資源簡介

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浙江省24屆中考之函數綜合
1．國家決定對某藥品分兩次降價，若設平均每次降價的百分比為x，該藥品的原價為33元，降價后的價格為y元，則y與x之間的函數關系為（　　）
A．y＝66（1﹣x） B．y＝33（1﹣x）
C．y＝33（1﹣x2） D．y＝33（1﹣x）2
2．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標與縱坐標的對應值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
y … m n m 1 0 …
由表可知，拋物線與x軸的一個交點的坐標是（4，0），則拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣6，0） C．（﹣8，0） D．（8，0）
3．下列表格是二次函數y＝ax2+bx+c的自變量x與函數值y的對應值，判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）的一個解x的范圍是（　　）
x ﹣1.5 0 0.5 1.5
y＝ax2+bx+c ﹣1.25 ﹣2 ﹣1.25 1.75
A．﹣2＜x＜﹣1.5 B．﹣1.5＜x＜0 C．0＜x＜0.5 D．0.5＜x＜1.5
4．如圖，在長為30米、寬為20米的矩形花壇中橫向修建1條、縱向修建2條寬都為x米的小路（陰影部分），空白處為綠地，面積為y平方米，則綠地面積y與x之間的函數表達式為（　　）
A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x）
C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x）
5．如圖，曉波家的院墻一邊靠墻處，用60米長的鐵柵欄圍成了三個相連的養殖小院子，總面積為y平方米，為方便喂養這些不同類的動物，在各個養殖院子之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門．若設AB＝x米，則y關于x的函數關系式為（　　）
A．y＝x（60﹣4x） B．y＝x（63﹣2x）
C．y＝x（60﹣2x） D．y＝x（63﹣4x）
6．如圖，拋物線y＝x+2交x軸于點A，B，交y軸于點C，當△ABC紙片上的點C沿著此拋物線運動時，則△ABC紙片隨之也跟著移動，設紙片上BC的中點M坐標為（m，n），在此運動過程中，n與m的關系式是（　　）
A．n＝（m﹣）2﹣ B．n＝（m﹣）2
C．n＝（m﹣）2﹣ D．n＝（m﹣）2﹣
7．若ac≠0，且二次函數y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同點A（x1，0），B（x2，0），二次函數y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于兩個不同點C（x3，0），D（x4，0），則（　　）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
8．已知二次函數y＝kx2﹣6x﹣9的圖象與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍　 　．
9．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸為直線x＝1，則當y≤0時，x的取值范圍是 　 　．
10．某爆竹點燃后升空，并在最高處燃爆，該爆竹點燃后離地高度h（單位：m）關于離地時間t（單位：s）的函數解析式是h＝30t﹣5t2，爆竹點燃后升空的最大高度是　 　米．
11．小宇同學周末與爸爸去釣魚．爸爸釣到一條大魚，魚竿被拉彎近似可看成以A為頂點的拋物線一部分，魚線AB長米，魚隱約在水面上，估計魚離魚竿支點O有米，此時魚竿魚線呈一個平面，且與水平面夾角α恰好為60°，以魚竿支點為原點，則魚竿所在拋物線的解析式為　 　．
12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（0≤x≤7）與x軸的交點坐標為（7，0），設該圖象上任意兩點的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，d為x1≤x≤x2時y的最大值與最小值的差．若x2﹣x1＝6，則d的取值范圍是 　 　．
13．已知二次函數y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）若該函數圖象的對稱軸為直線x＝2，則m＝　 　．
（2）若該函數圖象與x軸正半軸有且只有一個交點，則m的取值范圍是　 　．
14．若關于x的方程x2﹣2kx+k﹣3＝0的一個實數根x1≥3，另一個實數根x2≤0，則關于x的二次函數y＝x2﹣2kx+k﹣3圖象的頂點到x軸距離h的取值范圍是 　 　．
15．已知二次函數y＝x2+2（m﹣2）x﹣m+2的圖象與x軸最多有一個公共點，若y＝m2﹣2tm﹣1的最小值為2，則t的值為　 　．
16．如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度OH為1.5m．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度EF＝0.5m．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到綠化帶的距離OD為d（單位：m）．
（1）求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC；
（2）求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；
（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍．
17．如圖所示，一場籃球比賽中，某籃球隊員甲的一次投籃命中，籃球運行軌跡為拋物線的一部分．已知籃球出手位置點A與籃筐的水平距離為5m，籃筐距地面的高度為3m，當籃球行進的水平距離為3m時，籃球距地面的高度達到最大，為3.6m．
（1）求籃球出手位置點A的高度．
（2）此時，若對方隊員乙在甲前面1m處跳起攔截，已知乙的攔截高度為3.12m，那么他能否獲得成功？并說明理由．
（3）若甲在乙攔截時，突然向后后退0.2m，再投籃命中（此時乙沒有反應過來，置沒有移動），籃球運行軌跡的形狀沒有變化，且籃球越過乙時，超過其攔截高度0.08m，求籃球出手位置的高度變化．
18．某款旅游紀念品很受游客喜愛，每個紀念品進價40元，規定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為y個，銷售單價為x元．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？
（3）該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，求銷售單價x的范圍．
19．鳧山街道的大學畢業生小張在電商城開了一家網店，進行社會實踐，計劃經銷甲、乙兩種商品．若甲商品每件利潤10元，乙商品每件利潤20元，則每周能賣出甲商品40件，乙商品20件．經調查，甲、乙兩種商品零售單價分別每降價1元，這兩種商品每周可各多銷售10件．為了提高銷售量，小明決定把甲、乙兩種商品的零售單價都降價x元．
（1）直接寫出甲、乙兩種商品每周的銷售量y（件）與降價x（元）之間的函數關系式：y甲＝　 　，y乙＝　 　；
（2）求出小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤W（元）與降價x（元）之間的函數關系式？如果每周甲商品的銷售量不低于乙商品的銷售量的，那么當x定為多少元時，才能使小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大？
20．某景區旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/kg，不高于45元/kg．經市場調查發現每天的銷售量y（kg）與銷售價格x（元/kg）之間的函數關系如圖所示．
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤＝（銷售價格﹣采購價格）×銷售量】
21．無錫陽山是聞名遐邇的“中國水蜜桃之鄉”，每年6至8月，總會吸引大批游客前來品嘗，當地某商家為回饋顧客，兩周內將標價為20元/千克的水蜜桃經過兩次降價后變為16.2元/千克，并且兩次降價的百分率相同．
（1）求水蜜桃每次降價的百分率；
（2）①從第一次降價的第1天算起，第x天（x為整數）的售價、銷量及儲存和損耗費用的相關信息如表所示：
時間x/天 1≤x＜9 9≤x＜15
售價/（元/千克） 第1次降價后的價格 第2次降價后的價格
銷量/千克 105﹣3x 120﹣x
儲存和損耗費用/元 40+3x 3x2﹣68x+300
已知該種水果的進價為8.2元/千克，設銷售該水果第x（天）的利潤為y（元），求y與x（1≤x＜15）之間的函數解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大？②在①的條件下，問這14天中有多少天的銷售利潤不低于930元，請直接寫出結果．
22．已知函數，y2＝mx+n（m＞0）的圖象在同一平面直角坐標系中．
（1）若函數y1的圖象過點（﹣2，6），函數y2的圖象過點（t，6），求t的值．
（2）求這兩個函數圖象的交點的橫坐標．
（3）已知當p＜x＜q時，y1＜y2，求q﹣p的取值范圍．
23．在平面直角坐標系中有且只有一個交點的兩個函數稱為“親密函數”，這個唯一的交點稱為他們的“密接點”．例如：y＝3x﹣1與y＝﹣x+3有且只有一個交點（1，2），則稱這兩個函數為“親密函數”，點（1，2）稱為他們的“密接點”．
（1）判斷下列幾組函數，是“親密函數”的在_____內記“√”，不是“親密函數”的在______內記“×”；
①y＝2x﹣1與y＝﹣x+2； 　 　
②與； 　 　
③y＝x2﹣x+1與y＝x． 　 　
（2）一次函數y＝kx+b與反比例函數（其中k，b為常數，k＞0是“親密函數”，且他們的“密接點”P到原點的距離等于3，求b的值．
（3）兩條直線l1與l2都是二次函數y＝x2+c的“親密函數”，且“密接點”分別為M，N．記直線l1與l2的交點的縱坐標為m，直線MN與y軸的交點的縱坐標為n．試判斷m與n的關系，并證明你的判斷．
24．若二次函數y1＝a1x2+b1x+c1與y2＝a2x2+b2x+c2的圖象關于點P（1，0）成中心對稱圖形，我們稱y1與y2互為“中心對稱”函數．
（1）求二次函數y＝x2+6x+3的“中心對稱”函數的解析式；
（2）若二次函數y＝ax2+2ax+c（a＞0）的頂點在它的“中心對稱”函數圖象上，且當時，y最大值為2，求此二次函數解析式；
（3）二次函數y1＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象頂點為M，與x軸負半軸的交點為A、B，它的“中心對稱”函數y2的頂點為N，與x軸的交點為C、D，從左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BD，且四邊形AMDN為矩形，求b2﹣4ac的值．
25．根據以下素材，探索完成任務
研究植物葉片的生長狀況
背景素材 大自然里有許多數學的奧秘．一片美麗的心形葉片可近似看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．
如圖，建立平面直角坐標系，發現心形葉片下部輪廓線可近似看作是二次函數y＝mx2﹣4mx﹣20m+5圖象的一部分，且經過原點．
心形葉片的對稱軸直線y＝x+2與坐標軸交于A、B兩點，直線x＝6分別交拋物線和直線AB于點E、F點，點E、E′是葉片上的一對對稱點，EE′交直線AB與點G．
問題解決
任務1 確定心形葉片的形狀 求拋物線的解析式及頂點D的坐標．
任務2 研究心形葉片的尺寸 求葉片此處的寬度EE′．
24屆培優班中考之函綜二（應用）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共7小題）
1．國家決定對某藥品分兩次降價，若設平均每次降價的百分比為x，該藥品的原價為33元，降價后的價格為y元，則y與x之間的函數關系為（　　）
A．y＝66（1﹣x） B．y＝33（1﹣x）
C．y＝33（1﹣x2） D．y＝33（1﹣x）2
【分析】原價為33，第一次降價后的價格是33×（1﹣x），第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎上降價的為：33×（1﹣x）×（1﹣x）＝33（1﹣x）2，則函數解析式即可求得．
【解答】解：根據題意：平均每次降價的百分比為x，該藥品的原價為33元，降價后的價格為y元，
可得y與x之間的函數關系為：y＝33（1﹣x）2．
故選：D．
【點評】此題主要考查了根據實際問題列二次函數解析式，本題需注意第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎上降價的．
2．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標與縱坐標的對應值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
y … m n m 1 0 …
由表可知，拋物線與x軸的一個交點的坐標是（4，0），則拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣6，0） C．（﹣8，0） D．（8，0）
【分析】先觀察表格可知（﹣4，m）和（0，m）是對稱點，根據拋物線的對稱軸為直線可求出拋物線的對稱軸，再觀察表格可知拋物線與x軸的一個交點為（4，0），再次代入中即可計算出另一個交點的橫坐標．拋物線上縱坐標相同的兩個點關于對稱軸對稱．拋物線的對稱軸為直線，其中x1，x2就是縱坐標相同的這兩個點的橫坐標．
【解答】解：由表格可知拋物線過（﹣4，m）和（0，m），
∴拋物線的對稱軸為．
設拋物線與x軸的交點為（x1，0），（x2，0），
由表格知，其中一個交點為（4，0），設x1＝4，
由，得：
4+x2＝﹣4，
解得x2＝﹣8，
∴另一個交點為（﹣8，0），
故選：C．
【點評】本題主要考查了拋物線的對稱軸．掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
3．下列表格是二次函數y＝ax2+bx+c的自變量x與函數值y的對應值，判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）的一個解x的范圍是（　　）
x ﹣1.5 0 0.5 1.5
y＝ax2+bx+c ﹣1.25 ﹣2 ﹣1.25 1.75
A．﹣2＜x＜﹣1.5 B．﹣1.5＜x＜0 C．0＜x＜0.5 D．0.5＜x＜1.5
【分析】根據表格找到y由負變為正時，自變量的取值范圍即可得到答案．
【解答】解：由表格中的數據可知，當x＝0.5時，y＝﹣1.25＜0，
當x＝1.5時，y＝1.75＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）的一個解x的范圍是0.5＜x＜1.5，
故選：D．
【點評】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關鍵是找到y由負變為正時，自變量的取值范圍．
4．如圖，在長為30米、寬為20米的矩形花壇中橫向修建1條、縱向修建2條寬都為x米的小路（陰影部分），空白處為綠地，面積為y平方米，則綠地面積y與x之間的函數表達式為（　　）
A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x）
C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x）
【分析】將圖中陰影部分進行移動，可得綠地的面積是長為（30﹣2x）米，寬為（20﹣x）米的矩形的面積，以此即可求解．
【解答】解：將圖中的陰影部分按如圖所示進行移動，
則空白部分為矩形，長為（30﹣2x）米，寬為（20﹣x）米，
∴綠地面積y與x之間的函數表達式為y＝（30﹣2x）（20﹣x）．
故選：A．
【點評】本題主要考查根據實際問題列二次函數，將圖形進行適當的處理是解題關鍵．
5．如圖，曉波家的院墻一邊靠墻處，用60米長的鐵柵欄圍成了三個相連的養殖小院子，總面積為y平方米，為方便喂養這些不同類的動物，在各個養殖院子之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門．若設AB＝x米，則y關于x的函數關系式為（　　）
A．y＝x（60﹣4x） B．y＝x（63﹣2x）
C．y＝x（60﹣2x） D．y＝x（63﹣4x）
【分析】如圖所示（見詳解），設AB＝x米，則可求出BC的長，根據矩形的面積公式即可求解．
【解答】解：如圖所示，
設AB＝x米，則BC＝60﹣2x﹣2（x﹣1）+1＝63﹣4x，
又小院子的總面積為y，
∴y＝x（63﹣4x），
故選：D．
【點評】本題主要考查二次函數的運用，理解圖形面積的計算方法，掌握數量關系，準確列出函數關系式是解題的關鍵．
6．如圖，拋物線y＝x+2交x軸于點A，B，交y軸于點C，當△ABC紙片上的點C沿著此拋物線運動時，則△ABC紙片隨之也跟著移動，設紙片上BC的中點M坐標為（m，n），在此運動過程中，n與m的關系式是（　　）
A．n＝（m﹣）2﹣ B．n＝（m﹣）2
C．n＝（m﹣）2﹣ D．n＝（m﹣）2﹣
【分析】先求出拋物線與x軸、y軸交點B，C的坐標，再由中點坐標公式求出M點的坐標；把拋物線的表達式配方成頂點式，通過比較點C與點M的相對位置，利用平移思想即可求出n與m的關系式．
【解答】解：∵拋物線y＝x+2交x軸于點A，B，交y軸于點C，
∴點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，2），
∴BC的中點M坐標為（，），即點M坐標為（2，1）．
∵點C沿著此拋物線運動，點M也隨之運動，點M的運動軌跡是拋物線，且經過（2，1），（6，﹣1）
∴設拋物線的解析式為y＝x2+bx+c，
則有，解得
∴m，n滿足，n＝m2﹣m+8＝（m﹣）2﹣，
故選：D．
【點評】本題考查了坐標與圖形的變化﹣﹣平移在解題中的應用，解題的基礎是求出拋物線與坐標軸的交點，進而求出BC中點M的坐標．
7．已知ac≠0，若二次函數y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），二次函數y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于兩個不同的點C（x3，0），D（x4，0），則（　　）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
【分析】根據根與系數的關系得到：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，x3+x4＝﹣，x3 x4＝，然后代入求值即可．
【解答】解：∵ac≠0，二次函數y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），二次函數y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于兩個不同的點C（x3，0），D（x4，0），
∴關于x的方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0的根分別是：x1、x2、x3、x4．
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝，x3+x4＝﹣，x3 x4＝．
則：A、x1+x2+x3+x4＝﹣﹣＝﹣，所以等式x1+x2+x3+x4＝1不一定成立，不符合題意；
B、x1x2x3x4＝ ＝1，符合題意；
C、＝＝，所以等式不一定成立，不符合題意；
D、＝＝，所以等式不一定成立，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，求二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．
二．填空題（共8小題）
8．已知二次函數y＝kx2﹣6x﹣9的圖象與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍　k＞﹣1且k≠0　．
【分析】由拋物線與x軸有兩個不同的交點可得出一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有兩個不相等的解，由二次項系數非零及根的判別式Δ＞0，即可得出關于k的一元一次不等式組，解之即可得出結論．
【解答】解：令y＝0，則kx2﹣6x﹣9＝0．
∵二次函數y＝kx2﹣6x﹣9的圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有兩個不相等的解，
∴，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故答案為：k＞﹣1且k≠0．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，牢記“Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點”是解題的關鍵．
9．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸為直線x＝1，則當y≤0時，x的取值范圍是 　x≤﹣1或x≥3　．
【分析】根據拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），對稱軸為x＝1，則另外一個交點的坐標為（﹣1，0），進而求解．
【解答】解：∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），對稱軸為x＝1，
則另外一個交點的坐標為（﹣1，0），
從圖象看，當x≤﹣1或x≥3時，y≤0，
故答案為：x≤﹣1或x≥3．
【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數特征．
10．某種爆竹點燃后升空，并在最高處燃爆，該爆竹點燃后離地高度h（單位：m）關于離地時間t（單位：s）的函數解析式是h＝30t﹣5t2，爆竹點燃后升空的最大高度是 　45　米．
【分析】將已知解析式化簡為頂點式即可求得答案．
【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t+9）+45＝﹣5（t﹣3）2+45，
依據頂點式可知頂點坐坐標為（3，45），則最大值為45．
故答案為：45．
【點評】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是掌握二次函數的頂點式．
11．小宇同學周末與爸爸去釣魚．爸爸釣到一條大魚，魚竿被拉彎近似可看成以A為頂點的拋物線一部分，魚線AB長米，魚隱約在水面上，估計魚離魚竿支點O有米，此時魚竿魚線呈一個平面，且與水平面夾角α恰好為60°，以魚竿支點為原點，則魚竿所在拋物線的解析式為 　y＝﹣（x﹣3）2+6　．
【分析】根據題意和直角三角形的性質，可以求得AC和BC的長，然后即可寫出點A的坐標，再根據點A為拋物線的頂點，該拋物線過點O（0，0），即可求得該拋物線的解析式．
【解答】解：由題意可得，
AB＝米，OB＝米，∠α＝60°，AC⊥OB，
∴∠CAB＝30°，
∴BC＝AB＝2米，AC＝6米，
∴OC＝OB﹣BC＝5﹣2＝3（米），
∴點A的坐標（3，6），
設拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+6，
∵點O（0，0）在該拋物線上，
∴0＝a（0﹣3）2+6，
解得a＝﹣，
即該拋物線解析式為y＝﹣（x﹣3）2+6，
故答案為：y＝﹣（x﹣3）2+6．
【點評】本題考查二次函數的應用、解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（0≤x≤7）與x軸的交點坐標為（7，0），設該圖象上任意兩點的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，d為x1≤x≤x2時y的最大值與最小值的差．若x2﹣x1＝6，則d的取值范圍是 　≤d≤8　．
【分析】由題意得：x1、x2只能在對稱軸的兩側，即0≤x1＜1，6≤x2≤7，即拋物線在x2處取得最小值，在頂點處取得最大值（c+），即可求解．
【解答】解：將（7，0）代入拋物線表達式得：0＝﹣49+21+c．
解得：c＝，
由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線x＝3，
∵0≤x≤7，x2﹣x1＝6，
則x1、x2只能在對稱軸的兩側，
即0≤x1＜1，6≤x2≤7，
即拋物線在x2處取得最小值，在頂點處取得最大值（c+），
而x2＝6時，函數y＝c，x2＝7時，y＝0，
當x1＝0時，則x2＝6，此時，d＝c+﹣c＝，
當x1＝1時，則x2＝7，此時，d＝c+﹣0＝+c，
故≤d≤8，
故答案為：≤d≤8．
【點評】本題考查的是拋物線和x軸的交點，熟悉函數額圖象和性質是解題的關鍵．
13．已知二次函數y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）若該函數圖象的對稱軸為直線x＝2，則m＝　2　．
（2）若該函數圖象與x軸正半軸有且只有一個交點，則m的取值范圍是 　﹣2＜m≤2　．
【分析】（1）由拋物線對稱軸的公式即可求解；
（2）由Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，得到拋物線和x軸有兩個交點，進而求解．
【解答】解：（1）拋物線的對稱軸為直線x＝2＝﹣，
解得：m＝2，
故答案為：2；
（2）Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，
則拋物線和x軸有兩個交點，
當x1 x2＝m2﹣4＜0且m≠﹣2時，符合題意，
解得：﹣2＜m≤2，
故答案為：﹣2＜m≤2．
【點評】本題考查的是拋物線和x軸的交點，熟悉二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
14．若關于x的方程x2﹣2kx+k﹣3＝0的一個實數根x1≥3，另一個實數根x2≤0，則關于x的二次函數y＝x2﹣2kx+k﹣3圖象的頂點到x軸距離h的取值范圍是 　≤h≤9　．
【分析】由題意得：x＝3時，y≤0，x＝0時，y≤0，可以確定k的取值范圍；二次函數頂點的縱坐標為﹣k2+k﹣3，在k的取值范圍內計算最值即可．
【解答】解：由題意得：x＝3時，y≤0，x＝0時，y≤0，
即，解得：≤k≤3，
二次函數y＝x2﹣2kx+k﹣3＝（x﹣k）2﹣k2+k﹣3，
頂點的y坐標為：﹣k2+k﹣3，
當≤k≤3時，﹣k2+k﹣3，在k＝時，h取得最小值，
即：當k＝時，﹣k2+k﹣3＝﹣，
即圖象的頂點到x軸距離的最小值是，
當k＝3時，﹣k2+k﹣3＝﹣9，
即圖象的頂點到x軸距離的最大值是9，
故≤h≤9，
故答案為：≤h≤9．
【點評】本題考查的是二次函數的綜合運用，核心是通過：x＝3時，y≤0，x＝0時，y≤0，可以確定k的取值范圍，此題難度適中．
15．已知二次函數y＝x2+2（m﹣2）x﹣m+2的圖象與x軸最多有一個公共點，若y＝m2﹣2tm﹣1的最小值為2，則t的值為 　﹣1　．
【分析】由題意得：Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（2﹣m）≤0，求得1≤m≤2，再分類求解即可．
【解答】解：由題意得：Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（2﹣m）≤0，
解得：1≤m≤2，
當t≥2時，
則m＝2時，y取得最小值，
即4﹣4t﹣1＝2，則t＝（舍去）；
當t≤1時，
則m＝1時，y取得最小值，
即1﹣2t﹣1＝2，則t＝﹣1；
當1＜t＜2時，
當m＝t時，y取得最小值，
即t2﹣2t2﹣1＝2，
方程無解，
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查的是拋物線和x軸的交點，分類求解是本題解題的關鍵．
三．解答題（共10小題）
16．如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度OH為1.5m．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度EF＝0.5m．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到綠化帶的距離OD為d（單位：m）．
（1）求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC；
（2）求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；
（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍．
【分析】（1）由頂點A（2，2）得，設y＝a（x﹣2）2+2，再根據拋物線過點（0，1.5），可得a的值，從而解決問題；
（2）由對稱軸知點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，可得點B的坐標；
（3）根據EF＝0.5，求出點F的坐標，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案．
【解答】解：（1）如圖1，由題意得A（2，2）是上邊緣拋物線的頂點，
設y＝a（x﹣2）2+2，
又∵拋物線過點（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上邊緣拋物線的函數解析式為y＝﹣（x﹣2）2+2，
當y＝0時，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴噴出水的最大射程OC為6m；
（2）∵對稱軸為直線x＝2，
∴點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
∴點B的坐標為（2，0）；
（3）∵EF＝0.5，
∴點F的縱坐標為0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
當x＞2時，y隨x的增大而減小，
∴當2≤x≤6時，要使y≥0.5，
則x≤2+2，
∵當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，且x＝0時，y＝1.5＞0.5，
∴當0≤x≤6時，要使y≥0.5，則0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，
∴d的最大值為2+2﹣3＝2﹣1，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，
∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤2﹣1．
【點評】本題是二次函數的實際應用，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數與方程的關系等知識，讀懂題意，建立二次函數模型是解題的關鍵．
17．如圖所示，一場籃球比賽中，某籃球隊員甲的一次投籃命中，籃球運行軌跡為拋物線的一部分．已知籃球出手位置點A與籃筐的水平距離為5m，籃筐距地面的高度為3m，當籃球行進的水平距離為3m時，籃球距地面的高度達到最大，為3.6m．
（1）求籃球出手位置點A的高度．
（2）此時，若對方隊員乙在甲前面1m處跳起攔截，已知乙的攔截高度為3.12m，那么他能否獲得成功？并說明理由．
（3）若甲在乙攔截時，突然向后后退0.2m，再投籃命中（此時乙沒有反應過來，置沒有移動），籃球運行軌跡的形狀沒有變化，且籃球越過乙時，超過其攔截高度0.08m，求籃球出手位置的高度變化．
【分析】（1）由待定系數法求出函數表達式，進而求解；
（2）當x＝1時，y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6＝﹣0.15（1﹣3）2+3.6＝3＜31.2，即可求解；
（3）由題意得，新拋物線的a＝﹣0.15，拋物線過點（5，3）、（1，3.2），求出函數表達式，進而求解．
【解答】解：（1）由題意得，拋物線的頂點為：（3，3.6），拋物線過點（5，3），
設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣3）2+3.6，
將（5，3）代入上式得：3＝a（5﹣3）2+3.6，
解得：a＝﹣0.15，
則拋物線的表達式為：y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6，
當x＝0時，y＝﹣0.15（0﹣3）2+3.6＝2.25，
即點A的高度為2.25m；
（2）獲得成功，理由：
當x＝1時，y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6＝﹣0.15（1﹣3）2+3.6＝3＜3.12，
故能獲得成功；
（3）由題意得，新拋物線的a＝﹣0.15，拋物線過點（5，3）、（1，3.2），
則設拋物線的表達式為：y＝﹣0.15x2+bx+c，
則，解得：，
則拋物線的表達式為：y＝﹣0.1x2+0.85x+2.5，
當x＝﹣0.2時，y＝﹣0.1x2+0.85x+2.5＝2.324＞2.25，
故籃球出手位置的高度提高了0.074m．
【點評】本題考查了二次函數解析式的求法及其實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．
18．某款旅游紀念品很受游客喜愛，每個紀念品進價40元，規定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為y個，銷售單價為x元．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？
（3）該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，求銷售單價x的范圍．
【分析】（1）銷售量＝原來的銷售量﹣10×提升的價格，把相關數值代入化簡即可；
（2）利潤＝每件紀念品的利潤×銷售量，把相關數值代入后可得二次函數，根據二次函數二次項系數的符號可得拋物線的開口方向，判斷出二次函數的對稱軸后，與自變量的取值范圍結合，可得相關定價和最大利潤；
（3）讓（2）中的利潤﹣200得到新的利潤，根據捐款后每天剩余利潤不低于2200元，利用函數的性質、函數的開口方向及自變量的取值范圍可得銷售單價x的取值范圍．
【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740．
∴y關于x的函數關系式為：y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600．
∴拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝57．
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴當x＝52時，w有最大值，最大值為：（52﹣40）×（﹣10×52+740）＝2640；
答：紀念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元；
（3）∵捐款后每天剩余利潤不低于2200元，
∴w﹣200≥2200．
∴﹣10x2+1140x﹣29600﹣200≥2200．
當﹣10x2+1140x﹣29600﹣200＝2200時，
﹣10x2+1140x﹣32000＝0．
x2﹣114x+3200＝0，
（x﹣50）（x﹣64）＝0．
∴x1＝50，x2＝64．
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，50≤x≤52．
答：為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，銷售單價x的范圍為：50≤x≤52．
【點評】本題考查二次函數的應用．得到銷售量以及利潤的關系式是解決本題的關鍵．應注意結合二次函數的對稱軸，開口方向及自變量的取值范圍確定相關函數的最值．
19．鳧山街道的大學畢業生小張在電商城開了一家網店，進行社會實踐，計劃經銷甲、乙兩種商品．若甲商品每件利潤10元，乙商品每件利潤20元，則每周能賣出甲商品40件，乙商品20件．經調查，甲、乙兩種商品零售單價分別每降價1元，這兩種商品每周可各多銷售10件．為了提高銷售量，小明決定把甲、乙兩種商品的零售單價都降價x元．
（1）直接寫出甲、乙兩種商品每周的銷售量y（件）與降價x（元）之間的函數關系式：y甲＝　10x+40　，y乙＝　10x+20　；
（2）求出小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤W（元）與降價x（元）之間的函數關系式？如果每周甲商品的銷售量不低于乙商品的銷售量的，那么當x定為多少元時，才能使小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大？
【分析】（1）根據題意可以列出甲、乙兩種商品每周的銷售量y（件）與降價x（元）之間的函數關系式；
（2）根據每周甲商品的銷售量不低于乙商品的銷售量的，列出不等式求出x的取值范圍，根據題意列出二次函數的解析式，根據二次函數的性質求出對稱軸方程，得到答案．
【解答】解：（1）由題意得，y甲＝10x+40；y乙＝10x+20；
故答案為：10x+40、10x+20；
（2）由題意得，
W＝（10﹣x）（10x+40）+（20﹣x）（10x+20）
＝﹣20x2+240x+800，
由題意得，10x+40≥（10x+20）
解得x≤2，
W＝﹣20x2+240x+800
＝﹣20（x﹣6）2+1520，
∵a＝﹣20＜0，
∴當x＜6時，W隨x增大而增大，
∴當x＝2時，W的值最大．
答：當x定為2元時，才能使小明每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大．
【點評】本題考查的是二次函數的應用，正確列出二次函數的關系式，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
20．某景區旅游商店以20元/kg的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于22元/kg，不高于45元/kg．經市場調查發現每天的銷售量y（kg）與銷售價格x（元/kg）之間的函數關系如圖所示．
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）當銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤＝（銷售價格﹣采購價格）×銷售量】
【分析】（1）由圖象可知，分兩種情況：當22≤x≤30時，當30＜x≤45時，分別利用待定系數法求解即可；
（2）設銷售利潤為w元，再根據銷售利潤＝（銷售價格﹣采購價格）×銷售量列出w與x的關系式，利用二次函數的性質求解即可．
【解答】解：（1）當22≤x≤30時，設函數表達式為y＝kx+b，
將（22，48），（30，40）代入解析式得，，
解得，
∴函數表達式為：y＝﹣x+70；
當30＜x≤45時，設函數表達式為：y＝mx+n，
將（30，40），（45，10）代入解析式得，，
解得，
∴函數表達式為：y＝﹣2x+100，
綜上，y與x的函數表達式為：y＝；
（2）設利潤為w元，當22≤x≤30時，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范圍內，w隨著x的增大而增大，
∴當x＝30時，w取得最大值為400；
當30＜x≤45時，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
當x＝35時，w取得最大值為450；
∵450＞400，
∴當銷售價格為35元/kg時，利潤最大為450元．
【點評】本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，關鍵是根據題意求出二次函數的解析式以及利用增減性求出最值．
21．無錫陽山是聞名遐邇的“中國水蜜桃之鄉”，每年6至8月，總會吸引大批游客前來品嘗，當地某商家為回饋顧客，兩周內將標價為20元/千克的水蜜桃經過兩次降價后變為16.2元/千克，并且兩次降價的百分率相同．
（1）求水蜜桃每次降價的百分率；
（2）①從第一次降價的第1天算起，第x天（x為整數）的售價、銷量及儲存和損耗費用的相關信息如表所示：
時間x/天 1≤x＜9 9≤x＜15
售價/（元/千克） 第1次降價后的價格 第2次降價后的價格
銷量/千克 105﹣3x 120﹣x
儲存和損耗費用/元 40+3x 3x2﹣68x+300
已知該種水果的進價為8.2元/千克，設銷售該水果第x（天）的利潤為y（元），求y與x（1≤x＜15）之間的函數解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大？②在①的條件下，問這14天中有多少天的銷售利潤不低于930元，請直接寫出結果．
【分析】（1）設水蜜桃每次降價的百分率為x%，根據題意可列出關于x的一元二次方程，解出 x的值即得出答案；
（2）①根據利潤＝（標價﹣進價）×銷量﹣儲存和損耗費，即可得y（元），進而可求出y與x（1≤x＜15）之間的函數解析式，再結合一次函數和二次函數的性質求出其最值即可；
②依題意可列出關于x的不等式，結合解一元一次不等式的方法和圖象法解一元二次不等式，分別求出x的解集，即可得出答案．
【解答】解：（1）設水蜜桃每次降價的百分率為x%，
依題意得，20（1﹣x%）2＝16.2，
解得：x1＝10，x2＝190（舍）．
∴水蜜桃每次降價的百分率為10%；
（2）①結合（1）得：第一次降價后的價格為20×（1﹣10%）＝18元，
∴當1≤x＜9時，y＝（18﹣8.2）（105﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣32.4x+989．
∵k＝﹣32.4＜0，
∴y隨著x的增大而減小，
∴當x＝1元時，利潤最大為﹣32.4×1+989＝956.6元；
當9≤x＜15，y＝（16.2﹣8.2）（120﹣x）﹣（3x2﹣68x+300）＝﹣3x2+60x+660＝﹣3（x﹣10）2+960，
∵a＝﹣3＜0，
∴當x＝10時，利潤最大為960元．
∵956.6＜960，
∴第10天利潤最大，最大利潤為960元．
綜上可知，
；第10天利潤最大，最大利潤為960元；
②當1≤x＜9時，y＝﹣32.4x+989≥930，
解得：x≤，
∴此時為1天利潤不低于930元；
當9≤x＜15時，y＝﹣3x2+60x+660≥930，
根據圖象法可解得：，
∴，
∴此時第9﹣13天的利用不低于930元，
13﹣9+1＝5（天），
綜上可知，共有1+5＝6天利潤不低于930元．
【點評】本題考查一元二次方程的實際應用，一次函數和二次函數的實際應用，一元一次不等式和一元二次不等式的實際應用．理解題意，找出等量關系，列出等式和不等式是解題關鍵．
22．已知函數，y2＝mx+n（m＞0）的圖象在同一平面直角坐標系中．
（1）若函數y1的圖象過點（﹣2，6），函數y2的圖象過點（t，6），求t的值．
（2）求這兩個函數圖象的交點的橫坐標．
（3）已知當p＜x＜q時，y1＜y2，求q﹣p的取值范圍．
【分析】（1）將（﹣2，6）代入，將（t，6）代入y2＝mx+n，可求得t的值．
（2）令mx2+n＝mx+n，求出x的值即可．
（3）結合二次函數和一次函數的圖象與性質可知，當0＜x＜1時，y1＜y2，進而可得0＜p＜q＜1，則0＜q﹣p＜1．
【解答】解：（1）將（﹣2，6）代入，將（t，6）代入y2＝mx+n，
得，
可得t＝4．
（2）令mx2+n＝mx+n，
得x2﹣x＝x（x﹣1）＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
∴這兩個函數圖象的交點的橫坐標為0，1．
（3）∵這兩個函數圖象的交點的橫坐標為0，1，m＞0，
∴當0＜x＜1時，y1＜y2，
∵當p＜x＜q時，y1＜y2，
∴0＜p＜q＜1，
∴0＜q﹣p＜1．
【點評】本題考查二次函數與不等式（組），熟練掌握二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質是解答本題的關鍵．
23．在平面直角坐標系中有且只有一個交點的兩個函數稱為“親密函數”，這個唯一的交點稱為他們的“密接點”．例如：y＝3x﹣1與y＝﹣x+3有且只有一個交點（1，2），則稱這兩個函數為“親密函數”，點（1，2）稱為他們的“密接點”．
（1）判斷下列幾組函數，是“親密函數”的在_____內記“√”，不是“親密函數”的在______內記“×”；
①y＝2x﹣1與y＝﹣x+2； 　√　
②與； 　×　
③y＝x2﹣x+1與y＝x． 　√　
（2）一次函數y＝kx+b與反比例函數（其中k，b為常數，k＞0是“親密函數”，且他們的“密接點”P到原點的距離等于3，求b的值．
（3）兩條直線l1與l2都是二次函數y＝x2+c的“親密函數”，且“密接點”分別為M，N．記直線l1與l2的交點的縱坐標為m，直線MN與y軸的交點的縱坐標為n．試判斷m與n的關系，并證明你的判斷．
【分析】（1）根據“親密函數”的定義即可作出判斷；
（2）由一次函數y＝kx+b與反比例函數（其中k，b為常數，k＞0是“親密函數”，可得b2﹣4k2＝0，則b＝2k或＝2k，P（﹣1，k）或（1，﹣k），根據他們的“密接點”P到原點的距離等于3求出k的值，即可得b的值．
（3）設直線l1：y＝k1x+b1，直線l2：y＝k2x+b2，由兩條直線l1與l2都是二次函數y＝x2+c的“親密函數”，且“密接點”分別為M，N．可得b1＝，M（，+c），b2＝，N（，+c），設直線MN的解析式為y＝k3x+b3，求出n＝b3＝﹣+c，求出m＝+c，即可得m+n＝2c．
【解答】解：（1）①∵y＝2x﹣1與y＝﹣x+2有且只有一個交點（1，1），
∴這兩個函數是“親密函數”，
故答案為：√；
②∵y＝與y＝沒有交點，
∴這兩個函數不是“親密函數”，
故答案為：×；
③y＝x2﹣x+1與y＝x有且只有一個交點（1，1），
∴這兩個函數是“親密函數”，
故答案為：√；
（2）∵一次函數y＝kx+b與反比例函數y＝﹣（其中k，b為常數，k＞0是“親密函數”，
∴方程kx+b＝﹣有且只有一個實數根，
∴kx2+bx+k＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝b2﹣4k2＝0，
∴b＝2k或＝2k，
當b＝2k時，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴P（﹣1，k），
∵“密接點”P到原點的距離等于3，
∴＝3，解得k＝2（負值舍去），
∴b＝4；
當b＝﹣2k時，kx2﹣2kx+k＝0，解得x＝1，
∴P（1，﹣k），
∵“密接點”P到原點的距離等于3，
∴＝3，解得k＝2（負值舍去），
∴b＝﹣4；
當b＝2k時，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴P（﹣1，k），
∵“密接點”P到原點的距離等于3，
∴＝3，解得k＝2（負值舍去），
∴b＝4；
綜上，b的值為4或﹣4；
（3）m+n＝2c．
證明：設直線l1：y＝k1x+b1，直線l2：y＝k2x+b2，
∵兩條直線l1與l2都是二次函數y＝x2+c的“親密函數”，且“密接點”分別為M，N．
∴k1x+b1＝x2+c，即x2﹣k1x+c﹣b1＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝﹣4（c﹣b1）＝0，
∴b1＝，
∴x1＝x2＝，
∴M（，+c），
同理：b2＝，N（，+c），
設直線MN的解析式為y＝k3x+b3，
∴k3+b3＝+c①，k3+b3＝+c②，
①k1×﹣②×k2得k1b3﹣k2b3＝（k2﹣k1）+（k1﹣k1）c，
∴b3＝﹣+c，
令x＝0，則n＝b3＝﹣+c，
∵m＝k1xm+b1＝k2xm+b2，
∴xm＝＝，
∴＝，
∴m＝+c，
∴m+n＝+c+（﹣+c）＝2c．
【點評】本題是二次函數綜合題，考查了新定義，一次函數、反比例函數與二次函數的交點問題，函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求函數的解析式等知識，解題的關鍵是讀懂“親密函數”、“密接點”的定義，理解它們之間的關系．
24．若二次函數y1＝a1x2+b1x+c1與y2＝a2x2+b2x+c2的圖象關于點P（1，0）成中心對稱圖形，我們稱y1與y2互為“中心對稱”函數．
（1）求二次函數y＝x2+6x+3的“中心對稱”函數的解析式；
（2）若二次函數y＝ax2+2ax+c（a＞0）的頂點在它的“中心對稱”函數圖象上，且當時，y最大值為2，求此二次函數解析式；
（3）二次函數y1＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象頂點為M，與x軸負半軸的交點為A、B，它的“中心對稱”函數y2的頂點為N，與x軸的交點為C、D，從左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BD，且四邊形AMDN為矩形，求b2﹣4ac的值．
【分析】（1）由新定義即可求解；
（2）求出c＝﹣7a，得到拋物線的表達式為：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），即可求解；
（3）由MH2＝AH DH，即可求解．
【解答】解：（1）y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，
則該函數的頂點坐標為：（﹣3，﹣6），
則該頂點關于（1，0）的對稱點為（5，6），
則“中心對稱”函數的解析式為：y＝﹣（x﹣5）2+6；
（2）由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線x＝﹣1，則頂點坐標為：（﹣1，c﹣a），
則“中心對稱”函數的頂點坐標為：（3，a﹣c），
則“中心對稱”函數的表達式為：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c，
將（﹣1，c﹣a）代入上式得：c﹣a＝﹣a（﹣1﹣3）2+a﹣c，
解得：c＝﹣7a，
則拋物線的表達式為：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），
當時，即﹣5≤x≤2，
則拋物線在x＝﹣5時，取得最大值為2，
即a（25﹣10﹣7）＝2，
解得：a＝，
則拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣；
（3）如下圖：
設點A、D的橫坐標分別為：x1，x2，Δ＝b2﹣4ac，
則點M的坐標為：（﹣，），x1＝，
根據點的對稱性，點D的橫坐標x2＝2﹣x1，
由點A、H的坐標得，AB＝，
則BP＝1﹣，
若AB＝2BD，即＝2﹣×2，
整理得：2a+b＝2，
當四邊形AMDN為矩形時，則∠AMD＝90°，設左側拋物線的對稱軸交x軸于點H，
在Rt△ADM中，tan∠MDH＝＝tan∠AMH＝，
則MH2＝AH DH，
而MH＝﹣，AH＝﹣﹣（）＝，DH＝（2﹣xA﹣xH），
則（﹣）2＝×（2﹣xA﹣xH），
整理得：＝（2b+4a+），
將2a+b＝2代入上式得：＝×（5），
解得：Δ＝20，
即b2﹣4ac＝20．
【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到解一元二次方程、新定義、矩形的性質、解直角三角形等，綜合性強，難度適中．
25．根據以下素材，探索完成任務
研究植物葉片的生長狀況
背景素材 大自然里有許多數學的奧秘．一片美麗的心形葉片可近似看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．
如圖，建立平面直角坐標系，發現心形葉片下部輪廓線可近似看作是二次函數y＝mx2﹣4mx﹣20m+5圖象的一部分，且經過原點．
心形葉片的對稱軸直線y＝x+2與坐標軸交于A、B兩點，直線x＝6分別交拋物線和直線AB于點E、F點，點E、E′是葉片上的一對對稱點，EE′交直線AB與點G．
問題解決
任務1 確定心形葉片的形狀 求拋物線的解析式及頂點D的坐標．
任務2 研究心形葉片的尺寸 求葉片此處的寬度EE′．
【分析】（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5求出m值即可得到拋物線解析式，配方成頂點式可得頂點坐標；
（2）分別根據解析式求出A（﹣2，0），B（0，2），F（6，8），E（6，3），根據對稱性可得到△EFG是等腰直角三角形，求出EG再乘2 即可．
【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5得：﹣20m+5＝0，
∴m＝，
∴拋物線解析式為：y＝，
∴頂點D的坐標為（2，﹣1）．
（2）∵直線AB的解析式為y＝x+2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝45°，
在y＝x+2中，當x＝6時，y＝8，
在y＝中，當x＝6時，y＝3，
∴F（6，8），E（6，3），
∴EF＝8﹣3＝5，
∵EF∥OB，
∴∠GFE＝∠ABO＝45°，
∵點E、E′是葉片上的一對對稱點，
∴EE′＝2EG，EG⊥FG，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG＝＝，
∴EE′＝2EG＝5．
【點評】本題考查了二次函數的應用，熟練掌握二次函數性質和圖形對稱是解答本題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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