資源簡介

解直角三角形及應用 培優練習
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
解直角三角形及應用 了解解直角三角形的含義 ★
會解直角三角形，能根據問題的需要添加輔助線構造直角三角形；會解由兩個特殊直角三角形構成的組合圖形的問題 ★★
能綜合應用直角三角形的性質解決有關問題
二、核心綱要
1.直角三角形的性質(如下表所示)
如下右圖所示，在 中, 的對邊分別為a，b，c，斜邊中線長為d.
邊的關系 a +b =c (勾股定理);;d=c(直角三角形斜邊中線等于斜邊一半)
角的關系 ∠A+∠B=90°
邊角關系 ,
2.解直角三角形
(1)定義：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.
(2)解直角三角形的基本類型(如下表所示).
類型 已 知 解 法
兩邊 兩直角邊 a,b 由tanA=,,求∠A;∠B=90°-∠A;c=
一直角邊a，斜邊c 由sinA=,求∠A;∠B=90°-∠A;b=
一邊一銳角 一直角邊 a，銳角 A ∠B=90°-∠A. b=a·tanB. c=
斜邊c,銳角 A ∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA
注：有斜用弦，無斜用切，寧乘勿除，取原避中，化斜為直.3.幾種常見的三角形(如下表所示)
圖 形
角 度 30°,60° 45°,45° 30°,45° 45°,60°
三邊之比 a:b:c=1: :2 a:b:c=1:1:
輔 助 線 過點 A 作 AD⊥BC 過點 A 作 AD⊥BC
4.相關概念
(1)仰角和俯角都是視線與水平線所成的角，視線在水平線上方的角叫做仰角；視線在水平線下方的角叫做俯角.如下左圖所示.
(2)如下中圖所示，坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比). 用字母 i 表示，即 坡度一般寫成1：m的形式，如 i=1：5 等.把坡面與水平面的夾角，記作α(叫做坡角)，那么 =tanα.
(3)指北或指南方向線與目標方向線所成的小于9 °的水平角，叫做方向角.如下右圖所示，OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東 南偏東 (東南方向)，南偏西( ，北偏西 (西北方向).
本節重點講解：一個性質，四個圖形，五個概念.
三、全能突破
基礎演練
1.在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5m，那么這兩樹在坡面上的距離AB 為( )m.
A.5cosα C.5sinα
2.小明想測量一棵樹的高度，他發現樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖 28-2-1 所示，此時測得地面上的影長為8m，坡面上的影長為4m.已知斜坡的坡角為30°，同一時刻，一根長為1m 且垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2m，則樹的高度為( )m.
B. 12 D.10
3.圖28-2-2 所示是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為 O，直徑 AB 是河底線，弦 CD 是水位線， 且( 于點E.已測得 根據需要，水面要以每小時0.5m的速度下降，則經過 小時才能將水排干.
4.如圖 28-2-3所示,在 中, 求 的面積.
5.小紅在學習教科書上相關內容后自制了一個測角儀(如圖28-2-4(a)所示)，并嘗試用它來測量校園內一座教學樓 CD的高度(如圖28-2-4(b)所示).她先在 A 處測得樓頂C的仰角( 再向樓的方向直行10米到達B處，又測得樓頂C的仰角β=60°,，若小紅的目高(眼睛到地面的高度)AE 為 1.60米，請你幫助她計算出這座教學樓CD的高度(結果精確到0.1米，參考數據：
6.圖28-2-5 是某貨站傳送貨物的平面示意圖. 為了提高傳送過程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°. 已知原傳送帶 AB 長為4m.
(1)求新傳送帶 AC的長度.
(2)如果需要在貨物著地點C的左側留出2m的通道，試判斷距離 B點 4m的貨物 MNQP 是否需要挪走，并說明理由(計算結果精確到0.1m，參考數據：
7.如圖28-2-6所示，為了開發利用海洋資源，某勘測飛機欲測量一島嶼兩端A、B的距離，飛機在距海平面垂直高度為 100米的點 C 處測得端點 A 的俯角為( ，然后沿著平行于 AB 的方向水平飛行了 500米，在點 D 測得端點 B 的俯角為 ，求島嶼兩端A、B的距離(結果精確到 0.1 米，參考數據： 1.73
8.如圖 28-2-7 所示，一艘貨輪在 A 處發現其北偏東 方向有一海盜船，立即向位于正東方向 B 處的海警艦發出求救信號，并向海警艦靠攏，海警艦立即沿正西方向對貨輪實施救援，此時距貨輪 200 海里，并測得海盜船位于海警艦北偏西 60°方向的C處.
(1)求海盜船所在 C處距貨輪航線AB 的距離.
(2)若貨輪以45 海里/時的速度從 A 處向正東方向海警艦靠攏，海盜船以 50 海里/時的速度由 C 處沿正南方向對貨輪進行攔截：問海警艦的速度應為多少時才能搶在海盜之前去救貨輪(結果保留根號)
能力提升
9.一副直角三角板按圖28-2-8 所示放置,點C 在 FD 的延長線上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=12/2,則CD的長為 .
10.學校校園內有一小山坡，如圖28-2-9 所示，經測量，坡角. 斜坡 AB 長為 12m.為方便學生行走，決定開挖小山坡，使斜坡 BD 的坡比是1：3(即為CD 與BC 的長度之比)，A、D 兩點處于同一鉛垂線上，則開挖后小山坡下降的高度 AD為 m.
11.如圖28-2-10 所示,△ABC 內接于⊙O,BC=m,銳角.∠A=α,,則⊙O 的半徑為 ,△ABC的△ABC面積的最大值為 .
12.在平面直角坐標系中，點A 的坐標為(3，0)，點 B 為y軸正半軸上的一點，點C 是第一象限內一點，且AC=2,設tan∠BOC=m,則m的取值范圍是 .
13.如圖 28-2-11 所示,四邊形 ABCD中,CD= ,∠BCD=90°,∠B=60°,∠ACB=45°,∠CAD=30°,求 AB 的長.
14.如圖28-2-12所示,在四邊形 ABCD 中,對角線 AC、BD 相交于點E,∠DAB=∠CDB=90°,∠ABD=45°,∠DCA=30°,AB= 求 AE的長和△ADE 的面積..
15.小鵬學完解直角三角形知識后，給同桌小艷出了一道題：“如圖28-2-13 所示，把一張長方形卡片AB-CD放在每格寬度為 12mm的橫格紙中，恰好四個頂點都在橫格線上，已知∠α=36°，求長方形卡片的周長.”請你幫小艷解答這道題(結果精確到 1mm).
中小學教育資源及組卷應用平臺
16.超速行駛是引發交通事故的主要原因之一.上周末，小明和三位同學嘗試用自己所學的知識檢測車速.如圖28-2-14 所示，觀測點設在 A 處，離益陽大道的距離 AC 為 30m.這時，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從 B 處行駛到C 處所用的時間為8s，
(1)求 B、C 兩點的距離.
(2)請判斷此車是否超過了益陽大道 60km/h 的限制速度
(計算時距離精確到1m，參考數據：sir ,60km/h≈16.7m/s)
17.如圖28-2-15 所示,某防洪指揮部發現長江邊一處長 500m,高 10m，背水坡的坡角為45°的防洪大堤(橫斷面為梯形 AB-CD)急需加固.經調查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：沿背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬 3m，加固后背水坡EF 的坡比
(1)求加固后壩底增加的寬度 AF.
(2)求完成這項工程需要土石多少立方米(結果保留根號)
18.如圖28-2-16所示,在△ABC中,BC=3,AC=2,P 為BC 邊上一個動點,過點 P作 PD∥AB,交 AC 于點D,連接BD.
(1)若∠C=45°,請直接寫出:當 時,△BDP 的面積最大.
(2)若∠C=α為任意銳角,則當點 P 在 BC 上何處時,△BDP 的面積最大
中考鏈接
19.(杭州)如圖 28-2-17 所示,在 Rt△ABO 中,斜邊 AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,則( ).
A.點 B到AO 的距離為 sin54°
B.點 B 到AO 的距離為 tan36°
C.點 A 到OC 的距離為
D.點 A 到OC 的距離為
20.(張家界)黃巖島是我國南海上的一個島嶼，其平面圖如圖28-2-18(a)所示，小明據此構造出該島的一個數學模型如圖28-2-18(b)所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15km,CD=3 km,請據此解答如下問題：
(1)求該島的周長和面積(結果保留整數，參考數據
(2)求∠ACD 的余弦值.
巔峰突破
21.如圖 28-2-19所示,在△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,∠C的平分線與∠A 的|外角平分線交于點 D,連接 BD,則 tan∠BDC的值是( ).
A.1
22.如圖28-2-20 所示,在△ABC中,D 為邊 BC 上一點, AD=2,若△ADC的面積為 則∠BAC= .
基礎演練
1. B 2. A 3.10
4.過點 C作CD⊥AB于點D,
在 Rt△ACD中,∠A=30°,∴CD=AC·sin A=√ ,
在 Rt△BCD中.∠B=45°,則 BD=CD= .
∴AB=AD+BD=3+ .
5.∵α=30°,β=60°,∴∠ECF=β-α=30°.
∴CF=EF=10.
在 Rt△CFG中,CG=CF·cosβ=5√ .
∴CD=CG+GD=5 +1.6≈10.3.
答：這座教學樓的高度約為 10.3m.
6.(1)如下圖所示,作 AD⊥BC 于點 D.
在 Rt△ABD中.
在Rt△ACD 中,∵∠ACD=30°,∴AC=2AD=4/2≈5.6.
即新傳送帶 AC的長度約為 5.6m；
(2)結論:貨物 MNQP 應挪走。
在 Rt△ABD中.
在 Rt△ACD中,CD=ACcos30°=2 .
∴CB=CD-BD=2 -2 =2( - )≈2.1.
∵PC=PB-CB≈4-2.1=1.9<2.
∴貨物 MNQP 應挪走.
7.如下圖所示,過點 A 作AE⊥CD 于點 E,過點 B 作 BF⊥CD于點F,
∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°.
∴四邊形ABFE為矩形.∴AB=EF,AE=BF.
由題意可知:AE=BF=100m,CD=500m.
在 Rt△AEC中,∠C=60°,AE=100m.
在 Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=100.
∴DF=100m.
∴AB=EF =CD+DF-CE=500+100-100/3≈542.3m.
答:島嶼兩端A、B的距離為542.3m.
8.(1)如下圖所示,過點 C作AB 的垂線CD,設 CD的長為x，那么可知：
∵∠CAD=90°-45°=45°.
∴在Rt△ACD中,AD=CD=x.
∵∠CBD=90°-60°=30°,
∴在Rt△CBD中.
-100.
(2)設海警艦的速度應為 y才能搶在海盜之前去救貨輪.海盜從C點到D點所用的時間為： 海警艦要搶在海盜之前去救貨輪，則((2 -2)y≥ ×(100 -100)
∴y≥50
答：(1) 海盜船所在 C 處距貨輪航線AB 的距離為(100 -100)海里
(2)海警艦的速度應為50/3海里/時才能搶在海盜之前去救貨輪.
能力提升
9.12-4/3 10. 6-2/3
13.過點 D 作 DE⊥AC于點E,過點 A 作AF⊥BC于點 F.
∵∠ACB=45°,∠BCD=90°.
∴∠ACD=45°.∵CD=/2,∴DE=EC=1.
∵∠CAD=30°.∴AE= .∴AC= +1.
14.如下圖所示,過點 A 作AF⊥BD于點F.
∵∠CDB=90°.∠1=30°.∴∠2=∠3=60°.
在△AFB中,∠AFB=90°.∵∠4=45°,AB= .、
在△AFE中,∠AFE=90°.∴EF=1. AE=2.
在△ABD中,∠DAB=90°.∴DB=2 .
∴DE=DB-BF-EF= -1.
15.作 BE⊥l于點E,DF⊥l于點F.
∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD= 180°-90°= 90°.
∴∠ADF=∠α=36°.根據題意,得
BE=24mm,DF=48mm.
在 Rt△ABE中.
在 Rt△ADF中,
∴矩形 ABCD 的周長=2×(40+60)=200mm.
16.(1)在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30.∴BC= AC·tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112m.
(2)∵此車速度 = 112÷8= 14(m/s)<16.7(m/s)=60(km/h)∴此車沒有超過限制速度.
18.(1)1.
(2)如下圖所示,過點 D作 DE⊥BC 于點 E.∴∠DEC=90°.
設 PB=x.∵BC=3,∴PC=3-x.
在 Rt△DEC中,∠DEC =90°,∠C=α,
∵α為任意銳角.
∴當 時,S△BDP有最大值.
即 P在 BC中點時,△BDP的面積最大.
中考鏈接
19. C
20.(1)連接AC
∵AB=BC=15km,∠B=90°.
又∵∠D=90°.
∴周長=AB+BC+CD+DA=30+3/2+12/3=30+
4.242+20.784≈55km
面積
巔峰突破
21. D
22.60°

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