資源簡介

二次函數的圖像和性質 專項練習
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
二次函數的圖像和性質 了解二次函數的意義：會用描點法畫出二次函數的圖像 ★
能從圖像上認識二次函數的性質；會根據二次函數的解析式求其圖像與坐標軸 的交點坐標，會確定圖像的頂點、開口方向和對稱軸；能通過分析實際問題的情 境確定二次函數的表達式 ★★
能根據二次函數解決簡單的實際問題；能解決二次函數與其他知識綜合的有關問題 ★★★
二、核心綱要
1.二次函數的定義
一般地，形如 (a,b,c是常數，且 的函數，叫做二次函數.
注：(1) 函數關系式必須是整式.
(2)自變量 x的取值范圍為全體實數，且最高次數是2.
(3)a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項，寫各項系數時包括它前面的符號.
(4)二次項系數a不等于0.
2.二次函數解析式的表示方法
(1)一般式: a,b,c為常數，
(2)頂點式: k為常數， ,其中(h,k)為頂點坐標.
(3)交點式(兩根式):. 是拋物線與x軸兩交點的橫坐標，即一元二次方程 的兩個根，對稱軸為
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數解析式的這三種形式可以互化.
3.二次函數的圖像和性質
(1)二次函數 和y=a(x-h) 的圖像和性質
函數 y=ax (a≠0) y=ax +k(a≠0) y=a(x-h) (a≠0,h>0)
圖像 a>0 a<0 a>0,k>0 a<0,k<0 a>0 a<0
性質 開口方向 向上 向下 向上 向下 向上 向下
對稱軸 y軸(x=0) y軸(x=0) y軸(x=0) y軸(x=0) x=h x=h
頂點坐標 (0.0) (0.0) (0,k) (0,k) (h,0) (h,0)
y 隨 x 變化的趨勢 當x>0時,y隨x 的 增 大 而 增大;當x<0時,y隨 x 的增 大 而減小 當x>0時,y隨x 的 增 大 而減小;當x<0時,y隨 x 的增大 而增大 當x>0時,y隨x 的 增 大 而 增大;當x<0時,y隨 x 的 增 大 而減小 當x>0時,y隨x 的 增大 而 減小;當x<0時,y隨 x 的增 大 而增大 當x>h時,y隨x 的 增 大 而 增大;當xh時,y隨x 的增大而減小;當x最大(小)值 當x=0時,y最小值=0 當x=0時, y最大值=0 當x=0時, y最小值=k 當x=0時, y最大值=k 當x=h時,y最小值=0 當x=h時,y最大值=0
(2)二次函數 和 的圖像和性質
函數 y=a(x-h) +k(a≠0) y=ax +bx+c(a≠0)
圖像 a>0 a<0 a>0 a<0
性質 開口方向 向上 向下 向上 向下
對稱軸 x=h x=h x=-b/2a x=-b/2a
頂點坐標 (h,k) (h,k) (-2a.4ac-b ) (-b,4ac-b )
y隨x變化的趨勢 當x>h時,y隨x的增大而增大； 當xh時,y隨x的增大而減小； 當x-b/2a時，y隨x的增大而增大； 當.x<-b/2a時，y隨x的增大而減小 當x>-b/2a時,y隨x的增大而減小； 當x<-b/2a時,y隨x的增大而增大
最大(小)值 當x=h時,y最小值=k 當x=h時,y最大值=k 當x = - b/2a時, y最小值_4ac-b 當x=-b/2a時,y最大值_4ac-b
4.二次函數解析式的確定
根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法.用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：
(1)已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式.
(2)已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)值，一般選用頂點式.
(3)已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用交點式(兩根式).
(4)已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式.
5.二次函數 (a，b，c為常數且a≠0)的圖像與各項系數之間的關系
(1)二次項系數a：a的正負決定開口方向，|a|的大小決定開口的大小
①當a>0時，拋物線開口向上，當a<0時，拋物線開口向下；
②|a|越大，開口越小，|a|越小，開口越大.
(2)一次項系數b：在二次項系數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.若a>0，則
①當b>0時, 即拋物線的對稱軸 在y軸左側.
②當b=0時, 即拋物線的對稱軸就是y軸.
③當b<0時, 即拋物線的對稱軸 在y軸的右側.
注：“左同右異”，即當a、b同號時，對稱軸在 y軸的左側；當a、b異號時，對稱軸在y軸的右側.
(3)常數項c：決定拋物線與 y軸交點的位置
①當c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸的正半軸相交.
②當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線經過原點.
③當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸的負半軸相交.
總之，只要a，b，c都確定，那么這條拋物線的形狀及在坐標平面中的位置就是唯一確定的.
6.拋物線的特殊位置與系數的關系
(1)頂點在x軸上< ( 2)頂點在 y軸上 b=0; (3)頂點在原點 b=c=0;
(4)拋物線經過原點 c=0.
7.二次函數圖像的變換
(1)二次函數的平移變換，平移規律：“上加下減、左加右減”.
①一般式的平移
將拋物線 向上平移m 個單位，得
將拋物線 向下平移m 個單位，得
將拋物線 向左平移m個單位，得
將拋物線 向右平移m個單位，得
②頂點式的平移
將拋物線 向上平移m個單位，得
將拋物線 向下平移m個單位，得
將拋物線 向左平移m個單位，得
將拋物線 向右平移m個單位，得
(2)二次函數的對稱變換
①關于x軸對稱
拋物線 關于x軸對稱后，得到的拋物線是
拋物線 關于x軸對稱后，得到的拋物線是
②關于y軸對稱
拋物線 關于y軸對稱后，得到的拋物線是
拋物線 關于y 軸對稱后，得到的拋物線是
③關于原點對稱
拋物線 關于原點對稱后，得到的拋物線是
拋物線 關于原點對稱后，得到的拋物線是
④關于頂點對稱
拋物線 關于頂點對稱后，得到的拋物線是
拋物線 關于頂點對稱后，得到的拋物線是
*⑤關于點(m,n)對稱
拋物線 關于點(m，n)對稱后，得到的拋物線是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此|a|永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時，一般先確定原拋物線(或表達式已知的拋物線)的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式.
8.求拋物線 的頂點和對稱軸的方法
(1)公式法: 的頂點是 對稱軸是直線
(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為 的形式，得到頂點為(h，k)，對稱軸是直線 x=h.
(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸是拋物線與x軸的兩交點所連線段的垂直平分線，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
9.求二次函數 最值的方法
(1)若自變量x的取值范圍是全體實數，則函數在頂點處取得最大值(或最小值)，即
①若a>0,當 時, ②若a<0,當 時,
(2)若自變量的取值范圍是 且a>0.
①若 在自變量取值范圍. 內，如下左圖，當 時, 當 時,
②若 不在自變量取值范圍 內，如下右圖，當 時, 當x 時,
10.數學思想
(1)數形結合; (2)分類討論.
本節重點講解：一個定義，一個性質(二次函數的圖像和性質)，一個關系(圖像與系數之間的關系)，兩個方法(求對稱軸、頂點和最值的方法)，兩個變換(平移和對稱變換)，兩個思想，三個形式(解析式的形式).
三、全能突破
基礎演練
1.若 是二次函數,則m=( ).
A.7 B.-1 C.-1或7 D.以上都不對
2.(1)拋物線 的對稱軸是直線( ).
A. x=-6 B. x=-1 C. x=1 D. x=6
(2)若拋物線 的頂點在x軸的下方，則a 的取值范圍是( ).
A. a>1 B. a<1 C. a≥1 D. a≤1
(3)已知拋物線. 與 x 軸交于 A(x ,0),B(3,0)兩點,則線段 AB 的長度為( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.設A(-2,y ),B(1,y ),C(2,y )是拋物線. 上的三點,則 y 、y 、y 的大小關系為( ).
4.(1)要得到 的圖像，需將拋物線 作如下平移( ).
A.向右平移3個單位，再向上平移4個單位 B.向右平移3個單位，再向下平移4個單位
C.向左平移3個單位，再向上平移4個單位 D.向左平移3個單位，再向下平移4個單位
(2)已知 的圖像是拋物線，若拋物線不動，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標系下拋物線的解析式是( ).
A. y=2(x-2) +2
(3)頂點為(-5，-1)，且開口方向、形狀與函數 的圖像相同的拋物線是( ).
5.二次函數 的最小值是 ，此時x= .
6.(1)請選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數. 的圖像同時滿足下列條件：①開口向下，②當x<2時，y隨x的增大而增大；當x>2時，y隨x的增大而減小.這樣的二次函數的解析式可以是 .
(2)二次函數 當x<--2時，y隨x的增大而減小；當x>-2時，y隨x的增大而增大,則當x=--1時,y的值是 .
7.在同一平面直角坐標系中，一次函數 和二次函數 的圖像可能為( ).
8.已知,圖22-1-1 所示是二次函數 的圖像，判斷以下各式的值是正數還是負數.
(1)a;(2)b;(3)c;(4)b -4ac;(5)2a+b;(6)a+b+c;(7)a-b+c.
9.根據給定條件求出下列二次函數解析式：
(1)已知二次函數圖像的頂點是(-2，1)，且過點(
(2)已知二次函數 的圖像過(
(3)二次函數 的圖像經過點(0,-1),(3,2),(1,-2).
能力提升
10.如圖 22-1-2 所示,在 Rt△ABC 中, ,動點 P 從點 A 出發,以每秒 1cm的速度，沿 A→B→C 的方向運動，到達點 C時停止.設 ，運動時間為t秒，則能反映 y與t 之間函數關系的大致圖像是( ).
11.如圖 22-1-3 所示,拋物線 與 交于點 A(1,3),過點 A 作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點 B、C.則以下結論：①無論 x取何值，y 的值總是正數. ③當x=0時,y -y =4.④2AB=3AC.其中正確結論是( ).
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
12.若二次函數 在一1≤x≤1的范圍內至少有一個x的值使. 成立，則p的取值范圍是( ).
A. p>2 B. p>0 C. p≤2
13.已知二次函數 若存在實數m，n使得當自變量x的取值范圍是： 時，函數值 y的取值范圍恰好是3m≤y≤3n,則 m= ,n= .
14.把拋物線 繞原點旋轉 180°得到拋物線 C ，再繞拋物線 C 的頂點旋轉； ，則所得新的拋物線解析式為 .
15.(1)拋物線 滿足條件：((1)4a-b=0;(2)a-b+c>0;(3)與x軸有兩個交點,且兩交點間的距離小于2.以下有四個結論:①a<0;②c>0;③a+b+c<0;④ (2)已知二次函數 的圖像與x軸交于(1,0)和(x ,0),其中 ，與y軸交于正半軸上一點.下列結論：①b>0;②ac< / b ;③a>b;④-a16.如圖22-1-4 所示，在平面直角坐標系中，二次函數 的圖像過正方形 ABOC的三個頂點A、B、C,則ac的值是 .
17.閱讀下面的材料：
小明在學習中遇到這樣一個問題：若1≤x≤m，求二次函數 的最大值.如圖22-1-5 所示，畫圖研究后發現，x=1和x=5時的函數值相等，于是他認為需要對m進行分類討論.
他的解答過程如下：
∵二次函數 的對稱軸為直線x=3，
∴由對稱性可知，x=1和x=5時的函數值相等.
∴若1≤m<5,則x=1時,y的最大值為2.
若m≥5,則x=m時,y的最大值為
請你參考小明的思路，解答下列問題：
(1)當-2≤x≤4時,二次函數 的最大值為 .
(2)若 p≤x≤2,求二次函數 的最大值.
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(3)若t≤x≤t+2時,二次函數 的最大值為31，則 t的值為 .
18.已知二次函數
(1)隨著 m的變化，該二次函數圖像的頂點 P 是否都在某條拋物線上 如果是，請求出該拋物線的表達式；如果不是，請說明理由.
(2)如果直線 經過二次函數 圖像的頂點 P，求此時m 的值.
19.已知拋物線 (其中k>0).
(1)求該拋物線與x軸的交點坐標及頂點坐標(可以用含k的代數式表示).
(2)若記該拋物線的頂點坐標為P(m，n)，直接寫出|n|的最小值.
(3)將該拋物線先向右平移. 個單位長度，再向上平移. 個單位長度，隨著k的變化，平移后的拋物線的頂點都在某個新函數的圖像上，求這個新函數的解析式(不要求寫自變量的取值范圍).
20.二次函數 的圖像的頂點在第一象限，且過點(--1，0).設 t= 則t值的變化范圍是( ).
A.021.如圖 22-1-6 所示,已知拋物線 與 交于點O(0,0),A(a,12).點B 是拋物線上OA 之間的一個動點，過點 B分別作x軸、y軸的平行線與直線 AO 交于點C、E，
(1)求拋物線的函數解析式.
(2)若點 C為OA的中點,求 BC的長.
(3)以 BC、BE 為邊構造矩形BCDE,設點 D 的坐標為(m,n),求出m、n之間的關系式.
22.我們知道，經過原點的拋物線解析式可以是
(1)對于這樣的拋物線：
當頂點坐標為(1,1)時,a= ;
當頂點坐標為(m，m)，m≠0時，a與m之間的關系式是 .
(2)繼續探究：如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線 上，請用含 k的代數式表示b.
(3)現有一組過原點的拋物線,頂點 A ,A ,…,A 在直線y=x上,橫坐標依次為1,2,…,n(n為正整數，且n≤12)，分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為 以線段 A B 為邊向右作正方形AnBnCnDn.若這組拋物線中有一條經過點 Dn，求所有滿足條件的正方形的邊長.
巔峰突破
23.不論m取任何實數，拋物線 的頂點都在一條直線上，則這條直線的解析式為 .
24.設a,b,c是 的三邊長，二次函數 在 時取最小值 則 是( ).
A.等腰三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形
基礎演練
1. A 2.(1)A (2)B (3)D 3. A
4.(1)D (2)B (3)C 5.-4;1
6.(1)答案不唯一,只要滿足對稱軸是x=2,a<0. (2)-7
7. A
8.(1)負;(2)正;(3)正;(4)正;(5)負;(6)正;(7)負
能力提升
10. A 11. D 12. C 13.-4.0 14. y=2x +4x+9
15.(1)②④ (2)②④ 16.-2
17.(1)49
(2)∵二次函數.y=2x +4x+1的對稱軸為直線x=-1,
∴由對稱性可知，當x=-4和x=2時函數值相等.
∴若p≤-4,則當x=p時,y的最大值為 若-4(3)1或-5.
18.(1)由已知得. 頂點坐標P(-m- 令-m-1=x.將m=-x-1代入. 3m.得:
故拋物線的表達式是
(2)如果頂點 在直線y=x+1上,則
即 故m=0或m=-2.
19.(1)令 y=0,則kx +(k-2)x-2=0.整理,得(x+1)(kx-2)=0. 解得
∴該拋物線與x軸的交點坐標為((--1.0).( .0).
拋物線 的頂點坐標為
(2)|n|的最小值為2.
(3)平移后拋物線的頂點坐標為
由 可得
∴所求新函數的解析式為
中考鏈接
20. B
(2)∵點C是OA的中點,∴點C的坐標為(3,6).
把y=6代入 解得
(舍去)..
(3)∵點D的坐標為(m,n),∴點E 的坐標為 點C的坐標為(m,2m).∴點 B 的坐標為 把 代入 得
∴m、n之間的關系式為
或 am+1=0);
∴頂點坐標為
∵頂點在直線y=kx上.
∵b≠0.∴b=2k.
(3)∵頂點 A 在直線y=x上,
∴可設A。的坐標為(n. n)，點 D。所在的拋物線頂點坐標為(t,t).
由(1)(2)可得，點 Dn所在的拋物線解析式為
∵四邊形A B C D 是正方形。
∴點 Dn的坐標為(2n. n).
∵t、n是正整數,且t≤12,n≤12,∴n=3.6或9.
∴滿足條件的正方形邊長為3.6或9
巔峰突破
23. y=-x-1 24. D

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