資源簡介

6.2.4組合數 導學案
學習目標
1.能利用計數原理推導組合數公式.
2.能解決有限制條件的組合問題.
3.通過研究組合數公式及解決有限制條件的組合問題，提升邏輯推理及數學運算素養.
重點難點
1. 重點：組合數公式.
2. 難點：推導和應用組合數公式.
課前預習 自主梳理
1．組合數
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數．用符號表示．
2．組合數公式
組合數公式可以由排列數公式表示，注意公式的結構
．
規定C＝1.
自主檢測
1．判斷正誤，正確的打“正確”，錯誤的打“錯誤”．
（1）.( )
（2）.( )
（3）“從3個不同元素中取出2個元素合成一組”，叫做“從3個不同元素中取出2個元素的組合數”．( )
2．計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．5名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排2名，則不同的安排方法共有（ ）
A．120種 B．90種 C．60種 D．30種
5．將個不同的球放入個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則不同放法共有種
A． B． C． D．
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
問題1：在上一節中,我們通過列舉數數的方式得到各問 題的所有組合個數，但隨著元素個數的增加，這樣的方法就越 來越煩瑣了.是否能像排列數公式一樣，也找到計算組合個數 的公式，從而可以便捷地求出所有組合的個數？
問題2從集合中取出3個元素組成三元子集，共有哪些不同的子集？
引導語在問題1中，我們通過列舉數數的方式得到各問題的組合個數，但隨著元素個數的增加，這種方法越來越繁瑣了.能否像排列一樣，也能找到計算組合個數的公式，從而能便捷得求出組合個數？
組合數與組合數公式
類比排列數，我們引進組合數概念：
1.組合數的定義：從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示．
符號中的C是英文combination(組合)的第一個字母．組合數還可以用符號表示.
【設計意圖】結合已解決的具體問題，類比排列數給出組合數的定義和表示，并與相似的組合概念做對比，引入組合數公式.
例如，從3個不同元素中取出2個元素的組合數表示為，從4個不同元素中取出3個元素的組合數表示為．
師：你能辨析組合與組合數這兩個概念嗎？
生：組合與組合數是兩個不同的概念，組合數是組合 的個數.
【設計意圖】學生自己獲得組合數的定義與組合數的符號 表示，并用組合數的符號表示上一節的問題中涉及的組合數. 讓學生學以致用，為下面學習和推導組合數公式作鋪墊.
問題3：前面已經提到，組合和排列有關系，我們能否利用這種關系，由排列數來求組合數呢
環節二 觀察分析，感知概念
前面，我們利用“元素相同、順序不同的兩個組合相同”“元素相同、順序不同的兩個排列不同”，以“元素相同”為標準，建立了排列和組合之間的對應關系，并求得了從3個不同元素中取出2個元素的組合數．
追問（1）求從4個不同的元素中取出3個元素的排列數和組合數.
運用同樣的方法，我們來求從4個不同元素中取出3個元素的組合數．設這4個元素為a，b，c，d，那么從中取出3個元素的排列數，以“元素相同”為標準將這24個排列分組，一共有4組，如圖6.2-8所示，因此組合數．
觀察圖6.2-8，也可以這樣理解求“從4個元素中取出3個元素的排列數”：
第1步，從4個元素中取出3個元素作為一組，共有種不同的取法；
第2步，將取出的3個元素作全排列，共有種不同的排法．
于是，根據分步乘法計數原理，有，即．
環節三 抽象概括，形成概念
追問（2）將求的方法推廣為一般形式，如何求組合數？
師生活動：求“從個不同元素中任取個元素的排列數”，可以由以下兩步得到：
第1步：從個不同元素中任取個元素作為一組，共有種不同的取法；
第2步：將取出的個元素作全排列，共有種不同的排法.
根據分布乘法計數原理，有，因此，
同樣地，求“從個元素中取出個元素的排列數”，可以看作由以下兩個步驟得到：
第1步，從個不同元素中取出個元素作為一組，共有種不同的取法；
第2步，將取出的個元素作全排列，共有種不同的排法．
根據分步乘法計數原理，有 ．
因此，，
這里，并且，這個公式叫做組合數公式．
因為，
環節四 辨析理解，深化概念
追問（3）：由的公式，你能得到的公式嗎？
【師生活動】
所以，上面的組合數公式還可以寫成.
另外，我們規定．
問題3：上述組合數公式有什么特點？使用公式需要注意什么？
例6 計算：（1）；（2）；（3）；（4）．
【師生活動】在完成例6的過程中，可以向學生提出下列問題：
（1）比較用不同形式的組合數公式和結論求上述各題，你對公式和結論的選擇有什么想法？
（2）分別觀察例中(1)與(2),(3)與(4)的結果，你有什么發現和猜想？
【設計意圖】通過利用公式求組合數，以把握公式的結構，加深對公式的理解.
解：根據組合數公式，可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
思考：觀察例的（1）與（2），（3）與（4）的結果，你有什么發現 （1）與（2）分別用了不同形式的組合數公式，你對公式的選擇有什么想法
1.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值計算.
2.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化簡證明.在具體選擇公式時,要根據題目特點正確選擇.
3.根據題目特點合理選用組合數的兩個性質,能起到簡化運算的作用,需熟練掌握.
環節五 概念應用，鞏固內化
例7在100件產品中，有98件合格品，2件次品、從這100件產品中任意抽出3件．
（1）有多少種不同的抽法
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種
【師生活動】在完成例7的過程中，可以向學生提出下列問題：
（1）這是一個排列問題還是組合問題？
（2）應該根據什么計數原理解決問題？
（3）能否對同一問題給出不同的方法？
（4）能否歸納求組合問題的一般方法？
【設計意圖】通過應用公式解決問題，及時鞏固組合數公式，形成解決組合問題的一般方法.
分析：（1）從100件產品中任意抽出3件，不需考慮順序，因此這是一個組合問題；
（2）可以先從2件次品中抽出1件，再從98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一個分步完成的組合問題；
（3）從100件產品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情況，因此可以看作是一個分類完成的組合問題．
解：（1）所有的不同抽法種數，就是從100件產品中抽出3件的組合數，所以抽法種數為
；
（2）從2件次品中抽出1件的抽法有種，從98件合格品中抽出2件的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數為
．
從2件次品中抽出1件的抽法數可以是嗎
（3）方法1：（直接法） 從100件產品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，因此根據分類加法計數原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數為
．
方法2：（間接法）抽出的件中至少有件是次品的抽法種數，就是從100件產品中抽出3件的抽法種數減去3件都是合格品的抽法種數，即
．
當和取較小數值時，可以通過手算得出和．當和取較大數值時，可以使用信息技術工具，以使計算更快捷和準確．許多信息技術工具都有計算排列數和組合數的內部構造函數，輸入和的值后，便可以直接得到結果．
追問你能總結一下解決組合問題的思路和方法嗎？
【師生活動】引導學生梳理解決組合問題的一般思路——先分類，后分步；對于含有“至少”、“至多”等關鍵詞的問題，可以使用直接法或間接法，通過分析兩種方法的計算復雜度進行選擇.
演示：當和較小時，可以通過手算得出.當和較大時，可以利用Excel等計算工具計算組合數.
組合問題的基本解法
（1）判斷是否為組合問題;
（2）是否分類或分步;
（3）根據組合的相關知識進行求解.
環節六 歸納總結,反思提升
1.教師引導學生回顧本節課學習的主要內容，并讓學生回答下列問題：
（1）提出一個組合問題，并結合問題說明組合與組合數的區別.
（2）組合數公式是如何推導的？
（3）如何解決組合問題？應用組合數公式時需要注意什么？
2.組合數的公式
3.組合數的性質
，
4.解決組合問題
“先分類，后分步” 直接法 間接法
5.發展能力
提高分析問題、解決問題的能力，發展數學運算、邏輯推理、數學建模等核心素養
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：教材第26 27頁習題6.2第2,10,12,13,15,16題.
備用練習
6．在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指語文、數學、外語三科為必考科目，“1”指在物理和歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學、生物、政治、地理中任選兩科，某學生根據自身的特點，決定按以下方法選課：①外語可選英語或日語，②若選歷史，則政治和地理至多選一科，③物理和日語最多只能選一個，則這個同學可能的選課方式共有（ ）
A．6種 B．11種 C．12種 D．16種
7．我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類，《周禮·春宮》中記載，中國古典樂器一般按“八音”分類，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.現從“金、石、土、匏、絲”中任取三音，則三音來自兩種不同類型樂器的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．現將甲乙丙丁四個人全部安排到市 市 市三個地區工作，要求每個地區都有人去，則甲乙兩個人至少有一人到市工作的安排種數為（ ）
A．12 B．14 C．18 D．22
9．在一次抗洪救災中，甲、乙、丙、丁4名黨員被安排到A，B，C三個村，參與抗洪救災任務，每個村至少安排1名黨員，且甲不能安排到A村，則不同的分配方案種數為（ ）
A．12 B．14 C．24 D．28
10．某省示范性高中安排6名高級教師到甲、乙、丙三所中學進行支教，每所學校至少安排1人，則不同的分配方案有（　　）
A．150種 B．180種 C．270種 D．540種
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 正確 錯誤
【分析】利用組合數公式計算判斷（1）；利用組合數性質判斷（2）；利用組合的意義判斷（3）.
【詳解】（1），（1）錯誤；
（2），（2）正確；
（3）“從3個不同元素中取出2個元素合成一組”，叫做“從3個不同元素中取出2個元素的一個組合”，（3）錯誤.
故答案為：錯誤；正確；錯誤
2．B
【分析】根據排列數和組合數的計算方法直接求解即可.
【詳解】.
故選：B.
3．B
【分析】根據組合數公式即可求得答案.
【詳解】由題意，.
故選：B．
4．D
【分析】根據分步計數原理和組合數的運算公式，即可求解.
【詳解】由題意，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排2名，
則不同的安排方法共有種.
故選：D.
5．C
【詳解】第一步：先從4個盒子中選一個盒子準備裝兩個球，有4種選法；第二步：從5個球里選出兩個球放在剛才的盒子里，有種選法；第三步：把剩下的3個球全排列，有種排法，由乘法分步原理得不同方法共有種，故選C.
6．D
【分析】利用分類相加、分步相乘的計數原理進行討論即可.
【詳解】第一類：三門主科選語文、數學、日語時，此時不能選物理，只能選歷史，且政治和地理至多選一門，即政治地理不能同時選，即種方式.
第二類：三門主科選擇語文、數學、英語時，若選歷史，則跟第一類同理種方式；若選物理，則化學、生物、政治、地理中任選兩科無限制，即.
綜上所述，所以選擇方式為種方式.
故選：D
7．B
【分析】首先求出從五音中任取三音的取法種數，然后求出三音來自兩種不同類型樂器的取法種數，最后利用古典概型的概率計算公式求解即可.
【詳解】由題意可得，從“金、石、土、匏、絲”中任取三音，共有種不同的取法，
三音來自兩種不同類型樂器的取法共有（種），
故所求概率.
故選：B.
【點睛】方法點睛：古典概型中基本事件個數的探求方法：
（1）列舉法；（2）樹狀圖法，適用于較為復雜的問題中的基本事件的探求；
（3）列表法，適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化；
（4）排列組合法，適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.
8．D
【分析】分三種情況，結合排列組合知識進行求解出每種情況下的安排種數，相加即可.
【詳解】若甲乙兩人中的1人到市工作，有種選擇，其余3人到另外兩個地方工作，先將3人分為兩組，再進行排列，有安排種數，故有種；
若甲乙兩人中的1人到市工作，有種選擇，丙丁中一人到市工作，有種選擇，其余2人到另外兩個地方工作，有種選擇，故安排種數有種；
若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外兩個地方工作，安排種數有種，
故總共有12+8+2=22種.
故選：D
9．C
【分析】根據甲分在2人組，1人組分類討論，再由排列組合及分類加法計數原理、分步乘法計數原理求解即可.
【詳解】因為4名黨員被安排到A，B，C三個村，每個村至少安排1名黨員,
所以必須有2人一組，
分兩類，第一類，甲在兩人組，取1人與甲一組有種，分配到村，有種安排方法，其余2人分配到剩余2個村有種，由分步乘法計數原理可得種；
第二類，甲在1人組，先分配到B，C其中一個村，有種安排方法，再把剩余的人分成兩組有種，分配到剩余2個村，有種分配方法，由分步乘法計數原理可得種，
根據分類加法計數原理可得，
故選：C
10．D
【分析】分類討論人數的分配情況，結合分堆法和分類加法計數原理運算求解.
【詳解】將6人分成3組，可以是1，1，4，也可以是1，2，3，也可以是2，2，2，
第一類，若分成1，1，4，有種安排方法；
第二類，若分成1，2，3，有種安排方法；
第三類，若分成2，2，2，有種安排方法；
根據分類加法計數原理，共有種不同的分配方案.
故選：D.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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