資源簡介

比例函數的綜合應用 培優練習
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
反比例函數的綜合應用 應用反比例函數的知識解決問題 ★★
二、核心綱要
1.反比例函數與實際問題.
2.反比例函數與一次函數的綜合.
3.反比例函數與二次函數的綜合.
4.反比例函數與幾何的綜合.
本節重點講解：反比例函數的綜合運用.
三、全能突破
基礎演練
1.如圖26-2-1所示,反比例函數 的圖像與一次函數y=kx+b的圖像交于點M、N，已知點M 的坐標為(1，3)，點 N的縱坐標為-1，根據圖像信息可得關于 x的方程 的解為( ).
B. -3,3 C.-1,1 D.3,-1
2.如圖26-2-2所示,函數. 和函數 的圖像相交于點M(2,m),N(--1,n),若. 則x的取值范圍是( ).
A. x<-1或02 C.-12
3.給出下列命題及函數 和 的圖像,如圖26-2-3所示.
①如果 那么01;
③如果 那么-1A.正確的命題是①④ B.錯誤的命題是②③④
C.正確的命題是①② D.錯誤的命題只有③
4.閱讀以下材料并填空：
問題：當x滿足什么條件時，
解：設 則在同一直角坐標系中畫出這兩個函數的草圖.如圖 26-2-4(a)所示.
聯立兩個函數的解析式得： 解得 或
∴兩個圖像的交點為(1,1)和(-1,-1).∴由圖(a)可知,當-11時,
(1)上述解題過程用的數學思想方法是 .
(2)根據上述解題過程，試猜想 時,x的取值范圍是 (圖26-2-4(b)為備用圖).
(3)試根據上述解題方法，當x滿足什么條件時，
5.如圖26-2-5 所示,正比例函數 的圖像與反比例函數 在第一象限的圖像交于 A 點，過 A 點作x 軸的垂線，垂足為 M，已知 的面積為1.
(1)求反比例函數的解析式.
(2)如果 B 為反比例函數在第一象限圖像上的點(點 B 與點 A 不重合)，且 B 點的橫坐標為1，
①在x軸上求一點P,使 PA+PB最小;
②在 y軸上求一點Q,使 QA-QB 最大.
6.如圖 26-2-6所示，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數 的圖像與一次函數y=-x+b的圖像的一個交點為A(4，m).
(1)求一次函數的解析式.
(2)設一次函數 的圖像與y軸交于點B，P 為一次函數y=-x+b的圖像上一點，若 的面積為5，求點 P 的坐標.
(3)在x軸上是否存在點P，使 為等腰三角形 若存在，寫出點 P 的坐標，若不存在，說明理由.
7.直線y=-x--2與反比例函數 的圖像交于A、B 兩點，且與x、y軸交于C、D 兩點，A 點的坐標為
(1)求反比例函數的解析式.
(2)把直線 AB 繞著點M(-1，-1)順時針旋轉到 MN，使直線 MN⊥x軸，且與反比例函數的圖像交于點 N，求旋轉角大小及線段 MN 的長.
8.據媒體報道，近期“手足口病”可能進入發病高峰期，某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“手足口病”，對教室進行“薰藥消毒”。已知藥物在燃燒及釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量y(毫克)與燃燒時間x(分鐘)之間的關系如圖26-2-7 所示(即圖中線段 OA 和雙曲線在A 點右側的部分)，根據圖像所示信息，解答下列問題：
(1)寫出從藥物釋放開始，y與x之間的函數關系式及自變量的取值范圍.
(2)據測定，當空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時，對人體無毒害作用，那么從消毒開始，至少在多長時間內，師生不能進入教室
能力提升
9.(1)若一次函數 y=kx+1的圖像繞點(0，1)旋轉一定角度得到的圖像與反比例函數 的圖像沒有公共點，則實數 k的取值范圍是 .
(2)如果一次函數 y=mx+n(m≠0)與反比例函數 的圖像相交于點 ，那么該直線與雙曲線的另一個交點為
10.如圖 26-2-8 所示,A(-1,6)是雙曲線 上的一點，P 為 y 軸正半軸上一點，將 A 點繞 P點逆時針旋轉 90°，恰好落在雙曲線上的另一點 B，則 P 點的坐標為 .
11.如圖26-2-9 所示,已知一次函數和函數 的圖像交于A、B 兩點，過點 A 作AE⊥x軸于點E，若△AOE 的面積為2，P 是坐標平面上的點，且以點 B、O、E、P 為頂點的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的 P 點坐標是 .
12.在平面直角坐標系xOy中，已知反比例函數 滿足：當x<0時，y隨x的增大而減小.若該反比例函數的圖像與直線 都經過點P，且 則實數 k= .
13.如圖26-2-10 所示,過點 C(1,2)分別作 x軸、y軸的平行線,交直線 y=-x+6于 A、B 兩點,若反比例函數 的圖像與△ABC有公共點，則k的取值范圍是 .
14.如圖 26-2-11所示,M為雙曲線 上的一點，過點 M 作x軸、y軸的垂線，分別交直線 y=-x+m于點 D、C兩點,若直線y=--x+m與y軸交于點A,與 x軸相交于點 B,則 AD·BC 的值為 .
15.探究與應用：
已知點 P 的坐標為(m,0),在x軸上存在點Q(不與 P 點重合),以 PQ為邊作正方形 PQMN,使點 M落在反比例函數 的圖像上.小明對上述問題進行了探究，發現不論m取何值，符合上述條件的正方形只有兩個，且一個正方形的頂點 M 在第四象限，另一個正方形的頂點 M 在第二象限.
(1)如圖26-2-12所示，若反比例函數解析式為 P點坐標為(1，0)，圖中已畫出一符合條件的一個正方形 PQMN，請你在圖中畫出符合條件的另一個正方形 PQ M N .
(2)請你通過改變 P 點坐標，對直線 M M的解析式y=kx+b進行探究可得k= ，若點 P 的坐標為(m,0)時,則
(3)依據(2)的規律，如果點 P 的坐標為(6，0)，請你直接寫出點. 和點 M 的坐標.
16.“三等分角”是數學史上一個著名問題，但僅用尺規不可能“三等分角”.下面是數學家帕普斯借助函數給出的一種“三等分銳角”的方法(如圖 26-2-13 所示)，將給定的銳角. 置于直角坐標系中，邊 OB 在x 軸上、邊 OA與函數 的圖像交于點 P，以 P 為圓心，以 2OP 為半徑作弧交圖像于點R.分別過點 P 和 R 作 x 軸和 y 軸的平行線，兩直線相交于點 M，連接 OM 得到得到 則 要明白帕普斯的方法，請你研究以下問題：
(1)設 求直線 OM 相對應的函數解析式(用含 a，b的代數式表示).
(2)分別過 P 和R 作 y 軸和x 軸的平行線，兩直線相交于點 Q，請說明 Q點在直線OM 上，據此證明
17.已知反比例函數 的圖像經過點.
(1)試確定此反比例函數的解析式.
(2)點O是坐標原點，將線段OA 繞O 點順時針旋轉 30°得到線段 OB，判斷點 B 是否在此反比例函數的圖像上，并說明理由.
(3)已知點 也在此反比例函數的圖像上(其中m<0)，過P點作x軸的垂線，交x軸于點 M.若線段 PM上存在一點 Q，使得△OQM的面積是 設Q點的縱坐標為n，求 的值.
18.如圖26-2-14所示,拋物線 過點A(--1,0),B(3,0),其對稱軸與x軸的交點為C,反比例函數 k是常數)的圖像經過拋物線的頂點 D.
(1)求拋物線和反比例函數的解析式.
(2)在線段 DC上任取一點E,過點 E 作x軸平行線,交 y軸于點 F、交雙曲線于點 G,連接 DF、DG、FC、GC.
①若 的面積為4，求點G的坐標；
②當 DF=GC時,求直線 DG的函數解析式.
中考鏈接
19.(安徽)如圖 26-2-15(a)所示,在矩形 ABCD 中, ，y與x滿足的反比例函數關系如圖26-2-15(b)所示，等腰直角三角形 AEF 的斜邊EF 過點C，M是EF 的中點，下列結論正確的是( ).
A.當 時, B.當 時,
C.當x增大時,EC·CF的值增大 D.當 y增大時,BE·DF 的值不變
20.(杭州)在平面直角坐標系內，反比例函數和二次函數 的圖像交于點A(1,k)和點
(1)當 時，求反比例函數的解析式.
(2)要使反比例函數和二次函數都是 y 隨著x的增大而增大，求 k應滿足的條件以及x的取值范圍.
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(3)設二次函數的圖像的頂點為 Q，當 是以AB 為斜邊的直角三角形時，求 k的值.
巔峰突破
21.閱讀理解：對于任意正實數a、b， 只有當a=b時，等號成立.
結論：在(a+b≥2 /ab(a、b均為正實數)中，若ab為定值p，則( 只有當a=b時,a+b有最小值
根據上述內容，回答下列問題：若 m>0，只有當 m= 時， 有最小值 .
探索應用：
(1)過原點O的直線l與反比例函數. 的圖像交于P、Q兩點，則線段 PQ長度的最小值為 ；若點 A 為反比例函數 在第一象限的圖像上的一動點，過點 A 分別作AB⊥x軸、AC⊥y軸，垂足分別為 B、C.則四邊形 OBAC 周長的最小值為 .
(2)如圖26-2-16 所示,已知A(-3,0),B(0,-4),P 為雙曲線. >0)上的任意一點,過點 P 作 PC⊥x軸于點C,PD⊥y軸于點 D.求四邊形 ABCD 面積的最小值，并說明此時四邊形 ABCD 的形狀.
22.在平面直角坐標系xOy中，A，B兩點在函數 的圖像上，其中 軸于點C,BD⊥x軸于點 D,且 AC=1.
(1)若k =2,,則 AO的長為 ,△BOD的面積為 .
(2)如圖26-2-17(a)所示,若點 B 的橫坐標為k ,且k >1,當AO=AB時,求 k 的值.
(3)如圖26-2-17(b)所示,OC=4,BE⊥y軸于點E,函數 的圖像分別與線段 BE，BD 交于點M,N,其中( 將△OMN的面積記為S ,△BMN的面積記為S ,若. —S ，求 S與k 的函數關系式以及 S的最大值.
基礎演練
1. A 2. D 3. A
4.(1)數形相結合 (2)0(3)由圖像可知： 與 的交點坐標為(1.1).
∴當x>1或x<0時,
5.(1)設A 點的坐標為(a,b),則
反比例函數的解析式為
(2)由 y . A為(2.1).
又 B點橫坐標為1.∴B為(1.2).
①設A點關于x軸的對稱點為C，則C點的坐標為(2，-1).
令直線 BC的解析式為.y=mx+n.
∵B為( BC的解析式為y=-3x+5.
當y=0時, ∴P點為( .0).
②連接AB 并延長與y軸交于點Q,此時QA-QB 最大.
設直線 AB的解析式為y=kx+b(k≠0),則有
解得
∴直線AB的解析式為y=-x+3.
∴點Q坐標為(0,3).
6.(1)y=-x+5.
(2)由題意,得 B(0,5),∴OB=5.設 P點的橫坐標為xp.
∵△OBP的面積為5.
∴點 P 的坐標為(2,3)或(-2,7).
(3)(8,0),(- /17.0),( /17.0).( .0).
7.(1)將點 A(-3,k+4)代入直線y=-x-2
得k+4=-(-3)-2解得k=-3.
∴點 A(-3.1)于是反比例函數的解析式為
(2)C、D兩點的坐標為(-2,0)、(0,-2).∴在△OCD 中, 所以旋轉角為 45°. 點 M、N 的坐標為(-1.-1),(-1,3)∴MN的長度為4.
8.(1)設反比例函數解析式為 將(25.6)代入解析式得,k=25×6=150,則函數解析式為
將 y=10代入解析式得 故 A(15.10).
設正比例函數解析式為y=nx.
將A(15.10)代入上式可得 則正比例函數解析式為
(2)當 得x=75.
答：從消毒開始，師生至少在75分鐘內不能進入教室.
能力提升
9.(1)k<-1/4(2)(-1.-1)10. P(0.3)或P(0.4)
11. P (0.-4). P (-2.-4). P (2.4) 12.
13.2≤k≤9
14.2
15.(1)如下圖所示
(2)k=-1. b=m
(3)M 的坐標為( ,M的坐標為(3+
16.(1)設直線OM的函數關系式為y=kx,P(a, )、R(b, 則M(
∴直線OM的函數關系式為
(2)∵Q的坐標 滿足
∴點Q在直線OM 上.
∵四邊形 PQRM是矩形。
∴∠SQR=∠SRQ.
∵PR=2OP,∴PS=OP= PR.
∴∠POS=∠PSO.
∵∠PSQ是△SQR的一個外角。
∴∠PSQ=2∠SQR.
∴∠POS=2∠SQR.
∵QR∥OB.
∴∠MOB=∠SQR.
∴∠POS=2∠MOB.
(2)如下圖所示，過點A作x軸的垂線交x軸于點C.
在 Rt△AOC 中, OC= , AC = 1.可得 OA =
由題意,∠AOB=30°,OB=OA=2,∴∠BOC=60°.
過點 B作x軸的垂線交x軸于點 D.
在 Rt△BOD 中,可得 BD= . OD=1.
∴B點坐標為(-1, ).
將x=-1代入 中，得
∴點B(-1. )在反比例函數 的圖像上.
(3)由 得
∵點 在反比例函數 的圖像上，其中
∵PQ⊥x軸,∴Q點的坐標為(m,n).
∵△OQM的面積是
18.(1)∵拋物線 過點A(-1,0),B(3,0)
解得
∴拋物線的解析式為. ∴頂點 D(1.4)函數 m是常數)圖像經過 D(1,4),
∴k=4.
(2)①設G點的坐標為
據題意，可得 E 點 的 坐 標 為(1.4/m). F.點 的坐標為((0.4m).
∵m>1,∴FG=m,DE=4- /m.
由△DFG的面積為4,即 得m=3.
∴點G的坐標為
②∵FC∥DG,∴當FD=CG時,有兩種情況:
當 FD∥CG時,四邊形 DFCG是平行四邊形.
由上題得 得m=2.
∴點G的坐標是(2.2).
設直線 DG的函數解析式為y=kx+b，把點 D，G的坐標代入。
得 解得
∴直線AB的函數解析式是y=-2x+6.
當 FD與CG 所在直線不平行時，四邊形 ADCB 是等腰梯形.
則 DC=FG,∴m=4,∴點G的坐標是(4,1).
設直線AB的函數解析式為y=kx+b.把點 D，G 的坐標代入。
得 解得
∴直線AB的函數解析式是y=-x+5.
綜上所述，所求直線 DG的函數解析式是y=-2x+6或y=-x+5.
中考鏈接
19. D
20.(1)當k=-2時,A(1,-2).∵A在反比例函數圖像上。
∴設反比例函數的解析式為： 代入A(1,-2)得: 解得：m=-2.
∴反比例函數的解析式為
(2)∵要使反比例函數和二次函數都是 y隨著x的增大而增大,∴k<0.
∵二次函數 的對稱軸為：直線
要使二次函數. 滿足上述條件，在 k<0的情況下，x必須在對稱軸的左邊。
即 時，才能使得y隨著x的增大而增大，∴綜上所述。,k<0」且
(3)由(2)可得
∵△ABQ是以AB 為斜邊的直角三角形，A 點與B 點關于原點對稱(下圖是其中的一種情況)
∴原點O平分AB,∴OQ=OA=OB,
作 AD⊥OC,QC⊥OC.
解得
21.閱讀理解:1:2
探索應用:(1)2/2;4
(2)設P(x, ),則C(x,0), D(0. ).
化簡得
只有當x= ,即x=3|時，等號成立.
∴S≥2×6+12=24.∴S四邊形ABCD有最小值24.
此時,P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5.
∴四邊形ABCD 是菱形.
22.(1) AO的長為 ,△BOD 的面積為1;
(2)∵A,B 兩點在函數 的圖像上，
∴點A,B的坐標分別為(1,k ),(k ,1).
∵AO=AB,由勾股定理得
解得 或
(3) 如下圖所示,∵OC=4,∴點A的坐標為(1,4).
設點 B的坐標為
∵BE⊥y軸于點E,BD⊥x軸于點 D,
∴四邊形 ODBE 為矩形,且 S四邊形ODBE=4,點 M 的縱坐標為 ，點N的橫坐標為m.
∵點M,N在函數 的圖像上，
∴點M的坐標為 點 N 的坐標為
·
其中 而
∴當k =2時,S的最大值為1.

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