資源簡介

用函數觀點看一元二次方程 專項練習
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
用函數觀點看 一元二次方程 理解二次函數與一元二次方程的關系 ★
會利用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解
掌握拋物線與x軸的交點與一元二次方程兩根之間的聯系
二、核心綱要
1.二次函數與一元二次方程的關系
△=b -4ac 二次函數y=ax +bx+c(a>0) 一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0).根的情況
圖 像 與x軸的交點情況
△>0 與x軸有兩個不同的交點(x ，0),(x ,0) 方程有兩個不相等的實根x . =-b±/b -2a=
△=0 與x軸有且只有一個交點 方程有兩個相等的實根x =x =-b/a
△<0 與x軸沒有交點 方程無實數根
2.二次函數 的圖像與不等式的關系
△=b -4ac 圖像 函數值y的情況
△>0 當a>0時,若xx ,則y>0; 若x=x 或x=x ,則y=0;若x 當a<0時,若x 0; 若x=x 或x=x ,則y=0;若xx ,則y<0
△=0 當a>0時,若x=x . ,則y=0;若x≠x . ,則y≠0
當a<0時,若x=x . ,則y=0;若x≠x .2·!則y≠0
△<0 當a>0時，圖像落在x軸的上方，無論x為任何實數時，y恒正
當a<0時，圖像落在x軸的下方，無論x為任何實數時，y恒負
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3.直線 與拋物線 的交點
聯立 與 消去 y，得到一元二次方程
①當此方程的判別式大于0，直線與拋物線有兩個交點.
②當此方程的判別式等于0，直線與拋物線有一個交點.
③當此方程的判別式小于0，直線與拋物線沒有交點.
4.利用二次函數圖像求一元二次方程的近似解
對于二次函數 ，當x的值分別為 時，y的值分別為 若y 與y 異號,則在. 與 之間必存在一個數. ，使得它對應的y的值為0，因此一元二次方程 有一個根 x 在. 與 之間，即
5.數學思想
(1)方程思想;(2)函數思想.
本節重點講解：一個交點，一個近似解，兩個關系，兩個思想.
三、全能突破
基礎演練
1.二次函數 的圖像與x軸交點的橫坐標是( ).
A.3 和-4 B.-3 和4 C.3 和 4 D.-3和-4
2.已知二次函數 的圖像如圖 22-2-1 所示，那么一元二次方程 的根是( ).
3.已知函數 的圖像如圖22-2-2所示，根據其中提供的信息，可求得使 y≥1成立的x的取值范圍是( ).
A.-1≤x≤3 B.-3≤x≤1 C.x≥-3 D.x≤-1 或 x≥3
4.函數 的圖像與x軸有交點，則k的取值范圍是 .
5.當k為何值時，函數 的圖像與直線
(1)只有一個公共點；(2)有兩個公共點；(3)沒有公共點.
6.已知關于x的函數 中,滿足k≤3.
(1)求證：此函數圖像與x軸總有交點.
(2)當關于z的方程 有增根時，求上述函數圖像與x軸的交點坐標.
7.已知拋物線
(1)它與x軸的交點的坐標為 .
(2)在坐標系中利用描點法畫出它的圖像.
(3)將該拋物線在x軸下方的部分(不包含與x軸的交點)記為G，若直線y=x+b與G 只有一個公共點，則b的取值范圍是 .
能力提升
8.已知二次函數 的最低點的縱坐標為-3，那么關于x的方程。 的根的情況是( ).
A.無實根 B.有兩個相等實數根
C.有兩個異號實數根 D.有兩個同號不等實數根
9.二次函數 ,a,b,c是常數)中，自變量x與函數y的對應值如下表：
x -1 0 1 2 3
y -2 1 2 1 -2
則一元二次方程 ,a,b,c是常數)的兩個根.x ,x 的取值范圍是( ).
10.(1)若對任意的實數x，函數 的值恒為正，則( ).
A. a<0 B. a>4 C. a<0或a>4 D.0(2)若對任意的實數x，二次三項式 的值恒為負數，則a 的取值范圍是( ).
11.若p,q(pA. p12.已知函數 則使 y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
13.已知點 A(m,0)是拋物線 與x軸的一個交點，則代數式 的值是 .
14.若拋物線 的系數a、b、c滿足 則這條拋物線與x軸的交點坐標為 .
15.已知二次函數 與x軸交點的橫坐標為. 則對于下列結論：①當x=-2時,y=1;②當 時,y>0;③方程 有兩個不相等的實數根 其中所有正確的結論是 (只需填寫序號).
16.若實數a、b滿足. 則 的最小值為 .
17.已知，二次函數 的圖像如圖 22-2-3所示.
(1)若二次函數的對稱軸方程為x=1，求二次函數的解析式.
(2)若一元二次方程 有實數根，請你構造恰當的函數，根據圖像直接寫出q的最大值.
18.已知二次函數 的圖像與x軸交于點( 和 且
(1)求 x 的值.
(2)求代數式 的值.
19.已知拋物線 經過點
(1)求 n-m的值.
(2)若此拋物線的頂點為(p，q)，用含m的式子分別表示p和q，并求p與q之間的函數關系式.
(3)若一次函數 且對于任意的實數x，都有 直接寫出m的取值范圍.
20.已知：拋物線 過點 A(3,4).
(1)求拋物線的解析式.
(2)將拋物線 在直線y=-1下方的部分沿直線. 翻折，圖像其余的部分保持不變，得到的新函數圖像記為G.點 M(m，y )在圖像G上，且.
①求m的取值范圍；
②若點 也在圖像G上，且滿足 恒成立，則k的取值范圍為 .
21.請閱讀下面材料：
若A(x ,y ),B(x ,y );是拋物線 上不同的兩點，證明：直線 為此拋物線的對稱軸.
有一種方法證明如下：
證明:∵ A(x ,y ),B(x ,y );是拋物線 上不同的兩點，
且
①--②得
又∵ 拋物線 的對稱軸為 直線 為此拋物線的對稱軸.
(1)反之,如果M(x ,y ),N(x ,y )是拋物線 上不同的兩點，直線 為該拋物線的對稱軸，那么自變量取x ，x 時函數值相等嗎 寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程.
(2)利用以上結論解答下面問題：已知二次函數 當x=4時的函數值與x=2007 時的函數值相等，求x=2012時的函數值.
22.已知關于x的一元二次方程 有實數根，k為正整數.
(1)求k的值.
(2)當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數 的圖像向下平移8個單位，求平移后的函數解析式.
(3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數的圖像在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖像的其余部分保持不變，得到一個新的圖像.請你結合這個新的圖像回答：當直線 與此圖像有兩個公共點時，直接寫出b的取值范圍.
23.已知關于x的方程
(1)求證：無論 m取任何實數時，方程總有實數根.
(2)求證：拋物線 總過x軸上的一個定點.
(3)若關于x的二次函數 的圖像關于y軸對稱
①求這個二次函數的解析式；
②已知一次函數 證明：在實數范圍內，對于x的同一個值，這兩個函數所對應的函數值 均成立.
(4)在(3)的條件下，若二次函數 的圖像經過點( ，且在實數范圍內，對于x的同一個值，這三個函數所對應的函數值 均成立.求二次函數 的解析式.
24.)對于每個非零自然數 n，拋物線 與x軸交于An、Bn兩點，以AnBn表示這兩點間的距離，則. 的值是( ).
25.函數 與y=x的圖像如圖22-2-4所示,有以下結論:①b -4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④當1A.1 B.2
C.3 D.4
26.在 平面直角坐標 系 xOy 中, 拋 物線 (m≠0)與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B.
(1)求點 A、B的坐標.
(2)設直線l與直線AB 關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線 l的解析式.
(3)若該拋物線在-2巔峰突破
27.若方程 的一個根大于1，另一個根小于1，則 p+q的值為( ).
A.不大于1 B.大于1 C. 小于1 D.不小于1
28.已知二次函數 (其中a是正整數)的圖像經過點 A(-1,4),點 B(2,1),并且與 x軸有兩個不同的交點，則b+c的最大值為 .
基礎演練
1. A 2. C 3. D 4. k≤3
5.(1)k=-1;(2)k>-1;(3)k<-1.
6.(1)當k=2時,函數為y=-2x+3,圖像與x軸有交點.
當k≠2時,△=4(k-1) -4(k-2)(k+1)=-4k+12.
當k≤3時，△≥0，此時拋物線與x軸有交點.
因此,k≤3時,函數. 的圖像與x軸總有交點.
(2)關于z的方程去分母得:z-2=k+2z-6. k=4-z.
由于原分式方程有增根，其增根必為z=3.這時k=1.
這時函數為 它與x軸的交點是 和().
7.(1)它與x軸的交點的坐標為(-1.0).(3.0);
(2)圖像略
(3)b的取值范圍是-3≤b<1或
能力提升
8. D 9. C 10.(1)D (2)C 11. A 12. D 13.2015
14.(-1,0),(3,0) 15.①③④ 16.2
(2)3.
18.(1)∵二次函數 的圖像與x軸交于點(x .0)和(x ,0).
∴令y=0,即
解得x=1或
(2)由 得
∴原式
19.(1)∵拋物線 經過點(-1.3m+
(3)m的取值范圍為 且m≠0.
(2)①當y=0時, 或2.∴拋物線與x軸交于點A(-1,0),B(2,0).
當y=-2時, )或1.∴拋物線與直線 y=-2交于點 C(0,-2), D(1,-2).
∴C、D關于直線y=-1的對稱點 C'(0.0),D'(1.0).
∴根據圖像可得-1≤m≤0或1≤m≤2.
②k的取值范圍為k≥4 或k≤-4.
21.(1)結論:自變量取x ,x 時函數值相等.
證明:∵M(x ,y ),N(x ,y )為拋物線 上不同的兩點。
由題意得 且x ≠x .
①-②.得
∵直線 是拋物線 的對稱軸.
即.y =y .
(2)∵二次函數 當x=4時的函數值與x= 2007 時的函數值相等,
∴由閱讀材料可知二次函數 的對稱軸為直線
∴二次函數的解析式為
由(1)知,當x = 2012 的函數值與x=-1時的函數值相等.
∵當x=-1時的函數值為(-1) -2011×(-1)-1=2011.∴當x = 2012時的函數值為2011.
22.(1)由題意得,△=16-8(k-1)≥0.∴k≤3.∵k為正整數,∴k=1,2,3.
(2)當k=1時,方程 有一個根為零；當k=2時,方程 無整數根；
當k=3時,方程 有兩個非零的整數根.
綜上所述，k=3符合題意。
當k=3時，二次函數為 把它的圖像向下平移8個單位得到的函數解析式為
或
23.(1)分兩種情況:
當m=0時,原方程化為3x-3=0,解得x=1.
∴當m=0，原方程有實數根.
當m≠0時，原方程為關于x的一元二次方程，
∴原方程有兩個實數根.
綜上所述，m取任何實數時，方程總有實數根.
(2)令 y=0,則. 解得:x =
∴拋物線 總過x軸上的一個定點為(1，0)，如下圖所示.
(3)①∵關于x的二次函數 3的圖像關于y軸對稱，∴對稱軸為x=0
∴3(m-1)=0.∴m=1.∴拋物線的解析式為
(當且僅當x=1時，等號成立).
(4)由②知,當x=1時,y =y =0.∴y 、y 的圖像都經過(1,0).
∵對于x的同一個值， 的圖像必經過(1,0).
又· 經過(-5.0),∴y =a(x-1)(x+
設 2)x+(2-5a).
∵對于x的同一個值，這三個函數所對應的函數值 y ≥y ≥y 均成立,∴y -y ≥0.
又根據y 、y 的圖像可得a>0,
∴(4a-2) -4a(2-5a)≤0.
∴(3a-1) ≤0.而(3a-1) ≥0.只有 3a-1=0.解得a= .∴拋物線的解析式為
中考鏈接
24. D 25. B
26.(1)A(0.-2) B(1.0).
(2)∵點A(0,-2),B(1,0)關于對稱軸x=1對稱點的坐標為A'(2,-2). B'(1.0)
設直線l的解析式為y=kx+b(k≠0),則有:
解得：
∴直線l的解析式為y=-2x+2.
(3)∵拋物線的對稱軸是x=1，拋物線在2∴拋物線與直線l的交點橫坐標為-1.
當x=-1時,y=4.
則拋物線過點(-1,4).
當x=-1時,m+2+m-2=4,∴m=2.
∴拋物線的解析式為
巔峰突破
27. B 28.-4.

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