資源簡介

圓的綜合 專題探究
一、技巧提煉
圓的綜合題“包羅萬象”，所有初中學(xué)過的幾何圖形、函數(shù)圖像、點(diǎn)線圖形的運(yùn)動(dòng)等均可以綜合在內(nèi)，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合各種圖形的性質(zhì)特征，從特殊圖形入手，運(yùn)用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等思想方法解題.本講包括以下三個(gè)方面.
(一)圓與動(dòng)態(tài)問題的綜合
這部分主要包括：由點(diǎn)在圓上的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的函數(shù)圖像或函數(shù)關(guān)系，由直線的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的線圓位置關(guān)系，由圓的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的線圓位置關(guān)系. 其中綜合圓的各種定理(如垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)及判定定理等)及中位線定理、勾股、相似等知識(shí)點(diǎn).
(二)圓與函數(shù)的綜合
包括圓與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的綜合.
(三)輔助圓及四點(diǎn)共圓
“輔助圓”的方法就是根據(jù)題目中的條件，依據(jù)圓的定義構(gòu)造圓，從而解決問題，通常有以下幾種情況：
1.平面上有幾個(gè)點(diǎn)到同一個(gè)點(diǎn)距離相等，可構(gòu)造輔助圓.
2.平面上某動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離相等，可構(gòu)造輔助圓.
3.構(gòu)造三角形的外接圓解決問題.
“四點(diǎn)共圓”在解題時(shí)應(yīng)用廣泛、靈活多變，甚至有時(shí)是其他方法所無法替代的，備受各級(jí)各類競(jìng)賽(或考試)命題者的青睞.下面給出幾個(gè)常用的判斷四點(diǎn)共圓的依據(jù)和方法：
1.四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.
2.四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.
3.線段向同側(cè)所張的角相等，那么角的頂點(diǎn)和線段的端點(diǎn)共圓.
4.到同一個(gè)點(diǎn)距離相等的四個(gè)點(diǎn)共圓.(注：上述定理1、2、3解題運(yùn)用時(shí)需先證明)
(以下附圖說明輔助圓及四點(diǎn)共圓的部分運(yùn)用)
若平面上點(diǎn) A、B、C到點(diǎn) E 的距離相等。即 AE=BE=CE,則A、B、C 三點(diǎn)在以 E為圓心、EA 為半徑的圓上 若平面上 A、B、C、D 四個(gè)點(diǎn) 滿足∠ABC=∠ADC=90°,則 A、B、C、D在以AC 中點(diǎn) E 為圓心、EA 為半徑的圓上(可證 EA=EB=EC=ED) 若平面上A、B、C、D 四個(gè)點(diǎn) 滿 足∠ABC=∠ACD=90°,則 A、B、C、D在以AD 中點(diǎn)E 為圓心、EA長為半徑的圓上(可證 EA=EB=EC=ED) 若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿足∠B+∠D=180°或∠A+∠BCD=180°或∠A=∠DCE,則 A、B、C、D 四個(gè)點(diǎn) 在 同一個(gè)圓上 若平面上A、B、C、D 四個(gè)點(diǎn)滿足∠A=∠D 或∠B=∠C,則 A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上
2.如下圖所示，在 中, ，以點(diǎn) O為圓心，6 為半徑的優(yōu)弧MN分別交OA、OB 于點(diǎn) M、N.
(1)點(diǎn) P 在右半弧上( 是銳角)，將OP 繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得 求證：
(2)點(diǎn) T 在左半弧上,若 AT 與弧相切,求點(diǎn) T 到 OA 的距離.
(3)設(shè)點(diǎn) Q 在優(yōu)弧MN 上,當(dāng) 的面積最大時(shí)，直接寫出 的度數(shù).
3.如下圖所示,已知⊙O的半徑為6cm,射線 PM 經(jīng)過點(diǎn)O,( ,射線 PN 與⊙O相切于點(diǎn) Q. A、B 兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn) P 出發(fā)，點(diǎn) A 以 5cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) B 以 的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒.
(1)求 PQ的長.
(2)當(dāng)t為何值時(shí),直線AB 與⊙O相切
4.如下左圖所示，正方形ABCD 的邊長為2，點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)，P 是線段MC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與M、C重合),以 AB為直徑作⊙O,過點(diǎn) P 作⊙O的切線,交 AD 于點(diǎn)F,切點(diǎn)為 E.
(1)求證:
(2)設(shè) ，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.
(3)延長 DC、FP交于點(diǎn)G，連接OE 并延長交直線DC 于點(diǎn) H(如下右圖所示)，問是否存在點(diǎn) P，使 (E、F、O與E、H、G為對(duì)應(yīng)點(diǎn)),如果存在,試求(2)中x 和y的值,如果不存在,請(qǐng)說明理由.
5.如下圖所示，直線 分別與y軸、x軸相交于點(diǎn)A、B，且. 一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓，以0.8 個(gè)單位/秒的速度向 y 軸正方向運(yùn)動(dòng).設(shè)此動(dòng)圓圓心離開坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)間為t (秒).
(1)求直線 AB 的解析式.
(2)如下左圖所示，t為何值時(shí)，動(dòng)圓與直線相切
(3)如下右圖所示，若在圓開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)P 從B 點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)t秒時(shí)點(diǎn)P 到動(dòng)圓圓心C 的距離為s，求s與t的關(guān)系式.
(4)在(3)中，動(dòng)點(diǎn) P 自剛接觸圓面起，經(jīng)過多長時(shí)間后離開了圓面
6.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P 和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得 ,則稱 P 為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn).
已知點(diǎn)
(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),
①在點(diǎn) D、E、F中,⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 ;
②過點(diǎn) F 作直線l 交 y 軸正半軸于點(diǎn) G，使 若直線 l上的點(diǎn)P(m,n)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求 m的取值范圍.
(2)若線段 EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍.
(二)圓與函數(shù)的綜合
7.如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)直線l從y軸出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向右平移，直線l與直線. 相交于點(diǎn)P，以O(shè)P 為半徑的⊙P與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn) B.設(shè)直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)填空:當(dāng)。 時(shí),⊙P的半徑為 ,OA=_.
(2)若點(diǎn) C 是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且以點(diǎn) O、P、C、B 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.
①請(qǐng)你直接寫出所有符合條件的點(diǎn) C的坐標(biāo)(用含 t的代數(shù)式表示) ；
②當(dāng)點(diǎn) C在直線. 上方時(shí),過 A、B、C三點(diǎn)的⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D,連接 DC、DA,試判斷 的形狀，并說明理由.
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8如下左圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P 是反比例函數(shù) 圖像上任意一點(diǎn)，以 P 為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B.
(1)求證:線段 AB為⊙P的直徑.
(2)求 的面積.
(3)如下右圖所示，Q是反比例函數(shù) 圖像上異于點(diǎn) P 的另一點(diǎn)，以Q為圓心，QO 為半徑畫圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、D.求證：
9.如下左圖所示，拋物線 與x軸相交于點(diǎn). ，與 y軸相交于點(diǎn)C， 為 的外接圓，交拋物線于另一點(diǎn) D.
(1)求拋物線的解析式.
(2)求 的值和 的半徑.
(3)如下右圖所示,拋物線的頂點(diǎn)為 P,連接 BP、CP、BD,M 為弦 BD 中點(diǎn),若點(diǎn) N 在坐標(biāo)平面內(nèi),滿足 ，請(qǐng)寫出所有符合條件的 N點(diǎn)的坐標(biāo).
(三)輔助圓及四點(diǎn)共圓
10.在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC 的中點(diǎn),P 是線段BM 上的動(dòng)點(diǎn),將線段 PA 繞點(diǎn) P 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 2α得到線段 PQ.
(1)若α=60°且點(diǎn) P 與點(diǎn)M 重合(如下左圖所示)，線段 CQ 的延長線交射線 BM 于點(diǎn) D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù).
(2)在右下圖中，點(diǎn) P 不與點(diǎn)B、M重合，線段CQ的延長線與射線BM 交于點(diǎn) D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代數(shù)式表示)，并加以證明.
(3)對(duì)于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 BM 上運(yùn)動(dòng)到某一位置(不與點(diǎn) B、M重合)時(shí)，能使得線段 CQ的延長線與射線BM 交于點(diǎn)D，且 PQ=QD，請(qǐng)直接寫出α的范圍.
11.閱讀下面材料：
小紅遇到這樣一個(gè)問題,如下左圖所示,在△ABC中,AD⊥BC,BD=4,DC=6,且∠BAC=45°,求線段 AD的長.
小紅是這樣想的：作△ABC的外接圓⊙O，如上中圖所示，利用同弧所對(duì)圓周角和圓心角的關(guān)系，可以知道∠BOC=90°,然后過O點(diǎn)作OE⊥BC于點(diǎn) E,作 OF⊥AD 于點(diǎn) F,在 Rt△BOC中可以求出⊙O半徑及OE,在 Rt△AOF 中可以求出AF,最后利用AD=AF+DF得以解決此題.
請(qǐng)你回答上邊中間圖中線段 AD 的長為 .
參考小紅思考問題的方法，解決下列問題：
如上右圖所示,在△ABC中,AD⊥BC,BD=4,DC=6,且∠BAC=30°,則線段 AD的長為 .
12.已知:A、B、C不在同一直線上.
(1)若點(diǎn) A、B、C均在半徑為R的⊙O上,
①如下左圖所示，當(dāng) 時(shí),R=1,求∠BOC 的度數(shù)和BC 的長度;
②如下中圖所示，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，求證：
(2)若定長線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在. 的兩邊AM、AN(B、C均與點(diǎn) A 不重合)滑動(dòng),如下右圖所示，當(dāng)∠ 2 時(shí),分別作1 ，交點(diǎn)為點(diǎn) P ，試探索：在整個(gè)滑動(dòng)過程中，P、A兩點(diǎn)的距離是否保持不變 請(qǐng)說明理由.
13.如下圖所示,在梯形 ABCD 中, ,K、M分別在 AD、BC上, 求證：
1.(1) A (2) A (3) A (4) B
2.(1)如下圖所示.
∴∠AOP=∠BOP'.
又∵OA=OB,OP=OP',∴△AOP≌△BOP'.
∴AP=BP'.
(2)連接OT,過點(diǎn) T作 TH⊥OA 于點(diǎn)H,
∵AT與MN相切,∴∠ATO=90°,
即
解得： 即為所求距離.
(3)10°或170°.
【注：當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ 面積最大，且左右兩半弧上各存在一點(diǎn)】
3.(1) 連接OQ.
∵PN與⊙O相切于點(diǎn)Q,∴OQ⊥PN,即∠OQP=90°.
(2) 過點(diǎn)O作OC⊥AB.垂足為C.
∵點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度為5cm/s,點(diǎn)B 的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.∴PA=5t,PB=4t.
∵∠P=∠P,∴△PAB∽△POQ.
∴∠PBA=∠PQO=90°.
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,
∴四邊形OCBQ為矩形.∴BQ=OC.
∵⊙O的半徑為6,
∴BQ=OC=6時(shí),直線AB與⊙O相切.
①當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如下左圖所示的位置.
BQ=PQ-PB=8-4t.
由 BQ=6,得8-4t=6,解得t=0.5.
②當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如下右圖所示的位置.
BQ=PB-PQ=4t-8.
由 BQ=6,得4t-8=6,解得t=3.5.
所以,當(dāng)t為0.5s或3.5s時(shí)直線AB與⊙O相切.
4.(1)證明:連接OE
FE、FA是⊙O的兩條切線,∴∠FAO=∠FEO=90°FO=FO,OA=EO,∴Rt△FAO≌Rt△FEO.
∴∠AOF=∠ABE,∴OF∥BE.
(2)過 F作 FQ⊥BC于點(diǎn)Q.
∴PQ=BP-BQ=x-y,PF=EF+EP=FA+BP=x+y在 Rt△PFQ中,
化簡得
(3)存在這樣的 P 點(diǎn)
∵∠EOF=∠AOF,∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF
當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF 時(shí),即∠EOF=30°時(shí), Rt△EFO∽R(shí)t△EHG.
此時(shí)Rt△AFO中. ∴當(dāng) 時(shí).△EFO∽△EHG
5.(1) 由圖可知k<0,直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A(0,-k)、B(3.0),∵AB=5.∴k=-4,
∴直線AB的解析式為
(2) 設(shè)t秒時(shí)圓與直線AB 相切,
此時(shí)圓心為C ，切點(diǎn)為 D ，如下左圖所示，可能出現(xiàn)兩種情況,連接C D ,C D
由△AC D ∽△ABO,得
解得
同理由△AC D ∽△ABO,得
解得
∴當(dāng) 秒或 秒時(shí)，圓與直線AB 相切.
(3)如上右圖所示.①當(dāng)t=0時(shí),s=3;
②當(dāng)0則
即
③當(dāng)t=5時(shí),s=0.
④當(dāng)t>5 時(shí),設(shè)動(dòng)圓圓心為 C ,動(dòng)點(diǎn) P 在 P 處,連接 C P .
由②同理可知
又當(dāng)t=0或5時(shí),②中s=3或0,
則綜上所述:當(dāng)0≤t≤5時(shí).
當(dāng)t>5時(shí).
(4)當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P與圓面剛接觸時(shí)或剛離開時(shí)，s=1，
由 代入得 由 代入得t
動(dòng)點(diǎn) P 自剛接觸圓面起，經(jīng)過 秒后離開了圓面.
6.(1)①D、E;
②由題意可知，若 P點(diǎn)要?jiǎng)偤檬恰袰 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，
需要點(diǎn) P到⊙C的兩條切線 PA 和PB 之間所夾的角為60°,由下圖可知∠APB=60°,則∠CPB=30°.
連接BC,則
∴若 P點(diǎn)為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn) P到圓心的距離d 滿足0≤d≤2r;
由上述證明可知，考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn)，如下圖所示，
點(diǎn) P 到原點(diǎn)的距離 OP=2×1=2.
過點(diǎn) O 作 OH⊥GF,垂足為 H,
∴∠OGF=60°.
∴∠OPH=60°,
易得點(diǎn) P 與點(diǎn) G 重合,過點(diǎn) P 作 P M⊥x軸于點(diǎn)M.易得
從而若點(diǎn) P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則 P 點(diǎn)必在線段P P 上，∴0≤m≤ ;
(2)若線段 EF 上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段 EF的中點(diǎn)；考慮臨界情況，如下圖所示。
即恰好 E、F 點(diǎn)為⊙K 的關(guān)聯(lián)時(shí)，則 此時(shí),r=1.
故若線段 EF 上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r≥1.
7.(1)/2. OA=2. OB=2;
(2)①符合條件的點(diǎn) C有3個(gè)，如下圖所示，分別為 C (t，3t)、C (-t,t)、C (t,-t);
②△DAC 是等腰直角三角形.理由如下：
當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，如下圖所示，連接 DA、DC、PA、AC,過C作CE⊥y軸于E點(diǎn).
由①可知,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t,3t),由點(diǎn) P 坐標(biāo)為(t,t),點(diǎn)A坐標(biāo)為(2t.0),點(diǎn) B 坐標(biāo)為(0.2t),可知 OA=OB=2t.△OAB是等腰直角三角形,又PO=PB,進(jìn)而可得△OPB也是等腰直角三角形,則∠POB=∠PBO=45°.
∵∠AOB=90°,
∴AB為⊙P的直徑。
∴A、P、B三點(diǎn)共線,
又∵BC∥OP,
∴∠CBE=∠POB=45°,
∴∠ABC=180°-∠CBE-∠PBO=90°.
∴AC為⊙Q的直徑。
∴∠CDA=90°.
在⊙O中,∵∠DBA=45°.∴∠DCA=45°
∴△DAC是等腰直角三角形.
當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，如下圖所示，同上可證△DAC 也是等腰直角三角形.
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C在直線y=x上方時(shí)，△DAC必是等腰直角三角形.
8.(1)∵∠AOB=90°,且∠AOB為⊙P的圓周角.
∴ 線段AB為⊙P的直徑.
(2)如下左圖所示，過點(diǎn) P 分別作x軸、y軸的垂線，垂足為 F、E.易得四邊形 PEOF 為矩形.
設(shè)點(diǎn) P坐標(biāo)為(x,y),則PE·PF=xy=12.
又PA=PB=PO,∴BE=EO. OF=FA,于是 PE=OF= 2OE·OF=2PE·PF=2xy=24.
(3)由(2)可知BO·OA=2OE·2OF=4xy=48.
如下右圖所示，過點(diǎn) Q分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、G,同理,DO·OC=2GO·2OH=4QG·QH=4×12=48.∴DO·OC=BO·OA.
9.(1)∵拋物線 與x軸相交于點(diǎn)A(-3,0), 解得a=1. b=4,
∴拋物線的解析式為
(2)由(1)知，拋物線解析式為
∵令x=0,得y=3,∴C(0,3),
∴OC=OA=3,則△AOC為等腰直角三角形,
在 Rt△BOC 中,由勾股定理得:
如下左圖所示,連接O B、O C.
由圓周角定理得:∠BO C=2∠BAC=90°,
∴△BO C為等腰直角三角形，
∴⊙O 的半徑
(3)拋物線
∴頂點(diǎn) P坐標(biāo)為(-2,-1),對(duì)稱軸為x= -2.
又∵A(-3,0),B(-1,0),可知點(diǎn)A、B 關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱.如下右圖所示，由圓及拋物線的對(duì)稱性可知：點(diǎn) D、點(diǎn) C(0,3)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,∴D(-4,3).
又∵點(diǎn)M為BD中點(diǎn).
在△BPC中,B(-1,0),P(-2,-1),C(0,3),
由兩點(diǎn)間的距離公式得：
民 解得：
設(shè) N(x，y)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得：
解之得，
∴點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 或
10.(1)補(bǔ)全圖形，如右圖所示；
(2)猜想:
證明：方法一：
如下圖所示,連接AD、PC.
∵BA=BC,M是AC的中點(diǎn),∴BM⊥AC.
∵點(diǎn) D,P在直線BM 上,
∴PA=PC,DA=DC.
又∵DP為公共邊，
∴△ADP≌△CDP.
∴∠DAP=∠DCP,
∠ADP=∠CDP.
又∵PA=PQ,
∴PQ=PC.
∴∠DCP=∠PQC.
∴∠DAP=∠PQC.
∵∠PQC+∠DQP=180°,
∴∠DAP+∠DQP=180°.
∴在四邊形 APQD 中,∠ADQ+∠APQ=180°.
∵∠APQ=2α.
方法二:如下圖所示,連接 PC,易證 PA=PC=PQ,于是以點(diǎn)P為圓心.
以 PA長為半徑作⊙P,則點(diǎn) A、C、P都在⊙P上,
,又∠DMC=90°,
(3)α的范圍是
11.(1) 12 (提示：作△ABC的外接圓，之后模仿中間圖的做法)
12.(1) ①∵∠A=45°∴∠BOC=90°
由勾股定理可知
②證明：連接 BO并延長，交圓于點(diǎn) E，連接EC.
可知EC⊥BC(直徑所對(duì)的圓周角為 90°)
且∠E=∠BAC,故
(2)保持不變.
如下圖所示,連接AP,取AP中點(diǎn)O,連接CO、BO,
∵∠ACP=∠ABP=90°.
∴CO=BO=AO=PO,于是,以O(shè)為圓心,以AO長為半徑作⊙O.
則點(diǎn)A、B、P、C四點(diǎn)都在⊙O上,
∵∠BAC=60°.∴∠BOC=120°.
又CO=BO,BC=2,可求得
∴ P、A 兩點(diǎn)的距離在滑動(dòng)過程中保持不變，值為
13.如右圖所示.連接KM
∵∠DAM=∠CBK.
∴A、B、M、K 四點(diǎn)共圓.
∴∠AKB=∠AMB.
∠CMK=∠BAD.
∵AB∥CD.
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∴∠CMK+∠ADC=180°.
∴C、D、K、M四點(diǎn)共圓.
∴∠CKD=∠CMD.
∴∠DMA=∠CKB.

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