資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
概率初步
一、課標導航
課標內容 課標要求 目標層次
事件 了解不可能事件、必然事件和隨機事件的含義 ★
概率 了解概率的意義；知道大量重復試驗時，可以用頻率估計概率 ★
會用列舉法(包括列表、樹狀圖)計算簡單事件發生的概率
二、核心綱要
1.確定事件和隨機事件
(1)確定事件
①必然事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發生的事件.
②不可能事件：有的事件在每次試驗中都不會發生，這樣的事件叫做不可能事件.
(2)隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件.
2.概率的意義與表示方法
(1)概率的意義：一般地，對于一個隨機事件 A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率,記為 P(A).
(2)事件和概率的表示方法
一般地，事件用英文大寫字母A、B、C、…，表示事件 A 的概率p，可記為
(3)概率的計算：一般地，如果在一次試驗中，有 n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A 包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為
3.確定事件和隨機事件的概率之間的關系
(1)確定事件概率
①當 A 是必然發生的事件時，
②當A 是不可能發生的事件時，
(2)確定事件和隨機事件的概率之間的關系
4. 用列舉法求事件的概率的常用方法
(1)窮舉法：如果試驗的結果較少，我們可以采用簡單列舉的方法，把所有可能的結果直接排列出來.
(2)列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.
(3)樹狀圖法：當一次試驗要涉及三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法.
本節重點講解：一個計算(概率的計算)，三個方法，三個概念(確定事件、隨機事件、概率).
三、全能突破
基礎演練
1.下列事件中，屬于確定事件的個數是( ).
(1)打開電視，正在播廣告； (2)投擲一枚普通的骰子，擲得的點數小于 10；
(3)射擊運動員射擊一次，命中10環； (4)在一個只裝有紅球的袋中摸出白球.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.在四張完全相同的卡片上，分別畫有圓、菱形、等腰三角形、等腰梯形，現從中隨機抽取一張，卡片上的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是( ).
A. B. C. D.1
3.一個不透明的盒子里有 n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有 6個黃球.每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球實驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在30%，那么可以推算出 n大約是( ).
A.6 B.10 C.18 D.20
4.同時擲兩個質地均勻的骰子，觀察向上一面的點數，兩個骰子的點數相同的概率為 .
5.如下左圖所示，A、B是邊長為1的小正方形組成的網格的兩個格點，在格點中任意放置點 C，恰好能使△ABC 的面積為1的概率是 .
6.如下右圖所示，在3×3的正方形網格中，已有兩個小正方形被涂黑，再將圖中剩余的編號為1~7 的小正方形中任意一個涂黑，則所得圖案是一個軸對稱圖形的概率是 .
7.在平行四邊形 ABCD 中,AC、BD 是兩條對角線,現從以下四個關系式 :① AB=BC,②AC=BD,③AC⊥BD，④AB⊥BC 中任取一個作為條件，即可推出平行四邊形 ABCD 是菱形的概率為 .
8.三張完全相同的卡片上分別寫有函數 從中隨機抽取一張，則所得卡片上函數的圖像在第一象限內 y隨x的增大而增大的概率是 .
9.在一個不透明的盒子里裝有5個分別寫有數字-3，-2，-1，1，2的小球，它們除數字不同外其余全部相同.現從盒子里隨機取出一個小球，將該小球上的數字作為a的值，再將該數字加2 作為b的值，則拋物線 的對稱軸在 y軸左側的概率是 .
10.有七張正面分別標有數字-3，-2，-1，0，1，2，3的卡片，它們除數字不同外其余全部相同.現將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，記卡片上的數字為a，則使關于x的一元二次方程 a(a-3)=0有兩個不相等的實數根，且以x為自變量的二次函數 的圖像不經過點(1,0)的概率是 .
11.在一個不透明的口袋里裝有分別標有數字1，2，3，4 四個小球，除數字不同外，小球沒有任何區別，每次實驗先攪拌均勻.
(1)若從中任取一球，球上的數字為偶數的概率為多少
(2)若從中任取一球(不放回)，再從中任取一球，請用畫樹狀圖或列表格的方法求出兩個球上的數字之和為偶數的概率.
(3)若設計一種游戲方案：從中任取兩球，兩個球上的數字之差的絕對值為1為甲勝，否則為乙勝，請問這種游戲方案設計對甲、乙雙方公平嗎 說明理由.
能力提升
12.一只盒子中有紅球m個，白球8個，黑球n個，每個球除顏色外都相同，從中任取一個球，取得白球的概率與不是白球的概率相同，那么m 與n的關系是( ).
A. m=3,n=5 B. m=n=4 C. m+n=4 D. m+n=8
13.在圍棋盒中有x顆白色棋子和y顆黑色棋子，從盒中隨機取出一顆棋子，取得白色棋子的概率是 .如果再往盒中放進 6 顆黑色棋子，取得白色棋子的概率是 ，則原來盒中有白色棋子( ).
A.8顆 B.6 顆 C.4 顆 D.2 顆
14.如下圖所示,正方形 ABCD 內接于⊙O,⊙O的直徑為 分米，若在這個圓面上隨意拋一粒豆子，則豆子落在正方形 ABCD 內的概率是( ).
A. /π B.π/2 C. π D. π
15.箱子中裝有4個只有顏色不同的球，其中2個白球，2個紅球，4個人依次從箱子中任意摸出一個球，不放回，則第二個人摸出紅球且第三個人摸出白球的概率是 .
16.有四張正面分別標有數字-3，0，1，5的不透明卡片，它們除數字不同外其余全部相同.現將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數學記為a，則使關于x的分式方程 有正整數解的概率為 .
17.甲、乙兩人玩“錘子、石頭、剪子、布”游戲，他們在不透明的袋子中放入形狀、大小均相同的15 張卡片，其中寫有“錘子”、“石頭”、“剪子”、“布”的卡片張數分別為2，3，4，6.兩人各隨機摸出一張卡片(先摸者不放回)來比勝負，并約定：“錘子”勝“石頭”和“剪子”，“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“錘子”和“石頭”，同種卡片不分勝負.
(1)若甲先摸，則他摸出“石頭”的概率是多少
(2)若甲先摸出了“石頭”，則乙獲勝的概率是多少
(3)若甲先摸，則他先摸出哪種卡片獲勝的可能性最大
18.如下圖所示，甲、乙兩個可以自由轉動的均勻的轉盤，甲轉盤被分成3個面積相等的扇形，乙轉盤被分成4個面積相等的扇形，每一個扇形都標有相應的數字，同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，設甲轉盤中指針所指區域內的數字為m，乙轉盤中指針所指區域內的數字為 n(若指針指在邊界線上時，重轉一次，直到指針都指向一個區域為止).
(1)請你用畫樹狀圖或列表格的方法求出|m+n|>1的概率.
(2)直接寫出點(m，n)落在函數 圖像上的概率.
19.有四張卡片(背面完全相同)，分別寫有數字1、2、-1、-2，把它們背面朝上洗勻后，甲同學抽取一張記下這個數字后放回洗勻，乙同學再從中抽出一張，記下這個數字，用字母b、c分別表示甲、乙兩同學抽出的數字.
(1)用列表法求關于x的方程 有實數根的概率.
(2)求(1)中方程有兩個相等實數根的概率.
(3)將取出的b和c 兩個數代入二次函數 中，得到多少個不同形式的二次函數 并寫出該二次函數的頂點在x軸上的概率為多少
(4)若將取出的b、c分別作為點A 的橫坐標、縱坐標，求點 A(b，c)落在第三象限的概率.
中考鏈接
20.(山東聊城)我市初中畢業男生體育測試成績有四項，其中“立定跳遠”“100 米跑”“肺活量測試”為必測項目，另一項為“引體向上”和“推鉛球”中選擇一項測試.小亮、小明和大剛從“引體向上”和“推鉛球”中選擇同一個項目的概率是 .
21.(安徽)如下圖所示，隨機閉合開關 中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發光的概率為( ).
A. B.
巔峰突破
22.將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數為 a，第二次擲出的點數為 b，則使關于 x，y 的方程組 只有正數解的概率 為( ).
A. B. C.
23.把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為m，n，則二次函數 的圖像與x軸有兩個不同交點的概率是( ).
A. B. C. D.
基礎演練
1. C 2. B 3. D
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.(1) .
(2)畫樹狀圖如下：
∵共有12種等可能的結果，兩個球上的數字之和為偶數的有(1.3),(2.4),(3.1),(4,2)共4種情況,
∴兩個球上的數字之和為偶數的概率為：
(3)∵兩個球上的數字之差的絕對值為1的有(1，2)，(2，3).(2.1).(3.2).(3.4).(4.3)共6種情況,∴P(甲勝)= ,P(乙勝))= ,∴P(甲勝)=P(乙勝).
∴這種游戲方案設計對甲、乙雙方都公平.
能力提升
12. D 13. C 14. A 15. 1 6.
17.(1) (2)
(3)若甲先摸，則“錘子”、“石頭”、“剪子”、“布”四種卡片都有可能被摸出.
若甲先摸出“錘子”，則甲獲勝(即乙摸出“石頭”或“剪子”)的概率為
若甲先摸出“石頭”，則甲獲勝(即乙摸出“剪子”)的概率為
若甲先摸出“剪子”，則甲獲勝(即乙摸出“布”)的概率為
若甲先摸出“布”，則甲獲勝(即乙摸出“錘子”或“石頭”)的概率為- .
∴甲先摸出“錘子”獲勝的可能性最大.
18.(1)畫樹狀圖如下:
所有等可能的結果有 12種，其中|m+n|>1的情況有5種。
所以|m+n|>1的概率為
(2)點(m. n)在函數 上口的概率為
19.(1)列表如下:
(1.-2) (2.-2) (-1.-2) (-2.-2)
(1.-1) (2.-1) (-1.-1) (-2.-1)
(1.2) (2.2) (-1.2) (-2.2)
(1.1) (2.1) (-1.1) (-2.1)
∴一共有 16種等可能的結果，
∵關于x的方程. 有實數解,即b -4c≥0.
∴關于x的方程. 有實數解的有(1,-1),(1.-2).(2.1).(2.-1).(2.-2).(-1.-1).(-1.-2).(-2.1).(-2.-1).(-2.-2)共10 種情況.
∴關于x的方程x +bx+c=0有實數解的概率為：
(2)由(1)可知,方程有兩個相等實數根的有(-2,1),(2,
1).∴(1)中方程有兩個相等實數根的概率為：
(4)由(1)可得,第三象限點的坐標有(-1.-2),(-2.-2),(-1,-1),(-2,-1),∴點 A(b,c)落在第三象限的概率為：
中考鏈接
20. 21. B
巔峰突破
22. D 23. C

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