資源簡介

7.2 離散型隨機變量及其分布列 導學案
學習目標
（1）理解隨機變量的意義．
（2）掌握離散型隨機變量的概念．
（3）理解取有限值的離散型隨機變量的分布列及兩點分布的概念及表示．
（4）掌握離散型隨機變量的分布列的性質．
（5）會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列(含兩點分布)．
重點難點
1.教學重點：離散型隨機變量的分布列和離散型隨機變量的分布列的求法．
2.教學難點：學生在理解離散型隨機變量及其分布列的概念基礎上，結合實際問題寫出隨機變量的取值以及隨機試驗的結果，并求某些簡單的離散型隨機變量的分布列．
課前預習 自主梳理
知識點一 離散型隨機變量的分布列
離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各值的概率之和
（1）離散型隨機變量的分布列
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為 x1，x2，…，xn ，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱為分布列．
（2）可以用表格來表示X的分布列，如下表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數X的分布列，稱為X的概率分布圖．
知識點二 離散型隨機變量的分布列的性質
（1）pi≥0，i＝1，2，…，n；
（2） p1＋p2＋…＋pn＝1.
知識點三 兩點分布
對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，表示“失敗”，
定義，如果P(A)＝p，則P()＝1－p，那么X的分布列如表所示
X 0 1
P 1－p p
我們稱X服從兩點分布或0－1分布．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的畫“正確”，錯誤的畫“錯誤”．
（1）在離散型隨機變量分布列中隨機變量的每一個可能值對應的概率可以為任意的實數．( )
（2）在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各值的概率之積．( )
（3）在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為1.( )
（4）離散型隨機變量的取值是任意的實數．( )
（5）隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．( )
（6）離散型隨機變量是指某一區間內的任意值．( )
（7）手機電池的使用壽命X是離散型隨機變量．( )
（8）一只大熊貓一年內的體重是離散型隨機變量.( )
2．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個球，下列選項中可以用隨機變量表示的是（ ）．
A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球
C．取到白球的個數 D．取到球的個數
3．設隨機變量X等可能取值1，2，3，…n，如果，那么（ ）
A． B． C． D．不確定
4．已知隨機變量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
則實數m的值為（ ）.
A． B． C． D．
5．袋中有2個黑球、6個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是（ ）
A．取到的球的個數
B．取到紅球的個數
C．至少取到1個紅球
D．至少取到1個紅球的概率
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
問題1 （復習隨機變量與函數的概念）請同學們思考一下，隨機試驗的樣本空間與實數集之間能否建立某種對應關系呢？
求隨機事件的概率時，我們往往需要為隨機試驗建立樣本空間，并會涉及樣本點和隨機事件的表示問題．類似函數在數集與數集之間建立對應關系，如果我們在隨機試驗的樣本空間與實數集之間建立某種對應，將不僅可以為一些隨機事件的表示帶來方便，而且能更好地利用數學工具研究隨機試驗．
探究1．有些隨機試驗的樣本空間與數值有關系，我們可以直接與實數建立關系．
有些隨機試驗的樣本點與數值有關系，我們可以直接與實數建立對應關系．例如，擲一枚骰子，用實數表示“擲出的點數為”；又如，擲兩枚骰子，樣本空間為，用表示“兩枚骰子的點數之和”，樣本點就與實數對應．
有些隨機試驗的樣本點與數值沒有直接關系，我們可以根據問題的需要為每個樣本點指定一個數值．例如，隨機抽取一件產品，有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能結果，它們與數值無關．如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義
那么這個試驗的樣本點與實數就建立了對應關系．
類似地，擲一枚硬幣，可將試驗結果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；隨機調查學生的體育綜合測試成績，可將等級成績優、良、中等、及格、不及格分別賦值5，4，3，2，1；等等．
對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每個樣本點與一個實數對應．即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數的對應關系，實現樣本點的數量化．因為在隨機試驗中樣本點的出現具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性．
【設計意圖】通過具體的問題情境，引發學生思考積極參與互動，說出自己見解．從而建立離散型隨機變量的概念，發展學生邏輯推理、數學運算、數學抽象和數學建模的核心素養．
環節二 觀察分析，感知概念
探究2：考察下列隨機試驗及其引入的變量：
試驗1：從100個電子元件（至少含3個以上次品）中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數；
試驗2：拋擲一枚硬幣直到出現正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數．
這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么？各個樣本點與變量的值是如何對應的？變量X，Y有哪些共同的特征？
【設計意圖】讓學生親身經歷了從特殊到一般，獲得離散型隨機變量概念的過程．發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養．
對于試驗1，如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1構成的長度為3的字符串表示樣本點，則樣本空間
．
各樣本點與變量的值的對應關系如圖7.2-1所示．
對于試驗2，如果用表示“正面朝上”，表示“反面朝上”，例如用表示第3次才出現“正面朝上”，則樣本空間
，
包含無窮多個樣本點．各樣本點與變量的值的對應關系如圖7.2-2所示．
追問 兩個試驗中變量X，Y 有哪些共同的特征
【設計意圖】通過與函數概念的比較，讓學生深化對隨機變量的理解．發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養．
環節三 抽象概括，形成概念
在上面兩個隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數與之對應．變量X，Y有如下共同點：
（1）取值依賴于樣本點；
（2）所有可能取值是明確的．
一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數與之對應，我們稱為隨機變量（random variable）．試驗1中隨機變量的可能取值為0，1，2，3，共有4個值；試驗2中隨機變量的可能取值為1，2，3，…，有無限個取值，但可以一一列舉出來．像這樣，可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量（discrete random variable）．通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如．
隨機變量的概念是俄國數學家切比雪夫（也翻譯為契貝曉夫）（Chebyshev，1821-1894）在19世紀中葉建立和提倡使用的．
不難發現，隨機變量的定義與函數的定義類似，這里的樣本點相當于函數定義中的自變量，而樣本空間相當于函數的定義域，不同之處在于不一定是數集．隨機變量的取值隨著試驗結果的變化而變化，這使我們可以比較方便地表示一些隨機事件．
現實生活中，離散型隨機變量的例子有很多．
例如，某射擊運動員射擊一次可能命中的環數X，它的可能取值為0，1，2，…，10；某網頁在24 h內被瀏覽的次數Y，它的可能取值為0，1，2，……；等等
現實生活中還有大量不是離散型隨機變量的例子．例如，種子含水量的測量誤差X1；某品牌電視機的使用壽命X2；測量某一個零件的長度產生的測量誤差X3．這些都是可能取值充滿了某個區間、不能一一列舉的隨機變量．本節我們只研究取有限個值的離散型隨機變量．
你能再舉出一些離散型隨機變量和不是離散型的隨機變量的例子嗎？
問題5 請大家進一步思考，在實際問題中對于每一個隨機變量的值，對應的概率是多少嗎？
探究3.拋擲一枚骰子，所得的點數X有哪些值？取每個值的概率是多少？
根據問題引入合適的隨機變量，有利于我們簡潔地表示所關心的隨機事件，并利用數學工具研究隨機試驗中的概率問題．例如，擲一枚質地均勻的骰子，表示擲出的點數，則事件“擲出點”可以表示為
，事件“擲出的點數不大于2”可以表示為，事件“擲出偶數點”可以表示為，等等．由擲出各種點數的等可能性，可得
．
這一規律可以用表7.2-1表示．
表7.2-1
1 2 3 4 5 6
【設計意圖】通過例題引出離散型隨機變量的分布列的概念及性質.
【師生活動】 探究離散型隨機變量的表示方法和性質.
環節四 辨析理解 深化概念
一般地，設離散型隨機變量的可能取值為，我們稱取每一個值的概率
為的概率分布列（list of probabllity distribution），簡稱分布列．
與函數的表示法類似，離散型隨機變量的分布列也可以用表格表示（表7.2-2），還可以用圖形表示．例如，圖7.2-3直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數X的分布列，稱為X的概率分布圖．
表7.2-2
……
……
根據概率的性質，離散型隨機變量分布列具有下述兩個性質：
（1）；
（2）．
利用分布列和概率的性質，可以計算由離散型隨機變量表示的事件的概率．例如，在擲骰子試驗中，由概率的加法公式，得事件“擲出的點數不大于2”的概率為．
類似地，事件“擲出偶數點”的概率為
．
【設計意圖】通過例題引出離散型隨機變量的分布列的概念及性質.
【師生活動】 探究離散型隨機變量的表示方法和性質.
環節五 概念應用，鞏固內化
例1 一批產品中次品率為5%，隨機抽取1件，定義X ，
追問 本題中離散型隨機變量的分布列有什么特殊性？
【設計意圖】通過例題引出對兩點分布的概念的理解.
解：根據的定義，“抽到次品”，“抽到正品”，的分布列為
，．
對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用表示“成功”，表示“失敗”，定義
如果，則，那么的分布列如表7.2-3所示．
表7.2-3
0 1
我們稱X服從兩點分布（two-point distribution）或0-1分布．實際上，X為在一次試驗中成功（事件A發生）的次數（0或1）．像購買的彩券是否中獎，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，都可以用兩點分布來描述．
例2 某學校高二年級有200名學生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應的分數和人數如表7.2-4所示．
表7.2-4
等級 不及格 及格 中等 良 優
分數 1 2 3 4 5
人數 20 50 60 40 30
從這200名學生中任意選取1人，求所選同學分數的分布列，以及．
解：由題意知，是一個離散型隨機變量，其可能取值為1，2，3，4，5，且
“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，
“優”．根據古典概型的知識，可得的分布列，如表7.2-5所示．
表7.2-5
1 2 3 4 5
．
例3 一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺．如果從中隨機挑選2臺，求這2臺電腦中A品牌臺數的分布列．
解：設挑選的2臺電腦中品牌的臺數為X，則X的可能取值為0，1，2．根據古典概型的知識，可得X的分布列為
，，．
用表格表示X的分布列，如表7.2-6所示．
表7.2-6
0 1 2
環節六 歸納總結，反思提升
（1）通過類比函數的定義引入隨機變量的定義，對你有什么啟發？
（2）為什么要研究離散型隨機變量的分布列？離散型隨機變量的分布列有什么作用？
（3）根據本節課所列舉的例題，歸納求離散型隨機變量分布列的一般步驟.
（4）離散型隨機變量的分布列的性質在求隨機事件概率的過程中起到什么作用？
【設計意圖】通過問題設計，讓學生梳理本節課所學的 內容及主要數學思想方法，引發學生深度思考.
環節七 目標檢測，作業布置
完成：1.教材第60頁練習第3，4題.
2.教材第61頁習題7.2第4，5，6題.
備用練習
6．已知離散型隨機變量的分布列，則（ ）
A． B． C． D．
7．如圖是某市10月份1日至14日的空氣污染指數折線圖，空氣污染指數為0~50，空氣質量級別為一級；空氣污染指數為51~100，空氣質量級別為二級；空氣污染指數為101~150，空氣質量級別為三級．某人隨機選擇10月份的1日至13日中的某一天到達該市，并停留2天．設X是此人停留期間空氣質量級別不超過二級的天數，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知隨機變量X的分布列如下表所示則的值等于
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 b 0.2 0.1
A．1 B．2 C．3 D．4
9．隨機變量ξ的分布列如下：
其中，則等于（ ）
A． B．
C． D．
10．設隨機變量的概率分布列為：
X 1 2 3 4
P m
則（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 錯誤 正確 錯誤 正確 錯誤 錯誤 錯誤
【分析】利用離散型隨機變量的意義，逐一判斷各個命題即可得解.
【詳解】（1）在離散型隨機變量分布列中隨機變量的每一個可能值對應的概率是區間上的某個值，（1）錯誤；
（2）在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各值的概率之和，（2）錯誤；
（3）在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為1，（3）正確；
（4）離散型隨機變量的取值是明確可知的，取值為有限個或可以一一列舉出來，（4）錯誤；
（5）隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個，（5）正確；
（6）離散型隨機變量可以一一列舉出來，不是區間內的任意值，（6）錯誤；
（7）手機電池的使用壽命X的取值是某一區間內的任意非負實數，不能一一列舉出，不是離散型隨機變量，（7）錯誤；
（8）一只大熊貓一年內的體重是某一區間內的任意正實數，不能一一列舉出，不是離散型隨機變量，（8）錯誤.
故答案為：錯誤；錯誤；正確；錯誤；正確；錯誤；錯誤；錯誤
2．C
【分析】由隨機變量的含義可知.
【詳解】選項A，B是隨機事件；選項D是定值2；選項C可能的取值為0，1，2，可以用隨機變量表示．
故選：C．
3．C
【分析】根據隨機變量的性質即可求解.
【詳解】由于隨機變量X等可能取值1，2，3，…n，所以，
由，所以，
故選：C
4．C
【分析】根據每個隨機變量取值的概率之和為1即可得到答案.
【詳解】由離散型隨機變量分布列的性質可知：,
解得，
故選C.
5．B
【分析】根據隨機變量的定義判斷
【詳解】A的取值不具有隨機性，C是一個事件而非隨機變量，D中概率值是一個定值而非隨機變量，只有B滿足要求
故選：B
6．A
【分析】根據分布列求得a的值，確定符合題意的X的值，結合，即可求得答案.
【詳解】由已知離散型隨機變量的分布列，
則，
由可得或，
故,
故選：A
7．C
【分析】由題知X的取值范圍為，再計算即得.
【詳解】由題意知，X的取值范圍為，空氣質量級別不超過二級的為10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，，
即要連續兩天的空氣質量級別不超過二級，所以此人應在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到達該市，所以．
故選：C．
8．A
【分析】先求得進而求得，再利用運算性質求解
【詳解】由題得，
所以
所以.
故選A
【點睛】本題主要考查分布列的性質和期望的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.若(a、b是常數)，是隨機變量，則也是隨機變量， ，.
9．D
【分析】利用離散型隨機變量的分布列中各概率之和為可求.
【詳解】，且，
解得，
.
故選：D.
10．C
【分析】根據對立事件的概率公式求解即可.
【詳解】依題意，，即事件的對立事件是的事件，
所以.
故選：C
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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