資源簡(jiǎn)介

二次函數(shù)與三角形的綜合 專(zhuān)題探究
一、技巧提煉
1.與等腰三角形、直角三角形綜合
問(wèn)題 作圖 求點(diǎn)坐標(biāo)
“萬(wàn)能法” 其他方法
等腰三角形 已知點(diǎn) A、B 和直線 l,在l上求點(diǎn) P,使△PAB為等腰三角形 分別以點(diǎn) A、B 為圓心，以線段 AB 長(zhǎng)為半徑作 圓，再作 AB中垂線，兩圓和中垂線與l的交點(diǎn)即 為所有P 點(diǎn) 分別表示出點(diǎn) A、B、P的坐標(biāo)，再表示出線段 AB、BP、AP 的長(zhǎng)度，由 ①AB=AP ②AB=BP ③BP=AP 列方程解出坐標(biāo) 作等腰三角形底邊的 高，用勾股或相似建立等量關(guān)系
直角三角形 已知點(diǎn) A、B 和直線 l,在l上求點(diǎn)P,使△PAB為直角三角形 分別過(guò)點(diǎn) A、B作AB 的垂線，再以線段 AB 為直徑作圓，兩垂線和圓與 l的交點(diǎn)即為所有 P 點(diǎn) 分別表示出點(diǎn) A、B、P的坐標(biāo)。再表示出線段 AB、BP、AP的長(zhǎng)度，由 ①AB =BP +AP ②BP =AB +AP ③AP =AB +BP 列方程解出坐標(biāo) 作 垂 線,用勾股或相似建立等量關(guān)系
2.與相似三角形、全等三角形綜合
△ABC 與△DEF 相似或全等在沒(méi)指明對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情況下，理論上應(yīng)分六種情況討論，但實(shí)際問(wèn)題中通常不超過(guò)四種，比如相似常見(jiàn)有如下兩種類(lèi)型，每類(lèi)分兩種情況討論就可以了.
兩個(gè)三角形均為直角三角形 兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角
若△ABC 與△DEF 相似,∠B=∠E=90°,則: △ABC∽ △DEF 或 △ABC∽△FED 若△ABC 與△AEF 相似,則: △ABC ∽ △AEF 或△ABC∽△AFE
(二)二次函數(shù)與直角三角形的綜合
3.如下圖所示，已知直線 與y軸交于點(diǎn) A，與x軸交于點(diǎn) D，拋物線 與直線交于A、E兩點(diǎn),與x軸交于B、C兩點(diǎn),且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).
(1) 求該拋物線的解析式.
(2) 動(dòng)點(diǎn) P 在x 軸上移動(dòng),當(dāng) 是直角三角形時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).
(3) 若點(diǎn) Q 在拋物線上,且 為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) Q的坐標(biāo).
4.如下左圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B(0,4).
(1)求拋物線的解析式.
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D，過(guò)點(diǎn) D、B作直線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 連接 BC、AC.求證: 是等腰直角三角形.
(3)在(2)的條件下，將直線 DB沿y軸向下平移，平移后的直線記為l，直線 l與x軸、y軸分別交于點(diǎn) 是否存在直線l，使 是直角三角形，若存在求出 l的解析式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(三)二次函數(shù)與相似三角形的綜合
5.如下圖所示，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( 直線 的圖像與該二次函數(shù)的圖像交于A、B 兩點(diǎn),其中 A 點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),B點(diǎn)在y 軸上.點(diǎn) P 為線段AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P 與點(diǎn)A、B不重合)，過(guò)點(diǎn) P 且垂直于x軸的直線與這個(gè)二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)E.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.
(2)設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為x，求線段 PE的長(zhǎng)(用含 x的代數(shù)式表示).
(3)點(diǎn) D 為直線AB 與這個(gè)二次函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，若以點(diǎn) P、E、D 為頂點(diǎn)的三角形與 相似，請(qǐng)求出 P點(diǎn)的坐標(biāo).
6.如下圖所示，拋物線 交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,( 的面積為2.
(1)求拋物線的解析式.
(2)若平行于x軸的動(dòng)直線DE 從點(diǎn)C 開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，分別交 y軸、線段 BC于點(diǎn) E、D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，在線段OB上以每秒2 個(gè)單位的速度向原點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O 時(shí)，直線DE 與點(diǎn) P 都停止運(yùn)動(dòng).連接DP，設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為何值時(shí)， 的值最小，并求出最小值；
②是否存在t的值，使以 P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與 相似.若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
\
7.如下圖所示，已知拋物線 (b是實(shí)數(shù)且 與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B(點(diǎn) A 位于點(diǎn)B 的左側(cè))，與 y軸的正半軸交于點(diǎn)C.
(1)點(diǎn)B 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (用含b的代數(shù)式表示).
(2)請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn) P，使得四邊形 PCOB 的面積等于 2b，且 是以點(diǎn)P 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形 如果存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn) Q，使得 和 中的任意兩個(gè)三角形均相似(全等可看作相似的特殊情況)，如果存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
8.如下左圖所示，已知直線. 與拋物線 交于點(diǎn) A(3,6).
(1)求直線. 的解析式和線段OA 的長(zhǎng)度.
(2)點(diǎn) P 為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作直線PM，交x軸于點(diǎn)M(點(diǎn) M、O不重合)，交直線 OA于點(diǎn) Q，再過(guò)點(diǎn) Q作直線 PM 的垂線，交 y軸于點(diǎn) N.試探究：線段 QM 與線段QN 的長(zhǎng)度之比是否為定值 如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說(shuō)明理由.
(3)如下右圖所示，若點(diǎn) B 為拋物線上對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn) E 在線段OA 上(與點(diǎn) O、A 不重合)，點(diǎn) D(m，0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足 繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)
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(四)二次函數(shù)與全等三角形的綜合
9.如下圖所示，拋物線 的頂點(diǎn)為A，直線 與y 軸的交點(diǎn)為B，其中 m
(1) 寫(xiě)出拋物線對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn) A的坐標(biāo)(用含 m的代數(shù)式表示).
(2) 證明點(diǎn) A 在直線l上，并求出 的度數(shù).
(3)動(dòng)點(diǎn) Q在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，問(wèn)對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn) P，使以 P、Q、A 為頂點(diǎn)的三角形與 全等 若存在，求出 m的值，并寫(xiě)出所有符合上述條件的 P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
1.(1)∵DC∥AB,AD=DC=CB,
∴∠CDB=∠CBD=∠DBA,∠DAB=∠CBA,
∴∠DAB=2∠DBA.
∵∠DAB+∠DBA=90°.
∴∠DAB=60°.∠DBA=30°.
∵AB=4,∴DC=AD=2.
在 Rt△AOD中,OA=1,OD= ,
∴A(-1,0),D(0,/3),C(2, ).
(2)易求 B(3,0).∴解析式為 對(duì)稱(chēng)軸l為直線x=1.
(3)△PDB 可以為等腰三角形. 由(1)知 D(0,/3).
B(3.0),設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為(1.1),則
當(dāng) PD=PB時(shí). 解得t=0,
∴P(1.0)
當(dāng)DP=DB時(shí), 解得 /11.∴P(1,/3+ /11)或.P(1./3- /11)
當(dāng)BP=BD時(shí). 解得t=±2/2,
∴P(1,2/2)或P(1,-2/2)
綜上所述，在直線l上，使△PDB為等腰三角形的點(diǎn) P 有5個(gè)，它們的坐標(biāo)為(1，0)或(1. - /IT) 或(1. + /11)或(1,-2 )或(1.2 ).
2.(1) 過(guò)點(diǎn) B 作 BH⊥x 軸,垂足為 H,易證△BCH≌△CAO,
∴BH=OC=1,CH=OA=2;∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,1);
∴拋物線解析式為
(2)由點(diǎn) A(0,2). C(-1.0).可知 如右圖所示.
當(dāng)AD=AC時(shí),
D 點(diǎn)坐標(biāo)為((0.2+ )
或
當(dāng)CA=CD時(shí),
D 點(diǎn)坐標(biāo)為(0.-2);
當(dāng) DA=DC 時(shí),設(shè) D 點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y),在△COD 中,
解得
綜上，D點(diǎn)坐標(biāo)為
(3)方法一：①若以 AC為直角邊，點(diǎn) C為直角頂點(diǎn)，則可以設(shè)直線BC交拋物線于點(diǎn)P ，由題意，直線BC的解析式為
解得 (舍)
過(guò)點(diǎn) P 作 P M⊥x軸于點(diǎn)M.
在 Rt△P MC中.(
∴CP =AC.∴△ACP 為等腰直角三角形.
②若以 AC為直角邊，點(diǎn) A為直角頂點(diǎn)；
則過(guò)點(diǎn) A 作AF∥BC,交拋物線于點(diǎn) P ,易得直線AF的解析式為
解得 (舍)
∴P (2.1)
過(guò)點(diǎn) P 作P N⊥y軸于點(diǎn) N.
在Rt△AP N中..
∴AP =AC.∴△ACP 為等腰直角三角形.
綜上所述,在拋物線上存在點(diǎn) P (1,-1),P (2,1).使△ACP 是以AC 為直角邊的等腰直角三角形
方法二：①若以 AC為直角邊，點(diǎn) C為直角頂點(diǎn)；
則延長(zhǎng) BC 至點(diǎn) P ,使得 P C= BC,得到等腰直角△ACP ,過(guò)點(diǎn) P 作 P M⊥x軸,
由△MP C≌△OCA 可得點(diǎn) P (1.-1);
②若以AC為直角邊，點(diǎn)A 為直角頂點(diǎn)，同理求得點(diǎn)P (2，1);
經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn) P (1.-1),P (2.1)均在拋物線 上,使得△ACP 為等腰直角三角形.
3.(1) 拋物線的解折式為
(2)E的坐標(biāo)為(4,3)
(1)當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò) A 作AP ⊥DE交x軸于 P 點(diǎn),設(shè) P (a,0),易知D點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)
由Rt△AOD∽R(shí)t△P OA,得 即
(Ⅱ)同理，當(dāng) E為直角頂點(diǎn)時(shí)，P 點(diǎn)坐標(biāo)為( .0)
()當(dāng) P 為直角頂點(diǎn)時(shí),過(guò) E 作 EF⊥x 軸于 F,設(shè)P (b.0)
由 得∠OP A=∠FEP ,
Rt△AOP ∽R(shí)t△P FE
由 得 解得
∴此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1.0)或(3.0)
綜上，滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( ,0)或(1,0)或(3,0)或
(3)點(diǎn) Q坐標(biāo)為 或
提示：如下圖所示，由直角構(gòu)造“三垂直”相似三角形較為簡(jiǎn)單.
4.(1)16a+6=4解得
拋物線的解析式為：
(2)證明：由拋物線的解析式知：頂點(diǎn) D 坐標(biāo)為(-4，6)
∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-4，且在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-4)
易得 BD解析式為
∴直線BD與x軸的交點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(8,0)
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E,則CE=4,BE=8
又∵OB=4,OA=8,∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90°
∴△CEB≌△BOA ∴CB=AB,∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°.
∴∠1+∠3=90°,即∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
(3)存在.方法一：設(shè)直線A'B'的解析式為 則 A'(2b,0),B'(0,b),則
+(b+4)
①當(dāng) 時(shí)，解方程得
∴直線l解析式為
②當(dāng) 時(shí)，解方程得b=4，與直線AB重合，舍去；
③當(dāng) 時(shí),解方程得b=-1.
∴直線l解析式為
方法二：①當(dāng) 時(shí)，如右圖所示.
∵A'B'∥AB,∴∠OA'B'=∠BAO易證:. =∠BAO
∴A'坐標(biāo)為(-2.0)
∴直線l的解析式為
②當(dāng) 時(shí)，如右圖所示.
過(guò)點(diǎn) C作CE⊥y軸于點(diǎn)E,
易證△A'FC≌△B'EC ∴A'F=
B'E ∴由(
∴設(shè) B'坐標(biāo)為(0,n) ∴有
B'坐標(biāo)為((0,- )∴直線l的解析式為
(2)如右圖所示，拋物線與 y軸交點(diǎn)B 的坐標(biāo)為
易得直線AB的解析式為
∵P為線段AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為
由題意可知 PE∥y軸,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為
∵0(3)由題意可知 D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，又 D點(diǎn)在直線AB上,∴D點(diǎn)坐標(biāo)(1,-1).
①當(dāng)∠EDP=90°時(shí).△AOB∽
如右圖所示,過(guò)點(diǎn) D 作 DQ⊥PE于Q,
∴xq=xp=x, yq= -1
∴△DQP∽△AOB∽△EDP
又
又
解得x=-1± (負(fù)舍).
如上圖中的 P 點(diǎn))
②當(dāng)∠DEP=90°時(shí),△AOB∽△DEP,∴B=DE.
由
解得x=1± (負(fù)舍).
如上圖中的 P 點(diǎn))
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為( 或
6.(1)如右圖所示,由拋物線 y= 得:C(0,-2)
∴OA=OC=2∴A(2.0)
∵△ABC的面積為2∴AB=2
∴B(4,0)
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)(x-4),代入點(diǎn) C(0,-2).
(2)由題意:CE=t,PB=2t,OP=4-2t
∵ED∥BA∴≌=VC即
∵當(dāng)t=1時(shí)-t +2t有最大值 1 ∴當(dāng)t=1時(shí) 的值最小，最小值為1.
②由題意可求：
∵∠PBD=∠ABC
∴以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似有兩種情況
當(dāng) 時(shí)，即 解得：
當(dāng) 時(shí)，即 解得
∴當(dāng) 或 時(shí)，以 P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
7.(1)點(diǎn) B 坐標(biāo)分別為(b,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,b/4).
(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn) P，使得四邊形 PCOB 的面積等于2b.且△PBC是以點(diǎn) P 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.
設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為(x,y),連接OP,
則=2b.∴x+4y=16.
過(guò) P作PD⊥x軸,PE⊥y軸,垂足分別為 D、E.
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°.
∵△PCB是等腰直角三角形,∴PC=PB,∠CPB=90°.
∴∠EPC=∠DPB.
∴△PEC≌△PDB.∴PE=PD.即x=y.
由 解得
由△PEC≌△PDB 得EC=DB,即 解得 符合題意。
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為
(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn) Q.使得△QCO、△QOA 和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似.
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO.∴∠QAB>∠AOQ.∠QAB>∠AQO.
∴要使△QOA 與△QAB 相似,只能∠QOA=∠AQB,此時(shí)∠OQB=90°.
由 QA⊥x軸知QA∥y軸,∴∠COQ=∠OQA.
∴要使△QOA 與△OQC 相似,只能∠OCQ=90°或∠OQC
(Ⅰ)當(dāng)∠OCQ=90°時(shí),△QOA≌△OQC.
則易證△QOA∽△BQA. AQ =OA·AB
得
解得：
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是
(Ⅱ)當(dāng)∠OQC=90°時(shí).△QOA∽△OCQ.
即OQ =OC·AQ.
又OQ =OA·OB,∴OC·AQ=OA·OB,
即
解得:AQ=4,此時(shí)b=17>2符合題意。
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1.4).
∴綜上可知，存在點(diǎn)( 或Q(1.4),使得△QCO、△QOA 和△QAB 中的任意兩個(gè)三角形均相似.
是一個(gè)定值，理由如下：
如右圖所示，過(guò)點(diǎn) Q 作QG⊥y軸于點(diǎn)G. QH⊥x軸于點(diǎn) H.
①當(dāng) QH 與QM 重合時(shí),顯然QG與QN 重合.
此時(shí)
②當(dāng)QH 與QM 不重合時(shí),∵QN⊥QM,QG⊥QH不妨設(shè)點(diǎn) H，G分別在x、y軸的正半軸上，
∴∠MQH=∠GQN.
又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN
當(dāng)點(diǎn) P、Q 在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得 =2.
(3)如右圖,延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn) F,過(guò)點(diǎn) F 作FC⊥OA于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R
∵∠AOD=∠BAE.
∴AF=OF.
∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC.
∴△AOR∽△FOC,
∴點(diǎn) F( .0).
設(shè)點(diǎn)
過(guò)點(diǎn) B 作 BK⊥AR 于點(diǎn)K,則△AKB∽△ARF,
即
解得 (舍去)∴點(diǎn) B(6.2).
∴BK=6-3=3,AK=6-2=4,∴AB=5.
(求 AB 也可采用下面的方法)
設(shè)直線 AF為y=kx+b(k≠0),把點(diǎn) A(3,6),點(diǎn) 代入得
舍
去). B(6.2),∴AB=5
在△ABE與△OED中
∵∠BAE=∠BED,∴∠ABE +∠AEB=∠DEO+∠AEB.∴∠ABE=∠DEO.
∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED.設(shè) OE=x,則AE
由△ABE∽△OED得
∴頂點(diǎn)為
如右圖所示，當(dāng) 時(shí),OE 此 時(shí) E 點(diǎn) 有1個(gè):
當(dāng) 時(shí)，任取一個(gè)m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè).
∴當(dāng) 時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)，當(dāng) 時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)9.(1) 對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m,頂點(diǎn) A(m,0).
(2) 把x=m代入函數(shù) 得 ∴點(diǎn)A(m,0)在直線l上,
當(dāng)x=0時(shí),
(3)如下圖所示，以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAB 全等共有以下四種情況：
∴P 點(diǎn)坐標(biāo)為
代入拋物線解析式得
點(diǎn)與 B 點(diǎn)重合.
點(diǎn)的坐標(biāo)為
代入拋物線解析式得
點(diǎn)的坐標(biāo)為
代入拋物線解析式得
∴符合條件的 P點(diǎn)坐標(biāo)為
( / ξ.- );(0,-3);(2- ,-3).

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