資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
備考2024中考二輪數(shù)學(xué)《高頻考點(diǎn)沖刺》（全國(guó)通用）
專題16 全等三角形問(wèn)題
考點(diǎn)掃描☆聚焦中考
全等三角形問(wèn)題在近幾年各地中考中主要以選擇題或填空題的形式考查，題目較為簡(jiǎn)單，屬于低檔題；考查內(nèi)容主要有：全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)綜合、角平分線的性質(zhì)等；考查熱點(diǎn)主要有：全等三角形的判定、性質(zhì)和全等三角形的綜合應(yīng)用等
考點(diǎn)剖析☆典型例題
例1 （2020 淄博）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
例2（2022 成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個(gè)條件，能判定△ABC≌△DEF的是（　?。?br/>A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
例3（2023 西藏）如圖，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求證：∠1＝∠2．
例4（2022 鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．2 B．2 C．4 D．4+2
考點(diǎn)過(guò)關(guān)☆專項(xiàng)突破
類型一 全等三角形的性質(zhì)
1．（2021 哈爾濱）如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（　?。?br/>A．30° B．25° C．35° D．65°
2．（2023 成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長(zhǎng)為 　?。?br/>3．（2023 北京）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，連接DE．設(shè)AB＝a，BC＝b，DE＝c，給出下面三個(gè)結(jié)論：
①a+b＜c； ②a+b＞； ③（a+b）＞c．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　?。?br/>A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2019 上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的長(zhǎng)是　?。?br/>類型二 全等三角形的判定
1．（2023 甘孜州）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，只添加一個(gè)條件，能判定△AOC≌△BOD的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD
2．（2023 涼山州）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（　?。?br/>A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
3．（2022 云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個(gè)條件是（　　）
A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
4．（2021 攀枝花）如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來(lái)一樣的三角形模具，他帶（　?。┤プ钍∈拢?br/>A．① B．② C．③ D．①③
5．（2022 黑龍江）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，請(qǐng)你添加一個(gè)條件 　 　，使△AOB≌△COD．
6．（2020 黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件　 　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
7．（2022 百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求證：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面積．
8．（2023 衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個(gè)條件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．
（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．
類型三 全等三角形的綜合
1．（2023 長(zhǎng)春）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（　　）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
D．兩點(diǎn)之間線段最短
2．（2023 重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度為 　?。?br/>3．（2023 通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點(diǎn)A，D在PQ異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng) 　　s．
4．（2023 遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AC＝4，CE＝5，則CD的長(zhǎng)為 　?。?br/>5．（2023 湖北）如圖，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE＞AE，連接DF交AE于點(diǎn)G，DE交AB于點(diǎn)H，連接CF．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 　 ?。?br/>6．（2023 呼和浩特）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，點(diǎn)P為AC邊上的中點(diǎn)，PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，PN交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且PM⊥PN．若BM＝1，則△PMN的面積為（　?。?br/>A．13 B． C．8 D．
7．（2023 大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長(zhǎng)線與DE相交于點(diǎn)F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．
8．（2023 長(zhǎng)沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長(zhǎng)．
9．（2023 蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點(diǎn)A圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．
（1）求證：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．
類型四 角平分線的性質(zhì)
1．（2022 北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝　?。?br/>2．（2022 黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　　．
3．（2021 青海）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（　?。?br/>A．8 B．7.5 C．15 D．無(wú)法確定
4．（2020 牡丹江）如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（　　）
A．一處 B．二處 C．三處 D．四處
5．（2023 廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點(diǎn)E到直線AD的距離為 　　．
6．（2020 湘潭）如圖，點(diǎn)P是∠AOC的角平分線上一點(diǎn)，PD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，且PD＝3，點(diǎn)M是射線OC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為　?。?br/>21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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專題16 全等三角形問(wèn)題
考點(diǎn)掃描☆聚焦中考
全等三角形問(wèn)題在近幾年各地中考中主要以選擇題或填空題的形式考查，題目較為簡(jiǎn)單，屬于低檔題；考查內(nèi)容主要有：全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)綜合、角平分線的性質(zhì)等；考查熱點(diǎn)主要有：全等三角形的判定、性質(zhì)和全等三角形的綜合應(yīng)用等
考點(diǎn)剖析☆典型例題
例1 （2020 淄博）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例2（2022 成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個(gè)條件，能判定△ABC≌△DEF的是（　?。?br/>A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
【答案】B
【點(diǎn)撥】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，則可根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解析】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴當(dāng)添加∠C＝∠F時(shí)，可根據(jù)“ASA”判定△ABC≌△DEF；
當(dāng)添加∠ABC＝∠DEF時(shí)，可根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEF；
當(dāng)添加AB＝DE時(shí)，即AE＝BD，可根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．
例3（2023 西藏）如圖，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求證：∠1＝∠2．
【答案】見(jiàn)解析．
【點(diǎn)撥】先由題意可證△ABC≌△DEC，可得∠ACB＝∠DCE，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解析】證明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠1＝∠2．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
例4（2022 鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長(zhǎng)為（　?。?br/>A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長(zhǎng)度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長(zhǎng)．
【解析】解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，如圖所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)過(guò)關(guān)☆專項(xiàng)突破
類型一 全等三角形的性質(zhì)
1．（2021 哈爾濱）如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（　　）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【答案】B
【點(diǎn)撥】由全等三角形的性質(zhì)可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，進(jìn)而可求解∠CAF的度數(shù)．
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，由全等三角形的性質(zhì)求解∠ACD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長(zhǎng)為 　3　．
【答案】3．
【點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EF＝BC＝8，計(jì)算即可．
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
3．（2023 北京）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，連接DE．設(shè)AB＝a，BC＝b，DE＝c，給出下面三個(gè)結(jié)論：
①a+b＜c； ②a+b＞； ③（a+b）＞c．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　?。?br/>A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【點(diǎn)撥】①根據(jù)直角三角形的斜邊大于任一直角邊即可；
②在三角形中，兩邊之和大于第三邊，據(jù)此可解答；
③將c用a和b表示出來(lái)，再進(jìn)行比較．
【解析】解：①過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交AE于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)B作BG⊥FD，交FD于點(diǎn)G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四邊形ABGF為矩形．
同理可得，四邊形BCDG也為矩形．
∴FD＝FG+GD＝a+b．
∴在Rt△EFD中，斜邊c＞直角邊a+b．
故①正確．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE＝＝．
∵AB+AE＞BE，
∴a+b＞．
故②正確．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE＝＝c sin45°＝c．
∴c＝．
∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），
∴＞，
∴＞c．
故③正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)．雖然是選擇題，但計(jì)算量不小，比較繁瑣，需要細(xì)心、耐心．
4．（2019 上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點(diǎn)D、D1分別在邊AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的長(zhǎng)是　?。?br/>【答案】
【點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理求得AB＝5，由△ACD≌△C1A1D1，所以可以將A1點(diǎn)放在左圖的C點(diǎn)上，C1點(diǎn)放在左圖的A點(diǎn)上，D1點(diǎn)對(duì)應(yīng)左圖的D點(diǎn)，從而得出BC∥B1C1，根據(jù)其性質(zhì)得出＝2，解得求出AD的長(zhǎng)．
【解析】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以將△C1A1D1與△ACD重合，如圖，
∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，
∴BC∥B1C1，
∴＝，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴＝，
解得AD＝，
∴AD的長(zhǎng)為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，證得＝是解題的關(guān)鍵．
類型二 全等三角形的判定
1．（2023 甘孜州）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，只添加一個(gè)條件，能判定△AOC≌△BOD的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)題目給出的條件結(jié)合全等三角形的判定定理分別分析即可．
【解析】解：A、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；
B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)符合題意；
C、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；
D、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
2．（2023 涼山州）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（　?。?br/>A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)BE＝CF求出BF＝CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．
【解析】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴當(dāng)∠A＝∠D時(shí)，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合題意；
當(dāng)∠AFB＝∠DEC時(shí)，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合題意；
當(dāng)AB＝DC時(shí)，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合題意；
當(dāng)AF＝DE時(shí)，無(wú)法證明△ABF≌△DCE，故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．
3．（2022 云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個(gè)條件是（　?。?br/>A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
【答案】D
【點(diǎn)撥】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根據(jù)AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解析】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，則根據(jù)AAS可得△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)D符合題意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)A不符合題意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)B不符合題意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)C不符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理并會(huì)應(yīng)用．
4．（2021 攀枝花）如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來(lái)一樣的三角形模具，他帶（　?。┤プ钍∈拢?br/>A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合圖形判斷出帶③去．
【解析】解：由圖形可知，③有完整的兩角與夾邊，根據(jù)“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是帶③去．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2022 黑龍江）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，請(qǐng)你添加一個(gè)條件 　OB＝OD（答案不唯一）　，使△AOB≌△COD．
【答案】OB＝OD（答案不唯一）
【點(diǎn)撥】此題是一道開(kāi)放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解析】解：添加的條件是OB＝OD，
理由是：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故答案為：OB＝OD（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．
6．（2020 黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件　AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF）　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【答案】AB＝ED
【點(diǎn)撥】本題是一道開(kāi)放型的題目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解析】解：添加的條件是：AB＝ED，
理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA），
故答案為：AB＝ED．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：兩直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
7．（2022 百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求證：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面積．
【答案】見(jiàn)解析
【點(diǎn)撥】（1）利用全等三角形的判定方法，結(jié)合三邊關(guān)系得出答案；
（2）直接利用全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形中30度所對(duì)邊與斜邊的關(guān)系得出對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．
【解析】（1）證明：在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），
則S△CDA＝（平方米），
∴草坪造型的面積為：2×＝3（平方米）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
8．（2023 衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個(gè)條件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．
（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．
【答案】（1）選擇的三個(gè)條件是：①②③，或者選擇的三個(gè)條件是：①③④；
（2）證明見(jiàn)解析過(guò)程．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)兩三角形全等的判定定理，選擇合適的條件即可．
（2）根據(jù)（1）中所選條件，進(jìn)行證明即可．
【解析】解：（1）由題知，
選擇的三個(gè)條件是：①②③；
或者選擇的三個(gè)條件是：①③④．
證明：（2）當(dāng)選擇①②③時(shí)，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
當(dāng)選擇①③④時(shí)，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的證明，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
類型三 全等三角形的綜合
1．（2023 長(zhǎng)春）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（　　）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
D．兩點(diǎn)之間線段最短
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)得出OA＝OA'，OB＝OB'，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，從而證得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，問(wèn)題得證．
【解析】解：∵點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由對(duì)頂角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正確運(yùn)用三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度為 　3?。?br/>【答案】3．
【點(diǎn)撥】先證明△ABE≌△CAF（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，進(jìn)一步可得EF的長(zhǎng)．
【解析】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝CF，
∵BE＝4，CF＝1，
∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，
∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2023 通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點(diǎn)A，D在PQ異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng) 　1　s．
【答案】1．
【點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到角與邊的等量關(guān)系，從而證明△BDP≌APQ，由此得到邊之間的關(guān)系，進(jìn)而求解．
【解析】解：設(shè)點(diǎn)P需移動(dòng)t秒，點(diǎn)D落在BC邊上，如圖所示．
∵三角形PQD是等邊三角形，
∴∠DPQ＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，
∴△BDP≌△APQ（ASA）．
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，BD＝AP＝2t，
∵∠BPD＝30°，
∴BD＝BP，即2t＝（6﹣2t），
∴t＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題通過(guò)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的運(yùn)用．
4．（2023 遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AC＝4，CE＝5，則CD的長(zhǎng)為 　?。?br/>【答案】．
【點(diǎn)撥】由“ASA”可證△ABD≌△ECD，可得AB＝CE＝5，由勾股定理可求BC的長(zhǎng)，即可求解．
【解析】解：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（ASA），
∴AB＝CE＝5，
∴BC＝＝3，
∴CD＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 湖北）如圖，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE＞AE，連接DF交AE于點(diǎn)G，DE交AB于點(diǎn)H，連接CF．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ?、佗邰堋。?br/>【答案】①③④．
【點(diǎn)撥】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠ABC＝∠DBE＝45°，可得出①正確；證明△BEA≌△DEF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝DF，可得出③正確；由直角三角形的性質(zhì)可判斷②不正確；證明四邊形DFCA為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出DA＝CF，則可得出答案．
【解析】解：∵△BAC，△DEB都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
∴∠EBC＝∠DBA，
故①正確；
∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，AE＝EF，∠BED＝∠AEF＝90°，
∴∠BEA＝∠DEF，
∴△BEA≌△DEF（SAS），
∴AB＝DF，∠ABE＝∠EDF，∠BAE＝∠DFE．
故③正確；
∵∠BEH＝∠GEF＝90°，
∴∠ABE+∠BHE＝90°，∠EGF+∠DFE＝90°，
∵BE＞AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∴∠ABE≠∠DFE，
∴∠BHE≠∠EGF；
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAC＝45°，
又∵∠AFD+∠EFG＝45°，∠BAE＝∠DFE，
∴∠DFA＝∠FAC，
∴DF∥AC，
∵AB＝DF，AB＝AC，
∴DF＝AC，
∴四邊形DFCA為平行四邊形，
∴DA＝CF．
故④正確．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△BEA≌△DEF．
6．（2023 呼和浩特）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，點(diǎn)P為AC邊上的中點(diǎn)，PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，PN交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且PM⊥PN．若BM＝1，則△PMN的面積為（　　）
A．13 B． C．8 D．
【答案】D
【點(diǎn)撥】依據(jù)題意，連接BP，然后先證明△BMP≌△CNP，從而CN＝BP＝1，又由等腰Rt△ABC可得BC＝4，從而在Rt△MBN中可以求得MN，又MP＝NP，從而可得MN的值，進(jìn)而可以得解．
【解析】解：如圖連接BP．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，點(diǎn)P為AC邊上的中點(diǎn)，
∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP＝∠ABC＝45°，∠BCA＝45°，BP＝CP＝AC＝2．
∴∠MBP＝∠NCP＝180°﹣45°＝135°．
∵BP⊥AC，PM⊥PN，
∴∠BPM+∠MPC＝90°，∠CPN+∠MPC＝90°．
∴∠BPM＝∠CPN．
又BP＝CP，∠MBP＝∠NCP，
∴△BMP≌△CNP（ASA）．
∴BM＝CN＝1，MP＝NP．
在Rt△BPC中，BC＝＝4．
∴在Rt△MBN中，MN＝＝＝．
又在Rt△MPN中，MP＝NP，
∴MP2+NP2＝MN2．
∴MP＝NP＝．
∴S△PMN＝MP NP＝．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
7．（2023 大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長(zhǎng)線與DE相交于點(diǎn)F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．
【答案】見(jiàn)解析．
【點(diǎn)撥】由已知∠ACF+∠AED＝180°，可得到∠ACB＝∠AED，再利用SAS證明△ABC≌△ADE，從而得到AB＝AD．
【解析】證明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝∠AED，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AB＝AD．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，掌握SAS判定定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2023 長(zhǎng)沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解答；
（2）4．
【點(diǎn)撥】（1）利用“AAS”可證明△ABE≌△ACD；
（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理計(jì)算出AC，從而得到AB的長(zhǎng)，然后計(jì)算AB﹣AD即可．
【解析】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝6，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，
∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
9．（2023 蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點(diǎn)A圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．
（1）求證：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．
【答案】見(jiàn)解析
【點(diǎn)撥】（1）由角平分線定義得出∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．由SAS可證明△ADE≌△ADF；
（2）由作圖知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADE＝70°，則可得出答案．
【解析】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD＝∠CAD．
由作圖知：AE＝AF．
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝80°，AD為△ABC的角平分線，
∴∠EAD＝∠BAC＝40°，
由作圖知：AE＝AD．
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵AB＝AC，AD為△ABC的角平分線，
∴AD⊥BC．
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
類型四 角平分線的性質(zhì)
1．（2022 北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝　1?。?br/>【答案】1
【點(diǎn)撥】過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DH＝1，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．
【解析】解：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH＝1，
∴S△ACD＝×2×1＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
2．（2022 黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　3?。?br/>【答案】3．
【點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD＝DE，然后根據(jù)△ABC的面積列式計(jì)算即可得解．
【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC CD+AB DE＝AC BC，
即×6 CD+×10 CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2021 青海）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（　?。?br/>A．8 B．7.5 C．15 D．無(wú)法確定
【答案】B
【點(diǎn)撥】過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DA＝3，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．
【解析】解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，如圖，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面積＝×5×3＝7.5．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
4．（2020 牡丹江）如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（　?。?br/>A．一處 B．二處 C．三處 D．四處
【答案】D
【點(diǎn)撥】作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點(diǎn)P1、P2、P3，內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P4，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
【解析】解：作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點(diǎn)P1、P2、P3，內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P4，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到這4個(gè)點(diǎn)到三條公路的距離分別相等．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
5．（2023 廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點(diǎn)E到直線AD的距離為 　?。?br/>【答案】．
【點(diǎn)撥】過(guò)E作EH⊥AD于H，由角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面積公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到點(diǎn)E到直線AD的距離．
【解析】解：過(guò)E作EH⊥AD于H，
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝5，
∵AE＝12，
∴AD＝＝13，
∵△ADE的面積＝AD EH＝AE DE，
∴13EH＝12×5，
∴EH＝，
點(diǎn)E到直線AD的距離為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，關(guān)鍵是由三角形的面積得到AD EH＝AE DE．
6．（2020 湘潭）如圖，點(diǎn)P是∠AOC的角平分線上一點(diǎn)，PD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，且PD＝3，點(diǎn)M是射線OC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為　3?。?br/>【答案】3
【點(diǎn)撥】根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)PM⊥OC時(shí)，PM最小，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，即可得出答案．
【解析】解：根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)PM⊥OC時(shí)，PM最小，
當(dāng)PM⊥OC時(shí)，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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