)，當a＝0且b≠0時，為純虛數．
對于①，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數，即①錯誤；
對于②，兩個虛數不能比較大小，則②錯誤；
對于③，若x＝－2，則x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，
此時(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是純虛數，則③錯誤；
顯然，④正確．
3、【答案】B
【解析】A中，0是實數也是復數，A不正確；
B中，實數集與復數集的交集是實數集，B正確；
C中，復數集與虛數集的交集是虛數集，C不正確；
D中，當a＝0時，ai＝0，所以實數0在純虛數集中沒有對應元素，D不正確．
4、【答案】B　
【解析】由題意知解得m＝3，故選B．
5、【答案】B　
【解析】因為M∩N≠ ，所以M中的－3m＋(m－3)i必須為實數，
所以m＝3，此時實部恰為－9，滿足題意．
6、【答案】C
【解析】復數a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數，
則有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.
7、【答案】－2　
【解析】由題意知，∴m＝－2．
8、【答案】2　±2　
【解析】由復數相等的充要條件有
9、【解】∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，∴x＜－1，
∴x，y的取值范圍分別為x＜－1，y＝0．
10、【解】(1)由i2＝－1可得xi＋1＝y＋2i，根據復數相等的充要條件可得
(2)根據復數相等的充要條件可得解得 或
(3)由于0＝0＋0i，則根據復數相等的充要條件可得解得
11、【解】(1)當m2－2m－15＝0時，復數z為實數，所以m＝5或－3.
(2)當m2－2m－15≠0時，復數z為虛數．所以m≠5且m≠－3.
所以實數m的取值范圍為{m|m≠5且m≠－3}．
(3)當時，復數z是純虛數，所以m＝－2.
(4)當時，復數z是0，所以m＝－3.
12、【答案】B　
【解析】由題意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0．
所以解得所以z＝3－i．
13、【答案】－2　
【解析】由題意知a＝＝5，則解得m＝－2．
14、【答案】－1　2　
【解析】由定義運算＝ad－bc得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi．
因為x，y為實數，所以有解得x＝－1，y＝2．
15、【解】由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2 θ－3sin θ＝42－.
由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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