資源簡介

7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值 導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值.
（2）理解離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì).
（3）掌握兩點(diǎn)分布的均值.
（4）會利用離散型隨機(jī)變量的均值，解決一些相關(guān)的實(shí)際問題．
重點(diǎn)難點(diǎn)
1．重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量均值的意義、性質(zhì)及應(yīng)用．
2．難點(diǎn)：對離散型隨機(jī)變量均值的意義的理解．
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識點(diǎn)一　離散型隨機(jī)變量的均值
1．離散型隨機(jī)變量的均值的概念
一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱為期望．
2．離散型隨機(jī)變量的均值的意義
均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．
3．離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機(jī)變量)，則Y也是隨機(jī)變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機(jī)變量，那么Y也是隨機(jī)變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n，所以Y的分布列為
Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考　離散型隨機(jī)變量的均值與樣本平均值之間的關(guān)系如何？
答案　（1）區(qū)別：隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化．
（2）聯(lián)系：對于簡單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值．
知識點(diǎn)二　兩點(diǎn)分布的均值
如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫“正確”，錯誤的寫“錯誤”．
（1）隨機(jī)變量X的均值E(X)是個變量，其隨X的變化而變化．( )
（2）隨機(jī)變量的均值反映了樣本的平均水平．( )
（3）若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝2，則E(2X)＝4.( )
（4）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝P(X＝1)．( )
（5）隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同．( )
（6）離散型隨機(jī)變量的均值E(X)是一個隨機(jī)數(shù)值.( )
（7）隨機(jī)變量的均值相同，則兩個分布也一定相同.( )
（8）若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=np.( )
2．已知隨機(jī)變量的分布列為，、、，則隨機(jī)變量的期望為（ ）
A． B． C． D．
3．若隨機(jī)變量的概率分布列如下表：
0 2 4
0.3 0.2 0.5
則等于（ ）
A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2
4．隨機(jī)拋擲一枚骰子，則所得骰子點(diǎn)數(shù)的期望為（ ）
A．0.6 B．1 C．3.5 D．2
5．某人進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)成功，則停止實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)失敗，再重新實(shí)驗(yàn)一次，若實(shí)驗(yàn)3次均失敗，則放棄實(shí)驗(yàn)，若此人每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為，則此人實(shí)驗(yàn)次數(shù)的期望是（ ）
A． B． C． D．
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
對于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率.但在實(shí)際問題中，有時我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征.
例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學(xué)成績的方差.
本節(jié)課我們一起來認(rèn)識離散型隨機(jī)變量的均值.
離散型隨機(jī)變量的分布列全面地刻畫了這個隨機(jī)變量的取值規(guī)律，但在解決有些實(shí)際問題時，直接使用分布列并不方便．例如，要比較不同班級某次考試成績，通常會比較平均成績；要比較兩名射箭運(yùn)動員的射箭水平，一般會比較他們射箭的成績（平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù)）以及穩(wěn)定性．因此，類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機(jī)變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征．
【設(shè)計(jì)意圖】通過談話直接點(diǎn)明本節(jié)課題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的.
問題1甲、乙兩名射箭運(yùn)動員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表7.3-1所示．
表7.3-1
環(huán)數(shù)X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比較他們射箭水平的高低呢？
【師生活動】：教師提出問題1，讓學(xué)生思考、討論、交流.
在學(xué)生討論交流的同時，教師可以巡視指導(dǎo)，提示學(xué)生：由于射擊環(huán)數(shù)所占的權(quán)重不同，在用數(shù)學(xué)方法解決這一問題時要考慮權(quán)重問題.
在學(xué)生充分交流討論后，師生共同得出：
類似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性．
假設(shè)甲射箭次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為，，，．甲次射箭射中的平均環(huán)數(shù)為
．
當(dāng)足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以穩(wěn)定于
．
即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值（理論平均值）為9，這個平均值的大小可以反映甲運(yùn)動員的射箭水平．
同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為
．
從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高．
求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：
（1）理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值；
（2）求出X取每個值時的概率；
（3）寫出X的分布列(有時也可省略)；
（4）利用定義公式求出均值
探究2. 已知X是一個隨機(jī)變量，且分布列如下表所示.
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表7.3-2所示，
表7.3-2
…
…
則稱
為隨機(jī)變量X的均值（mean）或數(shù)學(xué)期望（mathematical expectation），數(shù)學(xué)期望簡稱期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．
【設(shè)計(jì)意圖】通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考，積極參與互動，說出自己的見解，從而引出離散型隨機(jī)變量均值的概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).
例1 在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？
【師生活動】教師先讓學(xué)生思考，然后引導(dǎo)學(xué)生分析：
分析：罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果，命中時，不中時，因此隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布．的均值反映了該運(yùn)動員罰球1次的平均得分水平．
解：因?yàn)?br/>，．
所以
．
即該運(yùn)動員罰球1次得分X的均值是0.8．
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，那么
【設(shè)計(jì)意圖】通過例1，鞏固離散型隨機(jī)變量均值的概念，同時引出兩點(diǎn)分布均值的公式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).
例2 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，求X的均值．
分析：先求出X的分布列，再根據(jù)定義計(jì)算X的均值．
解：X的分布列為
，．
因此
．
觀察：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)的均值為3.5．隨機(jī)模擬這個試驗(yàn)，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并計(jì)算平均數(shù)．根據(jù)觀測值的平均數(shù)（樣本均值）繪制統(tǒng)計(jì)圖，分別如圖7.3-1（1）和（2）所示．觀察圖形，在兩組試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別？
觀察圖7.3-1可以發(fā)現(xiàn)：在這12組擲骰子試驗(yàn)中，樣本均值各不相同，但它們都在擲出點(diǎn)數(shù)X的均值3.5附近波動，且重復(fù)擲300次的樣本均值波動幅度明顯小于重復(fù)60次的．
事實(shí)上，隨機(jī)變量的均值是一個確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機(jī)性，它圍繞隨機(jī)變量的均值波動．隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小．因此，我們常用隨機(jī)變量的觀測值的均值去估計(jì)隨機(jī)變量的均值．
【設(shè)計(jì)意圖】通過例2，歸納出求離散型隨機(jī)變量均值的步驟，規(guī)范學(xué)生求均值的思維過程.
思考：隨機(jī)變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別？
探究：如果是一個離散型隨機(jī)變量，將進(jìn)行平移或伸縮后，其均值會怎樣變化 即和(其中為常數(shù))分別與有怎樣的關(guān)系
【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察、思考、類比，從特殊例子歸納猜想，得出離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)的一般規(guī)律.意在使學(xué)生的思維遵循認(rèn)識問題的一般規(guī)律，也為培養(yǎng)學(xué)生善于觀察思考，發(fā)現(xiàn)新問題、新知識，勇于探索，追求真理的思維習(xí)慣和科學(xué)精神.
設(shè)的分布列為
．
根據(jù)隨機(jī)變量均值的定義
類似地，可以證明
．
你能給出證明嗎？
．
一般地，下面的結(jié)論成立：
．
【設(shè)計(jì)意圖】離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
若X，Y是兩個隨機(jī)變量，且Y=aX+b，則有E(Y)=aE(X)+b，即隨機(jī)變量X的線性函數(shù)的均值等于這個隨機(jī)變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:
（1）當(dāng)a=0時，E(b)=b，即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.
（2）當(dāng)a=1時，E(X+b)=E(X)+b，即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)的和.
（3）當(dāng)b=0時，E(aX)=aE(X)，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機(jī)變量的均值的乘積.
環(huán)節(jié)四 辨析理解 深化概念
例3猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基金如表7.3-3所示．
表7.3-3
歌曲 A B C
猜對的概率 0.8 0.6 0.4
獲得的公益基金額/元 1000 2000 3000
規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值．
【師生活動】教師指出：這是一個概率決策問題，也稱為風(fēng)險(xiǎn)決策，并提出思考問題:我們?nèi)绾卫脭?shù)學(xué)方法進(jìn)行決策？
學(xué)生思考后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析本例題：
思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個順序獲得的公益基金均值最大？
【師生活動】
教師指出：選擇不同的猜歌順序，X的分布列是不同的，不能直接進(jìn)行比較，所以決策的原則是選擇期望值E(X)大的猜歌順序，這稱為期望值原則.猜對的概率大表示比較容易猜，猜對的概率小表示比較難猜.
教師要求學(xué)生列出所有不同的猜歌順序，分別求出X的分布列和均值，通過比較進(jìn)行驗(yàn)證.
分析：根據(jù)規(guī)則，公益基金總額X的可能取值有四種情況：猜錯A，獲得0元基金；猜對A而猜錯B，獲得1000元基金；猜對A和B而猜錯C，獲得3000元基金；A，B，C全部猜對，獲得6000元基金．因此X是一個離散型隨機(jī)變量．利用獨(dú)立條件下的乘法公式可求分布列．
解：分別用A，B，C表示猜對歌曲A，B，C歌名的事件，則A，B，C相互獨(dú)立．
，，
，．
的分布列如表7.3-4所示．
表7.3-4
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
的均值為
如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個順序獲得的公益基金均值最大？
【設(shè)計(jì)意圖】通過解決實(shí)際問題，了解風(fēng)險(xiǎn)決策的原則及一般方法.對于例3，選擇不同的猜歌順序，X的分布列是不同的，不能直接進(jìn)行比較，所以決策的原則是選擇期望值E(X)大的猜歌順序，這稱為期望值原則．猜對的概率大表示比較容易猜，猜對的概率小表示比較難猜．對于教科書邊空中的問題，可以讓學(xué)生列出所有不同的猜歌順序，分別求出X的分布列和均值，通過比較進(jìn)行驗(yàn)證．實(shí)際上，猜3首歌有6 種不同的順序，不同順序及其E(X)如表所示．
環(huán)節(jié)五 概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
例4根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01．該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元．為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：
方案1 運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；
方案2 建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；
方案3 不采取措施．
工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？
分析：決策目標(biāo)為總損失（投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和）越小越好．根據(jù)題意，各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表7.3-5所示．
表7.3-5
天氣狀況
大洪水 小洪水 沒有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
總損失/元 方案1 3800 3800 3800
方案2 62000 2000 2000
方案3 60000 10000 0
方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量，可以采用期望總損失最小的方案．
解：設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為，，．
采用方案1，無論有無洪水，都損失3800元．因此，
．
采用方案2，遇到大洪水，總損失為元；沒有大洪水時，總損失為2000元．因此，
，
采用方案 3，
，，，
于是，，
，
．
因此，從期望損失最小的角度，應(yīng)采取方案2．
教師最后指出：值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來理解“期望總損失”：如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采用方案2將會使總損失減到最小.不過，因?yàn)楹樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.
【設(shè)計(jì)意圖】例4也是利用期望值決策的問題．在教學(xué)中，重點(diǎn)是使學(xué)生領(lǐng)悟利用期望值決策的思想方法，同時也要了解期望值決策的局限性．隨機(jī)變量的期望是一個理論上的均值，如果是大量重復(fù)地就同樣的問題進(jìn)行決策，期望值原則是一個合理的決策原則．例如，保險(xiǎn)公司面對眾多的客戶，每份保單需要理賠金額的期望值對制定合理的保險(xiǎn)費(fèi)率具有重要的參考意義．如果是一次性決策的話，可以采用期望值原則決策，也可以采用其他的決策原則．
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié)，反思提升
1. 本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？
（1）離散型隨機(jī)變量的均值：期望的概念：E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
（2）離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)：期望的計(jì)算公式：E(aX+b)=aE(X)+b
（3）兩點(diǎn)分布的均值：特殊隨機(jī)變量的均值(兩點(diǎn)分布的期望)：E(X)=p.
2.求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：
（1）確定取值：理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值；
（2）求概率：求出X取每個值時的概率；
（3）寫分布列：寫出X的分布列(有時也可省略)；
（4）求均值：利用定義公式求出均值
3.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？
（1）方法歸納：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化化歸．
（2）常見誤區(qū)：不會應(yīng)用均值對實(shí)際問題作出正確分析．
【設(shè)計(jì)意圖】采用師生共同歸納小結(jié)的方式，深化學(xué)生對 基礎(chǔ)概念、基本理論的理解，同時培養(yǎng)學(xué)生宏觀掌握知識的 能力.除了注重知識，還注重引導(dǎo)學(xué)生對解題思路和方法的 總結(jié)，可切實(shí)提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，并讓學(xué) 生養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和習(xí)慣.
環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置
P66-67練習(xí)1、2、3題
P71習(xí)題7.3的2、3、4、6題
備用練習(xí)
6．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：
X 1 2 3
P
則數(shù)學(xué)期望（ ）
A． B． C．1 D．2
7．不透明袋子中裝有大小、材質(zhì)完全相同的2個紅球和5個黑球，現(xiàn)從中逐個不放回地摸出小球，直到取出所有紅球?yàn)橹梗瑒t摸取次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是（ ）
A． B． C． D．
8．隨機(jī)變量的分布列如下表，其中，，成等差數(shù)列，且，
1 2 3
則（ ）
A． B． C．2 D．
9．若隨機(jī)變量X的分布列為
X 1 2 3
P a b a
則X的數(shù)學(xué)期望（ ）
A． B． C．2 D．3
10．已知隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 2 4
P 0.4 0.3 0.3
則等于（ ）
A．13 B．11
C．2.2 D．2.3
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 錯誤 正確 正確 錯誤 錯誤 錯誤 錯誤
【分析】由隨機(jī)變量均值的概念及性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可.
【詳解】（1）隨機(jī)變量X的均值E(X)是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，故（1）錯誤；
（2）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，故（2）錯誤；
（3）若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝2，則E(2X)＝2 E(X)=4，故（3）正確；
（4）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則,故（4）正確；
（5）隨機(jī)變量的均值不是通過一次或多次試驗(yàn)就可以得到，而是在大量的重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出來的相對穩(wěn)定的值，與樣本的平均值不同，故（5）錯誤；
（6）離散型隨機(jī)變量的均值E(X)是一個穩(wěn)定的數(shù)值，故（6）錯誤；.
（7）隨機(jī)變量的均值相同，則兩個分布不一定相同，故（7）錯誤；
（8）若X服從兩點(diǎn)分布，則，故（8）錯誤；
故答案為：（1）錯誤（2）錯誤（3）正確（4）正確（5）錯誤（6）錯誤（7）錯誤（8）錯誤.
2．A
【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的期望公式，求出的值即可.
【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為，、、，
所以隨機(jī)變量的期望.
故選：A.
3．A
【分析】先求出，再根據(jù)均值的性質(zhì)可求出.
【詳解】據(jù)題意，得，
所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分布列求離散型隨機(jī)變量的均值，以及根據(jù)均值求新的均值.
4．C
【分析】寫出分布列，然后利用期望公式求解即可．
【詳解】拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)的分布列為
1 2 3 4 5 6
所以．故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．
5．B
【分析】列出實(shí)驗(yàn)次數(shù)的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)計(jì)算公式即可求解.
【詳解】由題意可得，每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為，則失敗的概率為，
，
，
則實(shí)驗(yàn)次數(shù)的分布列如下：


所以此人實(shí)驗(yàn)次數(shù)的期望是.
故選：B
6．D
【分析】利用已知條件，結(jié)合期望公式求解即可．
【詳解】解：由題意可知：．
故選：D．
7．D
【分析】由題意，根據(jù)離散型分布列的計(jì)算步驟，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，可得答案.
【詳解】當(dāng)時，第次取出的必然是紅球，而前次中，有且只有1次取出的是紅球，其余次數(shù)取出的皆為黑球，故，于是得到X的分布列為：
故
故選：D.
8．A
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及，，成等差數(shù)列,列方程組求出,再求數(shù)學(xué)期望即可.
【詳解】由，得，則．
故選:A.
9．C
【分析】由期望公式可知，而總體的概率，即可求得
【詳解】由
∴，而
∴
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了概率，理解期望的含義，利用期望公式求離散型變量的期望，并根據(jù)樣本總體概率為1求期望值
10．A
【分析】由數(shù)學(xué)期望公式求出，再由數(shù)學(xué)的期望的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：A.
答案第1頁，共2頁
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