資源簡介

6.3.1 二項式定理 導(dǎo)學案
學習目標
1. 掌握二項式定理，能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理；
2. 掌握二項展開式的通項，并能運用通項公式求指定項或指定項的系數(shù)；
3. 會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.
重點難點
1．重點：用計數(shù)原理分析的展開式，得到二項式定理.
2．難點：用計數(shù)原理分析二項式的展開式，用兩個計數(shù)原理證明二項式定理.
課前預(yù)習 自主梳理
知識點一　二項式定理
.
（1）這個公式所表示的規(guī)律叫做二項式定理．
（2）展開式：等號右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，展開式中一共有n＋1項．
（3）二項式系數(shù)：各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)．
知識點二　二項展開式的通項
(a＋b)n展開式的第k＋1項叫做二項展開式的通項，記作.
思考　二項式系數(shù)與二項展開式中項的系數(shù)相同嗎？
答案　一般不同．前者僅為，而后者是字母前的系數(shù)，故可能不同．
知識點三　二項式定理及其相關(guān)概念
注意二項式系數(shù)與系數(shù)的概念
二項式定理 公式，稱為二項式定理
二項式系數(shù)
通項
二項式定理的特例　　
自主檢測
1．判斷正誤，正確的畫“正確”，錯誤的畫“錯誤”．
（1）二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的.( )
（2）的展開式中項的系數(shù)為.( )
（3）的展開式中一定有常數(shù)項.( )
（4）的展開式中共有n項．( )
（5）在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響．( )
（6）是展開式中的第k項．( )
2．二項式的展開式中，含項的系數(shù)為（ ）
A．1140 B．1330 C．190 D．210
3．在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B．2 C． D．6
4．在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B．1 C． D．4
5．已知，則（ ）
A．-18 B．18 C．-256 D．256
新課導(dǎo)學
學習探究
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
上一節(jié)學習了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個在數(shù)學上有著廣泛應(yīng)用的展開式的問題.
學生先獨立思考，然后小組討論交流，代表展示討論交流的結(jié)果.
問題1：我們知道，
，
．
（1）觀察以上展開式，分析其運算過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出的展開式嗎？
（3）進一步地，你能寫出的展開式嗎？
我們來分析的展開過程．根據(jù)多項式乘法法則，
可以看到，是2個相乘，只要從一個中選一項（選或），再從另一個中選一項（選或），就得到展開式的一項．于是，由分步乘法計數(shù)原理，在合并同類項之前，的展開式共有項，而且每一項都是的形式．
設(shè)計意圖：通過問題串引入二項式定理，讓學生體會 知識的發(fā)展是建立在已有的知識基礎(chǔ)上的.通過分析已有 知識得出規(guī)律，進而發(fā)展構(gòu)建新知識.
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
下面我們再來分析一下形如的同類項的個數(shù)．
當時，，這是由2個中都不選得到的．因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個中取0個（都取）的組合數(shù)，即只有1個．
當時，，這是由1個中選，另1個中選得到的．由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個中取1個的組合數(shù)，即共有2個．
當時，，這是由2個中都選得到的．因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當于從2個中取2個的組合數(shù)，即只有1個．
由上述分析可以得到
．
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
問題1：依照上述過程，你能利用計數(shù)原理，寫出，的展開式嗎？
；
．
從上述對具體問題的分析得到啟發(fā)，對于任意正整數(shù)，我們有如下猜想：
（1）
追問：你能說明這一猜想的正確性嗎？
學生思考、討論、交流.
教師找?guī)酌砭瓦@一猜想的正確性進行說明，教師 給予適當?shù)脑u價與指導(dǎo).
1．二項式定理
.
（1）這個公式所表示的規(guī)律叫做二項式定理．
（2）展開式：等號右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，展開式中一共有 n＋1 項．
（3）二項式系數(shù)：各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)．
設(shè)計意圖：通過得出猜想，并說明其正確性，讓學生體 會從特殊到一般的思想方法，體會歸納猜想在知識產(chǎn)生過 程中的重要性.
環(huán)節(jié)四 辨析理解，深化概念
下面我們對上述猜想的正確性予以說明．
由于是個相乘，每個在相乘時有兩種選擇，選或，而且每個中的或都選定后，才能得到展開式的一項．因此，由分步乘法計數(shù)原理可知，在合并同類項之前，的展開式共有項，其中每一項都是的形式．
對于每個，對應(yīng)的項是由個選，另外個中選得到的．由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當于從個中取個的組合數(shù)，這樣，的展開式中，共有個，將它們合并同類項，就可以得以上述二項展開式．
公式（1）叫做二項式定理（binomial theorem），右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)．式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：
．
在二項式定理中，若設(shè)，，則得到公式：
．
2．二項展開式的通項公式
(a＋b)n展開式的第項叫做二項展開式的通項，記作.
二項式定理形式上的特點
（1）二項展開式有n+1項，而不是n項.
（2）二項式系數(shù)都是(k=0，1，2，…，n)，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等.
（3）二項展開式中的二項式系數(shù)的和等于2n，即.
（4）在排列方式上，按照字母a的降冪排列，從第一項起，次數(shù)由n次逐項減少1次直到0次，同時字母b按升冪排列，次數(shù)由0次逐項增加1次直到n次.
組織學生分析二項展開式的結(jié)構(gòu)特點，教師要強調(diào)二項式系數(shù)是與二項式的次數(shù)有關(guān)的組合數(shù).
2.教師提出以下問題引導(dǎo)學生理解二項式定理:
（1）二項展開式有多少項
提示:項.
（2）各項的次數(shù)有什么規(guī)律
提示:各項的次數(shù)都等于的次數(shù).
（3）如果令，你能寫出二項式的展開式嗎 從函數(shù)的觀點看這個展開式，它是一個什么函數(shù)
提示:，它是一個一元次多項式函數(shù).
學生通過觀察二項式定理的表達式回答以上問題.
3.對于二項展開式的通項，教師提出以下問題幫助學生理解：
（1）如果把看作一個數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列有多少項
提示:項.
（2）字母代表的是什么
提示:只是一種符號，可以是任意的數(shù)或式子.學生思考、討論解答以上問題，教師點評指導(dǎo).
設(shè)計意圖:通過提出問題，引導(dǎo)學生思考，強化記憶，辨析概念，加深學生對二項式定理的理解與認識.
環(huán)節(jié)五 概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
例1求的展開式．
解：根據(jù)二項式定理，
．
1.的二項展開式有項，是和的形式，各項的冪指數(shù)規(guī)律是：（1）各項的次數(shù)和等于n.（2）字母a按降冪排列，從第一項起，次數(shù)由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由0逐項加1直到n.
2.逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏.
例2（1）求的展開式的第4項的系數(shù)；
（2）求的展開式中的系數(shù)．
解：（1）的展開式的第4項是
．
因此，展開式第4項的系數(shù)是280．
的展開式的第4項的二項式系數(shù)是．一個二項展開式的某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)是兩個不同的概念．
（2）的展開式的通項是
．
根據(jù)題意，得
，
．
因此，的系數(shù)是
．
二項式系數(shù)與項的系數(shù)的求解策略
（1）二項式系數(shù)都是組合數(shù)(k∈{0，1，2，…，n})，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等，
要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念.
（2）第k+1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號，而此項的二項式系數(shù)為.例如，在(1+2x)7的
展開式中，第4項是T4=17-3(2x)3，其二項式系數(shù)是=35，而第4項的系數(shù)是23=280.
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié)，反思提升
1.教師引導(dǎo)學生回顧本節(jié)課學習的主要內(nèi)容，并讓學生回答下列問題：
（1）二項式定理是如何得出的？二項式定理的內(nèi)容是什么？二項式定理中的字母a，b分別可以表示什么？
（2）二項展開式的通項如何表示？
（3）某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)的區(qū)別是什么？如何求二項式系數(shù)及項的系數(shù)？
2.求二項展開式的特定項的常用方法
（1）對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)．
（2）對于有理項，一般是先寫出通項公式，求其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解．
（3）對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致．
3.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸．
4.常見誤區(qū)：二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別，是展開式的第k＋1項．
設(shè)計意圖：通過提出問題，幫助學生回顧二項式定理的推導(dǎo)過程及二項式定理的有關(guān)概念，總結(jié)用二項式定理 解決問題的方法，形成完整的知識體系.
環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置
完成教材：教材第34頁習題6.3第2~6題.
備用練習
6．二項式(a＋b)2n的展開式的項數(shù)是(　　)
A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1)
7．若的展開式有16項，則自然數(shù)的值為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．16
8．如果的展開式中含有非零常數(shù)項,則正整數(shù)n的最小值為(　　)
A．3 B．5 C．6 D．10
9．的展開式中各項系數(shù)的和為3，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． 32 B．32 C． 64 D．64
10．在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 正確 錯誤 錯誤 錯誤 錯誤
【分析】（1）根據(jù)定義即可判定；
（2）利用二項式定理展開式通項公式進行計算即可；
（3）用二項式定理展開式通項公式進行判斷即可；
（4）用二項式定理展開式通項公式進行判斷即可；
（5）用二項式定理展開式通項公式進行判斷即可；
（6）用二項式定理展開式通項公式進行判斷即可；
【詳解】（1）二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)不一定相等,
只有當?shù)南禂?shù)都為1時兩者相等，故錯誤；
（2）令，得，
所以項的系數(shù)為，故正確；
（3）故不一定有常數(shù)項，故錯誤；
（4）的展開式中共有項，故錯誤；
（5）交換的順序各項都發(fā)生變化，故錯誤；
（6）是展開式中的第項，故錯誤；
故答案為：錯誤；正確；錯誤；錯誤；錯誤；錯誤.
2．B
【分析】展開式中含項的系數(shù)是，利用組合數(shù)的運行性質(zhì)計算即可.
【詳解】解：根據(jù)二項式定理得的展開式中，含項的系數(shù)為：
.
故選：B
【點睛】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)以及組合式的性質(zhì)，屬于簡單題. 二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用.
3．C
【分析】直接由二項展開式求含的項即可求解.
【詳解】由題意知：含的項為，故的系數(shù)為.
故選：C.
4．B
【分析】利用二項展開式的通項公式可求的系數(shù).
【詳解】的展開式的通項公式為，
令，則，故的系數(shù)為，
故選：B.
5．A
【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理列式計算作答.
【詳解】依題意，.
故選：A
6．B
【詳解】由二項式展開式的性質(zhì)易得二項式(a＋b)2n的展開式的項數(shù)是2n＋1，故選B
7．B
【分析】根據(jù)二項式展開式的項數(shù)可得選項.
【詳解】解：因為的展開式共有項，所以，所以，
故選：B．
8．B
【詳解】因為Tk+1=(3x2)n-k=(-2)k3n-kx2n-5k,當2n-5k=0時,2n=5k,又因為n∈N,k∈N,所以n是5的倍數(shù),故選B.
9．C
【分析】先根據(jù)展開式中各項系數(shù)的和為3，求出，進而根據(jù)的展開式的通項公式，求出答案.
【詳解】令得：，解得：，其中的通項公式為，令得：，所以，則，令，此時，不合題意，綜上：該展開式中的常數(shù)項為-64.
故選：C
10．B
【分析】先求的通項公式為，再求出的通項公式，結(jié)合條件列式即可得解.
【詳解】在的展開式中，通項公式為，
對于，通項公式為，，，r、k，
令，可得，故，，
故項的系數(shù)為，
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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