資源簡介

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相似三角形的性質(zhì)和判定 培優(yōu)練習(xí)
一、課標(biāo)導(dǎo)航
課標(biāo)內(nèi)容 課標(biāo)要求 目標(biāo)層次
相似三角形的性質(zhì)和判定 了解兩個(gè)三角形相似的概念
會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算；會(huì)利用三角形的相似解決一些實(shí)際問題 ★
二、核心綱要
1.比例的性質(zhì)
(1)基本性質(zhì):
(2)反比性質(zhì):
(3)更比性質(zhì):
(4)合比性質(zhì):
(5)分比性質(zhì):
(6)等比性質(zhì):
2.比例線段的相關(guān)概念
(1)兩條線段的比：兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比.
(2)成比例線段：在四條線段a，b，c，d中，如果線段a與b的比等于c與d的比，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段.記作： 或
注：線段的單位要統(tǒng)一.
(3)比例中項(xiàng):在線段a,b,c中,若 則稱b是a、c的比例中項(xiàng).
(4)黃金分割點(diǎn)：在線段 AB上，點(diǎn)C 把線段AB 分成兩條線段AC 和 若 即 ，則稱線段AB 被點(diǎn)C 黃金分割，點(diǎn)C 叫做線段AB 的黃金分割點(diǎn)，AC與AB 的比叫做黃金比. 其中
注：線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).
3.相似圖形：形狀相同的圖形叫相似圖形.
4.相似三角形
(1)相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.
(2)相似三角形的表示方法：用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”.
注：經(jīng)常把表示對(duì)應(yīng)角頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上.
(3)相似三角形的相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.
(4)相似三角形的性質(zhì)
①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等.
②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.
③相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.
④相似三角形的周長比等于相似比.
⑤相似三角形的面積比等于相似比的平方.
(5)平行線分線段成比例定理
①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如下圖所示：
則
②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
(6)相似三角形的判定定理
①預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
②相似三角形的判定定理
判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.
判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似.
判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.
(7)直角三角形相似
①判定定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.
②直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似.如下圖所示,在 Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD 是斜邊AB 上的高.則有如下結(jié)論:
即
即
即
5.位似
(1)定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行(或共線)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.
注：①兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.
②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè).
③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè).
④位似比等于相似比.
(2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于位似比(相似比).
6.常見的基本相似圖形(如下圖所示)
(1)“A”字型、反“A”字型(斜“A”字型);(2)“8”字型、反“8”字型(蝴蝶型).
本節(jié)重點(diǎn)講解：兩個(gè)性質(zhì)(相似三角形和位似的性質(zhì))，兩個(gè)定義，兩類圖形，五個(gè)定理.
三、全能突破
基礎(chǔ)演練
1.已知a:b=2:3,那么下列等式中成立的是( ).
A.3a=2b B.2a=3b
2.如圖27-1-1 所示,在△ABC中, ，則下列比例式一定成立的是( ).
3.(1)如圖27-1-2所示,P是Rt△ABC的斜邊AB 上異于A、B的一點(diǎn),過 P 點(diǎn)作直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC 相似，滿足這樣條件的直線共有( )條.
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)如圖 27-1-3 所示,在正方形網(wǎng)格上有 6個(gè)三角形①△ABC,②△BCD,③△BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,其中②~⑥中與三角形①相似的是( ).
A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥
4.如圖27-1-4所示，將△ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到△A B C (頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上)，若它們是以 P點(diǎn)為位似中心的位似圖形，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)是( ).
A.(-4,-3) B.(-3,-3)
C.(-4,-4) D.(-3,-4)
5.(1)已知 則
(2)若 則k的值為 .
6.如果線段 AB=4cm，點(diǎn) P 是線段AB 的黃金分割點(diǎn)，那么較長的線段BP= cm.
7.為了測量校園水平地面上一棵樹的高度，數(shù)學(xué)興趣小組利用一根標(biāo)桿、皮尺，設(shè)計(jì)圖27-1-5 所示的測量方案.已知測量同學(xué)眼睛 A、標(biāo)桿頂端 F、樹的頂端 E 在同一直線上,此同學(xué)眼睛距地面1.6m,標(biāo)桿為3.1m,且 BC=1m,CD=5m,請(qǐng)你根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)求樹高 ED.
8.如圖27-1-6所示,要在高 AD=8,底邊 BC=12 的三角形中截出一個(gè)矩形PQMN,PN=y,NM=x,
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)當(dāng)x為何值時(shí),四邊形 PQMN的面積S 最大.
能力提升
9.(1)已知菱形 ABCD的邊長是8,點(diǎn)E 在直線AD 上,若DE=3,連接BE 與對(duì)角線AC 相交于點(diǎn)M,則 的值是 .
(2)在△ABC中,AB=6,AC=9,點(diǎn)D 在邊AB 所在的直線上,且AD=2,過點(diǎn) D 作DE∥BC交邊AC所在直線于點(diǎn) E，則CE的長為 .
10.如圖27-1-7 所示,直角三角形紙片 ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.折疊該紙片使點(diǎn) B 與點(diǎn)C重合,折痕與 AB、BC的交點(diǎn)分別為D、E.(1) DE 的長為 ;(2) 將折疊后的圖形沿直線 AE 剪開，原紙片被剪成三塊，其中最小一塊的面積等于 .
11.如圖27-1-8 所示,在△ABC中,D為AB 的中點(diǎn),E為AC 上一點(diǎn),且 BE、CD相交于點(diǎn) F，則 的值為 .
12.將三角形紙片 ABC按圖 27-1-9 所示的方式折疊,使點(diǎn) B 落在邊 AC 上,記為點(diǎn) 折痕為 EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以點(diǎn)B′、F、C為頂點(diǎn)的三角形與 相似，那么 BF的長度是 .
13.(1)如圖 27-1-10 所示,點(diǎn) A 、A 、A 、A 在射線 OA 上,點(diǎn) 在 射線 OB 上,且 若 的面積分別為1和4，則圖中陰影三角形面積之和為 .
(2)如圖27-1-11 所示，n+1個(gè)邊長為2 的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè) 的面積為 S ,△B D C 的面積為 S ,…,△B + D C 的面積為S ,則 (用含 n的式子表示).
14.如圖27-1-12所示,在正方形ABCD中,AB=1,E、F分別是BC、CD邊上點(diǎn),
(1)若 則圖中陰影部分的面積是 .
(2)若 則圖中陰影部分的面積是 (用含 n的式子表示，n是正整數(shù)).
15.如圖27-1-13所示,AD 是 Rt△ABC 中∠A的平分線, AD 的垂直平分線交 AD 于點(diǎn) E,交 AC 于點(diǎn) M,延長 EM 與 BC 的延長線交于一點(diǎn) N.
求證:(1)△AME∽△NDE.
16.如圖 27-1-14 所示,四邊形 ABEG、GEFH、HFCD都是邊長為a 的正方形，
求證:(1)△AEF∽△CEA.
(2)∠AFB+∠ACB=45°.
17.如圖 27-1-15 所示,正方形 ABCD的邊長為a,BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足. ,連接 MC、NC、MN.
(1)填空:與 相似的三角形是 ，BM DN=_(用含a的代數(shù)式表示).
(2)求 的度數(shù).
18.如圖27-1-16 所示,正方形 ABCD 和正方形AEFG 有公共頂點(diǎn) A,點(diǎn)( 分別為兩個(gè)正方形的對(duì)稱中心，連接DE、( 它們交于點(diǎn) H，求 的度數(shù)和 的值.
19.已知,在菱形 ABCD中,BD為對(duì)角線,P、Q兩點(diǎn)分別在AB、BD上,且滿足∠PCQ=∠ABD.
(1)如圖27-1-17(a)所示,當(dāng)∠BAD=90°時(shí),求證:
(2)如圖27-1-17(b)所示,當(dāng)∠BAD=120°時(shí),求 的值.
中考鏈接
20.(浙江寧波)如圖27-1-18 所示,等腰) 頂點(diǎn)A、C在x軸上,∠BCA=90°,AC=BC=2 反比例函數(shù) 的圖像分別與 AB、BC交于點(diǎn) D、E,連接DE,當(dāng)△BDE∽△BCA 時(shí),點(diǎn)E 的坐標(biāo)為 .
21.(山東菏澤改編)如圖27-1-19 所示,在△ABC中,BC=6,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),點(diǎn) P在射線EF上,BP 交CE 于點(diǎn)D,點(diǎn) Q在CE 上且BQ 平分∠CBP,設(shè) BP=x,PE=y.當(dāng) 時(shí)，y與x 之間的函數(shù)式是 ； 當(dāng) (n為不小于2的常數(shù))時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 .
22.(湖北武漢)已知,在△ABC中,
(1)如圖27-1-20(a)所示,點(diǎn) M為AB 的中點(diǎn),在線段 AC上取點(diǎn) N,使△AMN 與△ABC 相似,求線段 MN 的長.
(2)如圖27-1-20(b)所示，是由 100個(gè)邊長為1的小正方形組成的10×10的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形.
①請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△A B C 與△ABC全等(畫出一個(gè)即可，不需證明)；
②試直接寫出所給的網(wǎng)格中與△ABC 相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫出其中一個(gè)(不需證明).
巔峰突破
23.如圖27-1-21 所示,已知在 ABCD 中,M、N 為 AB 的三等分點(diǎn),DM、DN 分別交AC 于 P、Q兩點(diǎn),則AP: PQ: QC= .
24.在△ABC中,∠ACB=90°.經(jīng)過點(diǎn) B 的直線l(l不與直線 AB 重合)與直線 BC 的夾角等于∠ABC,分別過點(diǎn) C、點(diǎn) A 作直線l的垂線,垂足分別為點(diǎn) D、點(diǎn) E.
(1)若∠ABC=45°,CD=1(如圖 27-1-22所示),則 AE的長為 .
(2)寫出線段 AE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.
(3)若直線CE、AB交于點(diǎn)F, 求 BD 的長.
基礎(chǔ)演練
1. A 2. B 3.(1)C (2)B 4. A 5.(1) .(2) 或-1.6.2 -2
7.過點(diǎn) A 作AG⊥DE 于點(diǎn)G,交 CF 于點(diǎn) H. 由題意可得∵四邊形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形.
∵AB∥CF∥DE.∴△AHF∽△AGE.∴AU=HE.
由題意可得:AH=BC=1. AG=BD=6.
FH=FC-HC=FC-AB=3.1-1.6=1.5.
∴ED=GE+DG=GE+AB=9+1.6=10.6.
答:樹高 ED為 10.6m.
∴當(dāng)x=4時(shí)，S的最大值為24.
能力提升
9.(1) 或 (2)6 或12 10.4.4 11.3 12. 或2
13.(1)10.5
15.(1)連接 NA,如下圖所示
∵NE是AD 的垂直平分線,∴∠NED=∠NEA=90°,
∴∠3+∠ADC=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠2+∠ADC=90°,∴∠2=∠3.
∴△AME∽△NDE.
(2)∵AD是∠BAC的平分線,∴∠1=∠2.
∵NE是AD 的垂直平分線,∴NA=ND,NE⊥AD,
∴∠3=∠4.∴2∠3=2∠2.
即∠ANC=∠CAB.
∴∠CAN=∠B,∠ANC=∠ANC.
∴△NAC∽△NBA.
即 ND =NC·NB..
16.(1)∵四邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形,
∴AB=BE=EF=FC=a,∠ABE=90°
又∵∠CEA=∠AEF,∴△CEA∽△AEF.
(2)∵△CEA∽△AEF,∴∠EAF=∠BCA.
∵四邊形ABEG是正方形,∴∠AEB=45°.
∴∠AFB+∠ACB=∠AFB+∠EAF=∠AEB=45°.
∴∠AFB+∠ACB=45°.
17.(1)△NDA. a
(2)由(1)△ABM∽△NDA可得
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DC,DA= BC,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°.
∵BM. DN分別平分正方形ABCD的兩個(gè)外角.
∴∠CBM=∠NDC=45°.
∴△BCM∽△DNC. ∴∠BCM=∠DNC.
∴∠MCN=360°—∠BCD—∠BCM-∠DCN=270°—
18.連接O A,O D,O A,O E,如下圖所示.
∵點(diǎn)O ，O 分別是正方形的中心。
∴△AO D和△AO E都是等腰直角三角形.
∴△AO O ∽△ADE.
19.(1)如下圖所示,連接AC,則∠ACD=∠PCQ=45°.
∴∠ACP=∠DCQ.∵∠QDC=∠PAC=45°.
∴△APC∽△DQC.
∵AP+PB=AB=CD,∴/2DQ+PB=CD.
(2)連接 AC.作 CH⊥AD 于點(diǎn) H 交 BA 的延長線于點(diǎn)K.
∴∠K=∠CDQ=30°,∠PCK=∠QCD=30°+∠QCK.
∴△PKC∽△QDC.
∴PB+ DQ=PB+PK=BK=2BC=2CD.
中考鏈接
21. y=-x+6;y=-x+6(n-1)
22.(1)如下圖所示,①過點(diǎn) M作MN∥BC交AC 于點(diǎn) N,則△AMN∽△ABC.
∵M(jìn)為AB 中點(diǎn),∴MN 是△ABC 的中位線.
∵BC=6,∴MN=3.
②過點(diǎn) M 作 交 AC 于 點(diǎn) N',則
∵BC=6,AC=4 ,AM= ,
綜上所述，線段MN的長為3或 .
(2)①如下圖所示:
②每條對(duì)角線處可作 4個(gè)三角形與原三角形相似.那么共有8個(gè).
巔峰突破
23.5:3:12
24.(1)AE=2.
(2)線段AE、CD之間的數(shù)量關(guān)系為AE=2CD.
證明：如下圖所示，延長AC與直線l交于點(diǎn)G.
依題意,可得∠1=∠2.
∵∠ACB=90°.∴∠3=∠4.∴BA=BG.
∴CA=CG.∵AE⊥l,CD⊥l,∴CD∥AE.
(3)當(dāng)點(diǎn) F 在線段AB 上時(shí)，如下圖所示，
過點(diǎn) C作CG∥l交AB于點(diǎn)H,交 AE 于點(diǎn)G.
∴∠2=∠HCB.∵∠1=∠2,∴∠1=∠HCB.
∴CH=BH.
∵∠ACB=90°,∴∠3+∠1=∠HCB+∠4 =90°.
∴∠3=∠4.∴CH=AH=BH.∵CG∥l.
∴△FCH∽△FEB.∴EF=CB= .
設(shè)CH=5x,BE=6x,則AB=10x.
∴在△AEB中,∠AEB=90°. AE=8x.
由(2)得,AE=2CD.
∵CD=4,∴AE=8.∴x=1.
∴AB=10,BE=6,CH=5.
∵CG∥l,∴△AGH∽△AEB,∴HC=AB= .
∴HG=3.∴CG=CH+HG=8.∵CG∥l,CD∥AE.
∴四邊形CDEG為平行四邊形.
∴DE=CG=8.∴BD=DE-BE=2.
當(dāng)點(diǎn) F 在線段BA 的延長線上時(shí)，
如下圖所示,同理可得CH=5,GH=3,BE=6.
∴DE=CG=CH-HG=2.∴ BD=DE+BE=8.
∴BD=2或8.

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