資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
與圓有關(guān)的位置關(guān)系 專項練習(xí)
一、課標(biāo)導(dǎo)航
課標(biāo)內(nèi)容 課標(biāo)要求 目標(biāo)層次
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 ★
直線與圓的位置關(guān)系 了解直線與圓的位置關(guān)系；了解切線的概念，理解切線與過切點(diǎn)的半徑之間的關(guān) 系；會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線；了解切線長的概念 ★
能判定直線與圓的位置關(guān)系；會根據(jù)切線長的知識解決簡單的問題；能利用直線與圓的位置關(guān)系解決簡單問題 ★★
能解決與切線有關(guān)的問題 ★★★
圓與圓的位置關(guān)系 了解圓與圓的位置關(guān)系 ★
二、核心綱要
1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn) P 到圓心O 的距離為d，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如下表：
位置關(guān)系 圖形 性質(zhì)及判定
點(diǎn)在圓外 d>r 點(diǎn) P 在⊙O的外部
點(diǎn)在圓上 d=r 點(diǎn) P 在⊙O的圓周上
點(diǎn)在圓內(nèi) d2.確定圓的條件
(1)圓的確定
確定一個圓有兩個基本條件：①圓心(定點(diǎn))，確定圓的位置；②半徑(定長)，確定圓的大小.
(2)過已知點(diǎn)作圓
①經(jīng)過點(diǎn)A 的圓：以點(diǎn)A 以外的任意一點(diǎn)O 為圓心，以O(shè)A 的長為半徑，即可作出過點(diǎn)A 的圓，這樣的圓有無數(shù)個.
②經(jīng)過兩點(diǎn) A、B 的圓：以線段AB 中垂線上任意一點(diǎn)O 為圓心，以 OA 的長為半徑，即可作出過點(diǎn)A、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個.
③過三點(diǎn)的圓：若三點(diǎn) A、B、C 共線時，過三點(diǎn)的圓不存在；若三點(diǎn) A、B、C 不共線時，圓心是線段AB 與BC 的中垂線的交點(diǎn)，而這個交點(diǎn)O 是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個.
④過n(n≥4)個點(diǎn)的圓：只可以作0個或1個，當(dāng)只可作一個時，其圓心是其中不共線三點(diǎn)確定的圓的圓心.
(3)定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓.
注：①“不在同一直線上”這個條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；
②“確定”一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”.
(4)三角形的外接圓
①經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.
②三角形的外心的性質(zhì)
(j)三角形的外心是指此三角形外接圓的圓心，它是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；
()三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合；
()銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處(即直角三角形外接圓的半徑的等于斜邊的一半)；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.
3.直線和圓的位置關(guān)系
(1)設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表所示：
位置關(guān)系 圖形 定義 性質(zhì)及判定
相離 直線與圓沒有公共點(diǎn) d>r 直線l與⊙O相離
相切 直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) d=r 直線l與⊙O 相切
相交 直線與圓有兩個公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn) d(2)直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表所示：
直線和圓的位置關(guān)系 相交 相切 相離
公共點(diǎn)個數(shù) 2 1 0
圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系 dr
公共點(diǎn)名稱 交點(diǎn) 切點(diǎn) _-
直線名稱 割線 切線
4.切線的性質(zhì)及判定
(1)切線的性質(zhì)
定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.
推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).
推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.
(2)切線的判定
①定義法：和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線.
②距離法：圓心到直線的距離等于圓的半徑，這條直線是圓的切線.
③定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
(3)切線長
①定義：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.
②定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.
5.三角形內(nèi)切圓
(1)定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.
(2)多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，該多邊形叫做圓的外切多邊形.
6.圓和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O 、⊙O 的半徑分別為R、r(其中 R>r)，兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表所示：
位置關(guān)系 圖形 定義 性質(zhì)及判定
外離 兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部 d>R+r 兩圓外離
外切 兩個圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)之外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部 d=R+r 兩圓外切
相交 兩個圓有兩個公共點(diǎn) R-r內(nèi)切 兩個圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)之外，一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部 d=R-r 兩圓內(nèi)切
內(nèi)含 兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例 0≤d本節(jié)重點(diǎn)講解：本節(jié)重點(diǎn)講解：三個位置關(guān)系、三個定理(切線的判定和性質(zhì)定理、切線長定理).
三、全能突破
基礎(chǔ)演練
1.平面內(nèi)一點(diǎn) P 到⊙O上一點(diǎn)的最大距離為5，最小距離為1，則⊙O的半徑為( ).
A.2 B.3 C.4 D.3 或2
2.兩個同心圓的半徑分別為4cm和5cm，大圓的一條弦AB 與小圓相切，則弦 AB 的長為( ) cm.
A.3 B.4 C.6 D.8
3. AB 是⊙O的弦,BC與⊙O 相切于點(diǎn)B,連接OA 、OB.若∠A=20°,則∠ABC 等于( ).
A.20° B.70° C.110° D.70°或 110°
4.已知⊙O 的半徑為5，直線 l和點(diǎn) O 的距離為d，若直線l與⊙O 有公共點(diǎn)，則 d 的取值范圍是 .
5.半徑分別為3cm和4cm的兩圓內(nèi)切，這兩圓的圓心距為 cm.
6.在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,則△ABC外接圓半徑的長為 .
7.已知矩形 ABCD的邊AB=3,AD=4,如圖24-2-1所示.
(1)以 A 為圓心,4 為半徑作⊙A,則 B、C、D 與⊙A的位置關(guān)系如何
(2)若以點(diǎn) A 為圓心作⊙A，使 B、C、D 三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是多少
8.如圖24-2-2所示,已知CD是△ABC中AB 邊上的高,以CD為直徑的⊙O分別交CA、CB于點(diǎn)E、F,點(diǎn)G是AD 的中點(diǎn).求證:GE 是⊙O的切線.
9.如圖24-2-3 所示,點(diǎn) O在 的平分線上，⊙O與 PA 相切于點(diǎn)C.
(1)求證:直線 PB與⊙O 相切.
(2) PO的延長線與⊙O交于點(diǎn)E,若⊙O的半徑為3, ,求弦CE的長.
10.如圖24-2-4所示,AB 是半圓的直徑,O為圓心,AD、BD 是半圓的弦,且
(1)判斷直線 PD是否為⊙O的切線，并說明理由.
(2)如果∠BDE=60°,PD= ,求 PA的長.
能力提升
11.已知⊙O的半徑為8cm，直線l上有一點(diǎn) B到圓心O的距離等于8cm，則直線 l和⊙O的位置關(guān)系是( ).
A.相離 B. 相切 C. 相交 D.相交或相切
12.如圖24-2-5 所示,已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,2),⊙C的圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑為1.若 D 是⊙C上的一個動點(diǎn),線段 DA 與y 軸交于點(diǎn) E,則△ABE 面積的最小值是( ).
A.2 B.1
13.△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,BC=6,點(diǎn)O到 BC 的距離為4,則 AB= .
14.在 Rt△ABC中,AC=3,BC=4,若以點(diǎn) C 為圓心,R 為半徑作與斜邊AB 只有一個公共點(diǎn)的圓,則 R的取值范圍是 .
15.如圖24-2-6所示,平面直角坐標(biāo)系中,⊙O半徑長為1,點(diǎn) P(a,0) ,⊙P 的半徑為2,把⊙P 向左平移,當(dāng)⊙P 與⊙O相切時,a的值為 .
16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，2)，⊙A的半徑是2，⊙P 的半徑是1，滿足與⊙A及x軸都相切的⊙P有 個.
17.如圖24-2-7(a)所示,AB 是⊙O的直徑,AC 是弦,直線 EF 和⊙O相切于點(diǎn)C,AD⊥EF,垂足為 D.
(1)求證:∠CAD=∠BAC.
(2)如圖24-2-7(b)所示,若把直線 EF 向上移動,使得 EF 與⊙O相交于G,C兩點(diǎn)(點(diǎn)C 在點(diǎn)G 的右側(cè))，連接AC、AG，若題中其他條件不變，這時圖中是否存在與∠CAD 相等的角 若存在，找出一個這樣的角，并證明；若不存在，說明理由.
18.如圖24-2-8 所示,直角梯形 ABCD中, 且AD+BC=CD.
(1)以 CD為直徑作⊙O,求證:AB與⊙O相切.
(2)以 AB為直徑作⊙O′,求證:CD與⊙O′相切.
19.如圖24-2-9 所示,已知直線l與⊙O 相離,OA⊥l于點(diǎn) A,OA=5,OA 與⊙O 相交于點(diǎn)P,AB 與⊙O相切于點(diǎn)B,BP 的延長線交直線l于點(diǎn) C.
(1)試判斷線段 AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
(2)若 求⊙O的半徑.
(3)若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC 是以AC 為底邊的等腰三角形，求⊙O 的半徑r的取值范圍.
中考鏈接
20.(廣西玉林)如圖24-2-10所示,Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與兩直角邊 AB、BC分別相切于點(diǎn)D、E,過劣弧DE(不包括端點(diǎn)D,E)上任一點(diǎn) P 作⊙O的切線MN 與AB,BC分別交于點(diǎn)M,N,若⊙O的半徑為r,則 Rt△MBN的周長為( ).
A. r C.2r
21.(江蘇泰州)如圖24-2-11 所示,⊙O的半徑為4cm,直線l與⊙O相交于A, B兩點(diǎn), P為直線l上一動點(diǎn)，以1cm為半徑的⊙P與⊙O沒有公共點(diǎn).設(shè)PO=d cm，則d的取值范圍為 .
22.(連云港)如圖24-2-12 所示,圓周角∠BAC=55°,分別過B、C兩點(diǎn)作⊙O的切線,兩切線相交于點(diǎn) P,則∠BPC= °.
23.(浙江麗水)如圖24-2-13 所示,AB 為⊙O的直徑,EF 切⊙O 于點(diǎn) D,過點(diǎn) B 作 于點(diǎn) H,交⊙O于點(diǎn) C,連接 BD.
(1)求證:BD平分∠ABH;
(2)如果AB=12,BC=8,求圓心O到BC的距離.
巔峰突破
24.在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+b(k為常數(shù)且k≠0)分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,⊙O半徑為 個單位長度.
(1)如圖24-2-14(a),若點(diǎn) A 在x軸正半軸上,點(diǎn) B 在 y 軸正半軸上,且OA=OB.
①求 k 的值;
②若b=4,點(diǎn) P 為直線y=kx+b上的動點(diǎn),過點(diǎn) P 作⊙O的切線 PC、PD,切點(diǎn)分別為 C、D,當(dāng) PC⊥PD時,求點(diǎn) P 的坐標(biāo).
(2)若 直線 y=kx+b將圓周分成兩段弧長之比為1:2,求b的值(圖24-2-14(b)供選用).
基礎(chǔ)演練
1. D 2. C 3. D 4.0≤d≤5 5.1 6.5
7.(1) 點(diǎn) B 在⊙A內(nèi),點(diǎn) D在⊙A上,點(diǎn) C在⊙A外;(2)38.如右圖所示,連接OE,DE.
∵CD是⊙O的直徑,∴∠AED=∠CED=90°.
∵G是AD的中點(diǎn),
∵OE=OD,∴∠3=∠4.∠1+∠3=∠2+∠4.即∠OEG=∠ODG.
∵CD⊥AB,∴∠ODG=90°.
∴∠OEG=90°.∴GE是⊙O的切線.
9.(1)過點(diǎn) O作OD⊥PB于點(diǎn)D,連接OC.
∵PA切⊙O于點(diǎn)C,∴OC⊥PA.
又∵點(diǎn)O在∠APB的平分線上,∴OC=OD.
∴PB與⊙O相切.
(2)過點(diǎn) C作CF⊥OP 于點(diǎn) F.
在 Rt△PCO中,.
∵OC·PC=OP·CF=2S△rco.∴CF= .
在 Rt△COF中,
10.(1)PD是⊙O的切線.
連接OD,∵OB=OD,∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠PDA=∠ODB.
又∵AB是半圓的直徑,∴∠ADB=90°.
即∠ADO+∠ODB=90°. ∴∠ADO+∠PDA=90°.
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切線.
(2)∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ADO=60°.
∵OA=OD,∴△AOD是等邊三角形.
∴∠POD=60°.∴∠P=∠PDA=30°.
在 Rt△PDO中,設(shè) (不合題意,舍去).∴PA=1.
能力提升
11. D 12. C 13. /10或
14. R=2.4 或317.(1)連接OC,則 OC⊥EF,且OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC.
∵AD⊥EF,∴OC∥AD.∴∠OCA=∠CAD,
∴∠CAD=∠OAC.即∠CAD=∠BAC.
(2)與∠CAD 相等的角是∠BAG.
連接 BG.
∵四邊形 ACGB是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABG+∠ACG=180°.
∵D、C、G共線,∴∠ACD+∠ACG=180°.
∴∠ACD=∠ABG.
∵AB是⊙O的直徑,∴∠AGB=90°.
∴∠BAG+∠ABG=90°.
∵AD⊥EF,∴∠CAD+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠BAG.
18.(1) 取CD、AB的中點(diǎn)O、G,∴OG∥AD∥BC,
∴AB 與⊙O 相切.
(2)取AB 的中點(diǎn)O',連接 DO'并延長交CB 延長線于F,易證△AO'D≌△BO'F,
∴AD=BF,∴CF=AD+BC=CD.
∴∠CDF=∠CFD=∠O'DA.
過O'作OH⊥CD于 H,易知(
∴CD與⊙O'相切.
19.(1)AB=AC; 連接OB,則OB⊥AB,
∴∠CBA+∠OBP=90°,又∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,又∵∠OPB=∠CPA,OA⊥l,
∴∠PCA+∠CPA=90°,∴∠PCA=∠CBA,
∴AB=AC
(2)設(shè)⊙O的圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r;
(3)如下圖所示,作線段 AC 的垂直平分線 MN,作 OE⊥MN.
則
又∵⊙O要與直線MN 交點(diǎn)
又∵⊙O與直線l相離,∴r<5.
∴⊙O的半徑r的取值范圍為
中考鏈接
20. C 21. d>5 或 2≤d<322.70
23.(1)如右圖所示,連接OD.∵EF是⊙O的切線,
∴OD⊥EF.
又∵BH⊥EF,∴OD∥BH.
∴∠ODB=∠DBH.
而 OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.
∴∠OBD=∠DBH.∴BD平分∠ABH.
(2)過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G,則BG=CG=4,
在 Rt△OBG中,(
巔峰突破
24.(1)①根據(jù)題意得:B的坐標(biāo)為(0. b).
∴OA=OB=b.∴A的坐標(biāo)為(b.0).
代入y=kx+b得k=-1.
②如下圖所示，過 P作x軸的垂線，垂足為 F，連接OD.
∵PC、PD是⊙O的兩條切線,∠CPD=90°,
∵∠PDO=90°,∠POD=∠OPD=45°,
∴OD=PD= ,OP= / .
∵點(diǎn) P在直線y=-x+4上,設(shè) P(m,-m+4),
則OF=m,PF=-m+4.
解得m =1,m =3,
∴P的坐標(biāo)為(1.3)或(3.1)
(2)設(shè)直線y=kx+b交⊙O于點(diǎn) D、E.
∴A(2b.0),B(0,b).
在 Rt△AOB 中,OB +OA =AB .
如下圖所示,過點(diǎn) O 作 OC⊥AB,連接 OE,由題意得∠DOE=120°.
在 Rt△DOC 中,
∴OB·OA=AB·OC=2S△AOB.
或

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