資源簡介

5 平方差公式
一、學習目標
1、經歷探索平方差公式的過程，進一步發展符號感和推理能力
2、會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的計算和推理
二、重點難點
重點：運用平方差公式進行簡單的計算和推理
難點：理解理解平方差公式及其探索過程
【學習策略】自主探究與合作交流相結合。
【學習過程】
一、復習回顧
計算：（多項式乘多項式）
(1) (2)
(3) (-2x-y)2 (4) (x+y)(x2-xy+y2)
二、新課學習
1.計算下列各題，并用自己的語言敘述你的發現
(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a)
(3) x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z)
你的發現：________________________________________________________
再舉例驗證你的發現：例：歸納：平方差公式：(a+b)(a-b)=__________________
語言敘述：________________________________________________
老師的提示：人們把某些特殊形式的多項式相乘寫成公式，加以記憶、套用，以使計算快速、簡潔. 在運用公式的過程中，要準確的把握公式的特點，平方差公式的特點：左邊是兩個數的和乘這兩個數的差，右邊是這兩個數的平方差，那么在運用公式時，認準“這兩個數”就成了問題的關鍵. 分析下面式子，你能認出那一部分是兩數和？那一部分是這兩數的差？兩個數分別是什么？結果應該是哪個數的平方減去哪個數的平方嗎？
(1) (5+6x)(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y) (3) (-m+n)(-m-n)
現在你能計算了嗎？
例1 利用平方差公式計算
(1) (5+6x)(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y)
(3) (4) (-m+n)(-m-n)
例2 利用平方差公式計算
(1) (2)
探索平方差公式的幾何背景
如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形
(1) 請表示圖中陰影部分的面積_____________________
(2) 小穎將陰影部分拼成了一個長方形（如圖），這個長方形的長和寬分別是多少？__________，它的面積是___________________
(3) 比較（1）（2）的結果，你能驗證平方差公式嗎？說一說驗證的理由
利用平方差公式探索規律
(1) 計算下列各組算式，并觀察它們的共同特點
(2) 從以上的過程中，你發現了什么規律？_______________________
(3) 請用字母表示這一規律，你能說明它的正確性嗎？
例3 用平方差公式進行計算
(1) (2)
例4 計算：
(1) (2)
三、嘗試應用：
1．利用平方差公式計算
(1) (a+2)(a-2) (2) (3a+2b)(3a-2b)
(3) (mn-3n)(mn+3n) (4) (–x-1)(-x+1)
2．利用平方差公式計算
(1) (-4k+3)(-4k-3) (2)
(3) (-2b- 5) (2b -5) (4) x2+(y-x)(y+x)
(5) (an+b)(an-b) (6) (a+1)(a-1)(a2+1)
3. 計算：
(1) (2)
4、計算：
(1) (2) x(x+1)+(2-x)(2+x)
四、自主總結：
把(a+b)(a-b)＝a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式。
五、達標測試
一．選擇題（共3小題）
1．運用乘法公式計算（a+3）（a﹣3）的結果是（　　）
A．a2﹣6a+9 B．a2﹣3a+9 C．a2﹣9 D．a2﹣6a﹣9
2．（x+2）（x﹣2）（x2+4）的計算結果是（　　）
A．x4+16 B．﹣x4﹣16 C．x4﹣16 D．16﹣x4
3．下列各式中不能用平方差公式計算的是（　　）
A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）
二．填空題（共3小題）
4．已知a+b=10，a﹣b=8，則a2﹣b2=　 　．
5．計算：2017×1983=　 　．
6．已知 （x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a=　 　．
三．解答題（共3小題）
7．計算：20172﹣2016×2018．
8．通過學習同學們已經體會到靈活運用乘法公式給整式的乘法運算帶來的方便、快捷，相信通過下面材料的學習、探究，會使你大開眼界，并獲得成功的喜悅．
例：用簡便方法計算195×205．
解：195×205
=（200﹣5）（200+5）①
=2002﹣52　 ②
=39975．
（1）例題的求解過程中，第②步變形是利用　 　（填乘法公式的名稱）；
（2）用簡便方法計算：20172﹣2016×2018．
9．你能化簡（x﹣1）（x2017+x2016+x2015+…+x+1）嗎？遇到這樣的復雜問題時，我們可以先從簡單的情形入手，然后歸納出一些方法．
（1）分別化簡下列各式：
（x﹣1）（x+1）=　 　；
（x﹣1）（x2+x+1）=　 　；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　 　；
…
由此猜想：第101個式子　 　．
（2）請你利用上面的猜想，化簡：
22017+22016+22015+…+2+1．
答案：
5 平方差公式
一．選擇題（共3小題）
1.．【解析】選C．：（a+3）（a﹣3）=a2﹣32=a2﹣9，
【點評】本題主要考查平方差公式，熟練掌握（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2是關鍵．
2.【解析】原式=（x2﹣4）（x2+4）=x4﹣16，
選：C．
【點評】本題考查了平方差公式，運用平方差公式計算時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方．　
3. 【解析】選A．解：A、由于兩個括號中含x、y項的符號都相反，故不能使用平方差公式，A正確；
B、兩個括號中，﹣x相同，含y的項的符號相反，故能使用平方差公式，B錯誤；
C、兩個括號中，含x項的符號相反，y項的符號相同，故能使用平方差公式，C錯誤；
D、兩個括號中，含x項的符號相反，y項的符號相同，故能使用平方差公式，D錯誤；
【點評】本題考查了平方差公式．注意兩個括號中一項符號相同，一項符號相反才能使用平方差公式．
　二．填空題（共3小題）
4.【解析】：∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，
∴a2﹣b2=10×8=80，
答案：80
【點評】本題考查平方差公式，解題的關鍵是熟練運用平方差公式，本題屬于基礎題型．　
5.【解析】：原式=（2000+17）（2000﹣17）=20002﹣172=4000000﹣289=3999711．
答案：3999711．
【點評】本題考查了平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差，即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
6.【解析】：根據平方差公式，
（x﹣a）（x+a）=x2﹣a2，
由已知可得，a2=9，
所以，a=±=±3．
答案：±3．
【點評】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
三．解答題（共3小題）
7.【解析】：原式=20172﹣（2017﹣1）（2017+1）
=20172﹣（20172﹣1）
=1．
【點評】本題考查了平方差公式，利用平方差公式是解題關鍵．
8.【解析】：（1）平方差公式，
故答案為平方差公式；
（2）原式=20172﹣（2017﹣1）（2017+1）
=20172﹣20172+1
=1．
【點評】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的應用是解題的關鍵．
9.【解析】解：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
所以第101個式子=（x﹣1）（x101+x100+…+x+1）=x102﹣1；
（2）22017+22016+22015+…+2+1=（2﹣1）（22017+22016+…+2+1）=22018﹣1；
故答案為：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（x﹣1）（x101+x100+…+x+1）=x102﹣1．
【點評】此題考查了整式混合運算的應用，找出其中的規律是解本題的關鍵．

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