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二次函數與距離、角度的綜合 專題探究
一、技巧提煉
1.最短路徑問題
問題 作法 原理
已知直線 l 及點 A、B,在直線l 上作點 P,使AP+BP 最小 將點 A 對稱到點 A′,連接 A'B,與l 的交點即為點 P AP+BP=A'B 兩點之間，線段最短
分別在直線l 、l 上作點 A、B,使 PA+AB+BP 最小 將點 P 分別關于直線 l 、l 對稱到點 P 、P , 連接 P P 與兩直線交 點即為 A、B PA+AB+BP=P P 兩點之間，線段最短
分別在直線l 、l 上作點 A、B,使 PA+AB+BQ 最小 將點 P、Q 分別關于直線l 、l 對稱到點 P 、Q ,連接 P Q 與兩直線交點即為A、B PA+AB+BQ=P Q 兩點之間，線段最短
分別在直線l 、l 上作點 B、A,使 PA+AB+BQ最小 將點 P、Q 分別關于直線l 、l 對稱到點 P 、Q ,連 接 P Q 與兩直線交點即為A、B PA+AB+BQ=P Q 兩點之間，線段最短
已知直線l及A、B 兩點,在 l上求作點 P、Q.使線段 PQ=d,并且使 AP+PQ+QB 最小 將點 A 向右平移至點A′,使AA'=d,再將 A'關于 l 對稱到A",連接A"B,與l的1 交點即為點 Q,將 Q向左平移定長 d 即為點 P AP+PQ+QB=A"B+d 兩點之間，線段最短
已知直線l ∥l ,且距離為 d,分別在 l 、l 上作點 P、Q且 PQ⊥l ,使 AP+PQ+QB 最小 將點 A 向下平移 d 個單位長度得到A'，連接A'B,與l 的交點即為Q,過 Q 作 l 的垂線與l 的交點即為點 P AP+PQ+QB =A'B+d 兩點之間，線段最短
在直線l上求作一點 P,使|BP-AP|:①最小；②最大 ①作線段 AB的中垂線與 直 線 l 的 交 點 即為 P; ②將點 A 關于直線l 對稱到點 A',連接 BA'并延長與直線l 的交點即為點 P ①線段中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等； ②|BP-AP|=BA'
分別在直線l 、l 上求作一點 A、B,使 PA+AB最小 過點 P 作直線l 的垂線,垂足為 B,與 l 的交點即為 A PA+AB=PB垂線段最短
2.角度問題
(1)角度相等
由角等構造相似三角形 (銳)角等則其三角函數值相等 構造輔助圓 由特殊位置構造等腰三角形、平行線等
(2)角度和差
求∠AOB+∠BOC;求∠AOC-∠BOC 將OB 關于OC 對稱到OB′,∠AOB′即為所求
(3)特殊角 45°
構造等腰直角三角形 ABC,可得 △ACF≌△CBE 構造正方形中的半角模型，利用旋轉及其結論BC= BF + CD 解 決問題 構造等腰直角三角形AEF 中的半角模型，利用旋轉及其結論 BC = BE + CF 解決問題 構造以 45°角為圓周角的輔助圓⊙D，利用∠D=90°解決問題 若tanα= / , tanβ= / , 則α+β=45°
注：以上模型及結論均需構造并證明.
二、全能突破
(一)二次函數與距離問題的綜合
1.在平面直角坐標系xOy中，拋物線 經過A(2,0)、B(4,0)兩點,直線 交 y軸于點C,且過點 D(8,m).
(1)求拋物線的解析式.
(2)在x軸上找一點 P,使CP+DP的值最小,求出點 P 的坐標.
(3)將拋物線 左右平移，記平移后點 A 的對應點為A'，點 B 的對應點為B'，當四邊形 的周長最小時，求平移后拋物線的解析式及此時四邊形 A'B'DC 周長的最小值.
(4)設拋物線的頂點為 Q，過點C作x軸的平行線l，點 M在直線l上，且MN⊥x軸，垂足為 N，若 DM+MN+NQ最小,直接寫出此時點 M、N的坐標.
2.如下圖所示，在平面直角坐標系xOy中，二次函數 的圖像與x軸交于 B(3,0)兩點, 頂點為 C.
(1)求此二次函數的解析式.
(2)點 D 為點 C 關于x 軸的對稱點,過點 A 作直線 交 BD 于點 E,過點 B 作直線 交直線l于K 點.問：在四邊形 ABKD 的內部是否存在點P，使得它到四邊形 ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.
(3)在(2)的條件下,若 M、N 分別為直線AD 和直線l上的兩個動點,連接 DN、NM、MK,求 的最小值.
(4)設拋物線交 y軸于點R，若點 K 在拋物線對稱軸上，當 的值最大時，直接寫出此時點 K的坐標.
3.如下圖所示，已知拋物線 經過點 A(1,3)和點 B(2,1).
(1)求此拋物線解析式.
(2)點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形 ABCD 周長的最小值.
(3)過點B作x軸的垂線，垂足為 E 點.點 P 從拋物線的頂點出發，先沿拋物線的對稱軸到達 F點，再沿 FE 到達E 點，若 P 點在對稱軸上的運動速度是它在直線 FE 上運動速度的 倍，試確定點 F的位置，使得點 P 按照上述要求到達E 點所用的時間最短(要求：簡述確定 F 點位置的方法，但不要求證明).
4.拋物線 與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,已知A(-1,0),C(0,3).
(1)求拋物線解析式.
(2)點 P 為線段BC上任意一點，過點 P 作x軸的垂線交拋物線于點D，求線段DP 長度的最大值及此時點 D 的坐標.
(3)點 Q 為拋物線上一動點，且點 Q 到直線 BC 的距離等于 ,求點 Q 的坐標.
(二)二次函數與角度問題的綜合
5.在平面直角坐標系xOy中，拋物線 與x軸交于A、B兩點(點A 在點B 的左側)，與y軸交于點 C,點 B 的坐標為(3,0),將直線 沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經過 B、C 兩點.
(1)求直線 BC 及拋物線的解析式.
(2)設拋物線的頂點為 D，點 P 在拋物線的對稱軸上，若( .分別求點 P 的坐標.
(3) 連接 CD,求 與 兩角和的度數.
(4)已知點 點 K 是 y 軸右側的拋物線圖像上的一個動點，請直接寫出銳角 時，點 K 的橫坐標. 的取值范圍.
6.如下圖所示，已知拋物線 與x軸交于點A(-2,0)、B(8,0),與 y軸交于點( 直線 與拋物線交于點 D、E(D在E 的左側)，與拋物線的對稱軸交于點 F.
(1) 求拋物線的解析式.
(2) 當 時，求 的大小.
(3)過G(3，3)作x軸的平行線l，點 H 在直線l上且到拋物線對稱軸的距離為4，設點 K 在直線l上，請直接寫出使得 的點 K 的坐標.
7.如下圖所示，拋物線 經過A(-1,0)、C(0,4)兩點,與x軸交于另一點B.
(1)求拋物線的解析式.
(2)已知點 在第一象限的拋物線上，求點 D 關于直線BC 對稱的點的坐標.
(3)在(2)的條件下,連接BD,點 P 為 y 軸上一點,且 求點 P 的坐標.
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8.如下左圖所示，平面直角坐標系xOy中，拋物線 與x軸交于A、B兩點,點 C是AB 中點,CD⊥AB且CD=AB.直線 BE與y軸平行,點 F 是射線BE 上的一個動點,連接AD、AF、DF.
(1)若點 F 的坐標為(
①求此拋物線的解析式；
②點 P 是此拋物線上一個動點，點 Q在此拋物線的對稱軸上，以點A、F、P、Q為頂點構成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點 Q的坐標.
(2)若2b+c=-2,b=-2-t,且AB 的長為kt,其中t>0.如下右圖所示,當∠DAF=45°時,求 k的值和∠DFA的正切值.
9.如下左圖所示,點 P 是直線l:y=-2x-2上的點,過點 P 的另一條直線m交拋物線y 于 A、B 兩點.
(1)若直線 m的解析式為 求 A、B兩點坐標.
(2)①若點 P 的坐標為(-2,t),當PA=AB時,請直接寫出點 A 的坐標;
②試證明：對于直線l上任意給定的一點 P，在拋物線上都能找到點 A，使得 PA=AB 成立.
(3)如下右圖所示,設直線l交 y軸于點C,若△AOB 的外心在邊 AB 上,且∠BPC=∠OCP,求點 P的坐標.
1.(1) 拋物線的解析式是
(2) 依題意,得 C(0,2),D(8,6)
作點 C(0,2)關于x軸的對稱點C'(0,-2)
直線C'D 的解析式為y=x-2，與x軸的交點即為P點，∴P點坐標為(2.0)
(3)∵AB=2,
∴將點 C 向右平移2個單位得 C (2,2),作點 C 關于x軸的對稱點C ,C 點的坐標為(2,-2),由點 C (2,-2)、D(8.6)得直線C D 的解析式為
直線C D與x軸的交點即為 B′點，可求 因此
∴ 當四邊形 A'B'DC周長最小時，拋物線解析式為
即
∴四邊形 A'B'DC 的周長最小值為2+4/5+10=12+4 .
(4) M(4,2);N(4,0)
2.(1)二次函數解析式為
(2) 可求點C的坐標為((1.-2 )
∴ 點 D 的坐標為(1.2 ).
可求直線AD的解析式為
由題意可求直線 BK 的解析式為
∵直線l的解析式為
∴ 點 K 的坐標為((5,2/3).
易求AB=BK=KD=DA=4.
∴四邊形 ABKD是菱形.
∵菱形的中心到四邊的距離相等。
∴點P與點 E重合時，即是滿足題意的點，坐標為(2. ).
(3) 易證點 D、B 關于直線AK 對稱,
∴ DN + MN 的 最 小 值是MB.
如右圖所示,過 K 作KF⊥x軸于F 點.
過點 K 作直線AD的對稱點P.連接 KP.交直線 AD 于點Q.
∴KP⊥AD.
∵AK 是 ∠DAB 的 角 平分線.
∴MB+MK的最小值是BP.
即 BP 的長是DN+NM+MK的最小值.
∵BK∥AD,∴∠BKP=90°.
在 Rt△BKP中,由勾股定理得 BP=8.
∴DN+NM+MK 的最小值為8.
(4)K(1.-3/3)
3.(1)拋物線解析式為
(2)點 A(1.3)關于y軸的對稱點A'的坐標是(-1.3).
點 B(2,1)關于x軸的對稱點B'的坐標是(2,-1).
由對稱性可知
'由勾股定理可求
∴四邊形 ABCD 周長的最小值是
(3)設 P 點在 EF 上的速度為v,則在 AF上的速度為 v.P 點在 EF 上運動的時間為t，在 AF 上運行的時間為t ， 則
要求 最小，只須求 最小即可.
故以 AF 為斜邊作等腰直角三角形AMF，即∠AFM= 求EF+FM最小即可.
E為定點,∠AFM=45°為定角,當M、F、E三點共線時EF+FM最小.∴∠HFE=45°. F(1.1).
4.(1)解析式為
(2)令y=0,則 解得
∴B(3.0),又C(0.3)
∴直線BC解析式為y=-x+3.
設點 P 橫坐標為x,則 P(x,-x+3).
即
∵0≤x≤3,∴當 時，線段 PD的最大值為 ，此時
(3)如下圖所示，將直線BC平移至l ，l 的位置，分別交y軸于點 E、F,過點 C作CH⊥l 于點 H,
依題意得 又OC=OB,∴∠OCB=45°.
的解析式為
解得
同理 的解析式為
解得
5.(1)∵y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后經過 y軸上的點C.∴C(0.3),又 B(3.0).
∴直線BC的解析式為y=-x+3.
∵拋物線 過點B、C.
解得
∴拋物線的解析式為
(2)由 可得 D(2.-1),A(1.0).
∴OB=3. OC=3. OA=1. AB=2.
可得△OBC 是等腰直角三角形.
①解法一：如右圖所示，設拋物線對稱軸與x軸交于點F.
過點 A 作AH⊥BC于點H.
∴∠AHB=90°.
可得BH=AH=/ ,
CH=2/2.
在△AHC與△AFP中,
∠AHC=∠AFP=90°.
∠ACH=∠APF.
解得 PF=2.
∵點 P 在拋物線的對稱軸上，
∴點 P的坐標為(2,2)或(2,-2).
解法二:證明△ABC∽△ADP,求出 DP 長即可得出 P 點坐標；
解法三:作△ABC 的外 接圓,由∠APD=∠ACB,得∠APB=2∠ACB,所以點 P 即為圓心.
②如下圖所示，作△ABC的外接圓⊙E，設⊙E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點為點 P ，點 P 關于x軸的對稱點為點 P ，點 P 、點 P 均為所求點.
可知圓心 E必在AB 邊的垂直平分線即直線x=2上.
也在 BC邊的垂直平分線即直線y=x上.
∴ 點 E的坐標為E(2.2).
由勾股定理得
∴點 P 的坐標為
由對稱性得點 P 的坐標為
∴符合題意的點 P的坐標為
(3)解法一：如下圖所示，作點 A(1，0)關于 y軸的對稱點A',則A'(-1.0).
連接A'C,A'D,
可得
由勾股定理可得( 又
∴△A'DC 是等腰直角三角形,∠CA'D=90°.
∴∠OCA+∠OCD=45°.
即∠OCA 與∠OCD 兩角和的度數為45°.
解法二:連接 BD,由△CBD∽△COA可得∠BCD=∠OCA.
∵∠OCB=45°,∴∠OCA與∠OCD 兩角和的度數為45°.
(4)2(2)解法一：由(1)可得拋物線的對稱軸為直線x=3.
∵m=2,∴ 直線的解析式為y=x+2.
∵直線 y=x+2 與拋物線交于點 D、E，與拋物線的對稱軸交于點 F.
∴ F、D兩點的坐標分別為F(3.5)、D(-2,0).
設拋物線對稱軸與x軸的交點為M.
可得CM=FM=MD=5.
∴ F、D、C三點在以M為圓心，半徑為5的圓上.
解法二:設CF交x軸于點N,可求 N點坐標,由△ANF∽△CDF 可得∠ACF=∠NDF=45°;
解法三:CF 過點P(2.2),連接 DP,可證△APC為等腰直角三角形,∴∠DCF=45°;
解法四：設DF交y軸于點Q.由
可得∠ACQ+∠FCQ=45°.
(3) K (-3.3). K (9.3)
7.(1)拋物線的解析式為
(2)∵點 D(m,m+1)在拋物線上。
即 1或m=3.
∵點 D在第一象限.∴點 D的坐標為(3.4).
由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.
設點 D 關于直線BC 的對稱點為點 E.
∵C(0,4),∴CD∥AB.且CD=3.
∴∠ECB=∠DCB=45°.
∴E點在y軸上,且CE=CD=3.
∴OE=1.∴E(0.1).
即點 D關于直線BC 對稱的點的坐標為(0.1).
(3)方法一：如下圖所示。作 DF⊥BC 于F,設點 P的坐標為(0,n).
由(1)有:OB=OC=4.
∴∠OBC=45°.
∵∠DBP=45°,
∴∠CBD=∠PBA.
∵C(0.4),D(3.4).
∴CD∥OB且CD=3.
∴P點坐標為((0. )
方法二：如右圖所示.過點D 作 BD 的垂線交直線PB 于點Q.
過點 D 作 DH⊥x軸于H.過 Q 點 作 QG⊥DH于G.
∵∠PBD=45°.
∴QD=DB.
由△QDG≌△DBH,可得Q(-1.3).
∴直線 BP的解析式為
∴點P的坐標為((0. ).
方法三：如下左圖所示，與方法二類似，作等腰 Rt△DQB后，構造陰影所示的全等三角形亦可得 Q(-1.3)
方法四：如下右圖所示，構造正方形中的半角模型，由陰影全等可得 PD=DK+PO.設 P(0. m),在△CDP 中.
解得
8.(1)①∵直線 BE與y軸平行.
∴B( .0).∠FBA=90°,BF=1.
在 Rt△FAB 中,. ∴點A的坐標為
∴拋物線的解析式為
②點Q的坐標為
(2)∵2b+c=-2,b=-2-t,∴c=2t+2.
由 解得
∵t>0,∴A(2.0),B(2t+2.0).∴AB=2t+2-2=2t,即k=2.
方法一:過點 D作 DG∥x軸交BE于點G,AH∥BE交直線 DG于點 H,延長DH 至點M,使 HM=BF.
∵DG∥x軸,λH∥BE,∴四邊形ABGH是平行四邊形.
∵∠ABF=90°,∴四邊形ABGH是矩形.
同理四邊形 CBGD是矩形.
∴AH=GB=CD=AB=GH=2t.
∵∠HAB=90°,∠DAF=45°,∴∠1+∠2=45°.
∴△AFB≌△AMH.
∴∠1=∠3,AF=AM,∠4=∠M.∴∠3+∠2=45°.
∴△AFD≌△AMD.
∴∠DFA=∠M,FD=MD.∴∠DFA=∠4.
∵C是AB的中點,∴DG=CB=HD=t.
設 BF=x,則GF=2t-x,FD=MD=t+x.
在 Rt△DGF 中,DF =DG +GF , ∴(t+x) =r +(2t-x) ,解得
方法二:過點 D 作 DM⊥AF 于M(如下圖所示).
由∠NAC=∠NDM.
∴tan∠NAC=tan∠NDM. ∴NC=DM.
∵CD=AB=2t,∴AC=t,AD=/ t,DM=AM=// ,.
設 CN=x,則
在 Rt△DNM中,
解得
∵EB∥y軸,∴EB⊥x軸.∵CD⊥AB,∴CD∥EB.
②如下左圖所示，過點 P、B分別作過點 A 且平行于x軸的直線的垂線，垂足分別為 G、H.
設 P(a,-2a-2),A(m,m ).
∵PA=AB,∴△PAG≌△BAH.
∴AG=AH,PG=BH,∴B(2m-a,2m +2a+2)
將點 B坐標代入拋物線
得
∴無論a為何值時，關于 m的方程總有兩個不等的實數根，即對于任意給定的點 P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點 A.
(3)設直線m:y=kx+b(k≠0)交y軸于點 D,設 A(m,m ),B(n. n ).
如下右圖所示，過 A、B兩點分別作 AG、BH 垂直x軸于G 、H ,
∵△AOB 的外心在AB 上,∴∠AOB=90°.
由△AGO∽△OHB,得
∴mn=-1.
聯立 得 依題意，得m. n是方程 的兩根.
∴mn=-b.∴b=1.即 D(0.1).
∵∠BPC=∠OCP.
∴DP=DC=3.
設 P(a,-2a-2),過點 P作 PQ⊥y軸于點Q.
在 Rt△PDQ中.
即a +(-2a-2-1) =3 .
∴a =0(舍去)、

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