資源簡介

7.3.2離散型隨機變量的方差 導學案
學習目標
1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.
2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.
3.掌握方差的性質以及兩點分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．
重點難點
1.重點：離散型隨機變量的方差、標準差的概念及其應用.
2.難點：利用離散型隨機變量的方差、標準差解決一些實際問題.
課前預習 自主梳理
知識點一　離散型隨機變量的方差、標準差
正確求解隨機變量的方差的關鍵是正確求解分布列及其期望值
設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱
D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi
為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱為隨機變量X的標準差，記為σ(X)．
知識點二　離散型隨機變量方差的性質
(1)設a，b為常數，則D(aX＋b)＝a2D(X)．
(2)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．
（3）D(c)＝0(其中c為常數)．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”．
（1）離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩定．( )
（2）若a是常數，則. ( )
（3）離散型隨機變量的方差反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．( )
（4） 若a，b為常數，則.( )
（5）離散型隨機變量的方差與標準差的單位是相同的. ( )
（多選）
2．（多選）下列說法中錯誤的是（ ）
A．離散型隨機變量的均值反映了取值的概率的平均值
B．離散型隨機變量的方差反映了取值的平均水平
C．離散型隨機變量的均值反映了取值的平均水平
D．離散型隨機變量的方差反映了取值的概率的平均值
3．已知，則（ ）
A．2 B． C． D．
4．隨機變量的分布列是
1 2
若，則（ ）
A．1 B．4 C． D．
5．已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時間互不影響，經統計，甲、乙一個月內從家中到工作單位所用時間在各個時間段內的頻率如下：
時間/分鐘 10~20 20~30 30~40 40~50
甲的頻率 0.1 0.4 0.2 0.3
乙的頻率 0 0.3 0.6 0.1
某日工作單位接到一項任務，需要甲在30分鐘內到達，乙在40分鐘內到達，用表示甲、乙兩人在要求時間內從家中到達單位的人數，用頻率估計概率，則的數學期望和方差分別是（ ）
A． B．
C． D．
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
引導語：離散型隨機變量的分布列全面地刻畫了這個隨機變量的取值規律.但在解決有些實際問題時，直接使用分布列并不方便.
例如，要比較不同班級某次考試成績，通常會比較平均成績;要比較兩名射箭運動員的射箭水平，一般會比較他們射箭的成績(平均環數或總環數)以及穩定性.
因此，類似于研究一組數據的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機變量的均值和方差，它們統稱為隨機變量的數字特征.
隨機變量的均值是一個重要的數字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”．因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小．所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數字特征．
【設計意圖】通過談話，引入課題.
探究1：從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽．根據以往的成績記錄，甲、乙兩名
同學擊中目標靶的環數X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示．
表7.3-6 表7.3-7
X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何評價這兩名同學的射擊水平？
【師生活動】教師提出探究問題，引導學生分析.
師：能不能用我們上一節課學習的均值分析這一問題？同學們嘗試一下.
學生運算求解，求出甲、乙兩名同學擊中目標靶的環數的均值.
通過計算可得，，．
因為兩個均值相等，所以根據均值不能區分這兩名同學的射擊水平．
追問1：平均水平相同，是不是這兩名同學的射擊水平就沒有差距呢？我們還能不能從其他角度進一步考察這兩名同學的射擊水平呢？
評價射擊水平，除了要了解擊中環數的均值外，還要考慮穩定性，即擊中環數的離散程度．圖7.3-2和圖7.3-3分別是X和Y的概率分布圖，比較兩個圖形，可以發現乙同學的射擊成績更集中于8環，即乙同學的射擊成績更穩定．
追問2：從圖中你能發現什么？
發現乙同學的射擊成績更集中于8環，即乙同學的射擊成績更穩定.
追問3：上面的結論我們是通過觀察概率分布圖直觀得到的，怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度？
【設計意圖】通過具體的問題情境，讓學生積極思考、參與互動，從而引入離散型隨機變量的方差的概念，發展學生的邏輯推理、數學運算和數學抽象核心素養.通過問題1、問題2，為引入離散型隨機變量的方差的概念作準備.
環節二 觀察分析，感知概念
設離散型隨機變量X的分布列如表7.3-8所示．
表7.3-8
…
…
考慮所有可能取值與的偏差的平方，，……，．因為取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量取值與其均值的偏離程度．我們稱
為隨機變量的方差（variance），有時也記為，并稱為隨機變量的標準差（standard deviation），記為．
隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度．方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散．
教師提問：我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數據的離散程度，它是通過計算所有數據與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現的.一個自然的想法是，隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢？
學生討論，得出：可以用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度.
【設計意圖】讓學生經歷離散型隨機變量的方差概念的建構過程，進一步體會從特殊到一般的思想，培養學生歸納、類比等合情推理的能力，提升數學抽象、邏輯推理等核心素養.
環節三 抽象概括，形成概念
現在，可以用兩名同學射擊成績的方差和標準差來刻畫他們射擊成績的穩定性．由方差和標準差的定義，兩名同學射擊成績的方差和標準差分別為
，；
，．
因為（等價地，），所以隨機變量的取值相對更集中，即乙同學的射擊成績相對更穩定．
在方差的計算中，利用下面的結論經常可以使計算簡化．
．
【設計意圖】讓學生利用方差和標準差的定義求解探究1提出的問題，學以致用，提高學生的應用意識.
問題3：方差的計算可以簡化嗎？
教師提出問題，先讓學生思考，再出示簡化的結果.
方差描述隨機變量取值的離散程度，了解方差的性質，除了簡化計算外，還有助于更好地理解其本質．
探究：離散型隨機變量加上一個常數，方差會有怎樣的變化？離散型隨機變量乘以一個常數，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質有什么不同？
【設計意圖】有助于學生更好地理解方差的本質.
探究2：離散型隨機變量X加上一個常數，方差會有怎樣變化？離散型隨機變量X乘一個常數，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質有什么不同？
【師生活動】教師提出問題，讓學生充分思考、討論、交流.在此基礎上，找幾名學生代表分享討論交流的結果.
學生發言后，教師進行評價指導，最后共同得出結論.
環節四 辨析理解 深化概念
離散型隨機變量加上一個常數，僅僅使的值產生一個平移，不改變與其均值的離散程度，方差保持不變，即
而離散型隨機變量乘以一個常數，其方差變為原方差的倍，即
一般地，可以證明下面的結論成立：
【設計意圖】類比均值的性質，推導得出方差的性質.根據學生的情況，教師可以引導學生用方差的定義證明這一結論，提高學生的邏輯推理核心素養.
環節五 概念應用，鞏固內化
例5 拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數的方差．
解：隨機變量的分布列為
．
因為
，．
所以
．
【設計意圖】通過例題，提升對概念精細化的理解.讓學生掌握方差的算法，發展學生的邏輯推理、直觀想象、數學抽象和數學運算核心素養.
例6 投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表7.3-9和表7.3-10所示．
表7.3-9股票A收益的分布列 表7.3-10股票B收益的分布列
收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2
概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.3 0.4 0.3
（1）投資哪種股票的期望收益大？
（2）投資哪種股票的風險較高？
【師生活動】教師提問：你能用我們所學的知識分析、解決這一生活中的實際問題嗎？
教師可以引導分析第(2)問，我們如何衡量投資風險的高低？
分析：股票投資收益是隨機變量，期望收益就是隨機變量的均值．投資風險是指收益的不確定性，在兩種股票期望收益相差不大的情況下，可以用收益的方差來度量它們的投資風險高低，方差越大風險越高，方差越小風險越低．
解：（1）股票A和股票B投資收益的期望分別為
，．
因為，所以投資股票A的期望收益較大．
（2）股票A和股票B投資收益的方差分別為
，．
因為和相差不大，且，所以投資股票A比投資股票B的風險高．
在實際中，可以選擇適當的比例投資兩種股票，使期望收益最大或風險最小．
隨機變量的方差是一個重要的數字特征，它刻畫了隨機變量的取值與其均值的偏離程度，或者說反映隨機變量取值的離散程度．在不同的實際問題背景中，方差可以有不同的解釋．例如，如果隨機變量是某項技能的測試成績，那么方差的大小反映了技能的穩定性；如果隨機變量是加工某種產品的誤差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果隨機變量是風險投資的收益，那么方差的大小反映了投資風險的高低；等等．
【設計意圖】例6是綜合利用均值和方差比較投資兩種股票收益的問題，目的是使學生了解在實際問題中均值和方差的意義.在這個問題中，均值表示平均收益，方差表示風險(不確定性).在教學中，可以提供更多不同背景的實際問題，幫助學生了解均值、方差的意義.師生共同歸納總結利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟：
(1)比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高.
在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差，分析一下誰的水平發揮相對穩定.
(3)下結論.依據均值和方差給出結論.
環節六 歸納總結，反思提升
1.離散型隨機變量的方差是如何定義的？我們是如何得出隨機變量方差公式的？
2.在計算離散型隨機變量的方差時，我們如何選擇公式簡化運算？
3.如何利用方差和標準差分析、解決生活中的實際問題？
【設計意圖】通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：教材第70頁練習第1 3題.
備用練習
6．已知隨機變量X的分布列如圖所示，若Y＝3X＋2，則（ ）
X 0 1
P
A． B．2 C． D．4
7．若隨機變量的分布列如下表所示，則（ ）
0 1
A． B． C． D．
8．某高科技公司所有雇員的工資情況如下表所示．
年薪（萬元） 135 95 80 70 60 52 40 31
人數 1 1 2 1 3 4 1 12
該公司雇員年薪的標準差約為（ ）
A．24.5（萬元） B．25.5（萬元） C．26.5（萬元） D．27.5（萬元）
9．已知隨機變量的分布列如下表，則下列方差值最大的是（ ）
0 1
A． B． C． D．
10．若隨機變量X的分布列為P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，則D(X)的最小值等于（ ）
A．0 B．1
C．4 D．2
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 正確 正確 錯誤 錯誤
【分析】利用隨機變量方差、標準差的意義，方差的性質依次判斷各個命題即得.
【詳解】（1）離散型隨機變量的方差越大，隨機變量波動越大，越不穩定，（1）錯誤；
（2）若a是常數，則，（2）正確；
（3）離散型隨機變量的方差反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度，（3）正確；
（4）若a，b為常數，則，即，（4）錯誤；
（5）離散型隨機變量的方差與標準差的單位不相同，（5）錯誤.
故答案為：錯誤；正確；正確；錯誤；錯誤
2．ABD
【分析】由均值和方差的定義，均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，即可判斷A、C是否正確；方差反映了隨機變量取值的集中分散情況，即可判斷B、D是否正確；即可得答案．
【詳解】離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，故C正確，A錯誤；
離散型隨機變量的方差反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度，故B、D錯誤.
故選：ABD．
3．C
【分析】直接根據方差的運算性質即可得結果.
【詳解】．
故選：C.
4．D
【分析】根據以及求得，進而求得.
【詳解】依題意①，
，整理得②，
由①②解得，且.
所以.
故選：D
5．D
【分析】設事件表示甲在規定的時間內到達，表示乙在規定的時間內到達，由題求出事件的概率，分析的值 ，求出對應值的概率，然后求出數學期望及方差即可.
【詳解】設事件表示甲在規定的時間內到達，表示乙在規定的時間內到達，，相互獨立，
，
，
，
．
故選：D.
6．B
【分析】首先計算，再根據方差公式，即可求解.
【詳解】由分布列可知，，
則，
，所以.
故選：B
7．D
【分析】由概率分布列的性質求得q的值，進而利用分布列求得期望，再計算方差即可.
【詳解】由已知得解得或(舍),
隨機變量的分布列為
0 1
∴,
,
故選：D.
8．B
【分析】先求出年薪的平均數，然后由方差的計算公式求出年薪的方差，再求解標準差即可．
【詳解】年薪的平均數為萬元，
所以該公司雇員年薪的方差約為，
所以該公司雇員年薪的標準差約為（萬元）．
故選：B
9．B
【分析】由已知可得，即可根據方差公式分別計算求解.
【詳解】由分布列的性質得，得，
可得，
，
則，，
，.
綜上，的值最大.
故選：B.
10．A
【分析】由分布列的性質求出，進而根據期望的概念得到m＝6－2n，然后結合方差的概念得到D(X)，進而可以求出結果.
【詳解】由分布列的性質，得，.
∵E(X)＝2，∴.∴m＝6－2n.
∴D(X)＝
∴n＝2時，D(X)取最小值0.
故選：A.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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