資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
7.1.2復數的幾何意義
班級 姓名
學習目標
1．可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系．
2．掌握實軸、虛軸、模、共軛復數等概念．
3．掌握用向量的模來表示復數的模的方法．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 一、復數的幾何意義1．復平面(1)復平面：建立了直角坐標系來表示 的平面叫做 ；(2)實軸：坐標系中的x軸叫做 ，實軸上的點都表示 ；(3)虛軸：坐標系中的y軸叫做 ，除了原點外，虛軸上的點都表示 ．2．復數的幾何意義(1)復數集C中的數與復平面內的點 ：復數z＝a＋bi復平面內的點 ；(2)復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量 ：復數z＝a＋bi平面向量 ．【即時訓練1】(1)復數z＝3－5i在復平面內對應的點的坐標是(　　)A．(3，－5)　　 　B．(3,5) C．(3，－5i) D．(3,5i)(2)若＝(0，－3)，則對應的復數(　　)A．等于0 B．等于－3 C．在虛軸上D．既不在實軸上，也不在虛軸上
閱讀教材，完成右邊的內容 二、復數的模1．定義：向量的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值，記作_______或_______(a，b∈R)．2．求法：|z|＝|a＋bi|＝_______，其中a，b∈R．3．模的幾何意義：復數z的模就是復數z＝a＋bi(a，b∈R)所對應的點Z(a，b)到原點(0,0)的距離．【即時訓練2】(1)已知復數z＝1＋2i(i是虛數單位)，則|z|＝________．(2)若復數z滿足條件|z|＝1，則在復平面內z對應的點所在的圖形的形狀為_______．若復數z滿足條件1<|z|<2，則在復平面內z對應的點所在的圖形的形狀為_______．
閱讀教材，完成右邊的內容 三、共軛復數一般地，當兩個復數的實部 ，虛部 時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做 ．復數z的共軛復數用 ____表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ ．【即時訓練3】復數z＝－3－2i的共軛復數＝________，||＝________．
復數與復平面內的點的關系 【例1】實數m取什么值時,復平面內表示復數z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的點：(1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直線y＝x上．【變式1】在復平面內，復數z＝5a＋(6－a2)i，表示其共軛復數的點在第三象限，則實數a滿足________．
復數與復平面內向量的對應 【例2】在復平面內，點A，B，C對應的復數分別為1＋4i，－3i,2，O為復平面的坐標原點．(1)求向量＋和對應的復數；(2)求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數．【變式2】(1)在復平面內，O為原點，向量表示的復數為－1＋2i，若點A關于直線y＝－x的對稱點為B，則向量表示的復數為________．(2)在復平面內，把復數3－i對應的向量按順時針方向旋轉，所得向量對應的復數是________．
復數的模及其應用 【例3】(1)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|＝________．(2)若復數z滿足z＋|z|＝2＋8i，則復數z＝________．
課后作業
一、基礎訓練題
1．復數z＝－1－2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點位于(　　)
A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，則下列各式正確的是(　　)
A．z1＞z2 B．z1＜z2 C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|
3．已知平行四邊形OABC，O，A，C三點對應的復數分別為0,1＋2i,3－2i，則的模||等于(　　)
A． B．2 C．4 D．
4．當＜m＜1時，復數z＝(3m－2)＋(m－1)i在復平面上對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如果復數z滿足條件z＋|z|＝2＋i，那么z＝(　　)
A．－＋i B．－i C．－－i D．＋i
6．(多選題)設復數z滿足z＝－1－2i，i為虛數單位，則下列命題正確的是(　　)
A．|z|＝
B．復數z在復平面內對應的點在第四象限
C．z的共軛復數為－1＋2i
D．復數z在復平面內對應的點在直線y＝－2x上
7．若復數z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是純虛數，其中m∈R，則|z|＝________．
8．復數z＝x－2＋(3－x)i在復平面內的對應點在第四象限，則實數x的取值范圍是________．
9．設z為純虛數，且|z－1|＝|－1＋i|，則復數z＝________．
10．求當實數m為何實數時，復平面內表示復數z＝(1－m)＋(4－m2)i的點位于
(1)虛軸上；(2)第二象限；(3)直線3x－y＋1＝0上．
11．在復平面內，A，B，C三點對應的復數分別為1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，對應的復數；
(2)判定△ABC的形狀．
二、綜合訓練題
12．已知復數z的模為2，則|z－i|的最大值為(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．　　　 D．3
13．若θ∈，則復數(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在復平面內所對應的點在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
三、能力提升題
14．已知復數z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求當θ滿足什么條件時，
(1)z1，z2在復平面內對應的點關于實軸對稱；
(2)|z2|＜．
7.1.2復數的幾何意義
參考答案
1、【答案】C　
【解析】z＝－1－2i對應點Z(－1，－2)，位于第三象限．
2、【答案】D　
【解析】z1，z2不能比較大小，排除選項A，B，又|z1|＝，|z2|＝，故|z1|＜|z2|．
3、【答案】D　
【解析】由于OABC是平行四邊形，故＝，因此||＝||＝|3－2i|＝．
4、【答案】D　
【解析】∵0，m－1<0，∴點(3m－2，m－1)在第四象限．
5、【答案】D　
【解析】設z＝a＋bi(a，b∈R)，由復數相等的充要條件，
得解得即z＝＋i．
6、【答案】AC　
【解析】|z|＝＝，A正確；
復數z在復平面內對應的點的坐標為(－1，－2)，在第三象限，B不正確；
z的共軛復數為－1＋2i，C正確；
復數z在復平面內對應的點(－1，－2)不在直線y＝－2x上，D不正確．
7、【答案】12　
【解析】由條件，知所以m＝3，
因此z＝12i，故|z|＝12．
8、【答案】(3，＋∞)　
【解析】∵復數z在復平面內對應的點位于第四象限，
∴解得x＞3．
9、【答案】±i　
【解析】因為z為純虛數，所以設z＝ai(a∈R，且a≠0)，
則|z－1|＝|ai－1|＝．
又因為|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i．
10、【解】∵m為實數，∴1－m,4－m2都是實數，
∴復數z＝(1－m)＋(4－m2)i對應的點的坐標為(1－m，4－m2)．
(1)復數z對應的點位于虛軸上，則解得m＝1.
(2)復數z對應的點位于第二象限，則∴故1＜m＜2.
(3)復數z對應的點位于直線3x－y＋1＝0上，則3(1－m)－(4－m2)＋1＝0，
解得m＝0或m＝3.
11、【解】(1)由復數的幾何意義知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，
所以，，對應的復數分別為1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因為||＝，||＝2，||＝，所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．
12、【答案】D　
【解析】∵|z|＝2，∴復數z對應的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓，
而|z－i|表示圓上一點到點(0,1)的距離，
∴|z－i|的最大值為圓上點(0，－2)到點(0,1)的距離，易知此距離為3，故選D．
13、【答案】B
【解析】由復數的幾何意義知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在復平面內對應點的坐標為
(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因為 θ∈，
所以cos θ＋sin θ＝sin<0，sin θ－cos θ＝sin(θ－)>0，
所以原復數在復平面內對應的點位于第二象限，故選B.
14、【解】(1)在復平面內，z1與z2對應的點關于實軸對稱，
則
(k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(2)由|z2|＜，得＜，
即3sin2θ＋cos2θ＜2，所以sin2θ＜，
所以kπ－＜θ＜kπ＋(k∈Z)．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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