資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
7.2.2復數的乘、除運算
班級 姓名
學習目標
1．掌握復數的乘法和除法運算．
2．理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 一、復數的乘法1．復數代數形式的乘法法則已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ．2．復數乘法的運算律對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝z2·z1結合律(z1·z2)·z3＝ 乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝ 【即時訓練1】(1)復數(3＋2i)i等于 ．(2)已知復數(a＋2i)(1＋i)的實部為0，其中i為虛數單位，則實數a的值是____．
閱讀教材，完成右邊的內容 二、復數的除法法則(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．【即時訓練2】已知i是虛數單位，則＝ ．
復數代數形式的乘法運算 【例1】計算：(1)(2＋3i)(2－3i)； (2)(1＋i)2； (3)(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)．【變式1】 ； ； ； ； .()
復數代數形式的除法運算 【例2】(1)復數z＝的虛部為 ；(2)若復數z滿足z(2－i)＝11＋7i(i是虛數單位)，則z為 .【變式2】計算：(1)＝ ；(2)＝ .
在復數范圍內解方程 【例3】在復數范圍內解下列方程:(1)x2＋x＋1＝0； (2)x2＋4x＋6＝0.【變式3】已知3＋2i是關于x的方程2x2＋px＋q＝0的一個根，求實數p，q的值．
課后作業
一、基礎訓練題
1．＝(　　)
A．1＋i　　 　　B．1－i C．－1＋i D．－1－i
2．如圖，在復平面內，復數z1，z2對應的向量分別是，，則復數對應的點位于(　　)
A．第一象限　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．設復數z的共軛復數是，若復數z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是實數，則實數t等于(　　)
A． B． C．－ D．－
4．已知復數z＝，則復數z在復平面內對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(多選題)下面是關于復數z＝(i為虛數單位)的命題，其中真命題為(　　)
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共軛復數為1＋i D．z的虛部為－1
6．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數單位，則a＋b＝________．
7．在復數范圍內，方程x2＋6x＋10＝0的根為x＝________．
8．計算：(1)＋； (2)；
(3)＋＋.
9．已知復數z滿足(1＋i)z＝1－3i(i是虛數單位)．
(1)求復數z的虛部；
(2)若復數(1＋ai)z是純虛數，求實數a的值；
(3)若復數z的共軛復數為，求復數的模．
10．已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個根．
(1)求實數a，b的值；
(2)結合根與系數的關系，猜測方程的另一個根，并給予證明．
二、綜合訓練題
11．(多選題)設z為復數，則下列命題中正確的是(　　)
A．|z|2＝z
B．z2＝|z|2
C．若|z|＝1，則|z＋i|的最大值為2
D．若|z－1|＝1，則0≤|z|≤2
12．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且為純虛數，則實數a的值為________，z1z2＝________．
7.2.2復數的乘、除運算
參考答案
1、【答案】D　
【解析】＝＝－1－i，選D．
2、【答案】B
【解析】由復數的幾何意義知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，對應的點在第二象限．
3、【答案】A　
【解析】∵z2＝t＋i，∴2＝t－i．z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝．
4、【答案】A
【解析】i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，i5＋i6＋i7＋i8＝i＋i2＋i3＋i4＝0，
所以i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2025＝i.
所以z＝＝＝＋i，所以對應點在第一象限，故選A.
5、【答案】BD　
【解析】∵z＝＝＝－1－i，
∴|z|＝，A錯誤；z2＝2i，B正確；
z的共軛復數為－1＋i，C錯誤；
z的虛部為－1，D正確．故選BD．
6、【答案】1　
【解析】∵＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1．
7、【答案】－3±i
【解析】因為b2－4ac＝62－4×1×10＝－4<0，
所以x＝＝＝＝－3±i.
8、【解】(1)＋＝＋＝i－i＝0.
(2)＝＝＝
＝＝－2－2i.
(3)原式＝＋1012＋＝i＋(－i)1012＋＝i+1＋0＝1＋i.
9、【解】(1)由(1＋i)z＝1－3i，得z＝＝＝＝－1－2i，
∴復數z的虛部為－2.
(2)(1＋ai)z＝(1＋ai)(－1－2i)＝2a－1－(2＋a)i，
∵復數(1＋ai)z是純虛數，∴解得a＝.∴實數a的值為.
(3)由z＝－1－2i，得＝－1＋2i.
則＝＝＝＝－1－i，∴|z|＝＝.
∴復數的模為.
10、【解】(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得a＝2，b＝2.
(2)由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0.設另一個根為x2，由根與系數的關系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，
∴x2＝－1－i是方程的另一個根
11、【答案】ACD　
【解析】對于A∶z＝a＋bi(a，b∈R，則＝a－bi，∴|z|2＝a2＋b2，
而z＝a2＋b2，所以|z|2＝z成立；
對于B∶z＝a＋bi(a，b∈R)，當ab均不為0時，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；
對于C∶|z|＝1可以看出以O(0,0)為圓心，1為半徑的圓上的點P，
|z＋i|可以看成點P到Q(0，－1)的距離，所以當P(0,1)時，可取|z＋i|的最大值為2；
對于D∶|z－1|＝1可以看出以M(1,0)為圓心，1為半徑的圓上的點N，
則|z|表示點N到原點距離，故O，N重合時，|z|＝0最小，
當O，M，N三點共線時，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2．
12、【答案】　16－i　
【解析】＝＝＝＝，
∵為純虛數，∴∴a＝．
∴z1·z2＝(3－4i)＝8－i＋6i＋8＝16－i．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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