資源簡介

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銳角三角函數(shù) 培優(yōu)練習(xí)
一、課標(biāo)導(dǎo)航
課標(biāo)內(nèi)容 課標(biāo)要求 目標(biāo)層次
銳角三角函數(shù) 了解銳角三角函數(shù)；知道 30°、45°、60°角的三角函數(shù)值 ★
由某個角的一個三角函數(shù)值，會求這個角的其余三角函數(shù)值；會計算含有 30°、45°、60°角的三角函數(shù)式的值 ★★
能運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單計算 ★★★
二、核心綱要
1.銳角三角函數(shù)的概念
(1)定義:在 中，銳角 A的正弦、余弦和正切統(tǒng)稱為銳角 A 的三角函數(shù).
(2)如下圖所示，在 中,
①正弦：銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做 的正弦,記作 sinA,即
②余弦：銳角 A的鄰邊與斜邊的比叫做 的余弦,記作 cosA,即
③正切：銳角 A的對邊與鄰邊的比叫做 的正切,記作 tanA,即
注：(1)銳角三角函數(shù)沒有單位.
(2)銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，與直角三角形的大小和位置無關(guān).
(3)sinA是一個整體符號，即表示 的正弦，習(xí)慣省去角的符號“∠”，但不能寫成 sin·A，三個大寫字母表示一個角時，角的符號“∠”不能省略，如：
(4)當(dāng) 時,
2.特殊角的三角函數(shù)(如下表所示)
三角函數(shù) 銳角α sina cosα tanα
30°
45° 1
60°
注：特殊角的銳角三角函數(shù)值的記憶方法
(1)數(shù)形結(jié)合記憶法
如下左圖、中圖所示，由定義可得各角的三角函數(shù)值.
(2)增減規(guī)律記憶法
①sinα的值隨α的增大而增大，依次為：
②cosα的值隨α的增大而減小，依次為：
③tanα的值隨α的增大而增大，依次為：
3.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系
如下右圖所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)互余關(guān)系:sinA=cos(90°-∠A)=cosB,cosA=sin(90°-∠A)=sinB.
(2)平方關(guān)系:
(3)倒數(shù)關(guān)系:tanA·tanB=1.
(4)商數(shù)關(guān)系:
4.通過構(gòu)造合適的圖形，求 15°和75°的三角函數(shù)值(如下表所示)
角 度 圖 形 三角函數(shù)值
15°和 75° sin15°=cos75°= cos15°=sin75°= tan15°=2-,tan75°=2+
5.求三角函數(shù)值的常用方法
①根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求值.
②借助邊的數(shù)量關(guān)系求值.
③借助等角求值.
④根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求值.
本節(jié)重點講解：一個概念，一個特殊值，一個方法.
三、全能突破
基礎(chǔ)演練
1.(1)在△ABC中,. 則 BC的長為( ).
C.6 D.
(2)在 Rt△ABC中,∠C=90°,若 BC=1,AB= ,則 tanA 的值為( ).,則
C. D.2
2.如圖28-1-1 所示,菱形 ABCD的邊長為10cm, 則這個菱形的面積為( )cm .
A. 40 B. 60 C. 80 D.100
3.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點 A(2,1)和點 B(3,0),則 sin∠AOB 的值等于( ).
B. D.
4.如圖28-1-2 所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于點D,若 則tan∠BCD的值為( ).
A./ B./
5.點 A(sin30°,-tan30°)關(guān)于原點對稱的點 A 的坐標(biāo)是 .
6.在△ABC中,若∠A、∠B 滿足 則∠C= .
7.計算:
8.如圖28-1-3 所示,AB 是⊙O的直徑,C 是⊙O上一點,CD⊥AB,垂足為點 D,F 是. 的中點，OF與AC 相交于點.E,AC=8cm,EF=2cm.
(1)求 AO的長.
(2)求 sinC的值.
能力提升
9.已知α為銳角，且 則α的取值范圍是( ).
10.直線y=2x與x軸正半軸的夾角為α，那么下列結(jié)論正確的是( ).
A.tanα=2 B.cotα=2 C.sinα=2 D.cosα=2
11.如圖28-1-4 所示,在四邊形 ABCD中,E、F分別是AB、AD 的中點,若EF=2,BC=5,CD=3,則 tanC等于( ).
A. B.
C. D.
12.在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B的對邊是a、b,且滿足 則tanA=( ).
A.1
13.小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將圖28-1-5 所示的矩形紙片 ABCD 沿過點B 的直線折疊，使點A 落在 BC 上的點 E 處，還原后，再沿過點 E 的直線折疊，使點 A 落在 BC 上的點 F 處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是( ).
C.2.5 D.
14.(1)如圖28-1-6 所示，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點都在圖中相應(yīng)的格點上，則 sin∠A 的值為 .
(2)如圖28-1-7 所示，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點 A、B、C、D 都在這些小正方形的頂點上,AB、CD相交于點 P,則tan∠APD的值是 .
15.(1)如圖 28-1-8 所示,⊙O是△ABC 的外接圓,AD 是⊙O的直徑,若⊙O的半徑為 則cosB 的值為 .
(2)如圖 28-1-9 所示,已知△ABC 的外接圓⊙O 的半徑為1,D、E 分別為 AB、AC 的中點,則sin∠BAC的值等于線段 的長.
16.如圖28-1-10所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB 的垂直平分線與BC、AB的交點分別為D、E.
(1)若 求 AC的長和tanB的值.
(2)若 AD=1,∠ADC=α,參考(1)的計算過程直接寫出: 的值(用 sina和cosα的值表示).
17.已知a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊,關(guān)于x的一元二次方程( 有兩個相等的實數(shù)根，且3c=a+3b.
(1)判斷△ABC的形狀.
(2)求 sinA·sinB 的算術(shù)平方根.
18.當(dāng) 時，下列關(guān)系式中有且僅有一個正確.
(1)正確的選項是 .
(2)如圖28-1-11(a)所示,在△ABC中,AC=1,∠B=30°,∠A=α,請利用此圖證明(1)中的結(jié)論.
(3)兩塊分別含45°和30°的直角三角板按圖 28-1-11(b)所示方式放置在同一平面內(nèi)，. 求.S△ADC.中考鏈接
19.(四川樂山改編)如圖28-1-12所示,定義:在) 中，銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切,記作 cotα, 即根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題：
(2)已知 其中∠A 為銳角,試求 cotA的值.
(3)已知第一象限內(nèi)的點 A 在反比例函數(shù) 的圖像上，第二象限內(nèi)的點 B 在反比例函數(shù) 的圖像上，且 直接寫出k的值.
20.(廣東湛江改編)閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：
則.
則:
則.
觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有：
(1)如圖28-1-13 所示，在銳角三角形 ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對∠A 證明你的猜想.
(2)已知:∠A 為銳角(cosA>0),且 求 cosA.
(3)在 Rt△ABC中,∠C=90°,且 sinA、cosA是關(guān)于x的方程 的兩根，m 為實數(shù)，則
巔峰突破
21.在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,則 AC=( ).
C.0.3
22.如圖28-1-14所示,在等腰直角三角形 ABC中,∠C=90°,D 為 BC 的中點,將△ABC折疊,使 A 點與 D 點重合,若 EF 為折痕,則 sin∠BED 的值為 , 的值為 .
基礎(chǔ)演練
1.(1)C (2)C 2. B 3. A4. B 6.60° 7.1
8.(1)∵F 是AC的中點。
又∵OF是半徑,∴OF⊥AC,AE=CE.
∵AC=8cm.∴AE=4cm.
在 Rt△AEO中,AE +EO =AO .
又∵EF=2cm,∴4 +(AO-2) =AO ,解得:AO=5,
∴AO=5cm.
(2)∵OE⊥AC.∴∠A+∠AOE=90°.
∵CD⊥AB,∴∠A+∠C=90°,
∴∠AOE=∠C.∴sinC=sin∠AOE.
能力提升
9. D 10. A 11. B 12. B 13. B
14.(1) (2)2 15.(1) (2)DE
16.(1)在1Rt△ACD 中,∠C=90°. AD=10,sin∠ADC= .
∵DE垂直平分AB,∴BD=AD=10.
∴ BC=CD+BD=16.
在 Rt△ABC中.
(寫成 也可)
17.(1)將方程整理得:
∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴△ABC是直角三角形.
(2)由(1)得. ,又3c=a+3b.∴(3c-3b) +b =c . ∴(4c-5b)(c-b)=0.
在 Rt△ABC 中.
∴sinA·sinB的算術(shù)平方根為
18.(1)C
(2)如下圖所示,過點 A 作AD⊥BC交BC 的延長線于點D.
∵∠B=30°,∠BAC=α,AC=1,∴∠ACD=α+30°.
∴在△ADC 中,∠ADC= 90°,AD= AC·sin∠ACD=sin(α+30°).
∵在△ABD中,∠B=30°,
∴AB=2AD=2sin(α+30°).
過點C作CE⊥AB于點E.
∴在△CEA中,∠AEC=90°,CE=sinα,AE=cosα.
在△BEC中,
∴AB=AE+BE=cosα+√ sinα.
(3)由上面證明的等式易得 如下圖所示，過點 A 作AG⊥CD交CD 的延長線于點G.
∵△ABD和△BCD是兩個含45°和30°的直角三角形,BD=8/2,∴∠ADG=75°,AD=8,CD=4/2.
∴在△ADG 中,∠AGD=90°,AG=AD·sin∠ADG=
中考鏈接
19.(1)
設(shè)BC=3k,AC=4k,
(3)-6
20.1;1;1;1. (1)如下圖所示,過點 B 作 BD⊥AC,垂足為 D,
在Rt△ABD中.
在 Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理,得
(2)由(1)可得。
(3)
巔峰突破
21. B

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