資源簡(jiǎn)介

6.2.2 排列數(shù) 導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．能在排列基礎(chǔ)上給出排列數(shù)的定義和表示，并能區(qū)別排列與排列數(shù).
2．通過(guò)利用計(jì)數(shù)原理分析和解決具體的排列問(wèn)題，得到排列數(shù)公式，并能利用公式求具體 問(wèn)題的排列數(shù)
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：排列數(shù)公式.
難點(diǎn)：排列數(shù)公式的應(yīng)用.
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識(shí)點(diǎn)一　排列數(shù)的定義
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的 不同排列的個(gè)數(shù) ，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A表示.
思考　排列與排列數(shù)相同嗎？
答案　排列數(shù)是元素排列的個(gè)數(shù)，兩者顯然不同．
知識(shí)點(diǎn)二　排列數(shù)公式及全排列
1．排列數(shù)公式的兩種形式
（1）A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
（2）A＝.
2．全排列
將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示，于是n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫(xiě)成：A＝n! ，另外規(guī)定，0！＝1.
3.排列數(shù)及排列數(shù)公式
排列數(shù)定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有 不同排列 的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)
排列數(shù)表示法
全排列 n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，且=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1
階乘 正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示
排列數(shù)公式 乘積式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
階乘式 =
性質(zhì) = n! ，0!=1
備注 n，m∈N*，m≤n
（1）“得到從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列”的含義是什么
提示:“得到從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列”，包含兩個(gè)方面:①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素;②按照一定順序排列.
（2）排列與排列數(shù)有何不同
提示:排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，“排列”是指從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素按照一定順序排成一列，是一種排法;“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素所得不同排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)，用表示.
自主檢測(cè)
1．判斷正誤，正確的寫(xiě)“正確”，錯(cuò)誤的寫(xiě)“錯(cuò)誤”．
（1）由于排列數(shù)的階乘式是一個(gè)分式，所以其化簡(jiǎn)的結(jié)果不一定是整數(shù).( )
（2）在排列的問(wèn)題中，總體中的元素可以有重復(fù).( )
（3）用1，2，3這三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)123與321是不相同的排列.( )
（4）若，則.( )
2．如果，那么，分別為（ ）
A．15，10 B．15，9 C．15，6 D．16，10
3．等于（ ）
A． B． C． D．
4．某鐵路所有車(chē)站共發(fā)行132種普通客票，則這段鐵路共有車(chē)站數(shù)是
A．8 B．12 C．16 D．24
5．，則m等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
問(wèn)題1：在6.2.1節(jié)問(wèn)題1、問(wèn)題2中，我們是根據(jù)計(jì)數(shù)原理和列舉數(shù)數(shù)的方式得到排列的個(gè)數(shù).但隨著元素個(gè)數(shù)的增加，這樣的方法就越來(lái)越煩瑣了.是否有計(jì)算排列個(gè)數(shù)的公式，從而能便捷地求出排列的個(gè)數(shù)？
前面給出了排列的定義，下面探究計(jì)算排列個(gè)數(shù)的公式．
我們把從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．
符號(hào)中的A是英文arrangement（排列）的第一個(gè)字母．
師:請(qǐng)你分別算出上一節(jié)問(wèn)題1、問(wèn)題2的排列數(shù)，并用排列數(shù)符號(hào)表示.
例如，前面問(wèn)題1是求從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，表示為．已經(jīng)算得
．
問(wèn)題2是求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)，表示為．已經(jīng)算得
．
師:請(qǐng)你思考一下，排列數(shù)的符號(hào)與計(jì)算結(jié)果之間有什么聯(lián)系？
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
問(wèn)題2：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)是多少？
追問(wèn)（1）：我們已經(jīng)知道，6.2.1節(jié)問(wèn)題1的排列數(shù)，問(wèn)題2的排列數(shù)，那么如何 求排列數(shù)
可以先從特殊情況開(kāi)始探究，例如求排列數(shù)．根據(jù)前面的求解經(jīng)驗(yàn)，可以這樣考慮：
假定有排好順序的兩個(gè)空位，如圖6.2-3所示，從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反之，任何一種排列總可以由這種填法得到．因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)．
現(xiàn)在來(lái)計(jì)算有多少種填法．完成“填空”這件事可以分為兩個(gè)步驟完成：
第1步，填第1個(gè)位置的元素，可以從這個(gè)不同元素中任選1個(gè)，有種選法；
第2步，填第2個(gè)位置的元素，可以從剩下的個(gè)元素中任選1個(gè)，有種選法．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)空位的填法種數(shù)為
．
追問(wèn)（2）：如何求排列數(shù)
同理，求排列數(shù)可以按依次填3個(gè)空位來(lái)考慮，有
．
追問(wèn)(3)：你能類(lèi)比求排列數(shù)和的方法，求排列數(shù)嗎？
一般地，求排列數(shù)可以按依次填個(gè)空位來(lái)考慮：
假定有排好順序的個(gè)空位，如圖6.2-4所示，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就對(duì)應(yīng)一個(gè)排列．因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)．
填空可以分為個(gè)步驟完成：
第1步，從個(gè)不同元素中任選1個(gè)填在第1位，有種選法；
第2步，從剩下的個(gè)元素中任選1個(gè)填在第2位，有種選法；
第3步，從剩下的個(gè)元素中任選1個(gè)填在第3位，有種選法；
……
第步，從剩下的個(gè)元素中任選1個(gè)填在第位，有種選法．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，個(gè)空位的填法種數(shù)為
．
這樣，我們就得到公式
這里，，并且．這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式．
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
你能說(shuō)一下排列數(shù)公式的特點(diǎn)嗎？
問(wèn)題3：上述排列數(shù)公式有什么特點(diǎn)？使用公式需要注意什么？
根據(jù)排列數(shù)公式，我們就能方便地計(jì)算出從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)．例如，
，
．
特別地，我們把個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)元素的一個(gè)全排列．
這時(shí)，排列數(shù)公式中，即有
．
也就是說(shuō)，將個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到的連乘積．正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘，用表示．于是，個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫(xiě)成
另外，我們規(guī)定，．
環(huán)節(jié)四 辨析理解 深化概念
例3 計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．
思考
由例3可以看到，；，即．觀察這兩個(gè)結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎
追問(wèn)：觀察這兩個(gè)結(jié)果，從中發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？能否將它進(jìn)行推廣？
事實(shí)上，
因此，排列數(shù)公式還可以寫(xiě)成
．
環(huán)節(jié)五 概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
例4用0～9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)
對(duì)于例4這類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，從不同的角度就有不同的解題方法．解法1根據(jù)百位數(shù)字不能是0的要求，按分步乘法計(jì)數(shù)原理完成從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事；解法2是以0是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，按分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成這件事；解法3是一種間接法，先求出從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)的排列數(shù)，然后減去其中百位是0的排列數(shù)(不是三位數(shù)的個(gè)數(shù))，就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)．
從上述問(wèn)題的解答過(guò)程可以看到，引入排列的概念，歸納出排列數(shù)公式，我們就能便捷地求解“從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”這類(lèi)特殊的計(jì)數(shù)問(wèn)題．
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié)，反思提升
1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？
（1）排列數(shù)、排列數(shù)公式．
（2）全排列、階乘、0！＝1.
（3）排列數(shù)的應(yīng)用：排隊(duì)問(wèn)題(相鄰、不相鄰、定序等問(wèn)題)．
2.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，并讓學(xué)生回答下列問(wèn)題：
（1）排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，這兩個(gè)概念有什么不同？
（2）排列數(shù)公式是如何推導(dǎo)的？推導(dǎo)過(guò)程體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想與方法？
（3）如何應(yīng)用排列與排列數(shù)公式分析解決問(wèn)題？
3.在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？
方法歸納：直接法、優(yōu)先法、捆綁法、插空法、除階乘法、間接法．
4．常見(jiàn)誤區(qū)：忽視A中“n，m∈N*”這個(gè)條件．
環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置
教材第20頁(yè)練習(xí)第3題，教材第26頁(yè)習(xí)題6.2第1， 8題.
備用練習(xí)
6．若，則（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
7．（ ）
A． B． C． D．
8．用0，1，2，3，4可以組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的能被3整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
A．20 B．24 C．36 D．48
9．計(jì)算：（1）；
（2）.
10．7名學(xué)生站成一排，若甲、乙相鄰，但都不和丙相鄰，則不同的排法種數(shù)是（　　）
A．480 B．960 C．720 D．360
11．5人站成一排照相，甲不站在兩端的站法有（ ）
A．24種 B．72種 C．96種 D．120種
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1． 錯(cuò)誤 錯(cuò)誤 正確 錯(cuò)誤
【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義，性質(zhì)和意義一一判斷即可.
【詳解】(1) ×.排列數(shù)是從若干個(gè)元素中取出若干個(gè)元素的排列的個(gè)數(shù),所以排列數(shù)一定是整數(shù).
(2)×.在排列問(wèn)題中總體內(nèi)元素不能重復(fù).
(3)√.根據(jù)排列的定義可以判斷123與321是不同的排列.
(4)×.在中m表示連乘因數(shù)的個(gè)數(shù),所以.
2．C
【分析】由排列數(shù)的計(jì)算公式，可得解
【詳解】∵，∴，.
故答案為：C
3．B
【分析】根據(jù)排列數(shù)的算法，即可求解.
【詳解】解：，
故選：B
4．B
【詳解】設(shè)共有 個(gè)車(chē)站，在個(gè)車(chē)站中，每個(gè)車(chē)站之間都有2種車(chē)票，相當(dāng)于從個(gè)元素中拿出 個(gè)進(jìn)行排列，共有 ， ，故選B.
5．B
【分析】利用排列數(shù)公式列方程求解即可.
【詳解】，而，
所以，即.
故選：B
6．D
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，將已知條件展開(kāi)，即可得出答案.
【詳解】由已知，.
因?yàn)椋?br/>.
則由可得，，
整理可得，解得.
故選：D.
7．C
【分析】利用排列數(shù)的定義直接求得.
【詳解】由排列數(shù)的定義可得：
故選：C
8．A
【分析】能被3整除的三位數(shù)的數(shù)字組成為012，024，123，234四種情況，分別寫(xiě)出排列數(shù)，最后相加得結(jié)果．
【詳解】因?yàn)槟鼙?整除的三位數(shù)的數(shù)字組成為012，024，123，234四種情況，
所以對(duì)應(yīng)排列數(shù)分別為，
因此滿(mǎn)足條件的三位數(shù)一共有個(gè)．
故選：A．
9．（1）12；（2）466.
【分析】（1）由排列數(shù)公式化簡(jiǎn)后再解方程可得；
（2）由組合數(shù)性質(zhì)求得的范圍，求得，再利用組合性質(zhì)變形后計(jì)算．
【詳解】（1）由，得，且，解得；
（2）由題意，，解得．
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，掌握排列數(shù)和組合數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．在組合數(shù)中一定要注意上標(biāo)不大于下標(biāo)．
10．B
【分析】先將甲、乙捆綁，看作一個(gè)元素，然后對(duì)甲、乙、丙之外的4名學(xué)生全排列，最后結(jié)合插空法進(jìn)行排列計(jì)算，即可求解；
【詳解】先將甲、乙捆綁，看作一個(gè)元素，有種排法，
然后將除甲、乙、丙之外的4名學(xué)生全排列，有種不同的排法，
再將甲、乙、丙插入5個(gè)空中的兩個(gè)，有種不同的排法，
因此，一共有種不同排法.
故選：B.
11．B
【分析】先排出甲的位置:甲不站在兩端,有種；再排剩余的4人有.由分步計(jì)數(shù)原理可得出答案.
【詳解】5人站成一排照相，甲不站在兩端,只能站3個(gè)位置，
因此有種站法.
故選：B.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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