資源簡介

6.2.3 組合 導學案
學習目標
1. 理解組合、組合數的概念及組合和排列之間的區別與聯系；
2. 能利用計數原理推導組合數公式，并熟練掌握組合數公式及組合數的性質，能運用組合數的性質化簡、計算、證明；
3. 能運用排列數公式、組合數公式和計數原理解決一些簡單的應用問題，提高數學應用能力和分析問題、解決問題的能力.
重點難點
1.重點：雙曲線的定義及雙曲線的標準方程
2.難點：運用雙曲線的定義及標準方程解決相關問題
課前預習 自主梳理
知識點一　組合及組合數的定義
1．組合
一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
2．組合數
從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號C表示．
知識點二　排列與組合的關系
相同點 兩者都是從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素
不同點 排列問題中元素有序，組合問題中元素無序
關系 組合數C與排列數A間存在的關系 A＝CA
知識點三　組合數公式
組合數 公式 乘積 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n
階乘 形式 C＝
規定：C＝1.
知識點四　組合數的性質
性質1：C＝C.
性質2：C＝C＋C.
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）從3，5，7，11中任取兩個數相除屬于組合問題.( )
（2）由于組合數的兩個公式都是分式，所以結果不一定是整數.( )
（3）區別組合與排列的關鍵是看問題元素是否與順序有關.( )
（4）從三個不同元素中任取兩個元素作為一組是組合問題．( )
（5）“”“”與“”是三種不同的組合．( )
（6）組合數.( )
（7）兩個組合相同，則其對應的元素一定相同．( )
2．甲、乙兩名同學從生物、地理、政治、化學中各選兩門進行學習，若甲、乙不能同時選生物，則甲、乙總的選法種數有（ ）
A． B． C． D．
3．小王同學家3樓與4樓之間有8個臺階，已知小王一步可走一個或兩個臺階，那么他從3樓到4樓不同的走法總數為（ ）
A．28種 B．32種 C．34種 D．40種
4．從甲乙等名同學中隨機選名參加社區服務工作，則甲乙不同時入選有（ ）種情況
A． B． C． D．
5．以下四個問題，屬于組合問題的是（ ）
A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列
B．老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌
C．在電視節目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星
D．從13位司機中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
問題1. 從甲乙丙三名同學中選兩名去參加一項活動，有多少種不同的選法？這一問題與6.2.1節問題一有什么聯系與區別？
師生活動：
教師提出問題，學生思考辨析、討論交流.
讓學生充分討論交流后，找幾名代表分享討論結果.
本節問題1中的所有選法有3種情況：甲乙，甲丙，乙 丙.選法與順序無關.
6.2.1節問題1中的所有選法有6種情況：甲乙，乙甲， 甲丙，丙甲，乙丙，丙乙.選法與順序有關.
設計意圖：通過對這兩個問題的辨析，讓學生理解這 兩類問題的本質區別，為引入組合的概念奠定基礎.
分析：在6.2.1節問題1的6種選法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2種不同順序的選法，我們可以將它看成是先選出甲、乙2名同學，然后再分配上午和下午而得到的．同樣，先選出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2種方法．而從甲、乙、丙3名同學中選2名去參加一項活動，就只需考慮將選出的2名同學作為一組，不需要考慮他們的順序．于是，在6.2.1節問題1的6種選法中，將選出的2名同學作為一組的選法就只有如下3種情況：．
甲乙，甲丙，乙丙．
將具體背景舍去，上述問題可以概括為：
從3個不同元素中取出2個元素作為一組，一共有多少個不同的組
這就是我們要研究的問題．
師生活動：可以根據學生的具體情況，選擇下列合適的問題引導學生對問題1進行分析：
（1）問題1中要完成的“一件事情”是什么？比較6. 2. 1節問題1與本節問題1中要完成的 “一件事情”，它們有什么異同？
（2）列出問題1的各種不同選法，與6. 2.1節問題1的選法相比，它們有什么不同？是否與順序有關？
設計意圖：既檢測了分析解決排列問題的情況，又在排列問題的基礎上引出組合問題，為抽 象得到組合的概念作準備.
環節二 觀察分析，感知概念
問題2：6.2.1節中的問題1可歸結為“從3個不同的 元素中任意取出2個，并按一定的順序排成一列，共有多 少種不同的排列方法 ”類似地，應該如何表述本節問題 1呢？
師生活動：如果學生作上述歸納有困難，可引導他們思考下列問題：
（1）在6. 2.1節中，把問題1歸結為“從3個不同的元素中任意取出2個，并按一定的順序 排成一列，共有多少種不同的排列方法 ”類似地，應該如何表述本節問題1呢？
（2）在6. 2.1節中，把問題1和問題2推廣為一般形式“從個不同元素中取出個元素，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法 ”類似地，應該如何將本節問題1推廣到一般情形呢？
在問題2的基礎上，給出組合的定義：
設計意圖：通過類比排列定義的得出過程，歸納得出 組合的定義，讓學生體會類比與歸納在抽象數學概念中的 作用，提升學生的數學抽象核心素養.
環節三 抽象概括，形成概念
組合的相關概念
1.組合:一般地，從個不同元素中取出個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合（combination）．
2.相同組合:兩個組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的.
設計意圖：類比排列概念的形成，從特殊到一般得出組合的概念.
問題3：你能說一說排列與組合之間的聯系與區別嗎？
師生活動：可引導學生結合下列具體問題進行思考：
（1）列出6. 2.1節問題1中相同元素的排列，這樣的排列共有幾組？
（2）對比本節問題1與6. 2. 1節問題1，它們所取的元素是否相同？它們與順序是否有關 本節問題1的組合個數與6. 2.1節問題1的排列數有何關系？
（3）“從〃個不同元素中取出加個元素的組合”與“從〃個不同元素中取出相個元素的排列”的聯系與區別分別是什么？
（1）共同點:兩者都是從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素.
（2）不同點:排列與元素的順序有關，組合與元素的順序無關.
師生活動：教師引導學生根據排列、組合的定義，抓住是否有“順 序”這個關鍵點解決問題.
環節四 辨析理解，深化概念
從排列與組合的定義可以知道，兩者都是從個不同元素中取出個元素，這是它們的共同點．但排列與元素的順序有關，而組合與元素的順序無關．只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的；而兩個組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的．例如，在上述探究問題中，“甲乙”與“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列順序不同，因此它們是相同的組合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”為標準分類，就可以建立起排列和組合之間的對應關系，如圖6.2-7所示．
由此，6.2.1節問題1的6個排列可以分成每組有2個不同排列的3個組，也就是上面探究問題的3個組合．
思考：校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛．下面的問題是排列問題，還是組合問題
（1）從中選3輛，有多少種不同的方法
（2）從中選3輛給3位同學，有多少種不同的方法
（1）與順序無關，是組合問題；
（2）選出3輛給3位同學是有順序的，是排列問題.
師生活動：教師引導學生根據排列、組合的定義，抓住是否有“順序”這個關鍵解決問題. 在教學中，還可以讓學生舉出不同的具體實例，并說明這些例子是否屬于組合問題，通過這些實 例增強對組合的認識.
設計意圖：通過分析、比較組合與排列的實例，以及利用概念判斷是排列問題還是組合問 題，厘清排列與組合的聯系和區別，讓學生利用排列與 組合的定義進行辨析，加深對這兩個概念的理解，進一步明確組合的概念，提升學 生的數學建模核心素養.
環節五 概念應用，鞏固內化
例5平面內有A，B，C，D共4個點
（1）以其中2個點為端點的有向線段共有多少條
（2）以其中2個點為端點的線段共有多少條
分析：（1）確定一條有向線段，不僅要確定兩個端點，還要考慮它們的順序，是排列問題；
（2）確定一條線段，只需確定兩個端點，而不需考慮它們的順序，是組合問題．
解：（1）一條有向線段的兩個端點要分起點和終點，以平面內4個點中的2個為端點的有向線段的條數，就是從4個不同元素中取出2個元素的排列數，即有向線段條數為．
這12條有向線段分別為．
（2）由于不考慮兩個端點的順序，因此將（1）中端點相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是以平面內4個點中的2個點為端點的線段的條數，共有如下6條：．
師生活動：教師要引導學生判斷是排列問題還是組合問題，關鍵是下面兩個問題：
（1）要完成的“一件事情”是什么？
（2）完成的“一件事情”是否與“順序”有關？
設計意圖：通過分析和解決具體的排列與組合問題，幫助學生理解組合的概念.
問題4：利用排列和組合之間的關系，以“元素相同” 為標準分類，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對應關系嗎？
進一步地，能否從這種對應關系出發，由排列數求出組合的個數？
設計意圖：讓學生區分有向線段與線段這兩個概念， 進一步辨析排列與組合的概念，加深對排列與組合概念的 理解與認識.
環節六 歸納總結，反思提升
1.教師引導學生回顧本節課所學知識，并讓學生結合實 例說明：
（1）如何判斷一個計數問題是排列問題還是組合問題？
（2）如何求一個組合問題的所有組合個數？組合個數與排列個數的關系是什么？
2.知識清單：
（1）組合與組合數的定義．
（2）排列與組合的區別與聯系．
（3）用列舉法寫組合．
設計意圖：通過兩個問題的設計，讓學生回顧本節課 學習的內容，提升學生歸納總結的能力.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：教科書第26頁習題6.2第4，7題.
備用練習
6．某人上班從家到單位的路上途經6個紅綠燈路口，遇到4次綠燈，2次紅燈，則2次紅燈不相鄰的情況有多少種（ ）
A．5 B．10 C．15 D．30
7．將4個不加區分的紅球和2個不加區分的黃球隨機排一行，則2個黃球不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法總數是（ ）
A．90 B．120 C．210 D．216
9．將4個6和2個8隨機排成一行，則2個8不相鄰的情況有（ ）
A．480種 B．240種 C．15種 D．10種
10．現安排編號分別為1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做三項不同的工作，若每項工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一項工作，且編號為相鄰整數的志愿者不能被安排做同一項工作，則不同的安排方法數為（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 錯誤 正確 正確 錯誤 正確 正確
【分析】根據題意，由排列數與組合數的定義，對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】（1）由于兩個數相除與順序有關，所以是排列問題，故錯誤；
（2）表示從個元素中取個元素的情況種數，故一定是正整數，故錯誤；
（3）組合與排列不同之處是組合選出的元素沒有順序而排列有順序，故正確；
（4）由于從三個元素中取兩個元素與順序無關，所以是組合問題，故正確；
（5）由于組合與順序無關，所以“”“”與“”是一種情況，故錯誤；
（6）由組合數的計算可得，故正確；
（7）兩個組合相同的充要條件就是其中元素完全相同，一一對應，故正確；
故答案為：錯誤，錯誤，正確，正確，錯誤，正確，正確
2．A
【分析】分別求出甲選生物和甲不選生物時，甲、乙的選法種數，然后利用加法計數原理即可.
【詳解】當甲選生物，乙不選生物時，甲、乙的選法有種；
當甲不選生物，乙隨便選，甲、乙的選法有種，
則甲、乙總的選法有種．
故選：.
3．C
【分析】分五種情況：8，7，6，5，4步走完樓梯，每一種情況的方法數都求出來再相加即可．
【詳解】①8步走完樓梯，走8步走一個臺階，有1種；
②7步走完樓梯，走1步兩個臺階6步一個臺階，有種；
③6步走完樓梯，走2步兩個臺階4步一個臺階，有種；
④5步走完樓梯，走3步兩個臺階2步一個臺階，有種；
⑤4步走完樓梯，走4步兩個臺階，有1種，
共計34種．
故選：C．
4．C
【分析】利用組合數的運算和間接法求解即可.
【詳解】若隨機選3名，則有種情況，其中甲乙同時入選有種情況，
甲乙不同時入選有種情況.
故選：C.
5．C
【分析】根據組合的定義即可得到答案.
【詳解】只有從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關，是組合問題，而A,B,D均與順序有關.
故選：C.
6．B
【分析】利用插空法即得.
【詳解】因為2次紅燈不相鄰，
所以在4次綠燈所形成的5個空插入紅燈共有種.
故選：B.
7．C
【分析】根據插空法和古典概型的概率公式可求出結果.
【詳解】將4個不加區分的紅球和2個不加區分的黃球隨機排一行，共有種，
其中2個黃球不相鄰的有種，
所以所求事件的概率為.
故選：C
8．C
【分析】根據題意：分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一個臺階上；第二類，有2人站在同一臺階上，剩余1人獨自站在一個臺階上，算出每類的站法數，然后再利用分類計數原理求解.
【詳解】因為甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，且每級臺階最多站2人，
所以分為兩類：第一類，甲、乙、丙各自站在一個臺階上，共有：種站法；
第二類，有2人站在同一臺階上，剩余1人獨自站在一個臺階上，共有：種站法；
所以每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置的不同的站法總數是.
故選：C
【點睛】本題主要考查排列組合的應用以及分類計數原理的應用，還考查了分析求解問題的能力，屬于中檔題.
9．D
【分析】將2個8插空放入不相鄰的5個空位，即可得解.
【詳解】解：將2個8插空放入不相鄰的5個空位（4個6之間有5個空位）中有方法，
故2個8不相鄰的情況有種.
故選：D
10．C
【分析】先按照要求將志愿者分為3組，再分配到三項工作，最后由分步計數原理求解即可.
【詳解】先將四位志愿者分為2人、1人、1人共3組，有1號和3號一組；2號和4號一組；1號和4號一組共3種情況；
再將3組志愿者分配到三項工作有種；
按照分步乘法計數原理，共有種.
故選：C.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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