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實際問題與一元二次方程專項練習
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
列一元二次方程解應用題 能根據實際問題，抽象出一元二次方程的實際模型，進而解決實際問題 ★★
二、核心綱要
1.列一元二次方程解決應用題的步驟
(1)審題：明確已知條件和未知條件，以及它們之間的關系.
(2)找等量關系：明確題目中的等量關系.
(3)設未知數：用字母表示未知數，可以直接設未知數也可以間接設未知數.
(4)列方程：根據等量關系列方程.
(5)解方程：選擇恰當的方法解方程.
(6)檢驗：檢驗所求出的一元二次方程的根是否符合題意.
(7)作答：寫出題目最終的答案.
2.一元二次方程實際問題的常見類型
(1)傳播問題：傳染病的第一輪和第二輪傳播，可以抽象為一元二次方程的數學模型.
(2)增長率(或減少率)問題(重點)：以增長率為未知數來設元，便可以轉化為求解一元二次方程的問題. 銀行儲蓄的利率問題，其實也是一種特殊的增長率問題，利率即增長率.
(3)銷售問題(重點)：如何選擇最優化的方案，獲得最大利潤或減少成本(方案選擇問題).
(4)幾何問題：掌握幾何圖形的性質、周長和面積的計算方法.
(5)行程問題：路程=速度×時間，速度=路程÷時間，時間=路程÷速度，抓住這三個量之間的關系列方程.
(6)數論問題：有些時候也會遇到與位值原理相關問題，題目中明確說明，某一位的位值與其他位的位值之間有平方關系，這種題目也需要用到一元二次方程來求解.
本節重點講解：一個步驟，一類應用.
三、全能突破
基礎演練
1.某商品原價200元，連續兩次降價a%后售價為 148元，下列所列方程正確的是( ).
） ） % ） )
2.為了美化環境，某市加大對綠化的投資.2007年用于綠化投資 20萬元，2009 年用于綠化投資 25 萬元，求這兩年綠化投資的年平均增長率.設這兩年綠化投資的年平均增長率為x，根據題意所列方程為( ).
B.20(1+x)=25
3.在一幅長為80cm，寬為50cm的矩形風景畫的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖21-3-1 所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm ,設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是( ).
4.一個小組有若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共有( )人.
A.12 B.10 C.9 D.8
5.矩形的周長為8，面積為1，則矩形的長和寬分別為 .
6.在實數范圍內定義運算“ ”，其法則為：( 求方程(4 3) x=24 的解.
能力提升
7.有兩塊木板，第一塊長是寬的2倍，第二塊的長是第一塊寬的3倍，寬比第一塊的長少2m，已知第二塊木板的面積比第一塊大 108m ，這兩塊木板的長和寬分別是( ).
A.第一塊木板長 18m,寬 9m,第二塊木板長 27m,寬 16m
B.第一塊木板長12m,寬 6m,第二塊木板長 18m,寬 10m
C.第一塊木板長 9m,寬4.5m,第二塊木板長 13.5m,寬 7m
D.以上都不對
8.一個兩位數等于它的個位數的平方，且個位數字比十位數字大 3，則這個兩位數為( ).
A.25 B.36 C.25 或36 D.-25 或-36
9.甲用 1000元人民幣購買了一手股票，隨即他將這手股票轉賣給乙，獲利10%，乙而后又將這手股票返賣給甲，但乙損失了10%，最后甲按乙賣給甲的價格的九折將這手股票賣出，在上述股票交易中，甲獲利了 元.
10.張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1m的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15m 的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多2m，現已知購買這種鐵皮每平方米需20元，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元
11.某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻(墻長25m)，另三邊用木欄圍成，木欄長 40m.
(1)雞場的面積能達到 嗎
(2)雞場的面積能達到： 嗎
12.某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染.請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦 若病毒得不到有效控制，3 輪感染后，被感染的電腦會不會超過 700臺
13.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價一元，商場平均每天可多售出2件.
(1)若商場平均每天贏利1200元，每件襯衫應降價多少元
(2)每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多
14.某汽車銷售公司6月份銷售某廠家汽車，在一定范圍內，每輛汽車的進價與銷售量有如下關系，若當月僅售出1輛汽車，則該汽車的進價為27 萬元；每多售出1輛，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/輛，月底廠家根據銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10輛以內(含 10 輛)，每輛返利0.5萬元，銷售量在10輛以上，每輛返利1萬元.
(1)若該公司當月售出3 輛汽車，則每輛汽車的進價為 萬元.
(2)如果汽車的售價為28萬元/輛，該公司計劃當月贏利 12 萬元，那么需要售出多少輛汽車 (贏利=銷售利潤+返利)
15.如圖21-3-2所示，將正方形沿圖中虛線(其中x(1)畫出拼成的矩形的簡圖.
(2)求 的值.
16.甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價均為 m元的商品，甲超市連續兩次降價20%；乙超市一次性降價40%；丙超市第一次降價30%，第二次降價10%，此時顧客要購買這種商品，最劃算的超市是 .
17.某樓盤準備以每平方米 6000元的均價對外銷售，由于國務院有關房地產的新政策出臺后，購房者持幣觀望，房地產開發商為了加快資金周轉，對價格經過兩次下調后，決定以每平方米4860元的均價開盤銷售.
(1)求平均每次下調的百分率.
(2)某人準備以開盤價均價購買一套 100m 的住房，開發商給予以下兩種優惠方案以供選擇：
①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費每平方米80元，試問哪種方案更優惠
18要在一塊長52m，寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路.下面分別是小亮和小穎的設計方案.
(1)求小亮設計方案中甬路的寬度x.
(2)求小穎設計方案中四塊綠地的總面積(友情提示：小穎設計方案中的x與小亮設計方案中的x取值相同).
巔峰突破
19.如圖 21-3-4 所示,在△ABC中,. 點P 從點 A 開始,沿 AB 邊向點 B 以 1cm/s的速度移動,點 Q從點 B 開始,沿 BC 邊向點C 以2cm/s的速度移動,如果 P、Q兩點同時出發，
(1)幾秒后△PBQ的面積等于
(2)如果 P、Q分別從A、B同時出發,幾秒后 PQ的長度等于 5cm
(3)在(1)中,△PQB的面積能否等于 說明理由.
20.如圖 21-3-5 所示,在△ABC 中, 于點 D,將. 沿AB 所在的直線折疊,使點 D 落在點E 處;將△ACD 沿AC 所在的直線折疊,使點 D落在點 F 處,分別延長 EB、FC使其交于點 M.
(1)判斷四邊形 AEMF的形狀，并給予證明.
(2)若 BD=1,CD=2,試求四邊形 AEMF 的面積.
基礎演練
1. B 2. C 3. B 4. C 5.2+/3.2-/3
6. x =5. x =-5
能力提升
7. B 8. C 9.1
10.設長方體的長為xm,則寬為(x-2)m,根據題意,得:
x(x-2)·1=15.解得: (舍).
原矩形鐵皮的面積為:(x+2)x=7×5=35m .
∴張大叔購回這張矩形鐵皮共花了35×20=700元.
11.(1)設雞場的一邊長為xm,則另一邊長為(40-2x)m,若面積能達到 180m ，根據題意，得：
x(40-2x)=180. 解得:
∵0<40-2x≤25,∴7.5≤x<20.
∴當雞場的一邊長為 時,面積達到180m .
(2)∵x(40-2x)=-2(x-10) +200.
∴雞場的最大面積為 200m .
∴雞場的面積能不能達到210m .
12.設每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，根據題意，得:(1+x) =81.
解得： (舍).
∴3輪感染后,被感染的電腦為(1+8) =729>700.
答：每輪感染中，平均一臺電腦會感染8臺電腦；3 輪感染后，被感染電腦的臺數會超過700臺.
13.設平均每天利潤為w元，每件襯衫降價 x元，根據題意,得:
(1)當w=1200時,
解得:x =10,x =20.
根據題意要盡快減少庫存，所以應降價 20元.
答：每件襯衫應降價 20元.
(2)由(1)可知當x=15元時,商場盈利最多,共1250元.答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天盈利最多.
14.(1)26.8,
(2)設需要售出x部汽車，由題意可知，每部汽車的銷售利潤為：
28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)萬元,
當0≤x≤10,根據題意,得x·(0.1x+0.9)+0.5x=12.整理，得
解這個方程,得x =-20(不合題意,舍去),x =6.
當x>10時,根據題意,得x·(0.1x+0.9)+x=12,整理,得x +19x-120=0.
解這個方程，得x =-24(不合題意,舍去),x =5.
因為5<10,所以 舍去，
答：需要售出6部汽車.
15.(1)如下圖所示
(2)由拼圖前后的面積相等得：:[(x+y)+y]y=(x+y) .
因為y≠0,整理得:
解得： 負值不合題意，舍去).
中考鏈接
16.乙
17.(1)設平均每次下調的百分率x，則6000(1-x) =4860.
解得:x =0.1. x =1.9(舍去).
∴平均每次下調的百分率為 10%.
(2)方案①可優惠:4860×100×(1-0.98)=9720元
方案②可優惠:100×80=8000 元.
方案①更優惠.
18.(1)根據小亮的設計方案列方程得：
(52-x)(48-x)=2300
解得： (舍去)
∴小亮設計方案中甬道的寬度為2m.
(2)作 AI⊥CD,HJ⊥EF,垂足分別為I,J,
∵AB∥CD,∠1=60°,∴∠ADI=60°.
∵BC∥AD,∴四邊形 ADCB為平行四邊形.
∴BC=AD.
由(1)得x=2,∴BC=HE=2=AD.
在 Rt△ADI中,AI= .∵∠HEJ=60°,∴HJ= .
∴小穎設計方案中四塊綠地的總面積為：
巔峰突破
19.(1)設x秒后,△PBQ的面積等于 4cm ,此時AP=xcm,
BP=(5-x) cm,BQ=2xcm.
整理得： 解得：
當x=4時,2x=8>7,此時Q點越過C點,不符合要求.
∴1秒后△PBQ的面積等于4cm .
(2)在 Rt△BPQ中,BP +BQ =25.
即( 整理得：
解得： 舍去)
∴2秒后 PQ的長度等于5cm.
(3)由(1)得: 整理得： 易判斷此方程無實數根.
∴△PQB的面積不能等于7cm .
20.(1)∵AD⊥BC,△AEB是由△ADB折疊所得,
∴∠1=∠3,∠E=∠ADB=90°,BE=BD, AE=AD.
又∵△AFC 是由△ADC 折疊所得,
∴∠2=∠4.∠F=∠ADC=90°. FC=CD,AF=AD.
∴AE=AF.
又∵∠1+∠2=45°,∴∠3+∠4=45°.∴∠EAF=90°.
∴四邊形 AEMF 是正方形.
(2)設正方形 AEMF的邊長為x,根據題意知:BE=BD,CF=CD.
∴BM=x-1; CM=x-2.
在 Rt△BMC中,由勾股定理得:
∴(x-1) +(x-2) =9即x -3x-2=0.
解得： (舍)

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