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一元二次方程的綜合 專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)
一、課標(biāo)導(dǎo)航
課標(biāo)內(nèi)容 課標(biāo)要求 目標(biāo)層次
一元二次方程的綜合 能利用根與系數(shù)的關(guān)系求解一元二次方程的綜合問(wèn)題 ★★
能用配方法、公式法、因式分解和恒等變形來(lái)求解一元二次方程的公共根和整數(shù)根問(wèn)題 ★★★
能根據(jù)根系關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，從而將其他較復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)處理 ★★★
二、核心綱要
1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(又叫韋達(dá)定理)
(1)一元二次方程 ,a,b,c是常數(shù))存在兩根 則
(2)利用根系關(guān)系可以解決如下常見(jiàn)問(wèn)題：
①確定方程中系數(shù)或參數(shù)的值.
②不解方程，進(jìn)行代數(shù)式整體求值.
③不解方程，判斷方程根的符號(hào)特征.
④韋達(dá)定理的逆定理可以用來(lái)構(gòu)造一元二次方程.
2.一元二次方程的公共根
解決一元二次方程的公共根問(wèn)題的基本步驟：
(1)設(shè)公共根為α，把α代入兩個(gè)一元二次方程.
(2)求出公共根或公共根的有關(guān)表達(dá)式.
(3)把求出的公共根代入原方程中的任何一個(gè)方程，就可以求出字母系數(shù)的值或字母系數(shù)之間的關(guān)系式.
3.一元二次方程的整數(shù)根
(1)如果一元二次方程 (a,b,c是常數(shù)， 有整數(shù)根，那么需要同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：
為完全平方數(shù)；
是 2a[的整數(shù)倍.
另外，如果只滿(mǎn)足判別式為完全平方數(shù)，則只能保證方程有有理根(其中a、b、c均為有理數(shù)).
(2)解決一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題的常用方法
①若 是完全平方數(shù)，則直接解方程，根據(jù)根的情況討論參數(shù)的值.
②若 不是完全平方數(shù)，參數(shù)有范圍，可以根據(jù) 確定參數(shù)的具體取值范圍，進(jìn)而確定參數(shù)的整數(shù)值，代入驗(yàn)證求解.
③若 不是完全平方數(shù)，但有完全平方項(xiàng)，且參數(shù)也沒(méi)有范圍，則假設(shè) 是完全平方數(shù)，利用平方差公式和整數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.
4.構(gòu)造一元二次方程
通常有三種構(gòu)造方式：
(1)通過(guò)根的定義來(lái)構(gòu)造一元二次方程.
(2)通過(guò)韋達(dá)定理的逆定理來(lái)構(gòu)造一元二次方程.
(3)對(duì)于多字母變量的情形，通常先選主元，再構(gòu)造一元二次方程.
本節(jié)重點(diǎn)講解：一個(gè)關(guān)系(根與系數(shù)的關(guān)系)，一個(gè)構(gòu)造(一元二次方程的構(gòu)造)，兩種根(公共根、整數(shù)根).
三、全能突破
基礎(chǔ)演練
1.若一元二次方程 有兩個(gè)根x ,x ,則
2.若方程 的一個(gè)根為 則另一個(gè)根為 ，a的值為 .
3.若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是 Rt△ABC的兩條直角邊，且S△ABC=3,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的一元二次方程為 .
4.已知方程 有一個(gè)公共根，則a= .
5.已知一個(gè)一元二次方程的兩根為 1 和 3，則這個(gè)方程為 .
6.當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 與 的根都是整數(shù).
能力提升
7.若一元二次方程 有兩個(gè)根x ,x ,則 ,.x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+5x_{1}= \underline { \quad \quad \quad }.
8.已知方程 的兩根為x ,x ,x 是x 的2倍,則m= .
9.已知m,n為實(shí)數(shù),且 求 的值.
10.已知：關(guān)于x的一元二次方程 (m為實(shí)數(shù))
(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求 m的取值范圍.
(2)求證：無(wú)論 m為何值，方程總有一個(gè)固定的根.
(3)若m為整數(shù)，且方程的兩個(gè)根均為正整數(shù)，求m的值.
11.已知方程 有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，求 m的值.
12.關(guān)于x的方程 至少有一個(gè)整數(shù)根，且a是整數(shù)，求a的值.
13.已知關(guān)于x的一元二次方程
(1)若方程①有一個(gè)正實(shí)根c,且2ac+b<0,求b的取值范圍.
(2)當(dāng)a=1時(shí)，方程①與關(guān)于x的方程 ②有一個(gè)相同的非零實(shí)根，求 的值.
14.已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程：
方程①: 方程②:x +(2k+1)x-2k-3=0.
(1)若方程①和②中只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，請(qǐng) 說(shuō)明此時(shí)哪個(gè)方 程沒(méi)有實(shí)數(shù) 根，并化簡(jiǎn)
(2)若方程①和②有一個(gè)公共根a，求代數(shù)式( 的值.
15.如果方程 的兩個(gè)根是x ，x ，那么 請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：
(1)已知關(guān)于x的方程. 求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù).
(2)已知a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=0, abc=16,求正數(shù)c的最小值.
16.在△ABC中,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C 所對(duì)的邊,我們稱(chēng)關(guān)于x的一元二次方程 為“△ABC的☆方程”.
根據(jù)規(guī)定解答下列問(wèn)題：
(1)“△ABC 的☆方程” 的根的情況是 (填序號(hào)).
①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ③沒(méi)有實(shí)數(shù)根
(2)若 是“△ABC 的☆方程” 的一個(gè)根，其中a，b，c均為整數(shù)，且( 求方程的另一個(gè)根.
17.如圖21-4-1 所示,四邊形 ACDE 是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形,a,b,c是 和 的三邊長(zhǎng)，則知 這時(shí)我們把形如 的方程稱(chēng)為關(guān)于x的“勾系一元二次方程”.請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
(1)構(gòu)造一個(gè)“勾系一元二次方程”： .
(2)證明：關(guān)于x的“勾系一元二次方程 必有實(shí)數(shù)根.
(3)若x=-1 是“勾系一元二次方程” 的一個(gè)根，且四邊形 ACDE 的周長(zhǎng)是 求 的面積.
18.設(shè)x ,x 是方程. 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 的值為( ).
A.5 B.-5 C.1 D.-1
19.已知實(shí)數(shù)分別滿(mǎn)足 且a≠b,則 的值為( ).
A.7 B.-7 C.11 D.-11
20.已知關(guān)于x的一元二次方程. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍.
(2)若 k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求 k的值.
巔峰突破
21.已知關(guān)于x的方程( 的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有 個(gè).
22.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足 則 的值為 .
基礎(chǔ)演練
3.答案不唯一，如：
本題答案不唯一.
6.由題意可知，方程 的判別式
方程 的判別式為
故 又m為整數(shù),m≠0,故 m=-1或m=1
當(dāng)m=1時(shí)，兩個(gè)方程分別為0.滿(mǎn)足題意：
當(dāng)m=-1時(shí)，兩個(gè)方程分別為x +4x-4=0、x +4x+3=0,不合題意.故 m=1.
能力提升
7.-1;21;0 8.2
9.整理 得
(1)當(dāng)m=n時(shí),原式=2.
(2)當(dāng)m≠n時(shí)，m，n可看做是一元二次方程 =0.的兩根.
∴原式
綜上可得，值為2或
10.(1)由題意,得
∴m≠3且m≠0.
(2)∵(x-1)(mx+3-2m)=0,
∴關(guān)于x的一元二次方程有固定根x=1.
(3)由(2)可知: 或-1或3.
11.∵方程有正整數(shù)根， 定是完全平方數(shù).
設(shè) (k為正整數(shù)),
即:(m+2+k)(m+2-k)=8
∵m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同。
或
解得 或
當(dāng)m=-5時(shí)，原方程為 兩根分別為x =2,x =3.
當(dāng)m=1時(shí)，原方程為 兩根分別為 -1.不合題意舍去.
∴m=-5
12.當(dāng)a=0時(shí),原方程變成-6x-2=0,無(wú)整數(shù)根.
當(dāng)a≠0時(shí)，方程是一元二次方程，它至少有一個(gè)整數(shù)根， 為完全平方數(shù)，從而9-4a是完全平方數(shù).令 是正奇數(shù)，
且n≠3(否則a=0),所以 由求根公式得
所以
要使x 為整數(shù),而 n為正奇數(shù),只能 n=1,從而 a=2.要使x 為整數(shù),即3-n是4 的因數(shù),n可取1.5.7,從而a=2,-4,-10.
綜上所述,a的值為2、-4、-10.
13.(1)∵c為方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)根(c>0).
∵c>0,∴ac+2b+1=0,即ac=-2b-1.
∵2ac+b<0,∴2(-2b-1)+b<0.解得
又ac>0(由a>0,c>0).∴-2b-1>0.解得
(2)當(dāng)a=1時(shí),此時(shí)方程①為
設(shè)方程①與方程②的相同非零實(shí)數(shù)根為m.
④-③得3m +2bm=0.整理,得m(3m+2b)=0.
∵m≠0,∴3m+2b=0.解得
把 代入方程③得
即
當(dāng)8b =9c時(shí).
14.(1)方程①得 方程②得
+4>0.因此無(wú)論k為何值時(shí)，方程②總有實(shí)數(shù)根.
∵方程①、②只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，
∴此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根.
∴k +6k+8<0.即(k+2)(k+4)<0.
∵(k+2)(k+4)<0,∴原式
(2)∵a是方程①和②的公共根,
∴原式=(3+k)a +(4k+5)a-2k
.
15.(1)設(shè)關(guān)于x的方程 的兩根為x ，x ,則有:
∴所求方程的兩根為
∴所求方程為 即.nx +mx+1=0(n≠0).
(2)∵a+b+c=0. abc=16且c>0,
∴a、b是一元二次方程 的兩個(gè)根，
化簡(jiǎn)得：
又∵此方程必有實(shí)數(shù)根，∴此方程的△≥0.
即
又“ ·正數(shù)c的最小值為4.
16.(1)②.
是“△ABC的☆方程' 的一個(gè)根
∵c>0,∴ac=16-4b.
∵ac-4b<0.∴16-4b-4b<0.
∴b>2.又∵ac>0,∴16-4b>0.∴b<4.
綜上所述.2∵a、b、c均為整數(shù),且a、b、c為△ABC 的三條邊,
∴b=3. ∴ac=16-12=4.
∴當(dāng)a=1時(shí),c=4;當(dāng)a=4時(shí),c=1;當(dāng)a=2時(shí),c=2.
∵三角形兩邊之和大于第三邊。
∴a=2. c=2.
∴“△ABC的☆方程”為
且c=2,∴另一個(gè)根為x=-2.
17.(1)例如: 只要a、b、c滿(mǎn)足 即可
∴“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根。
(3)∵x=-1是“勾系一元二次方程” 的一個(gè)根。
又∵四邊形 ACDE的周長(zhǎng)是(6/2,
中考鏈接
18. B 19. A
20.(1)∵一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴△=2 -4(2k-4)>0. ∴k< / .
(2)∵k為正整數(shù),由(1)可得:k=1.2.
①當(dāng)k=1時(shí),方程為 方程無(wú)整數(shù)根；
②當(dāng)k=2時(shí),方程為x +2x=0.方程的兩個(gè)根為x =
綜上所述. k的值為2.
巔峰突破
21.5
22.7

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