資源簡介

⒍ 怎樣證明兩線段相等與兩角相等
【重點解讀】
證明兩線段相等或兩角相等是中考命題中常見的一種題型，主要考查學生的分析問題能力、邏輯思維能力與推理能力，其綜合證明難度有所降低，但增加了探索的思維過程. 解決此類問題的關鍵是：正確運用所學幾何概念、公理、定理、性質、判定，正確添加輔助線，進行幾何證明的敘述.
⒈ 怎樣證明兩線段相等
證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質有：
⑴ 三角形①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對等邊；
②證明三角形全等：全等三角形的對應邊相等，全等形包括平移型、旋轉型、翻折型；
③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；
④線段中垂線性質：線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等；
⑤角平分線性質：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等；
⑥過三角形一邊的中點平行于另一邊的直線必平分第三邊；
⑵ 證特殊四邊形①平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分；
②矩形的對角線相等，菱形的四條邊都相等；
③等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等；
⑶ 圓①同圓或等圓的半徑相等；
②圓的軸對稱性（垂徑定理及其推論）：垂直于弦的直徑平分這條弦；
平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦；
③圓的旋轉不變性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都相等；
④從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；
⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；
等式性質：若a=b，則a－c=b－c；若，則a=b.
此外，也有通過計算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比
例的性質等證明線段相等.
⒉ 怎樣證明兩角相等
證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質有：
⑴ 同角（或等角）的余角、補角相等；
⑵ 證明兩直線平行，同位角、內錯角相等；
⑶ 到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；
⑷ 全等三角形、相似三角形的對應角相等；
⑸ 同一三角形中，等邊對等角，等腰三角形三線合一；
⑹ 平行四邊形的對角相等；等腰梯形同一底上的兩個角相等；
⑺ 同圓中，同弧或等弧所對的圓周角、圓心角相等；
⑻ 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角；
⑼ 從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角；
⑽ 圓的內接四邊形的一個外角等于它的內對角；
⑾ 通過計算證明兩角相等；
⑿ 等量代換，等式性質.
【典題精析】
例1已知：如圖，分別延長菱形ABCD的邊AB、AD到點E、F，使得BE＝DF，
連結EC、FC．求證：EC＝FC．
分析一 要證明EC＝FC，
可通過證明△BCE≌△DCF，條件為邊角邊
證明一 ∵菱形ABCD，∴BC=DC，∠ABC=∠ADC，
∴∠CBE=∠CDF (等角的補角相等)
又∵BE＝DF，
∴△BCE≌△DCF，
∴EC＝FC.
分析二 連結AC，證明△ACE≌△ACF，條件也為邊角邊
證明二 連結AC，∵菱形ABCD，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，（菱形的對角線平分一組對角）
∵BE=DF ∴AE=AF（等式性質），又AC=AC
∴△ACE≌△ACF，EC＝FC.
通過證三角形全等來證明兩線段（或兩角）相等是常用的方法，關鍵是根據已知條件及圖形找到對應的三角形和滿足全等的條件，圖形有的翻折全等，有的旋轉全等，有的平移全等，有的是三者的綜合形式，該問題是翻折型全等.
例2已知：AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，過點C作直線CD⊥AB
于點D，E是AB上一點，直線CE與⊙O交于點F，連結AF，與直線CD交于點G.
求證：⑴∠ACD=∠F；⑵AC2=AG·AF.
分析 要證明∠ACD=∠F，可通過角之間的轉化，
已知中AB是⊙O的直徑是關鍵的條件，
連結BC，得∠ACB=90°，
∠ACD=∠B（直角三角形母子三角形中的對應角相等），
∠F=∠B，（同弧所對的圓周角相等）.
證明：⑴連結BC，∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角為直角），
即∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°，∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）
∵∠F=∠B，∴∠ACD=∠F（等量代換）.
⑵略
證明線段相等或角相等時，如果沒有三角形全等，我們常找與它們都相關或都有聯
系的線段或角作為橋梁，實現線段之間的轉化或角之間的轉化，從而證明它們的等量關系. 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的線段要熟悉.
例3已知：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，過點A的切線與CD的延長線交于E，
且∠ADE=∠BDC. ⑴求證：△ABC為等腰三角形；
⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的長.
分析 條件∠ADE=∠BDC的轉化：
∠ADE=∠ABC，（圓的內接四邊形的外角等于內對角）
∠BDC =∠BAC（同弧所對的圓周角相等），
可得∠ABC=∠BAC，△ABC為等腰三角形.
證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠ADE=∠ABC，
∵∠BDC =∠BAC，又∵∠ADE=∠BDC
∴∠ABC=∠BAC ∴CA=CB（等角對等邊）
即△ABC為等腰三角形 .
例4已知：如圖，正△ABC的邊長為a, D為AC邊上的一個動點，延長AB至E
使BE=CD，連結DE，交BC于點P.
⑴ 求證：DP=PE；
⑵ 若D為AC的中點，求BP的長.（略）
分析 要證明DP=PE，DP、PE不在同一三角形中，
考慮證三角形全等，但兩線段居于的三角形不全等，
故考慮添加輔助線——平行線，構筑全等的三角形.
⑴ 證明：過點D作DF∥AB，交BC于F
∵△ABC為正三角形 ∴∠CDF=∠A=60°
∴△CDF為正三角形，DF=CD
又BE=CD，∴BE=DF 又DF∥AB，∴ ∠PEB=∠PDF
在△DFP和△EBP中，有：∠PEB=∠PDF，∠BPE=∠FPD，BE=FD
∴△DFP≌△EBP，
∴DP=PE.
添加輔助線是幾何證明和計算中常用的方法，通常有作平行線、作垂線、連結兩點、延長線段相交等，正確添加輔助線是解決問題的關鍵.
該問題中添加平行線有多種方法，可以自所證線段的各分點處作平行線，如：過點D作DF∥BC，過點E作EF∥AC等.
思考：若將條件正△ABC改為等腰△ABC，AB=AC，結論DP=PE是否仍成立？
若將條件正△ABC改為等腰△ABC，CA=CB，結論DP=PE是否仍成立？
例5已知：△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，
求證：⑴G是CE的中點；⑵∠B=2∠BCE.
分析：⑴已知中多垂直和中線條件，
可聯想直角三角形斜邊上的中線性質；
要證明G是CE的中點，結合已知條件DG⊥CE，
符合等腰三角形三線合一中的兩個條件，
故連結DE，證明△DCE是等腰三角形，由DG⊥CE，
可得G是CE的中點.
⑵由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，BE=DE，∠B轉化為∠EDB.
證明：⑴連結DE，
∵∠ADB=90°，E是AB的中點，
∴DE=AE=BE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
又∵DC=BE，∴DC=DE，
又∵DG⊥CE，
∴G是CE中點（等腰三角形底邊上的高平分底邊）.
⑵∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC（等邊對等角），
∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE（三角形的外角等于兩不相鄰內角的和），
又∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE
直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性質有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等腰三角形三線合一的性質通常有以下變形形式：已知等腰和高、已知頂角平分線和高、已知等腰和底邊中線. 特殊三角形與線段和角的相等、線段和角的倍半關系有著密切關系.
例6如圖，⊙O的內接△ABC的外角∠ACE的平分線交⊙O于點D，DF⊥AC，垂足為F，DE⊥BC，垂足為E，給出下列4個結論：
①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切線；④=；
其中一定成立的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D . ①②④
分析 ①可證得△CDF≌△CDE，得CE=CF成立；
②∠ACB和∠EDF（無直接關系，找相關的角）：∠ACB與∠ACE鄰角互補，∠EDF也和∠ACE互補(四邊形的內角和360°)，同角的補角相等，即∠ACB=∠EDF；
④所對的圓周角為∠DCA，所對的圓周角為∠DAB，∵∠DAB=∠DCE（四邊形的外角等于不相鄰的內角），又∠DCA=∠DCE ，∴∠DCA=∠DCE，
=，故選D.
一般的，證明線段相等或角相等，可根據條件尋找三角形，證三角形全等；無三角形全等時，可找與之相關連的線段或角，探索等量關系；證明弧相等，可以轉化為證明弧所對的圓周角或圓心角相等，即轉化為證明角相等的問題.
【智能巧練】
⒈ ⑴如圖，△ABC中，∠B的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，則∠D與
∠A的比是________

⑵如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP＇重合. 如果AP=3，那么PP＇的長為_______.
⒉ ⑴如圖，∠B、∠C的平分線交于點P，過點P作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，則( )
A. EF=EB+FC B. EF>EB+FC
C. EF⑵在Rt△ABC中，AF是斜邊BC上的高線，且BD=DC=FC=1，則AC的長為（ ）
A. B. C . D.

⒉⑴ ⒉⑵
⑶在△ABC中，∠B=2∠C，則（ ）
A. 2AB=AC B. 2AB>AC C. 2AB⑷在⊙O中，如果，那么弦AB與CD的大小關系是( )
A. AB=2CD B. AB>2CD C. AB<2CD D. 不能確定
⒊ 如圖，已知：平行四邊形ABCD中，E是CA延長線上的點，
F是AC延長線上的點，且AE=CF
求證：⑴∠E=∠F；
⑵BE=DF
⒋ 如圖，△ABC中，高BD、CE交于點F，且CG=AB，BF=AC，連接AF，
求證：AG⊥AF

第4題 第5題 第6題
⒌ Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC上任意一點，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分別為F、E，M為BC中點，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并說明之.
⒍ 如圖，AB是⊙O的直徑，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足為D，CE⊥AB，垂足E
求證：CD=CE.
⒎ 已知：如圖，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D. 延長DA交△ABC的外接圓于點F.
⑴求證：FB=FC；
⑵若，求FB的長.

第7題 第8題
⒏ 梯形ABCD中AB//CD，對角線AC、BD垂直相交于H，M是AD上的點，MH所
在直線交BC于N. 在以上前提下，試將下列設定中的兩個作為題設，另一個作為結論
組成一個正確的命題，并證明這個命題. ①AD=BC ②MN⊥BC ③AM=DM
【探索創新】
⒈ 探求：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和，
并證明：距離之和是一個定值
已知：如圖，AB=AC，P為BC上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
探求證明：PE＋PF為定值.
分析 探索定值
由P在BC上任意性知，當P移動到頂點C時，
PE即為C到AB的距離，PF為0，
此時PE+PF等于C到AB的距離.
故作高CD，猜想PE+PF等于一腰上的高.
證明定值
截長或補短法
過點P作PG⊥CD于G，易證得矩形DEPG，
得PE=DG；同時易證△CPG≌△PCF，得PF=CG，
∴PE+PF=DG+CG=CD.
面積法
題中有多個與高有關垂直關系，又AB=AC，聯想面積法
連結AP，AB·CD，AB·PE，AC·PF
∵=+，即AB·CD= AB·PE+ AC·PF
又AB=AC
∴PE＋PF= CD.
運用動點移動的方法構造特殊的圖形位置，是探索定值問題常用的行之有效的方法
⒉⑴求證：等腰三角形底邊延長線上的任意一點到兩腰的距離之差是定值
⑵求證：等邊三角形內任意一點到三邊的距離之和為定值
【答案點擊】
⒈⑴1∶2 ⑵； ⒉⑴A ⑵ ⑶B ⑷C； ⒊證明△ABE≌△CDF，或連結ED、FB，證明平行四邊形EBFD； ⒋證明△CAG≌△BFA，∴∠G=∠BAF，∵∠G+∠GAE=90°，∴∠BAF+∠GAE=90°，∴AG⊥AF； ⒌△MEF是等腰Rt△，連結AM，證△AME≌△BMF ⒍ 連結AC，由DC切⊙O于C，得OC⊥DC，∵AD⊥DC，∴AD//OC，可證得AC是∠DAB的角平分線，得CD=CE ⒎⑴∵∠DAC=∠FBC，∠EAD=∠FAB=∠FCB，∵∠DAC =∠EAD，∴∠FBC=∠FCB ⑵證明△FBA∽△FDB，得FB=6 ⒏題設①② 結論③ 證明略
⒎ 怎樣證明關于線段的幾何等式
【重點解讀】
線段的幾何等式，主要涉及線段的倍分關系式、和差關系式、比例式、等積式等.
證明線段倍分關系的定理和方法有：三角形和梯形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質、特殊四邊形的性質等；探索、證明線段的倍分關系式，一般轉化為證明線段的相等關系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法. 證明線段的和差關系式，一般思路將線段加長或截短，轉化為證明線段相等，利用等量代換或等式性質.
證明線段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四條線段放入兩個三角形，如果這兩個三角形相似，且所給線段是對應線段，則問題得證；如果找不到兩個三角形，或者找到的三角形不相似，可考慮將四條線段中的某些線段進行等量代換，再按上述方法探求證明；如果明顯沒有等量線段可替換，可找中間比.
證明線段等積式的一般思路：先看等積式是否滿足有關定理（射影定理、圓冪定理），如果滿足，則結論成立；如果不滿足，可把等積式化成比例式、或替換部分后化成比例式，再按比例式的證明方法證明.
證明過程中常用的定理和性質有：比例性質、相似三角形的判定和性質、射影定理、圓冪定理、平行線分線段成比例定理.
【典題精析】
例1已知：E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上的一點，且CE=DC，連結
AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC交BD于O，
連結OF，求證：AB=2OF. 分分析 題中平行四邊形條件可利用平行四邊形的性質，
且中點條件居多，可考慮用中位線
證明：連結BE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AO=CO，
∵CE=DC ∴AB∥＝CE，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∴BF=FC，∴OF∥AB，
∴AB=2OF
線段之間的倍分關系式，常聯想用中位線定理.
例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，
BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
求證：⑴若B、C兩點分別在AE的異側，BD=DE+CE；
⑵若B、C兩點分別在AE的同側，其余條件不變，則BD與DE、CE的關系如何，證明你的猜想.

分析 ⑴一條線段等于兩線段之和，這里可找到與BD相等的線段AE，
易證得△BAD≌△ACE，同時AD=CE，故BD=AE=AD+DE= CE + DE（等量代換），
問題得證.
⑵同理，易證得△BAD≌△ACE，故BD+CE=AE+AD=DE.
證明：略
例3如圖，△ABC內接于圓，D是弧BC的中點，AD交BC于E，
求證：
分析 要證明這四條線段成比例，
可放入兩三角形△ABD、△AEC，證三角形相似，
條件有兩個：∠D=∠C，
∠BAD=∠CAD（等弧所對的圓周角相等）
證明：∵D是弧BC的中點，
∴∠BAD=∠CAD
∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC ∴
例4已知：如圖，等腰△ABC的頂角為銳角，以腰AB為直徑的圓交BC于D，
交AC于E，DF⊥AC，垂足為F
求證：
分析一把線段放入兩個三角形中，
證兩三角形相似
證明一 連接AD、DE，
∵AB為直徑，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在△DEF和△ADF中，∠AFD=∠DFE=90°
∠DEF=∠ABC=∠C，∠ADF=90°－∠DAC=∠C，
∴∠DEF=∠ADF，∴△DEF∽△ADF，
∴，即.
分析二 由射影定理知，轉化為證明EF=FC
證明二 連結AD、DE，
∠ADC=∠DFC=90°，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，，即.
在△DEF和△DCF中，∠DFE=∠DFC=90°，
∠DEF=∠ABC=∠DCF，DF=DF，
∴△DEF≌△DCF，∴EF=FC，
∴
分析三 證明DF是切線，由切割線定理即得
證明三 連結OD，則OB=OD，∴∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD∥AC，
又DF⊥AC，∴OD⊥DF，DF是⊙O的切線，∴
解題時，要充分利用已知條件，已知條件中的特殊條件更要發掘其內涵，注意條件之間的內在聯系的運用.
例5已知：BC為圓O的直徑，AD⊥BC垂足為D，過點B作弦BF交AD于點E
交半圓O于點F，弦AC與BF交于點H，且A為弧BF的中點.
求證：⑴AE=BE
⑵AH·BC=2AB·BE.
分析
⑴AE、BE在同一三角形中，易證等角對等邊
⑵等積式中的四條線段分散在很多三角形中，
可將它們相對集中在兩三角形△AFH、△BCH中，
AB轉化為AF（等弧對等弦）；
系數2的思考：Rt△ABH中， AE=BE，反之易證BH=2BE
證明：⑴略，
⑵連結AF，
可證得△AFH∽△BCH，
，
又可證得AB=AF，
AE=EH=BE，BH=2BE，
∴，∴AH·BC=2AB·BE
例6如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為H，點P是上一點（點P不
與A、C兩點重合），連結PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，下列四個結論：
⑴ ⑵∠EPC=∠APD ⑶ ⑷
正確的有_____.
分析
⑴直徑AB垂直于弦CD，由圓的軸對稱性得；
⑵∠EPC是圓的內接四邊形的外角，∠EPC=∠ADC
∠ADC=∠APD（等弧所對的圓周角相等），∴∠EPC=∠APD；
⑶若成立，則△DAF∽△DPA，
但兩三角形顯然不相似（∠DAF≠∠DPA ），故⑶不成立；
⑷由圓內成比例線段知，⑷顯然成立；
∴正確的有⑴、⑵、⑷.
【智能巧練】
⒈ ⑴在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F是AC上的一動點，則EF+BF的最小值為_________.
⑵已知：O為△ABC內的一點，過點O作EF、GH、QP分別平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于點P、E、H、Q、F、G ，
則_______.
⒉ 選擇：
⑴如圖，將△ADE繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉90°，得△ABF，連接EF交AB于H，則下列結論錯誤的是（ ）
A. AE⊥AF B. EF∶AF=∶1 C. D. FB∶FC=HB∶EC

第⑴題 第⑵題 第⑶題
⑵如圖，正△ABC內接于⊙O，P是劣弧BC上任意一點，PA與BC交于E，
有如下結論:
①PA=PB+PC ②PA·PE=PB·PC ③
其中正確結論的個數有( )
A.3個 B.2個 C.1個 D.0個
⑶如圖，已知⊙與⊙外切于點C，AB是兩圓的外公切線，切點為A、B，分別延長AC、BC交⊙于點E，交⊙于點D，下列結論，正確的有（ ）個
①AD為⊙的直徑 ②AD∥BE ③AC·BC=DC·CE ④AC·AE=BC·BD
A.1 B.2 C.3 D.4
⒊ 已知：如圖，設D、E分別是△ABC外接圓的弧AB、AC的中點，弦DE交AB于點F，交AC于點G,
求證：AF·AG=DF·EG..

第3題 第4題
⒋ ⊙O的兩條割線AB、AC分別交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC圓于G.
求證：⑴AC·FG=BC·CG;
⑵若CF=AE，求證：△ABC是等腰三角形.
⒌ ⑴如圖，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不與B重
合），直線l交⊙O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連結AC、AD．
求證：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF．
⑵在問題⑴中，直線l向下平行移動，與⊙O相切，其他條件不變．
①請你畫出變化后的圖形，并對照圖，標記字母；
②問題⑴中的兩個結論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．
【探索創新】
已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于M，點E是上一動點.
⑴ 如圖1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，連結AD、CE，
求證：①∠CED=∠ADE ②=NF·NE
⑵ 如圖2，若DE與AC的延長線交于F，且DE=AC，那么=NF·NE的結論是否成立？若成立請證明，若不成立請說明理由.

圖1 圖2
⑴證明：①∵DE=AC，
∴，
∴∠CED=∠ADE
②連結CN
∴CN=DN， ∠NCF=∠ADE（圓的軸對稱性質）
∵∠CED=∠ADE，∠CNF=∠ENC
∴△NCE∽△NFC
∴，
∴=NF·NE
【答案點擊】
⒈⑴連接DF，由菱形的軸對稱性知DF=BF，要使EF+BF最小，必兩點之間線段最短，DE長就是，DE=3 ⑵1 ⒉⑴ B ⑵ B ⑶ D ⒊連接AD、AE，證△ADF∽△EAG ⒋連結CF，證△ACB∽△CGF ⒌⑴①略，②連結DF，可證得△ACE∽△AFD，⑵結論仍成立.

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