資源簡介

7.1.2 全概率公式 導學案
學習目標
1.結合古典概型，了解利用概率的加法公式和乘法公式推導出全概率公式的過程;
2.理解全概率公式并會利用全概率公式計算概率;
3.了解貝葉斯公式以及其簡單應用.
重點難點
1.教學重點：利用全概率公式計算概率，全概率公式及其應用.
2.教學難點：正確理解全概率公式，在具體問題情境中識別出全概率模型，運用全概率公 式求概率.
課前預習 自主梳理
知識點一　全概率公式
一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B|Ai），我們稱該公式為全概率公式．
*知識點二　貝葉斯公式
設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B Ω，P（B）>0，有
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率求解問題，轉化為了在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題．( )
（2）所研究的事件試驗前提或前一步驟有多種可能，在這多種可能中，均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．( )
（3）全概率公式用于求復雜事件的概率，是求最后結果的概率．( )
（4）全概率公式中樣本空間Ω中的事件需滿足的條件為( )
（5）若，則．( )
2．已知，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的概率為，知道正確答案時，答對的概率為，而不知道正確答案時猜對的概率為，那么他答對題目的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．現有完全相同的甲，乙兩個箱子（如圖），其中甲箱裝有2個黑球和4個白球，乙箱裝有2個黑球和3個白球，這些球除顏色外完全相同．某人先從兩個箱子中任取一個箱子，再從中隨機摸出一球，則摸出的球是黑球的概率是（ ）

A． B． C． D．
5．某考生回答一道四選一的單項選擇考題，假設他知道正確答案的概率為0.6，知道正確答案時，答對的概率為，而不知道正確答案時，猜對的概率為0.2，那么他答對題目的概率為（ ）
A．0.8 B．0.68 C．0.6 D．0.2
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
在上節計算按對銀行儲蓄卡密碼的概率時，我們首先把一個復雜事件表示為一些簡單事件運算的結果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率．下面，再看一個求復雜事件概率的問題．
思考：從有a個紅球和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．顯然，第1次摸到紅球的概率為．那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢？
因為抽簽具有公平性，所以第2次摸到紅球的概率也應該是．但是這個結果并不顯然，因為第2次摸球的結果受第1次摸球結果的影響．下面我們給出嚴格的推導．
用表示事件“第次摸到紅球”，表示事件“第次摸到藍球”，．如圖7.1-2所示，
事件可按第1次可能的摸球結果（紅球或藍球）表示為兩個互斥事件的并，即．利用概率的加法公式和乘法公式，得
．
上述過程采用的方法是：按照某種標準，將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率．
【設計意圖】讓學生親身經歷了從特殊到一般，結合集合，獲得全概率概念與公式的過程，同時發展學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養.
環節二 觀察分析，感知概念
一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有
．
我們稱上面的公式為全概率公式（total probability formula）．全概率公式是概率論中最基本的公式之一．
【設計意圖】通過概念辨析，讓學生深化對全概率公式的理解，并歸納總結出來全概率是用來解決“由因求果”類問題的.
例 4 某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8．計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率．
分析：第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個互斥事件的并，利用全概率公式求解．
解：設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則，且與互斥．根據題意得，，
由全概率公式，得．
因此，王同學第2天去A餐廳用餐的概率為0.7．
【設計意圖】總結全概率公式求概率的步驟：
1.設事件：把事件B（結果事件）看作某一過程的結果，把A1，A2，…，An 看作導致結果的若干個原因；
2.寫概率：由已知，寫出每一原因發生的概率（即P（Ai ）），且每一原因對結果的影響程度
（即P（B|Ai ））；
3.代公式：用全概率公式計算結果發生的概率（即P（B） ）.
環節三 抽象概括，形成概念
例5 有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%．
（1）任取一個零件，計算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，計算它是第i （i＝1，2，3）臺車床加工的概率．
分析：取到的零件可能來自第1臺車床，也可能來自第2臺或第3臺車床，有3種可能．設“任取一零件為次品”，“零件為第 i臺車床加工”，如圖7.1-3所示，可將事件B表示為3個兩兩互斥事件的并，利用全概率公式可以計算出事件B的概率．
解：設“任取一個零件為次品”，Ai＝“零件為第臺車床加工”，則，且兩兩互斥．根據題意得
，，，
，．
（1）由全概率公式，得
．
（2）“如果取到的零件是次品，計算它是第臺車床加工的概率”，就是計算在B發生的條件下，事件發生的概率．．
類似地，可得，．
【設計意圖】會利用全概率公式求概率，培養學生分析問題、利用已學知識解決問題的能力.
環節四 辨析理解 深化概念
思考：例5中，的實際意義是什么
是試驗之前就已知的概率，它是第臺車床加工的零件所占的比例，稱為先驗概率．當已知抽到的零件是次品（發生），是這件次品來自第臺車床加工的可能性大小，通常稱為后驗概率．如果對加工的次品，要求操作員承擔相應的責任，那么，，就分別是第1，2，3臺車床操作員應承擔的份額．
將例5中的問題（2）一般化，可以得到貝葉斯公式．
*貝葉斯公式（Bayes formula）：設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，，有
．
貝葉斯公式是由英國數學家貝葉斯 （T. Bayes， 1702-1761）發現的，它用來描述兩個條件概率之間的關系．
標有*號的內容為選學內容，不作考試要求．
【設計意圖】讓學生理解貝葉斯公式是解決“執果尋因”類的問題，并理解其推導過程，培養學生分析問題的能力.
環節五 概念應用，鞏固內化
例6 在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列．由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．已知發送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05．假設發送信號0和1是等可能的．
（1）分別求接收的信號為0和1的概率；
*（2）已知接收的信號為0，求發送的信號是1的概率．
分析：設“發送的信號為0”，“接收到的信號為0”．為便于求解，我們可將題目中所包含的各種信息用圖7.1-4直觀表示．
解：設“發送的信號為0”，“接收到的信號為0”，則“發送的信號為1”，“接收到的信號為1”．由題意得
，，，，．
（1），
．
（2）．
【設計意圖】通過練習，鞏固本節所學知識，培養學生學以致用、解決問題的能力，提高學生的數學運算、邏輯推理等能力，發展學生直觀想象、數學建模的核心素養.
環節六 歸納總結，反思提升
1.教師可以設置以下問題讓學生思考：
（1）全概率公式中將樣本空間分拆成若干個兩兩互斥的事件的并集的作用是什么？
（2）應用全概率公式計算概率的步驟是什么？
（3）條件概率與貝葉斯公式有什么聯系？
2.本節課學習的概念有哪些？
（1）全概率公式．
（2）貝葉斯公式．
3.在解決問題時，用到了哪些數學思想？
（1）方法歸納：化整為零、轉化化歸．
（2）常見誤區：事件拆分不合理或不全面．
【設計意圖】通過問題設計，讓學生歸納總結本節課學 習的內容.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：教材第53頁習題7.1第5，7，8題.
【設計意圖】讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高學以致用、解決問題的能力.
備用練習
6．兩批同種規格的產品，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為．將兩批產品混合，從混合產品中任取件，則這件產品不是次品的概率（ ）
A． B．
C． D．
7．某防空導彈系統包含3輛防空導彈發射車，其中8聯裝，6聯裝，4聯裝防空導彈發射車各1輛，當警戒雷達車發現敵機后通知指揮車，指揮車指揮防空導彈發射車發射導彈，每次只選擇1輛防空導彈發射車.已知指揮車指揮8聯裝，6聯裝，4聯裝防空導彈發射車發射導彈的概率分別為0.5，0.3，0.2，且8聯裝，6聯裝，4聯裝防空導彈發射車命中敵機的概率分別為0.8，0.6，0.4.在某次演習中警戒雷達車發現一架敵機，則此防空導彈系統發射導彈命中敵機的概率為（ ）
A．0.66 B．0.58 C．0.45 D．0.34
8．一個袋中裝有大小和質地相同的5個球，其中有2個紅色球，3個綠色球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，下列結論正確的是（ ）
A．第一次摸到綠球的概率是 B．第二次摸到綠球的概率是
C．兩次都摸到綠球的概率是 D．兩次都摸到紅球的概率是
9．某個家庭中有兩個小孩，兩個都是男孩的概率是（ ）
A． B．
C． D．
10．某車間使用甲 乙 丙三臺車床加工同一型號的零件，車床甲和乙加工此型號零件的優質品率分別為，且甲和乙加工的零件數分別占總數的.如果將三臺車床加工出的零件全部混放在一起，并隨機抽出一件，得到優質品的概率是0.54，則車床丙加工此型號零件的優質品率是（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 正確 正確 錯誤 正確
【分析】由全概率事件的定義來得出全概率公式以及它的意義，由此即可逐一判斷.
【詳解】全概率事件是將事件分解為一些互斥事件的和，
而組成復雜事件的這些小事件又遵循各自相對應的條件概率模型，這就可以得出全概率公式的意義，故（1）（2）（3）正確；
全概率公式中樣本空間Ω中的事件需滿足的條件為且，故（4）錯誤；
直接由全概率公式可知（5）正確.
故答案為：正確；正確；正確；錯誤；正確.
2．B
【分析】利用全概率公式直接求解即可.
【詳解】由全概率公式得
，
解得，
故選：B
3．A
【分析】根據全概率公式求解即可.
【詳解】記事件為：該考生答對題目；事件為：該考生知道正確答案；事件為：該考生不知道正確答案；
則.
故選：A.
4．B
【分析】根據條件概率的定義，結合全概率公式，可得答案.
【詳解】記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
則，
由全概率公式得．
故選：B．
5．B
【分析】根據條件概率和全概率公式求解即可.
【詳解】解：設“考生答對題目”為事件A，“考生知道正確答案”為事件B，
則，，，
．
故選：B．
6．A
【分析】設事件為“取到的產品是次品”，為“取到的產品來自第批”，利用全概率公式可得的值，再利用對立事件即可求解.
【詳解】設事件為“取到的產品是次品”，為“取到的產品來自第批”．
則，，，，
由全概率公式，可得
．
所以這件產品不是次品的概率為.
故選：A
7．A
【分析】根據全概率公式計算即可.
【詳解】由全概率公式，得此防空導彈系統發射導彈命中敵機的概率為.
故選：A.
8．C
【分析】對選項A，直接求出第一次摸球且摸到綠球的概率；對選項B，第二次摸到綠球分兩種情況，第一次摸到綠球且第二也摸到綠球和第一次摸到紅球且第二次摸到綠球；對選項C，直接求出第一次摸到綠球且第二也摸到綠球的概率；對選項D，直接求出第一次摸到紅球且第二也摸到紅球的概率
【詳解】對選項A，第一次摸到綠球的概率為：，故錯誤；
對選項B，第二次摸到綠球的概率為：，故錯誤；
對選項C，兩次都摸到綠球的概率為：，故正確；
對選項D，兩次都摸到紅球的概率為：，故錯誤
故選：C
9．C
【分析】利用列舉法求得基本事件的總數，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解.
【詳解】由題意，有兩個小孩的家庭，其小孩性別構成的所有基本事件共有{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，共有4個，
設A＝“第一個男孩”，B＝“第二個也是男孩”，所以P(AB)＝.
故選：C.
10．A
【分析】根據全概率公式列出方程求解即可得解.
【詳解】設車床丙加工此型號零件的優質品率為，
則，
解得，
故選：A
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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