資源簡介

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二次函數(shù)的應用 專項練習
一、課標導航
課標內(nèi)容 課標要求 目標層次
二次函數(shù)的應用 能通過分析實際問題的情境確定二次函數(shù)的表達式 ★★
能用二次函數(shù)解決簡單的實際問題；能解決二次函數(shù)與其他知識綜合的問題 ★★★
二、核心綱要
1.建立二次函數(shù)模型解決實際問題
利用二次函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟：
(1)設變量：找出問題中的常量和變量，并用x、y分別表示自變量和因變量.
(2)列函數(shù)關系式：找出符合題意的等量關系，并用含x、y的式子表示等量關系，得出二次函數(shù)關系式.
(3)求值：根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出特定條件下x或y的值.
(4)檢驗：檢驗由函數(shù)關系式所得的結(jié)果是否與實際情況相符，判斷后作出取舍.
(5)作答.
2.實際問題與二次函數(shù)
(1)利用二次函數(shù)求實際問題中的最值的方法：
①將實際問題中兩個變量用二次函數(shù)表示；
②將二次函數(shù)寫成 形式，求出頂點坐標；
③求實際問題中的最值(注意自變量的取值范圍，有時最值可能不在頂點處取得，有可能在端點處取得).
(2)有些物體具有拋物線形狀，用二次函數(shù)解決此類問題的方法：
①合理建立平面直角坐標系；
②合理設對應的二次函數(shù)關系式，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的關系式；
③利用函數(shù)的知識解決實際問題.
本節(jié)重點講解：一個應用(二次函數(shù)的應用)
三、全能突破
基礎演練
1青島市舉行了蘇迪曼杯羽毛球混合團體錦標賽.在比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線 的一部分(如圖22-3-1 所示)，其中出球點 B 離地面O點的距離是 1m，球落地點A 到O點的距離是4m，那么這條拋物線的解析式是( ).
2.某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖22-3-2 所示，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線 (單位：m)的一部分，則水噴出的最大高度是( ).
A.1m B.2m C.3m D.4m
3.教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，如圖22-3-3 所示，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系為 由此可知鉛球推出的最大高度是 m，最遠距離是 m.
4.小汽車剎車距離s(m)與速度 v(km/h)之間的函數(shù)關系式為 一輛小汽車速度為100km/h,在前方 80m處停放一輛故障車，此時剎車 有危險(填“會”或“不會”).
5.某種火箭被豎直向上發(fā)射時，它的高度h(m)與時間t(s)的關系可以用公式 表示.經(jīng)過 s，火箭達到它的最高點.
6.圖22-3-4(a)是拋物線形拱橋，當水面在 n時，拱頂離水面2m，水面寬4m.若水面下降1m，則水面寬度將增加多少米(圖22-3-4(b)是備用圖)
7.某汽車租賃公司擁有20輛汽車.據(jù)統(tǒng)計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元.設公司每日租出x輛車時，日收益為y元.(日收益=日租金收入-平均每日各項支出)
(1)公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為 元(用含x的代數(shù)式表示).
(2)當每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大 最大是多少元
(3)當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧
能力提升
8.圖22-3-5 所示是一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達式為 小強騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面 OC，當小強騎自行車行駛 10秒時和26 秒時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面 OC 共需 秒.
9.在函數(shù)中，我們規(guī)定：當自變量增加一個單位時，因變量的增加量稱為函數(shù)的平均變化率.例如,對于函數(shù)y=3x+1,當自變量 x增加1時,因變量y=3(x+1)+1=3x+4,較之前增加3,故函數(shù) y=3x+1的平均變化率為 3.
(1)①列車已行駛的路程s(km)與行駛的時間t(h)的函數(shù)關系式是 s=300t，該函數(shù)的平均變化率是 ；其蘊含的實際意義是 .
②飛機著陸后滑行的距離y(m)與滑行的時間x(s)的函數(shù)關系式是 求該函數(shù)的平均變化率.
(2)通過比較(1)中不同函數(shù)的平均變化率，你有什么發(fā)現(xiàn).
10.有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m
(1)在如圖22-3-6 所示的平面直角坐標系中，求出該拋物線的解析式.
(2)在正常水位的基礎上，當水位上升h(m)時，橋下水面的寬度為d(m)，試求出用d表示h的函數(shù)關系式.
(3)設正常水位時橋下的水深為 2m，為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于 18m，求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下順利航行
11.某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè).李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價 x(元)之間的關系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500.
(1)設李明每月獲得利潤為w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤
(2)如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元
(3)根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于 2000元，那么他每月的成本最少需要多少元(成本=進價×銷售量)
12. X 市與W 市之間的城際鐵路正在緊張有序地建設中，在建成通車前，進行了社會需求調(diào)查，得到一列火車一天往返次數(shù) m與該列車每次拖掛車廂節(jié)數(shù)n的部分數(shù)據(jù)如下：
車廂節(jié)數(shù)n 4 7 10
往返次數(shù) m 16 10 4
(1)請你根據(jù)上表數(shù)據(jù),在三個函數(shù)模型:①y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0);
(k為常數(shù),k≠0); (a,b,c為常數(shù)，a≠0)中，選取一個合適的函數(shù)模型，求出m關于n的函數(shù)關系式是m= (不寫n的范圍).
(2)結(jié)合你求出的函數(shù)，探究一列火車每次掛多少節(jié)車廂，一天往返多少次時，一天的設計運營人數(shù) Q最多(每節(jié)車廂載客量設定為常數(shù) p).
13.如圖22-3-7 所示，小明在一次高爾夫球爭霸賽中，從山坡下O 點打出一球向球洞A 點飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大水平高度 12m時，球移動的水平距離為9m.已知山坡 OA 與水平方向OC 的夾角為30°,O、A 兩點相距8 m.
(1)求出點 A 的坐標及直線OA 的解析式.
(2)求出球的飛行路線所在拋物線的解析式.
(3)判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞A 點 .
14.如圖22-3-8 所示，在邊長為24cm的正方形紙片 ABCD 上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒(A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點).已知E、F 在AB 邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x(cm).
(1)若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V.
(2)某廣告商要求包裝盒的表面(不含下底面)面積S 最大，試問x應取何值
15.“城市發(fā)展 交通先行”，成都市今年在中心城區(qū)啟動了緩堵保暢的二環(huán)路高架橋快速通道建設工程，建成后將大大提升二環(huán)路的通行能力.研究表明，某種情況下，高架橋上的車流速度 V(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，且當0(1)求當28(2)若車流速度V 不低于50千米/時，求當車流密度 x為多少時，車流量 P(單位：輛/時)達到最大，并求出最大值.
(注：車流量是單位時間內(nèi)通過觀測點的車輛數(shù)，計算公式為：車流量=車流速度×車流密度)
16.如圖22-3-10 所示，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分 ACB 和矩形的三邊 AE、ED、DB 組成,已知河底 ED 是水平的, 16m,AE=8m,拋物線的頂點C 到 ED 距離是 11m,以 ED 所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為 y軸建立平面直角坐標系，
(1)求拋物線的解析式.
(2)已知從某時刻開始的 40h內(nèi)，水面與河底 ED 的距離h(單位：m)隨時間 t(單位：h)的變化滿足函數(shù)關系 且當水面到頂點 C 的距離不大于 5m時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內(nèi)，需禁止船只通行多少小時
17.如圖22-3-11 所示,排球運動員站在點O處練習發(fā)球,將球從O點正上方2m 的 A 處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關系式 已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為 2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為 18m.
(1)當 時，求 y與x的關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍).
(2)當h=2.6時，球能否越過球網(wǎng) 球會不會出界 請說明理由.
(3)若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求 h的取值范圍.
18.某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是 20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價是30元時，月銷售量是230 件，而銷售單價每上漲1 元，月銷售量就減少 10 件，但每件玩具售價不能高于40元. 設每件玩具的銷售單價上漲了x元時(x為正整數(shù))，月銷售利潤為 y元.
(1)求 y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍.
(2)每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元
(3)每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大 最大的月利潤是多少
19.已知在. 中，邊 BC 的長與BC 邊上的高的和為20.
(1)寫出 的面積y與BC的長x之間的函數(shù)關系式，并求出面積為48時BC的長.
(2)當 BC 多長時, 的面積最大 最大面積是多少
(3)當 面積最大時，是否存在其周長最小的情形 如果存在，請說明理由，并求出其最小周長；如果不存在，請給予說明.
巔峰突破
20.知識遷移:當a>0且x>0時,因為 所以 從而 當x 時取等號).記函數(shù) 由上述結(jié)論可知：當 時，該函數(shù)有最小值為
直接應用：已知函數(shù) 與函數(shù) 則當 時, 取得最小值為 .
變形應用：已知函數(shù) 與函數(shù) 求 的最小值，并指出取得該最小值時相應的x的值.
實際應用：已知某汽車的一次運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用，共360元；二是燃油費，每千米為1.6元；三是折舊費，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為 0.001.設該汽車一次運輸?shù)穆烦虨閤km，求當x為多少時，該汽車平均每千米的運輸成本最低 最低是多少元
基礎演練
1. A 2. D 3.3:10 4.會 5.15
6.建立下圖所示平面直角坐標系，由題意得：A(2，-2).
設解析式為
∴解析式為
當y=-3時,則有:
∴x=± .∴CD=2 . CD-AB=2 -4.
答：水面寬度將增加(
7.(1)1400-50x;
(2)根據(jù)題意得出:y=x(1400-50x)-4800
=-50(x-14) +5000.
當x=14時,在0≤x≤20范圍內(nèi),y有最大值5000.
∴當每日租出 14 輛時，租賃公司日收益最大，最大值為5000元.
(3)要使租賃公司日收益不盈也不虧，即 y=0. 即 50 解得:x =24,x =4.
∵x=24不合題意,舍去.
∴當每日租出4輛時，租賃公司日收益不盈也不虧。
能力提升
8.36
9.(1)①300;列車的速度.
②該函數(shù)的變化率為：
(2)一次函數(shù)的變化率是常量，二次函數(shù)的變化率是變量.
(2)設水位上升hm時，水面與拋物線交于點 則
(3)當d=18時,h=0.76.0.76+2=2.76.
∴當水深超過2.76m時會影響過往船只在橋下順利航行。
11.(1)由題意,得:w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+
答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤.
(2)由題意,得: 解得:x =
答：李明想要每月獲得 2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元.
(3)∵a=-10<0,∴拋物線開口向下.∴當30≤x≤40時,v≥2000.∵x≤32,∴當30≤x≤32時,w≥2000.
設成本為 P(元),由題意,得:P=20(--10x+500)=-200x+10000.
∵k=-200<0,∴P隨x的增大而減小.∴當x = 32時,
答：想要每月獲得的利潤不低于 2000 元，每月的成本最少為3600元.
12.(1)m=-2n+24;
∵--2p<0,∴Q有最大值.
∴當 時，Q取最大值.
此時,m=-2n+24=-2×6+24=12.
∴一列火車每次掛6節(jié)車廂，一天往返12次時，一天的設計運營人數(shù)最多.
13.(1)在 Rt△AOC中,∵∠AOC=30°,OA=8/3,
∴AC=4 ,OC=12.
∴點A的坐標為(12,4 ).
設 OA 的解析式為y=kx,把點 A(12.4 )的坐標代入得: ∴OA的解析式為
(2)∵頂點 B的坐標是(9,12),點O的坐標是(0,0),
∴設拋物線的解析式為y=a(x-9) +12. 把點O的坐標代入得:0=a×(0-9) +12,解得
∴拋物線的解析式為
(3)∵當x=12時, 小明這一桿不能把高爾夫球從O點直接打入球洞A 點.
14.(1)根據(jù)題意，可知這個正方體的底面邊長a= x,EF=
∴x+2x+x=24.解得:x=6.則a=6 .
(2)設包裝盒的底面邊長為 acm,高為 hcm,則a= x,h
∵015.(1)當 28(2)根據(jù)題意，得
當0可見，當車流密度x為88輛/千米時，車流量 P 最大，為4400輛/時.
(2) 解得
由h=-1+ (0≤t≤40)圖像變化趨勢可知,當3≤t≤35時，水面到頂點 C 的距離不大于 5 米，需禁止船只通行，
禁止船只通行時間為35-3=32(時)
中考鏈接
(2)當x=9時,y=2.45>2.43,∴球能越過網(wǎng).
∵當y=0時,即 解得
(舍去).
∵6+2 /39>18,∴球會出界.
(3)把x=0,y=2,代入到:y=a(x-6) +h得 當x=9時. 當x=18時.
由①、②解得 ∴:若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，h的取值范圍為
18.(1)依題意得 y=(30+x-20)(230-10x)=-10x +130x+2300
自變量x的取值范圍是：0(2)當.y=2520時,得-10x +130x+2300=2520,
解得x =2,x =11(不合題意,舍去).
當x=2時,30+x=32.
∴每件玩具的售價定為 32 元時，月銷 售 利潤恰為2520元.
(3)y=-10x +130x+2300=-10(x-6.5) +2722.5∵a=-10<0∴當x=6.5時,y有最大值為2722.5.
∵0∴當x=6時,30+x=36,y=2720,當x=7時,30+x=37,y=2720.
∴每件玩具的售價定為36元或37元時，每個月可獲得最大利潤.最大的月利潤是2720 元.
19.(1)依題意得:
解方程 得:
∴當△ABC面積為48時,BC的長為12或8.
(2)由(1)得:
∴當x=10,即BC=10時,△ABC的面積最大,最大面積是50;
(3)△ABC的周長存在最小的情形，理由如下：
由(2)可知△ABC的面積最大時,BC=10,BC 邊上的高也為10.如右圖所示。
過點 A 作直線 l 平行于BC.作點 B關于直線l的對稱點 B'.
連接B'C 交直線l于點A',再連接A'B,AB',
則由對稱性得：
A'B'=A'B,AB'=AB,
∴A'B+A'C=A'B'+A'C=B'C.
當點A 不在線段B'C 上時，則由三角形三邊關系可得：
AB+AC+BC=AB'+AC+BC>B'C+BC,
當點 A 在線段B'C 上時,即點 A 與A'重合,這時AB+AC+BC=A'B'+A'C+BC=B'C+BC,
因此當點A與A'重合時，△ABC的周長最小；
這時由作法可知:BB'=20,
∴最小周長為10 +10.
巔峰突破
20.直接應用:1;2.
變形應用：
有最小值：
當 即x=1時取得該最小值.
實際應用：設該汽車平均每千米的運輸成本為 y元，則
∴當 時
該汽車平均每千米的運輸成本y最低，最低成本為 0.001 元.

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