資源簡介

圖形的旋轉和中心對稱 專項練習
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
圖形的旋轉 了解圖形的旋轉，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角相等 ★
能按要求作出簡單的平面圖形旋轉后的圖形，能依據旋轉前、后的圖形，指出旋轉中心和旋轉角 ★★
中心對稱 會識別中心對稱圖形
二、核心綱要
1.旋轉的定義及其有關概念
在平面內，將一個圖形繞一個定點 O 沿某個方向轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，定點O稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角；如右圖所示，線段AB繞點O 順時針轉動 得到 A與 B 與 是對應點，點O就是旋轉中心， 是旋轉角.
注：旋轉的三要素：(1)旋轉中心；(2)旋轉方向；(3)旋轉角.
2.旋轉的性質
(1)旋轉前后的圖形全等；即對應線段相等，對應角相等.
(2)對應點到旋轉中心的距離相等.
(3)任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角.
3.旋轉作圖
旋轉作圖的步驟：(1)明確旋轉中心、旋轉方向和旋轉角.
(2)找出原圖形中的各頂點在新圖形中的對應點的位置.
(3)按原圖形中各頂點的排列規律，將這些對應點連成一個新的圖形.
(4)寫出結論.
4.旋轉對稱圖形
把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角(旋轉角大于( 小于
5.中心對稱和中心對稱圖形
(1)中心對稱的定義：如果把一個圖形繞著某一點旋轉 后能與另一個圖形完全重合，則這兩個圖形成中心對稱，這個點是對稱中心. 這兩個圖形的對應點叫做關于對稱中心的對稱點.
(2)中心對稱的性質
①關于中心對稱的兩個圖形是全等形.
②關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.
③關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行(或者在同一條直線上)且相等.
(3)中心對稱圖形的定義：如果把一個圖形繞著某一點旋轉 后能與自身重合，則這個圖形叫做中心對稱圖形.
(4)中心對稱和中心對稱圖形的聯系和區別
①區別：中心對稱是指兩個全等圖形之間的對稱關系，而中心對稱圖形是指一個圖形兩部分的對稱關系.
②聯系：都是把圖形旋轉 如果把中心對稱的兩個圖形看作一個整體，那么這個圖形就是中心對稱圖形；如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看作兩個圖形，那么這兩個圖形就成中心對稱.
6.關于原點對稱的點的坐標:P(x,y)關于原點對稱P′(-x,-y)
本節重點講解：一個作圖，兩個性質，四個定義(旋轉、旋轉對稱圖形、中心對稱和中心對稱圖形).
三、全能突破
基礎演練
1.下列圖案中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是( ).
2.如圖23-1-1 所示,兩個邊長相等的正方形 ABCD 和EFGH,正方形 EFGH 的頂點 E 固定在正方形ABCD 的對稱中心位置，正方形 EFGH 繞點E 順時針方向旋轉，設它們重疊部分的面積為 S，旋轉的角度為θ，S 與θ的函數關系的大致圖像是( ).
3.平面直角坐標系中，O為坐標原點，點 A 的坐標為( ,1),將OA 繞原點按逆時針方向旋轉 30°得 OB,則點 B 關于原點的對稱點的坐標為( ).
A.(1, ) D.(2,0)
4.如圖23-1-2所示,點 D 是等邊 內一點，若 繞點A 逆時針旋轉后能與 重合，則旋轉了 度.
5.如圖23-1-3 所示,在△ABC中,∠C=30°,將△ABC繞點A 順時針旋轉60°得到△ADE,AE 與BC 交于點 F,則, ，直線 CB與DE 所夾銳角的度數為 .
6.如圖23-1-4 所示,在△ABC中,. .將△ABC 繞點C 逆時針旋轉至△A'B'C,使得點 A'恰好落在 AB 上,連接 BB',則 BB'的長度為 .
7.如圖23-1-5 所示，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△OAB 的頂點都在格點上，請將△OAB 繞點 C 順時針旋轉 90°,畫出旋轉后的△OA'B'.
8.如圖 23-1-6 所示,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,點 D 在 BC 的延長線上,且 BD=AB,過 B 作 BE⊥AC,與 BD的垂線DE 交于點E,
(1)求證:△ABC≌△BDE.
(2)△BDE可由△ABC旋轉得到，利用尺規作出旋轉中心 O(保留作圖痕跡，不寫作法).
能力提升
9.如圖23-1-7 所示,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上,∠ECD=45°,將三角形 CDE 繞點 C 逆時針旋轉 75°,點 E 的對應點 N 恰好落在OA 上,則 的值為( ).
A. B. C.
10.如圖23-1-8 所示,點P 是正方形ABCD 邊AB 上一點(不與A、B重合),連接PD 并將線段 PD 繞點P 順時針旋轉 90°,得線段 PE,連接 BE,則∠CBE 等于( ).
A.75° B.60° C.45° D.30°
11.如圖23-1-9 所示,E、F 分別是正方形ABCD 的邊 BC、CD上的點, ,連接AE、BF.將 繞正方形的對角線的交點O按順時針方向旋轉到△BCF，則旋轉角是( ).
A.45° B.120° C.60° D.90°
12.如圖23-1-10 所示,在正方形ABCD 外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A 作AE 的垂線交DE 于點P.若AE=AP=1,PB= .下列結論:①△APD≌△AEB;②點 B 到直線 AE 的距離為 ;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+ ;⑤S正方形ABCD=4+ 其中正確結論的序號是( )..
A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤
13.如圖23-1-11 所示,在 Rt△ABC中,AB=AC,點 D 為 BC 中點.∠MDN=90°,∠MDN 繞點 D 旋轉,DM、DN 分別與邊AB、AC交于E、F兩點.下列結論:(③S四邊形AEDF=AD·EF,④AD與EF 可能互相平分,其中正確結論的個數是( ).
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
14.如圖23-1-12 所示,在△ABC中,AB=BC,將△ABC 繞點 B 順時針旋轉α,得到△A BC ,A B 交AC 于點 E,A C 分別交 AC、BC于點 D、F,下列結論:①∠CDF=α,②A E=CF,③DF=FC,④AD=CE,⑤A F=CE.其中正確的是 (寫出正確結論的序號).
15.如圖23-1-13 所示,在平面直角坐標系中,點A在x軸上,△ABO是直角三角形,∠ABO=90°,點B 的坐標為(-1,2),將△ABO繞原點O順時針旋轉90°,得到△A B O,則點 B 關于原點的對稱點坐標為 .
16.如圖23-1-14 所示,已知正方形 ABCD, 點 E 在 BC 邊上, 將△DCE 繞某點G 旋轉得到△CBF,點F 恰好在AB 邊上.
(1)請畫出旋轉中心G(保留畫圖痕跡) ，并連接GF、GE.
(2) 若正方形的邊長為2a, 當CE= 時,S 當CE= 時,
17.如圖23-1-15(a)所示,已知∠ABC=90°,△ABE 是等邊三角形,點P 為射線BC 上任意一點(點 P 與點 B 不重合),連接AP,將線段 AP繞點A 逆時針旋轉 60°得到線段 AQ,連接 QE 并延長交射線 BC于點F.
(1)如圖 23-1-15(b),當 BP=BA時,∠EBF= °,猜想∠QFC= °.
(2)如圖 23-1-15(a),當點 P 為射線 BC 上任意一點時,猜想∠QFC的度數,并加以證明.
(3)已知線段. ，設 BP=x，點 Q到射線BC的距離為y，求 y關于x的函數關系式.
18.已知:在△AOB 與△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.
(1)如圖23-1-16(a)所示,點C、D 分別在邊 OA、OB 上,連接 AD、BC,點 M 為線段 BC 的中點,連接OM，則線段 AD 與OM 之間的數量關系是 ，位置關系是 .
(2)如圖23-1-16(b)所示,將圖 23-1-16(a)中的△COD 繞點 O 逆時針旋轉,旋轉角為( .連接AD、BC，點M 為線段BC 的中點，連接OM.請你判斷(1)中的兩個結論是否仍然成立.若成立，請證明；若不成立，請說明理由.
(3)如圖23-1-16(c)所示,將圖 23-1-16(a)中的 △COD 繞點O 逆時針旋轉到使. 的一邊OD恰好與△AOB 的邊OA 在同一條直線上時，點C 落在OB 上，點 M 為線段BC 的中點.請你判斷
(1)中線段 AD與OM 之間的數量關系是否發生變化，寫出你的猜想，并加以證明.
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19.(北京)下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是( ).
20.(江西南昌)如圖23-1-17 所示,正方形ABCD 與正三角形AEF 的頂點A 重合,將△AEF 繞頂點 A 旋轉,在旋轉過程中,當 BE=DF 時,∠BAE的大小可以是 .
21.(湖南懷化)如圖23-1-18(a)所示,四邊形 ABCD 是邊長為3/2的正方形,長方形 AEFG 的寬 長 將長方形 AEFG 繞點A 順時針旋轉 15°得到長方形 AMNH(如圖 23-1-18(b)所示),這時 BD 與MN 相交于點O.
(1)求∠DOM 的度數.
(2)在圖23-1-18(b)所示中,求 D、N 兩點間的距離.
(3)若把長方形 AMNH 繞點A 再順時針旋轉 15°得到長方形 ARTZ,請問此時點 B 在矩形ARTZ 的內部、外部、還是邊上 并說明理由.
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巔峰突破
22.如圖23-1-19 所示,在 Rt△ABC中,已知 點 D 在邊 BC 上,. 把1 繞著點 D 逆時針旋轉 后，如果點 B 恰好落在初始. 的邊上，那么m= .
23.如圖23-1-20所示,已知正方形 OABC在平面直角坐標系xOy中,點A、C分別在x軸、y軸的正1半軸上，點O在坐標原點.等腰直角三角板 OEF的直角頂點O在原點，E、F 分別在OA、OC 上，且 將三角板 OEF 繞O點逆時針旋轉至. 的位置，連接
(1)求證:
(2)若三角板OEF 繞O點逆時針旋轉一周，是否存在某一位置，使得( .若存在，請求出此時E點的坐標；若不存在，請說明理由.
基礎演練
1. C 2. B 3. B 4.60 5.90;60° 6. 7.略
8.(1)證明:在 Rt△ABC中.
∵∠ABC=90°,∴∠ABE+∠DBE=90°.
∵BE⊥AC,∴∠ABE+∠A=90°.
∴∠A=∠DBE.
∵DE是BD 的垂線,∴∠D=90°.
∵∠A=∠DBE,AB=BD,∠ABC=∠D,
∴△ABC≌△BDE.
(2)作法一：如下左圖所示，點O就是所求的旋轉中心.作法二：如下右圖所示，點 O 就是所求的旋轉中心.
能力提升
9. C 10. C 11. D 12. D 13. C
14.①②⑤ 15.(-2,-1)
16.(1)參考下圖:
或
17.(1)∠EBF= 30°.∠QFC=60°.
(2)∠QFC=60°.不妨設 BP> AB.如下圖所示
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP,∠EAQ=
∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP,∴∠BAP=∠EAQ.
在△ABP 和△AEQ中,∵AB=AE,∠BAP=∠EAQ,
AP=AQ.∴△ABP≌△AEQ.
∴∠AEQ=∠ABP=90°.∴∠BEF=180°-∠AEQ-
(3)在下圖中,過點 F 作FG⊥BE于點G.
∵△ABE是等邊三角形.
,由(1)得∠EBF=30°.
在 Rt△BGF中,
∵△ABP≌△AEQ.∴QE=BP=x.
∴QF=QE+EF=x+2.
過點 Q作QH⊥BC,垂足為 H,在 Rt△QHF 中,y=QH
即y關于x的函數關系式是：
18.(1)線段AD與OM 之間的數量關系是AD =2OM,位置關系是AD⊥OM.
(2)(1)中的兩個結論仍然成立.
證明：如右圖所示，延長 BO 到 F，使FO=BO.連接CF.
∵M為BC中點,O為BF 中點,
∴MO為△BCF的中位線.
∴FC=2OM.
∵∠AOB =∠AOF=∠COD=90°,
∴∠AOD =∠FOC.
∵AO=FO,CO=DO.
∴△AOD≌△FOC.
∴FC=AD. ∴AD=2OM.
∵MO為△BCF 的中位線,∴MO∥CF.
∴∠MOB =∠F.
又∵△AOD≌△FOC,∴∠DAO=∠F.
∵∠MOB+∠AOM=90°,∴∠DAO+∠AOM=90°.
即AD⊥OM.
(3)(1)中線段 AD 與OM 之間的數量關系沒有發生變化.
證明:如下圖,延長 DC 交 AB 于點 E,連接 ME,過點 E作EN⊥AD于點N.
∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,
∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°.
∴AE=DE,BE=CE,∠AED=90°.
∴DN=AN. ∴AD=2NE.
∵M為BC的中點,∴EM⊥BC.∴四邊形 ONEM 是矩形.∴NE=OM.∴AD=2OM.
中考鏈接
19. A 20.15°或165°
21.(1)如下左圖所示,設 AB 與 MN 相交于點 K,根據題意得:∠BAM=15°.∵四邊形 AMNH 是矩形,∴∠M=90°.∴∠AKM=90°-∠BAM=75°.∴∠BKO=∠AKM=75°.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ABD=45°.
∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°.
(2)連接AN,交 BD于I,連接DN。
∴AN=7.∴AN=2NH=7.∴∠HAN=30°.
由旋轉的性質:∠DAH=15°.∴∠DAN=45°.
∵∠DAC=45°,∴A、C、N共線.
∵四邊形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.
在 Rt△DIN 中,.
(3)點 B在矩形ARTZ 的外部.理由如下:
如下右圖所示，根據題意得：
在 Rt△ARK 中,AK =RK +AR ,
∴點 B 在矩形ARTZ 的外部.
巔峰突破
22.80°和120°
23.(1)∵四邊形 OABC為正方形,∴OC=OA,∠AOC=90°.∵三角板 OEF 是等腰直角三角形..
.即∠AOE =∠COF .
(2)存在.
①如下圖所示，當(
∴∠CF O=90°.又∠AE O=∠CF O.
過點 E 做 E G⊥OA于點G,在 Rt△AOE 中.
∴E (1, ).
②如下圖所示,當△EOF 旋轉至△E OF 位置時,同樣有 OE ∥CF ,此時點 E 的坐標為((1,- ).

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