資源簡介

相似三角形的綜合應用
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
相似三角形的綜合應用 利用相似三角形的知識解決問題 ★★
二、核心綱要
常見的相似模型如下：
(1)母子型 (2)雙垂型 (3)三垂直型
本節重點講解：模型的應用，相似三角形與其他知識的綜合.
三、全能突破
基礎演練
1.如圖27-2-1 所示,正方形 ABCD 的邊長為4,M、N 分別是 BC、CD 上的兩個動點,且始終保持 當 時，四邊形 ABCN的面積最大.
2.如圖27-2-2所示,在等邊 中,P 為BC 上一點,D為AC 上一點,且 則△AB 的周長為 .
3.如圖27-2-3 所示,在△ABC中,AB=AC= 5,BC= 8,D,E 分別為BC、AB邊上一點,
(1)求證:△BDE∽△CAD.
(2)若CD=2,求 BE的長.
(3)設CD=x,AE=y,求 y關于x 的函數關系式,并寫出自變量 x的取值范圍.
4.如圖27-2-4 所示,C 是以AB 為直徑的⊙O上一點,過點 O 作OE⊥AC 于點 E,過點 A 作⊙O的切線交OE 的延長線于點F，連接CF 并延長交 BA 的延長線于點 P.
(1)求證:PC是⊙O的切線.
(2)若 AB=4,AP: PC=1:2,求CF的長.
5.如圖27-2-5 所示,AB 為⊙O 的直徑,BC 切⊙O 于點 B,AC 交⊙O 于點 D,E 為 BC中點.
求證:(1)DE為⊙O的切線.
(2)延長 ED 交 BA 的延長線于 F,若DF=4,AF=2,求 BC的長.
能力提升
6.如圖27-2-6所示,已知AB∥EF∥CD,AB=30,CD=50,則 EF的長為 .
7.如圖27-2-7所示,在Rt△ABC中,∠ABC 是直角,. ,P 是BC 邊上的動點,設.BP=x,若能在 AC 邊上找到一點Q，使 則x的取值范圍是 .
8.如圖27-2-8 所示,正方形 ABCD的邊長為10,內部有6個全等的正方形,小正方形的頂點 E、F、G、H分別落在邊AD、AB、BC、CD上,則 DE 的長為 .
9.操作:如圖 27-2-9 所示,在正方形 ABCD中,P 是CD上一動點(與C、D 不重合),使三角板的直角頂點與點 P 重合，并且一條直角邊始終經過點 B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點 E.
探究：①觀察操作結果，哪一個三角形與△BPC 相似，寫出你的結論(找出兩對即可)；并選擇其中一組說明理由.
②當點 P 位于CD 的中點時，直接寫出①中找到的兩對相似三角形的相似比和面積比.
10.操作:如圖 27-2-10(a)所示,點O為線段MN 的中點,直線 PQ與MN 相交于點O,請利用圖27-2-10(a)畫出一對以點 O 為對稱中心的全等三角形.
根據上述操作得到的經驗完成下列探究活動：
探究一:如圖 27-2-10(b)所示,在四邊形 ABCD中,AB∥DC,E為BC邊的中點,∠BAE=∠EAF,AF 與DC 的延長線相交于點 F. 試探究線段AB 與AF、CF 之間的等量關系，并證明你的結論.
探究二:如圖27-2-10(c)所示,DE、BC相交于點E,BA交DE 于點A,且 BE:EC=1:2,∠BAE=∠EDF,CF∥AB.若AB=5,CF=1,求 DF 的長度.
11.如圖27-2-11(a)所示,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CP 平分∠ACB,CP 與AB 交于點D,且 PA
(1)請你過點 P 分別向 AC、BC作垂線,垂足分別為點 E、F,并判斷四邊形 PECF 的形狀.
(2)求證: 為等腰直角三角形.
(3)設 ，試用m、n的代數式表示△ABC的周長.
(4)試探索當邊 AC、BC的長度變化時， 的值是否發生變化，若不變，請直接寫出這個不變的值,若變化,試說明理由(圖27-2-11(b)為備用圖).
12.數學課上，張老師給出圖27-2-12(a)和下面框中條件：
如圖27-2-12(a)所示，兩塊等腰直角三角板ABC和DEF 有一條邊在同一條直線l上，， DEF=90°,AB=1,DE=2.將直線 EB繞點 E 逆時針旋轉4 ,交直線 AD 于點M.將圖27-2-|12(a)中的三角板 ABC沿直線l向右平移，設C、E兩點間的距離為x.
請你和艾思軻同學一起嘗試探究下列問題：
(1)①當點C與點 F 重合時,如圖27-2-12(b)所示,可得 的值為 ；
②在平移過程中， 的值為 (用含 x的代數式表示).
(2)艾思軻同學將圖27-2-12(b)中的三角板 ABC繞點C 逆時針旋轉，原題中的其他條件保持不變.當點 A 落在線段 DF 上時，如圖 27-2-12(c)所示，請你幫他補全圖形，并計算 的值.
(3)艾思軻同學又將圖27-2-12(a)中的三角板 ABC 繞點C 逆時針旋轉 度，原題中的其他條件保持不變.請你計算 的值(用含x的代數式表示).
中考鏈接
13如圖 27-2-13 所示,在 中,AB=AC,D為BC 的中點,以 D為頂點作∠MDN=∠B.
(1)如圖27-2-13(a)所示,當射線 DN 經過點A 時,DM交AC 邊于點 E,不添加輔助線,寫出圖中所有與△ADE 相似的三角形.
(2)如圖27-2-13(b)所示,將∠MDN 繞點D 沿逆時針方向旋轉,DM、DN分別交線段AC、AB 于 E、F 點(點 E 與點A 不重合)，不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論.
(3)在圖27-2-13(b)所示中,若AB=AC=10,BC=12,當△DEF 的面積等于△ABC 的面積的 時,求線段EF的長.
14.(山東臨沂)在矩形 ABCD 中,∠ACB =30°,將一塊直角三角板的直角頂點 P 放在兩對角線AC、BD 的交點處，以點 P 為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊 AB、BC所在的直線相交，交點分別為 E、F.
(1)當 PE⊥AB,PF⊥BC時,如圖27-2-14(a)所示,則 的值為 .
(2)現將三角板繞點 P 逆時針旋轉α(0°<α<60°)角,如圖 27-2-14(b)所示,求 的值.
(3)在(2)的基礎上繼續旋轉，當( ,且使AP: PC=1:2時,如圖27-2-14(c)所示, 的值是否變化 證明你的結論.
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巔峰突破
15.在平面內，先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為 k，并且原多邊形上的任一點 P，它的對應點 在線段OP 或其延長線上；接著將所得多邊形以點O為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度θ，這種經過縮放和旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換，記為O(k，θ)，其中點O叫做旋轉相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉角.
(1)填空
①如圖 27-2-15(a)所示,將 以點A 為旋轉相似中心放大為原來的 2 倍，再逆時針旋轉60°,得到 ，這個旋轉相似變換記為 A( ， )；
②如圖27-2-15(b)所示,. 是邊長為 1cm的等邊三角形，將它作旋轉相似變換 90),得到 ,則線段 BD的長為 cm.
(2)如圖27-2-15(c)所示,分別以銳角三角形 ABC 的三邊 AB、BC、CA 為邊向外作正方形 ADEB、BF-GC、CHIA,點 分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用， 與 與 之間的關系，運用旋轉相似變換的知識說明線段( 與 之間的關系.
16.(1)如圖27-2-16(a)所示,在四邊形 ABDC中,. 猜想 與 的11大小關系(直接寫出結論)
(2)如圖27-2-16(b)所示,在四邊形 ABDC 中,. 猜想 2AD 與 的大小關系并證明.
基礎演練
1.2 2.9
3.(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵ ∠ADE+∠BDE=∠ADB =∠C+∠CAD,∠ADE=∠C,
∴∠BDE =∠CAD. ∴△BDE∽△CAD.
(2)由(1)得DB=△D.∵AB=AC= 5,BC= 8,CD=2,
∴DB=BC-CD=6.
(3)由已知BE=5-y;BD=8-x.∵△BDE∽△CAD.
即
4.(1)連接OC,如下圖所示 .∵ OE⊥AC,∴AE=CE.
∴FA=FC.
∴∠FAC=∠FCA.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA. 即∠FAO=∠FCO.
∵FA與⊙O相切,且AB是⊙O的直徑,∴ FA⊥AB.
∴∠FCO=∠FAO=90°.∴ PC 是⊙O的切線.
(2)∵∠PCO=90°,即∠ACO +∠ACP =90°.
又∵∠BCO+∠ACO=90°,∴∠ACP=∠BCO.
∵BO=CO.∴∠BCO=∠B.∴∠ACP=∠B.
∵∠P公共角,∴△PCA∽△PBC.
∵FA與⊙O相切,∴∠FAO=90°.∴ OF∥BC.
∴∠AOF=∠ABC.∴△ABC∽△FOA.
∴AF=1.∴CF=1.
5.(1)如下圖所示,連接OD、BD.
∵在⊙O 中,OD=OB,∴∠1=∠2.
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=∠CDB=90°.
∵E為BC中點,
∴∠3=∠4.∵BC切⊙O于點B,∴∠EBA=90°.
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,
即∠ODE=90°.∴OD⊥DE.∵點 D 在⊙O上,∴DE是⊙O的切線.
(2)∵OD⊥DE,∴∠FDO=90°.
設( ,
解得r=3.
∴OA=OD=3,FB=8.
∵∠F=∠F,∠FDO=∠FBE=90°.
∵E為BC中點,∴BC=2BE=12.
能力提升
6. 7.3≤x≤4 8.2
9.分兩種情況：
①如圖(a)所示,
∵∠BPE=90°.
∴∠BPC+∠DPE=90°,
又∠BPC+∠PBC=90°,
∴∠PBC=∠DPE,
又∠C=∠D=90°.
∴△BPC∽△PED.
如圖(b)所示,同理可證△BPC∽△BEP∽△PEC.
②如圖(a)所示,
∵△BPC∽△PED,
∴△PED與△BPC 的周長比等于對應邊的比，即 PD與BC 的比,
∵點P位于CD 的中點,
∴PD與BC 的比為1:2,
∴△PED與△BPC的周長比1:2,面積比1:4.
如圖(b)所示,
∵△BPC∽△BEP,∴△BEP與△BPC 的周長比等于對應邊的比，即 BP與BC的比.
∵點 P位于CD的中點,設 BC=2k,則 PC=k,BP=/5k,
∴BP與BC的比為 :2,
△BEP與△BPC的周長比為 :2.
△BEP與△BPC的面積比為5:4.
同理:△PCE∽△BPC,周長比1:2,面積比1:4.
10.圖略;
探究一：
結論:AB=AF+CF.
證明:分別延長AE、DF 交于點M,∵E為BC 的中點,
∴BE=CE.∵AB∥CD.∴∠BAE=∠M.
∵∠AEB=∠MEC,∴△ABE≌△MCE.∴AB=MC.
又∵∠BAE=∠EAF,∴∠M=∠EAF.∴MF=AF.
又∵MC=MF+CF,∴AB=AF+CF.
探究二：
分別延長 DE、CF交于點G,
∵AB∥CF,∴∠B=∠C,∠BAE=∠G.
∴△ABE∽△GCE∴△C=BC.
∵FC=1,∴GF=9.
又∵∠BAE=∠EDF.∴∠G=∠EDF.∴GF=DF.
∴DF=9.
11.(1)過點 P分別作 PE⊥AC、PF⊥CB,垂足分別為E、F,∵∠ACB=90°,PE⊥AC,PF⊥CB,∴四邊形 PECF 是矩形.
又∵點 P 在∠ACB 的角平分線上,且 PE⊥AC、PF⊥CB,∴PE=PF.
∴四邊形 PECF 是正方形.
(2)在 Rt△AEP和Rt△BFP中,
∵PE=PF,PA=PB,
∴Rt△AEP≌Rt△BFP.∴∠APE=∠BPF.
∵∠EPF= 90°,∴∠APB= 90°.∵PA=PB.
∴△PAB是等腰直角三角形.
(3)如下圖所示,在 Rt△PAB中,∠APB=90°,PA=PB,
由(2)可知,Rt△AEP≌Rt△BFP,可得 AE=BF,CE=CF,
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE.
又
的周長為:AB+BC+
(4)不變
如下圖所示.∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°,且∠ADC=∠PDB.
∴△ADC∽△PDB.∴≌D=△FB.(即
同理可得,△CDB∽△ADP,得到
又 PA= PB,則①+②得:
12.(1)①1.② .
(2)連接AE，補全圖形如下圖所示.
∵△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形,AB = 1. DE
= 2.
∴BC= 1,EF = 2,∠DFE =∠ACB = 45°.
∴AC= ,DF=2 .∠EFB= 90°.
∴AD=DF-AC= .∴點A為DF的中點.
∴EA⊥DF. EA平分∠DEF.
∴∠MAE = 90°.∠AEF = 45°. AE=/2.
∵∠MEB =∠AEF = 45°.∴∠MEA =∠BEF.
(3)如下圖所示，過點 B作BE 的垂線交直線EM 于點G.連接AG,BG.
∵∠EBG = 90°,∠BEM = 45°,
∴∠BGE=∠BEM=45°.
∴BE = BG.
∵∠ABC=∠EBG= 90°,∴∠ABG =∠CBE.
又∵BA= BC,∴△ABG≌△CBE.
∴AG = CE = x,∠AGB =∠CEB.
∵∠AGB +∠AGM =∠CEB +∠DEM = 45°.
∴∠AGM =∠DEM,∴AG∥DE.∴DN=DE=π/2.
中考鏈接
13.(1)圖(a)中與△ADE 相似的有△ABD,△ACD,△DCE.
(2)△BDF∽△CED∽△DEF,證明如下:
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°,∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°,又∵∠EDF=∠B,∴∠BFD=∠CDE.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴△BDF∽△CED.
即
又∵∠C=∠EDF,∴△CED∽△DEF.
∴△BDF∽△CED∽△DEF.
(3)如下圖所示,連接AD,過 D點作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分別為G、H.
∵AB=AC,D是BC的中點,
在 Rt△ABD中,AD =AB -BD ,即.
∴AD=8.
∵△BDF∽△DEF,∴∠DFB=∠EFD.
∵DH⊥BF,DG⊥EF,∴∠DHF=∠DGF.
又∵DF=DF,∴△DHF≌△DGF,∴DH=DG= .
∴EF=5.
14.(1)/3
(2)如下圖所示,過點 P 作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分別為H. G.
∵在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∴PH∥BC.
又∵∠ACB=30°,∴∠APH=∠PCG=30°.
由題意可知∠HPE=∠GPF=∠α,
又∵點 P在矩形ABCD 對角線交點上，
(3)變化
證明:過點 P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分別為 H,G.根據(2)，同理可證
又∵AP: PC=1:2
巔峰突破
15.(1)①2.60°;②2;
(2)結論:O O =AO ,O O ⊥AO .
△AO O 經過旋轉相似變換A( .45'),得到△ABI,此時.線段 O O 變為線段 BI:
△CIB 經過旋轉相似變換 得到△CAO ,此時,線段 BI變為線段AO .
16.(1)DB+DC≥ AD.
(2)BD+ DC≥2AD.
證明:如下圖所示,作∠ADE=60°,過點 A 作AE⊥AD交 DE 于點E,連 BE.
在 Rt△ADE中,∠ADE=60°,∴∠AED=30°.若= .在Rt△ABC中.
∵∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°.
∴∠EAB=∠CAD.∴△ABE∽△ACD.
則
Rt△ADE中,DE=2AD.
∵BD+BE≥DE,∴BD+/3DC≥2AD.

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