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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
浙江省24屆中考之函數(shù)綜合
1．設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+c（a，c是常數(shù)，a＜0），已知函數(shù)值y和自變量x的三對對應(yīng)值如表所示，若方程ax2+c﹣m＝0的一個正實數(shù)根為5．則下列結(jié)論正確的是（　　）
x … ﹣3 2 4 …
y … 0 p q …
A．m＞p＞0 B．m＜q＜0 C．p＞m＞0 D．q＜m＜0
2．若拋物線y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）經(jīng)過四個象限，則m的取值范圍是（　　）
A．m＜﹣3 B．﹣1＜m＜2 C．﹣3＜m＜0 D．﹣2＜m＜1
3．若ac≠0，若二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同點A（x1，0），B（x2，0），二次函數(shù)y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于兩個不同點C（x3，0），D（x4，0），則（　　）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1 C． D．
4．已知非負(fù)數(shù)a，b，c滿足a+b＝2，c﹣3a＝4，設(shè)S＝a2+b+c的最大值為m，最小值為n，則m﹣n的值為（　　）
A．9 B．8 C．1 D．
5．已知拋物線y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），拋物線與x軸交于（m，0），（n，0）兩點（m＜n），則m，n，x1，x2的大小關(guān)系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
6．對于一個函數(shù)：當(dāng)自變量x取a時，其函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個函數(shù)的不動點．若二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，則c的取值范圍是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
7．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點A滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點A叫做“整點”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整點”．拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于點M，N兩點，若該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點，則a的取值范圍是（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
8．已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）為拋物線y＝ax2﹣2ax+1（a為常數(shù)，a＞0）上的兩點，當(dāng)t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3時，（　　）
A．若t≤1，則y1＞y2 B．若y1＞y2，則t≤﹣1
C．若t≥﹣1，則y1＜y2 D．若y1＜y2，則t≥
9．已知拋物線y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的頂點為P（x0，y0），點A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在該拋物線上，當(dāng)y0≥0恒成立時，的最小值為（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
10．當(dāng)m≤x≤m+1時，函數(shù)y＝x2﹣4|x|+2的最大值為2，則m滿足的條件為（　　）
A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3
11．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+1，當(dāng)x＞4時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是 　 　．
12．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝2，則m＝　 　．
（2）若該函數(shù)圖象與x軸正半軸有且只有一個交點，則m的取值范圍是 　 　．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（0≤x≤7）與x軸的交點坐標(biāo)為（7，0），設(shè)該圖象上任意兩點的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，d為x1≤x≤x2時y的最大值與最小值的差．若x2﹣x1＝6，則d的取值范圍是　 　．
14．若關(guān)于x的方程x2﹣2kx+k﹣3＝0的一個實數(shù)根x1≥3，另一個實數(shù)根x2≤0，則關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣3圖象的頂點到x軸距離h的取值范圍是 　 　．
15．直線l1：y＝kx+2與y軸交于點A，直線l1繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l2，若直線l2與拋物線y＝x2+3x+2有唯一的公共點，則k＝　 　．
16．如圖，“愛心”圖案是由函數(shù)y＝﹣x2+6的部分圖象與其關(guān)于直線y＝x的對稱圖形組成．點A是直線y＝x上方“愛心”圖案上的任意一點，點B是其對稱點．若，則點A的坐標(biāo)是 　 　．
17．如圖，函數(shù)y＝的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．設(shè)t＝，則t的取值范圍是 　 　．
18．如圖所示，一場籃球比賽中，某籃球隊員甲的一次投籃命中，籃球運(yùn)行軌跡為拋物線的一部分．已知籃球出手位置點A與籃筐的水平距離為5m，籃筐距地面的高度為3m，當(dāng)籃球行進(jìn)的水平距離為3m時，籃球距地面的高度達(dá)到最大，為3.6m．
（1）求籃球出手位置點A的高度．
（2）若甲在乙攔截時，突然向后后退0.2m，再投籃命中（此時乙沒有反應(yīng)過來，置沒有移動），籃球運(yùn)行軌跡的形狀沒有變化，且籃球越過乙時，超過其攔截高度0.08m，求籃球出手位置的高度變化．
19．某款旅游紀(jì)念品很受游客喜愛，每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將紀(jì)念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？
（3）該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，求銷售單價x的范圍．
20．某景區(qū)旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/kg，不高于45元/kg．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（kg）與銷售價格x（元/kg）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤＝（銷售價格﹣采購價格）×銷售量】
21．無錫陽山是聞名遐邇的“中國水蜜桃之鄉(xiāng)”，每年6至8月，總會吸引大批游客前來品嘗，當(dāng)?shù)啬成碳覟榛仞侇櫩停瑑芍軆?nèi)將標(biāo)價為20元/千克的水蜜桃經(jīng)過兩次降價后變?yōu)?6.2元/千克，并且兩次降價的百分率相同．
（1）求水蜜桃每次降價的百分率；
（2）①從第一次降價的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的售價、銷量及儲存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示：
時間x/天 1≤x＜9 9≤x＜15
售價/（元/千克） 第1次降價后的價格 第2次降價后的價格
銷量/千克 105﹣3x 120﹣x
儲存和損耗費(fèi)用/元 40+3x 3x2﹣68x+300
已知該種水果的進(jìn)價為8.2元/千克，設(shè)銷售該水果第x（天）的利潤為y（元），求y與x（1≤x＜15）之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大？②在①的條件下，問這14天中有多少天的銷售利潤不低于930元，請直接寫出結(jié)果．
22．定義：由兩條與x軸有相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．
（1）拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與拋物線y2＝x2﹣3x+2是否圍成“月牙線”？說明理由．
(2)拋物線y1＝（x﹣1）2﹣2與拋物線組成一個如圖所示的“月牙線”，與x軸有相同的交點M，N（點M在點N的左側(cè)），與y軸的交點分別為A，B．
①求a：b：c的值．
②已知點P（x0，m）和點Q（x0，n）在“月牙線”上，m＞n，且m﹣n的值始終不大于2，求線段AB長的取值范圍．
23．在平面直角坐標(biāo)系中有且只有一個交點的兩個函數(shù)稱為“親密函數(shù)”，這個唯一的交點稱為他們的“密接點”．例如：y＝3x﹣1與y＝﹣x+3有且只有一個交點（1，2），則稱這兩個函數(shù)為“親密函數(shù)”，點（1，2）稱為他們的“密接點”．
（1）判斷下列幾組函數(shù)，是“親密函數(shù)”的在_____內(nèi)記“√”，不是“親密函數(shù)”的在______內(nèi)記“×”；
①y＝2x﹣1與y＝﹣x+2； 　 　
②與； 　 　
③y＝x2﹣x+1與y＝x． 　 　
（2）一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)（其中k，b為常數(shù)，k＞0是“親密函數(shù)”，且他們的“密接點”P到原點的距離等于3，求b的值．
（3）兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y＝x2+c的“親密函數(shù)”，且“密接點”分別為M，N．記直線l1與l2的交點的縱坐標(biāo)為m，直線MN與y軸的交點的縱坐標(biāo)為n．試判斷m與n的關(guān)系，并證明你的判斷．
24．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)
研究植物葉片的生長狀況
背景素材 大自然里有許多數(shù)學(xué)的奧秘．一片美麗的心形葉片可近似看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．
如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)心形葉片下部輪廓線可近似看作是二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx﹣20m+5圖象的一部分，且經(jīng)過原點．
心形葉片的對稱軸直線y＝x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，直線x＝6分別交拋物線和直線AB于點E、F點，點E、E′是葉片上的一對對稱點，EE′交直線AB與點G．
問題解決
任務(wù)1 確定心形葉片的形狀 求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)．
任務(wù)2 研究心形葉片的尺寸 求葉片此處的寬度EE′．
24屆中考強(qiáng)基班之函綜（一）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+c（a，c是常數(shù)，a＜0），已知函數(shù)值y和自變量x的三對對應(yīng)值如表所示，若方程ax2+c﹣m＝0的一個正實數(shù)根為5．則下列結(jié)論正確的是（　　）
x … ﹣3 2 4 …
y … 0 p q …
A．m＞p＞0 B．m＜q＜0 C．p＞m＞0 D．q＜m＜0
【分析】由表格數(shù)據(jù)和函數(shù)的對稱性，畫出函數(shù)的大致圖象即可求解．
【解答】解：由表格數(shù)據(jù)和函數(shù)的對稱性，畫出函數(shù)的大致圖象如下：
從圖象看m＜q＜0，
故選：B．
【點評】本題考查拋物線和x軸的交點，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答．
2．若拋物線y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）經(jīng)過四個象限，則m的取值范圍是（　　）
A．m＜﹣3 B．﹣1＜m＜2 C．﹣3＜m＜0 D．﹣2＜m＜1
【分析】拋物線y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）中，令y＝0，可得x1＝m，x2＝m+3，即該拋物線與x軸交點為（m，0 ）和（m+3，0），又拋物線過四個象限，故這兩點必須位于原點的左右兩側(cè)，故能得出正確答案．
【解答】解：令y＝0，得 （x﹣m）（x﹣m﹣3）＝0，
解得x1＝m，x2＝m+3，
∴拋物線與x軸的兩個交點為（m，0 ）和（m+3，0），
∵拋物線經(jīng)過四個象限，
∴（m，0 ）和（m+3，0）分別位于原點兩側(cè)，
即 m＜0＜m+3，
∴﹣3＜m＜0，
故選：C．
【點評】本題主要考查了求拋物線與x軸交點的方法，以及根據(jù)圖象性質(zhì)，確定交點的位置，由此得出不等式是本題的關(guān)鍵．
3．已知ac≠0，若二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），二次函數(shù)y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于兩個不同的點C（x3，0），D（x4，0），則（　　）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，x3+x4＝﹣，x3 x4＝，然后代入求值即可．
【解答】解：∵ac≠0，二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），二次函數(shù)y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于兩個不同的點C（x3，0），D（x4，0），
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0的根分別是：x1、x2、x3、x4．
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝，x3+x4＝﹣，x3 x4＝．
則：A、x1+x2+x3+x4＝﹣﹣＝﹣，所以等式x1+x2+x3+x4＝1不一定成立，不符合題意；
B、x1x2x3x4＝ ＝1，符合題意；
C、＝＝，所以等式不一定成立，不符合題意；
D、＝＝，所以等式不一定成立，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．
4．已知非負(fù)數(shù)a，b，c滿足a+b＝2，c﹣3a＝4，設(shè)S＝a2+b+c的最大值為m，最小值為n，則m﹣n的值為（　　）
A．9 B．8 C．1 D．
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范圍，再代入S整理成關(guān)于a的函數(shù)形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出m、n的值，再相減即可得解．
【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非負(fù)數(shù)，
∴，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣，
∴﹣≤a≤2，
又∵a是非負(fù)數(shù)，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴對稱軸為直線a＝﹣＝﹣1，
∴a＝0時，最小值n＝6，
a＝2時，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，用a表示出b、c并求出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵，難點在于整理出s關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．
5．已知拋物線y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），拋物線與x軸交于（m，0），（n，0）兩點（m＜n），則m，n，x1，x2的大小關(guān)系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
【分析】設(shè)y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y(tǒng)′+1，即函數(shù)y′向上平移1個單位得到函數(shù)y，通過畫出函數(shù)大致圖象即可求解．
【解答】解：設(shè)y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），則x1、x2是函數(shù)y′和x軸的交點的橫坐標(biāo)，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y(tǒng)′+1，
即函數(shù)y′向上平移1個單位得到函數(shù)y，
則兩個函數(shù)的圖象如圖所示（省略了y軸），
從圖象看，x1＜m＜n＜x2，
故選：A．
【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正確理解圖象的平移是本題解題的關(guān)鍵．
6．對于一個函數(shù)：當(dāng)自變量x取a時，其函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個函數(shù)的不動點．若二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，則c的取值范圍是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
【分析】由函數(shù)的不動點概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的兩個實數(shù)根，由Δ＞0且x＝1時y＞0，即可求解．
【解答】解：由題意知二次函數(shù)y＝x2+2x+c有兩個相異的不動點x1、x2是方程x2+2x+c＝x的兩個不相等實數(shù)根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2+x+c，畫出該二次函數(shù)的草圖如下：
而x1、x2（設(shè)x2在x1的右側(cè)）都小于1，即當(dāng)x＝1時，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，
聯(lián)立①②并解得：﹣2＜c＜；
故選：C．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解并掌握不動點的概念，并據(jù)此得出關(guān)于c的不等式．
7．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點A滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點A叫做“整點”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整點”．拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于點M，N兩點，若該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點，則a的取值范圍是（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
【分析】畫出圖象，找到該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點的邊界，利用與y交點位置可得m的取值范圍．
【解答】解：拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化為頂點式為y＝a（x﹣1）2+2，故函數(shù)的對稱軸：x＝1，M和N兩點關(guān)于x＝1對稱，根據(jù)題意，拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個整點，這些整點是（0，0），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），
如圖所示：
∵當(dāng)x＝0時，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
當(dāng)x＝﹣1時，y＝4a+2＜0
即：，
解得﹣2≤a＜﹣1
故選：B．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、配方法確定頂點坐標(biāo)、待定系數(shù)法等知識，利用函數(shù)圖象確定與y軸交點位置是本題的關(guān)鍵．
8．已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）為拋物線y＝ax2﹣2ax+1（a為常數(shù)，a＞0）上的兩點，當(dāng)t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3時，（　　）
A．若t≤1，則y1＞y2 B．若y1＞y2，則t≤﹣1
C．若t≥﹣1，則y1＜y2 D．若y1＜y2，則t≥
【分析】A．當(dāng)t＝1時，1＜x1＜2，3＜x2＜4，則點A、B均為對稱軸的右側(cè)，故y1＜y2，即可求解；
B．若y1＞y2，則點A、B在對稱軸異側(cè)或左側(cè)，再分類求解；
C．當(dāng)t＝﹣1時，此時，y1＞0，y2＜0，即可求解；
D．若y1＜y2，則A、B在對稱軸的異側(cè)或右側(cè)，再分類求解．
【解答】解：由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為x＝1，
當(dāng)x＝0時，y＝1，且x1＜x2，
A．當(dāng)t＝1時，1＜x1＜2，3＜x2＜4，
則點A、B均為對稱軸的右側(cè)，故y1＜y2，
故A錯誤，不符合題意；
B．若y1＞y2，則點A、B在對稱軸異側(cè)或左側(cè)，
當(dāng)A、B在對稱軸異側(cè)時，則1﹣t﹣1≤t+2﹣1，
解得：t≤﹣；
當(dāng)A、B在對稱軸左側(cè)時，
則t+3≤1，
解得：t≤﹣2，
則t≤﹣2，
故B錯誤，不符合題意；
C．當(dāng)t＝﹣1時，
則﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，
此時，y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2，
過C錯誤，不符合題意；
D．若y1＜y2，則A、B在對稱軸的異側(cè)或右側(cè)，
當(dāng)A、B在對稱軸的右側(cè)時，
則t≥1，
當(dāng)A、B在對稱軸的異側(cè)時，
則t+2﹣1≥1﹣（t+1），
解得：t≥；
綜上，t≥；
故D正確，符合題意；
故選D．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，確定點A、B和對稱軸的位置關(guān)系是解題的難點，題目難度較大．
9．已知拋物線y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的頂點為P（x0，y0），點A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在該拋物線上，當(dāng)y0≥0恒成立時，的最小值為（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
【分析】利用點A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在拋物線y＝ax2+bx+c上得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，＝，再利用4a﹣2b+c≥0得到a+b+c≥3（b﹣a），所以≥3，從而得到的最小值．
【解答】解：點A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在拋物線y＝ax2+bx+c上，
得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，
＝
∵y0≥0恒成立，0＜2a＜b，
∴x0＝﹣＜﹣1，
∴4a﹣2b+c≥0，
即a+b+c≥3（b﹣a），
而b﹣a＞a＞0，
∴≥3，
即的最小值為3．
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)為（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減小；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．
10．當(dāng)m≤x≤m+1時，函數(shù)y＝x2﹣4|x|+2的最大值為2，則m滿足的條件為（　　）
A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3
【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)的拋物線，再分三種情況進(jìn)行討論．
【解答】解：y＝x2﹣4|x|+2＝，
當(dāng)x＞0時，圖象在y軸右側(cè)，對稱軸為直線x＝2，頂點坐標(biāo)為（2，﹣2），
當(dāng)x＜0時，圖象在y軸左側(cè)，對稱軸為直線x＝﹣2，頂點坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），
當(dāng)x＝0時，y＝2，
如圖所示：
①當(dāng)m+1＜0時，y＝2時，x2+4x+2＝2，
解得：x＝﹣4，
∵m≤x≤m+1時，函數(shù)y＝x2﹣4|x|+2的最大值為2，
∴m＝﹣4；
②當(dāng)m＞0時，y＝2時，x2﹣4x+2＝2，
解得：x＝4，
∵m≤x≤m+1時，函數(shù)y＝x2﹣4|x|+2的最大值為2，
∴m+1＝4，即m＝3，
③當(dāng)原點在m和m+1之間即m+1≥0，且m≤0時，y有最大值為2，
∴﹣1≤m≤0，
綜上，m＝﹣4或m＝3或﹣1≤m≤0，
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的拋物線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把二次函數(shù)寫成分段函數(shù)．
二．填空題（共7小題）
11．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+1，當(dāng)x＞4時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是 　m≤4　．
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的開口方向，再由當(dāng)x＞4時，函數(shù)值y隨x的增大而減小可知二次函數(shù)的對稱軸x＝﹣≤4，故可得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx+1中，a＝﹣1＜0，
∴此函數(shù)開口向下，
∵當(dāng)x＞4時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，
∴二次函數(shù)的對稱軸x＝﹣≤4，即m≤4，
故答案為：m≤4．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．
12．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝2，則m＝　2　．
（2）若該函數(shù)圖象與x軸正半軸有且只有一個交點，則m的取值范圍是 　﹣2＜m≤2　．
【分析】（1）由拋物線對稱軸的公式即可求解；
（2）由Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，得到拋物線和x軸有兩個交點，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線x＝2＝﹣，
解得：m＝2，
故答案為：2；
（2）Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，
則拋物線和x軸有兩個交點，
當(dāng)x1 x2＝m2﹣4＜0且m≠﹣2時，符合題意，
解得：﹣2＜m≤2，
故答案為：﹣2＜m≤2．
【點評】本題考查的是拋物線和x軸的交點，熟悉二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（0≤x≤7）與x軸的交點坐標(biāo)為（7，0），設(shè)該圖象上任意兩點的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，d為x1≤x≤x2時y的最大值與最小值的差．若x2﹣x1＝6，則d的取值范圍是 　≤d≤8　．
【分析】由題意得：x1、x2只能在對稱軸的兩側(cè)，即0≤x1＜1，6≤x2≤7，即拋物線在x2處取得最小值，在頂點處取得最大值（c+），即可求解．
【解答】解：將（7，0）代入拋物線表達(dá)式得：0＝﹣49+21+c．
解得：c＝，
由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線x＝3，
∵0≤x≤7，x2﹣x1＝6，
則x1、x2只能在對稱軸的兩側(cè)，
即0≤x1＜1，6≤x2≤7，
即拋物線在x2處取得最小值，在頂點處取得最大值（c+），
而x2＝6時，函數(shù)y＝c，x2＝7時，y＝0，
當(dāng)x1＝0時，則x2＝6，此時，d＝c+﹣c＝，
當(dāng)x1＝1時，則x2＝7，此時，d＝c+﹣0＝+c，
故≤d≤8，
故答案為：≤d≤8．
【點評】本題考查的是拋物線和x軸的交點，熟悉函數(shù)額圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．若關(guān)于x的方程x2﹣2kx+k﹣3＝0的一個實數(shù)根x1≥3，另一個實數(shù)根x2≤0，則關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣3圖象的頂點到x軸距離h的取值范圍是 　≤h≤9　．
【分析】由題意得：x＝3時，y≤0，x＝0時，y≤0，可以確定k的取值范圍；二次函數(shù)頂點的縱坐標(biāo)為﹣k2+k﹣3，在k的取值范圍內(nèi)計算最值即可．
【解答】解：由題意得：x＝3時，y≤0，x＝0時，y≤0，
即，解得：≤k≤3，
二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣3＝（x﹣k）2﹣k2+k﹣3，
頂點的y坐標(biāo)為：﹣k2+k﹣3，
當(dāng)≤k≤3時，﹣k2+k﹣3，在k＝時，h取得最小值，
即：當(dāng)k＝時，﹣k2+k﹣3＝﹣，
即圖象的頂點到x軸距離的最小值是，
當(dāng)k＝3時，﹣k2+k﹣3＝﹣9，
即圖象的頂點到x軸距離的最大值是9，
故≤h≤9，
故答案為：≤h≤9．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，核心是通過：x＝3時，y≤0，x＝0時，y≤0，可以確定k的取值范圍，此題難度適中．
15．直線l1：y＝kx+2與y軸交于點A，直線l1繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l2，若直線l2與拋物線y＝x2+3x+2有唯一的公共點，則k＝　1或．　．
【分析】根據(jù)直線解析式可得l1，l2都經(jīng)過點（0，2），分別討論直線l2與y軸重合或與拋物線相切兩種情況，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形可求出直線y＝kx+2上的點坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解答】解：由y＝kx+2，y＝x2+3x+2可得直線l2與拋物線交于點A（0，2），
①直線l2與y軸重合滿足題意，則直線l1與y軸交點為45°，如圖，
∵OB＝2，∠ABO＝45°，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝2，
∴點B坐標(biāo)為（﹣2，0），
將（﹣2，0）代入y＝kx+2得0＝﹣2k+2，
解得k＝1．
②設(shè)直線l2解析式為y＝mx+2，
令mx+2＝x2+3x+2，
Δ＝（3﹣m）2，
當(dāng)m＝3時滿足題意．
∴y＝3x+2，
把y＝0代入y＝3x+2得x＝﹣，
∴直線l2與x軸交點D坐標(biāo)為（﹣，0），即OD＝，
作DE⊥AD交直線y＝kx+2于點E，過點E作EF⊥x軸于點F，
∵∠EAD＝45°，
∴AD＝DE，
∵∠ADO+∠EDF＝90°，∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠EDF，
又∵∠EFD＝∠AOD＝90°，
∴△EFD≌△DOA，
∴FD＝AO＝2，EF＝DO＝，
∴OF＝FD+AO＝，
∴點E坐標(biāo)為（﹣，）．
將（﹣，）代入y＝kx+2得＝﹣k+2，
解得k＝．
故答案為：1或．
【點評】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)與方程的關(guān)系，通過添加輔助線分類討論求解．
16．如圖，“愛心”圖案是由函數(shù)y＝﹣x2+6的部分圖象與其關(guān)于直線y＝x的對稱圖形組成．點A是直線y＝x上方“愛心”圖案上的任意一點，點B是其對稱點．若，則點A的坐標(biāo)是 　（﹣2，2）或（1，5）　．
【分析】根據(jù)對稱性，表示A、B兩點的坐標(biāo)，利用平面內(nèi)兩點間的距離公式，代入求值即可．
【解答】解：如圖，
過點A作AD⊥x軸，交x軸于點E，交直線y＝x于點D，連接BD，
∵A、B關(guān)于直線y＝x對稱，
設(shè)A（a，b），
∴△ABD是等腰直角三角形，四邊形OEDF是正方形，
∴B（b，a），
∵，
∴，
（4）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，
32＝2（b﹣a）2，
（b﹣a）2＝16，
b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），
∴b＝a+4，
又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，
∴b＝﹣a2+6，
即a+4＝﹣a2+6，
整理得，a2+a﹣2＝0，
解得，a1＝﹣2，a2＝1，
∴當(dāng)a1＝﹣2時，b＝a+4＝﹣2+4＝2，
點A的坐標(biāo)為（﹣2，2）；
當(dāng)a2＝1時，b＝a+4＝1+4＝5，
點A的坐標(biāo)為（1，5）．
故答案為：（﹣2，2）或（1，5）．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用及對稱點的表示，解題的關(guān)鍵是設(shè)一個點的坐標(biāo)，表示對稱點的坐標(biāo)．兩點間的距離公式要理解并熟記．
17．如圖，函數(shù)y＝的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．設(shè)t＝，則t的取值范圍是 　＜t＜1　．
【分析】根據(jù)A、B關(guān)于對稱軸x＝1對稱，可知x1+x2＝2，由直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點，可以求出x3的取值范圍，進(jìn)而求出t的范圍．
【解答】解：由二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：圖象開口向上，對稱軸為x＝1，
∴當(dāng)x＝1時函數(shù)有最小值為2，x1+x2＝2，
由一次函數(shù)y＝﹣x+（x≥2）可知當(dāng)x＝2時有最大值3，當(dāng)y＝2時x＝，
∵直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故答案為：＜t＜1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是利用圖象的特點表示出各個變量的取值范圍．
三．解答題（共7小題）
18．如圖所示，一場籃球比賽中，某籃球隊員甲的一次投籃命中，籃球運(yùn)行軌跡為拋物線的一部分．已知籃球出手位置點A與籃筐的水平距離為5m，籃筐距地面的高度為3m，當(dāng)籃球行進(jìn)的水平距離為3m時，籃球距地面的高度達(dá)到最大，為3.6m．
（1）求籃球出手位置點A的高度．
（2）此時，若對方隊員乙在甲前面1m處跳起攔截，已知乙的攔截高度為3.12m，那么他能否獲得成功？并說明理由．
（3）若甲在乙攔截時，突然向后后退0.2m，再投籃命中（此時乙沒有反應(yīng)過來，置沒有移動），籃球運(yùn)行軌跡的形狀沒有變化，且籃球越過乙時，超過其攔截高度0.08m，求籃球出手位置的高度變化．
【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解；
（2）當(dāng)x＝1時，y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6＝﹣0.15（1﹣3）2+3.6＝3＜31.2，即可求解；
（3）由題意得，新拋物線的a＝﹣0.15，拋物線過點（5，3）、（1，3.2），求出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）由題意得，拋物線的頂點為：（3，3.6），拋物線過點（5，3），
設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣3）2+3.6，
將（5，3）代入上式得：3＝a（5﹣3）2+3.6，
解得：a＝﹣0.15，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6，
當(dāng)x＝0時，y＝﹣0.15（0﹣3）2+3.6＝2.25，
即點A的高度為2.25m；
（2）獲得成功，理由：
當(dāng)x＝1時，y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6＝﹣0.15（1﹣3）2+3.6＝3＜3.12，
故能獲得成功；
（3）由題意得，新拋物線的a＝﹣0.15，拋物線過點（5，3）、（1，3.2），
則設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣0.15x2+bx+c，
則，解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣0.1x2+0.85x+2.5，
當(dāng)x＝﹣0.2時，y＝﹣0.1x2+0.85x+2.5＝2.324＞2.25，
故籃球出手位置的高度提高了0.074m．
【點評】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法及其實際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．
19．某款旅游紀(jì)念品很受游客喜愛，每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將紀(jì)念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？
（3）該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，求銷售單價x的范圍．
【分析】（1）銷售量＝原來的銷售量﹣10×提升的價格，把相關(guān)數(shù)值代入化簡即可；
（2）利潤＝每件紀(jì)念品的利潤×銷售量，把相關(guān)數(shù)值代入后可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)二次項系數(shù)的符號可得拋物線的開口方向，判斷出二次函數(shù)的對稱軸后，與自變量的取值范圍結(jié)合，可得相關(guān)定價和最大利潤；
（3）讓（2）中的利潤﹣200得到新的利潤，根據(jù)捐款后每天剩余利潤不低于2200元，利用函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的開口方向及自變量的取值范圍可得銷售單價x的取值范圍．
【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740．
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600．
∴拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝57．
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴當(dāng)x＝52時，w有最大值，最大值為：（52﹣40）×（﹣10×52+740）＝2640；
答：紀(jì)念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元；
（3）∵捐款后每天剩余利潤不低于2200元，
∴w﹣200≥2200．
∴﹣10x2+1140x﹣29600﹣200≥2200．
當(dāng)﹣10x2+1140x﹣29600﹣200＝2200時，
﹣10x2+1140x﹣32000＝0．
x2﹣114x+3200＝0，
（x﹣50）（x﹣64）＝0．
∴x1＝50，x2＝64．
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，50≤x≤52．
答：為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，銷售單價x的范圍為：50≤x≤52．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．得到銷售量以及利潤的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．應(yīng)注意結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸，開口方向及自變量的取值范圍確定相關(guān)函數(shù)的最值．
20．某景區(qū)旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/kg，不高于45元/kg．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（kg）與銷售價格x（元/kg）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤＝（銷售價格﹣采購價格）×銷售量】
【分析】（1）由圖象可知，分兩種情況：當(dāng)22≤x≤30時，當(dāng)30＜x≤45時，分別利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)銷售利潤為w元，再根據(jù)銷售利潤＝（銷售價格﹣采購價格）×銷售量列出w與x的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）當(dāng)22≤x≤30時，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，
將（22，48），（30，40）代入解析式得，，
解得，
∴函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+70；
當(dāng)30＜x≤45時，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為：y＝mx+n，
將（30，40），（45，10）代入解析式得，，
解得，
∴函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣2x+100，
綜上，y與x的函數(shù)表達(dá)式為：y＝；
（2）設(shè)利潤為w元，當(dāng)22≤x≤30時，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范圍內(nèi)，w隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝30時，w取得最大值為400；
當(dāng)30＜x≤45時，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
當(dāng)x＝35時，w取得最大值為450；
∵450＞400，
∴當(dāng)銷售價格為35元/kg時，利潤最大為450元．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式以及利用增減性求出最值．
21．無錫陽山是聞名遐邇的“中國水蜜桃之鄉(xiāng)”，每年6至8月，總會吸引大批游客前來品嘗，當(dāng)?shù)啬成碳覟榛仞侇櫩停瑑芍軆?nèi)將標(biāo)價為20元/千克的水蜜桃經(jīng)過兩次降價后變?yōu)?6.2元/千克，并且兩次降價的百分率相同．
（1）求水蜜桃每次降價的百分率；
（2）①從第一次降價的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的售價、銷量及儲存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示：
時間x/天 1≤x＜9 9≤x＜15
售價/（元/千克） 第1次降價后的價格 第2次降價后的價格
銷量/千克 105﹣3x 120﹣x
儲存和損耗費(fèi)用/元 40+3x 3x2﹣68x+300
已知該種水果的進(jìn)價為8.2元/千克，設(shè)銷售該水果第x（天）的利潤為y（元），求y與x（1≤x＜15）之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大？②在①的條件下，問這14天中有多少天的銷售利潤不低于930元，請直接寫出結(jié)果．
【分析】（1）設(shè)水蜜桃每次降價的百分率為x%，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元二次方程，解出 x的值即得出答案；
（2）①根據(jù)利潤＝（標(biāo)價﹣進(jìn)價）×銷量﹣儲存和損耗費(fèi)，即可得y（元），進(jìn)而可求出y與x（1≤x＜15）之間的函數(shù)解析式，再結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值即可；
②依題意可列出關(guān)于x的不等式，結(jié)合解一元一次不等式的方法和圖象法解一元二次不等式，分別求出x的解集，即可得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)水蜜桃每次降價的百分率為x%，
依題意得，20（1﹣x%）2＝16.2，
解得：x1＝10，x2＝190（舍）．
∴水蜜桃每次降價的百分率為10%；
（2）①結(jié)合（1）得：第一次降價后的價格為20×（1﹣10%）＝18元，
∴當(dāng)1≤x＜9時，y＝（18﹣8.2）（105﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣32.4x+989．
∵k＝﹣32.4＜0，
∴y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝1元時，利潤最大為﹣32.4×1+989＝956.6元；
當(dāng)9≤x＜15，y＝（16.2﹣8.2）（120﹣x）﹣（3x2﹣68x+300）＝﹣3x2+60x+660＝﹣3（x﹣10）2+960，
∵a＝﹣3＜0，
∴當(dāng)x＝10時，利潤最大為960元．
∵956.6＜960，
∴第10天利潤最大，最大利潤為960元．
綜上可知，
；第10天利潤最大，最大利潤為960元；
②當(dāng)1≤x＜9時，y＝﹣32.4x+989≥930，
解得：x≤，
∴此時為1天利潤不低于930元；
當(dāng)9≤x＜15時，y＝﹣3x2+60x+660≥930，
根據(jù)圖象法可解得：，
∴，
∴此時第9﹣13天的利用不低于930元，
13﹣9+1＝5（天），
綜上可知，共有1+5＝6天利潤不低于930元．
【點評】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式和一元二次不等式的實際應(yīng)用．理解題意，找出等量關(guān)系，列出等式和不等式是解題關(guān)鍵．
22．定義：由兩條與x軸有相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．
【概念理解】
拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與拋物線y2＝x2﹣3x+2是否圍成“月牙線”？說明理由．
【嘗試應(yīng)用】
拋物線y1＝（x﹣1）2﹣2與拋物線組成一個如圖所示的“月牙線”，與x軸有相同的交點M，N（點M在點N的左側(cè)），與y軸的交點分別為A，B．
①求a：b：c的值．
②已知點P（x0，m）和點Q（x0，n）在“月牙線”上，m＞n，且m﹣n的值始終不大于2，求線段AB長的取值范圍．
【分析】【概念理解】求出拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與x軸的交點為（1，0）和（2，0）；拋物線與x軸交點為（1，0）和（2，0），又拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與拋物線開口方向相同，即可知拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與拋物線圍成“月牙線”；
【嘗試應(yīng)用】①求出拋物線與x軸交點為（3，0）和（﹣1，0），代入y2＝ax2+bx+c得：，解得，故a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）；
②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，可得拋物線y2＝ax2﹣2ax﹣3a的頂點為（1，﹣4a），而拋物線的頂點為（1，﹣2），a＞，可知拋物線在拋物線y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方；即可得m﹣n＝（x0﹣1）2﹣2﹣（﹣2ax0﹣3a）＝（﹣a）+（2a﹣1）x0+3a﹣，根據(jù)m﹣n的值始終不大于2，有≤2，即解得≤a≤1，而A（0，﹣），B（0，﹣3a）；故AB＝﹣﹣（﹣3a）＝3a﹣，從而可得線段AB長的取值范圍是0＜AB≤．
【解答】解：【概念理解】拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與拋物線圍成“月牙線”；理由如下：
在y1＝2（x﹣1）（x﹣2）中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與x軸的交點為（1，0）和（2，0）；
在中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴拋物線與x軸交點為（1，0）和（2，0），
∴拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與拋物線與x軸有相同的交點，
又拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與拋物線開口方向相同，
∴拋物線y1＝2（x﹣1）（x﹣2）與拋物線圍成“月牙線”；
【嘗試應(yīng)用】①在中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴拋物線與x軸交點為（3，0）和（﹣1，0），
把（3，0）和（﹣1，0）代入y2＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）；
∴a：b：c的值為1：（﹣2）：（﹣3）；
②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴拋物線y2＝ax2﹣2ax﹣3a的頂點為（1，﹣4a），
∵拋物線的頂點為（1，﹣2），a＞，
∴﹣4a＜﹣2，
∴拋物線在拋物線y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方；
∴m＝（x0﹣1）2﹣2，n＝﹣2ax0﹣3a，
∴m﹣n＝（x0﹣1）2﹣2﹣（﹣2ax0﹣3a）＝（﹣a）+（2a﹣1）x0+3a﹣，
∵m﹣n的值始終不大于2，
∴≤2，
整理得：2a2﹣3a+1≤0，
解得≤a≤1，
∵a＞，
∴＜a≤1；
在中，令x＝0得y＝﹣，
∴A（0，﹣），
在y2＝ax2﹣2ax﹣3a中，令x＝0得y＝﹣3a，
∴B（0，﹣3a）；
∴AB＝﹣﹣（﹣3a）＝3a﹣，
∵＜a≤1；
∴0＜3a﹣≤，
∴線段AB長的取值范圍是0＜AB≤．
【點評】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“月牙線”的概念．
23．在平面直角坐標(biāo)系中有且只有一個交點的兩個函數(shù)稱為“親密函數(shù)”，這個唯一的交點稱為他們的“密接點”．例如：y＝3x﹣1與y＝﹣x+3有且只有一個交點（1，2），則稱這兩個函數(shù)為“親密函數(shù)”，點（1，2）稱為他們的“密接點”．
（1）判斷下列幾組函數(shù)，是“親密函數(shù)”的在_____內(nèi)記“√”，不是“親密函數(shù)”的在______內(nèi)記“×”；
①y＝2x﹣1與y＝﹣x+2； 　√　
②與； 　×　
③y＝x2﹣x+1與y＝x． 　√　
（2）一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)（其中k，b為常數(shù)，k＞0是“親密函數(shù)”，且他們的“密接點”P到原點的距離等于3，求b的值．
（3）兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y＝x2+c的“親密函數(shù)”，且“密接點”分別為M，N．記直線l1與l2的交點的縱坐標(biāo)為m，直線MN與y軸的交點的縱坐標(biāo)為n．試判斷m與n的關(guān)系，并證明你的判斷．
【分析】（1）根據(jù)“親密函數(shù)”的定義即可作出判斷；
（2）由一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)（其中k，b為常數(shù)，k＞0是“親密函數(shù)”，可得b2﹣4k2＝0，則b＝2k或＝2k，P（﹣1，k）或（1，﹣k），根據(jù)他們的“密接點”P到原點的距離等于3求出k的值，即可得b的值．
（3）設(shè)直線l1：y＝k1x+b1，直線l2：y＝k2x+b2，由兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y＝x2+c的“親密函數(shù)”，且“密接點”分別為M，N．可得b1＝，M（，+c），b2＝，N（，+c），設(shè)直線MN的解析式為y＝k3x+b3，求出n＝b3＝﹣+c，求出m＝+c，即可得m+n＝2c．
【解答】解：（1）①∵y＝2x﹣1與y＝﹣x+2有且只有一個交點（1，1），
∴這兩個函數(shù)是“親密函數(shù)”，
故答案為：√；
②∵y＝與y＝?jīng)]有交點，
∴這兩個函數(shù)不是“親密函數(shù)”，
故答案為：×；
③y＝x2﹣x+1與y＝x有且只有一個交點（1，1），
∴這兩個函數(shù)是“親密函數(shù)”，
故答案為：√；
（2）∵一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝﹣（其中k，b為常數(shù)，k＞0是“親密函數(shù)”，
∴方程kx+b＝﹣有且只有一個實數(shù)根，
∴kx2+bx+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4k2＝0，
∴b＝2k或＝2k，
當(dāng)b＝2k時，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴P（﹣1，k），
∵“密接點”P到原點的距離等于3，
∴＝3，解得k＝2（負(fù)值舍去），
∴b＝4；
當(dāng)b＝﹣2k時，kx2﹣2kx+k＝0，解得x＝1，
∴P（1，﹣k），
∵“密接點”P到原點的距離等于3，
∴＝3，解得k＝2（負(fù)值舍去），
∴b＝﹣4；
當(dāng)b＝2k時，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴P（﹣1，k），
∵“密接點”P到原點的距離等于3，
∴＝3，解得k＝2（負(fù)值舍去），
∴b＝4；
綜上，b的值為4或﹣4；
（3）m+n＝2c．
證明：設(shè)直線l1：y＝k1x+b1，直線l2：y＝k2x+b2，
∵兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y＝x2+c的“親密函數(shù)”，且“密接點”分別為M，N．
∴k1x+b1＝x2+c，即x2﹣k1x+c﹣b1＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝﹣4（c﹣b1）＝0，
∴b1＝，
∴x1＝x2＝，
∴M（，+c），
同理：b2＝，N（，+c），
設(shè)直線MN的解析式為y＝k3x+b3，
∴k3+b3＝+c①，k3+b3＝+c②，
①k1×﹣②×k2得k1b3﹣k2b3＝（k2﹣k1）+（k1﹣k1）c，
∴b3＝﹣+c，
令x＝0，則n＝b3＝﹣+c，
∵m＝k1xm+b1＝k2xm+b2，
∴xm＝＝，
∴＝，
∴m＝+c，
∴m+n＝+c+（﹣+c）＝2c．
【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了新定義，一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂“親密函數(shù)”、“密接點”的定義，理解它們之間的關(guān)系．
24．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)
研究植物葉片的生長狀況
背景素材 大自然里有許多數(shù)學(xué)的奧秘．一片美麗的心形葉片可近似看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．
如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)心形葉片下部輪廓線可近似看作是二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx﹣20m+5圖象的一部分，且經(jīng)過原點．
心形葉片的對稱軸直線y＝x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，直線x＝6分別交拋物線和直線AB于點E、F點，點E、E′是葉片上的一對對稱點，EE′交直線AB與點G．
問題解決
任務(wù)1 確定心形葉片的形狀 求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)．
任務(wù)2 研究心形葉片的尺寸 求葉片此處的寬度EE′．
【分析】（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5求出m值即可得到拋物線解析式，配方成頂點式可得頂點坐標(biāo)；
（2）分別根據(jù)解析式求出A（﹣2，0），B（0，2），F(xiàn)（6，8），E（6，3），根據(jù)對稱性可得到△EFG是等腰直角三角形，求出EG再乘2 即可．
【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5得：﹣20m+5＝0，
∴m＝，
∴拋物線解析式為：y＝，
∴頂點D的坐標(biāo)為（2，﹣1）．
（2）∵直線AB的解析式為y＝x+2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝45°，
在y＝x+2中，當(dāng)x＝6時，y＝8，
在y＝中，當(dāng)x＝6時，y＝3，
∴F（6，8），E（6，3），
∴EF＝8﹣3＝5，
∵EF∥OB，
∴∠GFE＝∠ABO＝45°，
∵點E、E′是葉片上的一對對稱點，
∴EE′＝2EG，EG⊥FG，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG＝＝，
∴EE′＝2EG＝5．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)和圖形對稱是解答本題的關(guān)鍵．
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