資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題17 等腰（等邊）三角形問題
考點掃描☆聚焦中考
等腰（等邊）三角形問題近幾年各地中考主要以填空題或選擇題考查，也有解答題出現，難度系數小，較簡單，屬于低檔題；考查的知識點主要有：等腰三角形的性質與判定、等邊三角形的性質與判定、線段的垂直平分線的性質；考查熱點主要有：等腰三角形性質與判定、等邊三角形性質與判定、線段垂直平分線的性質.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 宿遷）若等腰三角形有一個內角為110°，則這個等腰三角形的底角是（　　）
A．70° B．45° C．35° D．50°
例2（2020 青海）已知a，b，c為△ABC的三邊長．b，c滿足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a為方程|x﹣4|＝2的解，則△ABC的形狀為　　三角形．
例3（2023 益陽）如圖，AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點E，F，CD上有一點G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度數．
例4（2023 綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（　?。?br/>A． B．6 C．8 D．
例5（2021 寧夏）如圖，在 ABCD中，AD＝4，對角線BD＝8，分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E和點F，作直線EF，交對角線BD于點G，連接GA，GA恰好垂直于邊AD，則GA的長是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
考點過關☆專項突破
類型一 等腰三角形的性質與判定
1．（2023 南京）若一個等腰三角形的腰長為3，則它的周長可能是（　?。?br/>A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2023 眉山）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數為（　　）
A．70° B．100° C．110° D．140°
3．（2023 內蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點A，B，點C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數為（　?。?br/>A．32° B．58° C．74° D．75°
4．（2023 菏澤）△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（　?。?br/>A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2022 寧波）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F為CE中點．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
6．（2023 重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，若AB＝5，BC＝6，則AD的長度為 　?。?br/>7．（2023 西寧）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數是 　?。?br/>8．（2023 山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為 　?。?br/>9．（2022 溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．
（1）求證：∠EBD＝∠EDB．
（2）當AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．
10．（2023 煙臺）如圖，點C為線段AB上一點，分別以AC，BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在線段EC上取一點F，使EF＝AD，連接BF，DE．
（1）如圖1，求證：DE＝BF；
（2）如圖2，若AD＝2，BF的延長線恰好經過DE的中點G，求BE的長．
類型二 等邊三角形的性質與判定
1．（2023 金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E，則∠DEC＝（　?。?br/>A．20° B．25° C．30° D．35°
2．（2022 綿陽）下列關于等邊三角形的描述不正確的是（　?。?br/>A．是軸對稱圖形 B．對稱軸的交點是其重心
C．是中心對稱圖形 D．繞重心順時針旋轉120°能與自身重合
3．（2022 鞍山）如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，∠2＝40°，則∠1的度數為（　?。?br/>A．80° B．70° C．60° D．50°
4．（2023 濱州）已知點P是等邊△ABC的邊BC上的一點，若∠APC＝104°，則在以線段AP，BP，CP為邊的三角形中，最小內角的大小為（　?。?br/>A．14° B．16° C．24° D．26°
5．（2019 銅仁市）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，點E、F分別在邊DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，則S△CEF＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2022 張家界）如圖，點O是等邊三角形ABC內一點，OA＝2，OB＝1，OC＝，則△AOB與△BOC的面積之和為（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2020 臺州）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC上的三等分點．分別過點E，F沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是　?。?br/>8．（2023 雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點E，BC＝8，AE＝6，則AB的長為 　?。?br/>9．（2023 涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是 　　．
10．（2023 武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是 　?。?br/>類型三 線段垂直平分線的性質
1．（2023 青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是 　　．
2．（2023 麗水）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長是 　?。?br/>3．（2022 青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，∠BAE＝10°，則∠C的度數是 　　．
4．（2021 淮安）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2022 宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
6．（2022 湖北）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F．下列結論：
①四邊形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．
其中正確結論的個數是（　?。?br/>A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2021 河北）如圖，直線l，m相交于點O．P為這兩直線外一點，且OP＝2.8．若點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（　?。?br/>A．0 B．5 C．6 D．7
8．（2021 長沙）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝CD，延長BC至E，使得CE＝CA，連接AE．
（1）求證：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周長和面積．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題17 等腰（等邊）三角形問題
考點掃描☆聚焦中考
等腰（等邊）三角形問題近幾年各地中考主要以填空題或選擇題考查，也有解答題出現，難度系數小，較簡單，屬于低檔題；考查的知識點主要有：等腰三角形的性質與判定、等邊三角形的性質與判定、線段的垂直平分線的性質；考查熱點主要有：等腰三角形性質與判定、等邊三角形性質與判定、線段垂直平分線的性質.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 宿遷）若等腰三角形有一個內角為110°，則這個等腰三角形的底角是（　　）
A．70° B．45° C．35° D．50°
【答案】C
【點撥】根據等腰三角形的性質進行計算，即可解答．
【解析】解：當等腰三角形的頂角為110°時，則它的底角＝＝35°，
故選：C．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質，以及三角形內角和定理是解題的關鍵．
例2（2020 青海）已知a，b，c為△ABC的三邊長．b，c滿足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a為方程|x﹣4|＝2的解，則△ABC的形狀為　等腰　三角形．
【答案】等腰
【點撥】利用絕對值的性質以及偶次方的性質得出b，c的值，進而利用三角形三邊關系得出a的值，進而判斷出其形狀．
【解析】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a為方程|x﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c為△ABC的三邊長，b+c＜6，
∴a＝6不合題意，舍去，
∴a＝2，
∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案為：等腰．
【點睛】此題主要考查了等腰三角形的判定，三角形三邊關系以及絕對值的性質和偶次方的性質，得出a的值是解題關鍵．
例3（2023 益陽）如圖，AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點E，F，CD上有一點G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度數．
【答案】64．
【點撥】由平行線的性質可得∠MFD的度數，再根據補角定義得∠GEF的度數，最后由三角形內角和定理可得答案．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠MFD＝∠1＝122°，∠MFD＝∠AEF，∠2＝∠AEG，
∵GE＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF＝180°﹣∠MFD＝180°﹣122°＝58°，
∴∠2＝180°﹣58°﹣58°＝64°．
【點睛】此題考查的是等腰三角形的性質、平行線的性質，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．
例4（2023 綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（　　）
A． B．6 C．8 D．
【答案】C
【點撥】先由等邊三角形的性質，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根據CE＝CD，得∠E＝∠CDE，進而得∠CBD＝∠E＝30°，則BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．
【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是AC邊上的中線，
∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴60°＝2∠E，
∴∠E＝30°，
∠CBD＝∠E＝30°，
∴BD＝DE＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，
即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝2AD＝8．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理等，熟練掌握等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．
例5（2021 寧夏）如圖，在 ABCD中，AD＝4，對角線BD＝8，分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E和點F，作直線EF，交對角線BD于點G，連接GA，GA恰好垂直于邊AD，則GA的長是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【點撥】根據線段垂直平分線的性質得到AG＝BG，根據勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解析】解：設BG＝x，則DG＝8﹣x，
由作圖可知：EF是線段AB的垂直平分線，
∴AG＝BG＝x，
在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即AG＝3，
故選：B．
【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質、線段垂直平分線的性質，根據線段垂直平分線的性質求出AG＝BG是解題的關鍵．
考點過關☆專項突破
類型一 等腰三角形的性質與判定
1．（2023 南京）若一個等腰三角形的腰長為3，則它的周長可能是（　?。?br/>A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【點撥】根據等腰三角形的性質及三角形三邊關系求解即可．
【解析】解：∵等腰三角形的腰長為3，
∴3﹣3＜等腰三角形的底長＜3+3，
即0＜等腰三角形的底長＜6，
∴6＜等腰三角形的周長＜12，
故選：B．
【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，熟記等腰三角形的性質是解題的關鍵．
2．（2023 眉山）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數為（　　）
A．70° B．100° C．110° D．140°
【答案】C
【點撥】根據等邊對等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形內角和定理求出∠B的度數，再根據三角形外角的性質即可求出∠ACD的度數．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝，
∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，掌握等腰三角形的性質：等邊對等角．
3．（2023 內蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點A，B，點C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數為（　?。?br/>A．32° B．58° C．74° D．75°
【答案】C
【點撥】由CA＝CB可得△ABC是等腰三角形，從而可求∠CBA的大小，再結合平行線的性質即可解答．
【解析】解：∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA＝74°．
故選：C．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質和平行線的性質，熟練掌握性質是解題關鍵．
4．（2023 菏澤）△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【點撥】由等式可分別得到關于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的關系，可推導得到△ABC為直角三角形．
【解析】解：由題意得，
解得，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC為等腰直角三角形，
故選：D．
【點睛】本題考查了非負性和勾股定理的逆定理的知識，求解的關鍵是熟練掌握非負數的和為0，每一個非負 數均為0，和勾股定理逆定理．
5．（2022 寧波）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，E為BD上一點，F為CE中點．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長為（　?。?br/>A．2 B．3 C．2 D．4
【答案】D
【點撥】根據三角形中位線可以求得AE的長，再根據AE＝AD，可以得到AD的長，然后根據直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關系，可以求得BD的長．
【解析】解：∵D為斜邊AC的中點，F為CE中點，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故選：D．
【點睛】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關系、三角形的中位線，解答本題的關鍵是求出AD的長．
6．（2023 重慶）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，若AB＝5，BC＝6，則AD的長度為 　4?。?br/>【答案】4．
【點撥】根據等腰三角形的性質可得AD⊥BC，在Rt△ABD中，根據勾股定理即可求出AD的長．
【解析】解：∵AB＝AC，AD是BC邊的中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ABD中，根據勾股定理，得AD＝＝＝4，
故答案為：4．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，涉及勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
7．（2023 西寧）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數是 　90°或50°?。?br/>【答案】90°或50°
【點撥】首先根據等腰三角形的性質求出∠B＝∠C＝40°，然后分兩種情況進行討論：①∠ADB＝90°；②∠BAD＝90°，進而根據三角形的內角和定理求出∠ADB的度數即可．
【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵△ABD為直角三角形，
∴有以下兩種情況：
①∠ADB＝90°，
②∠BAD＝90°，
此時∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
∴若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數是90°或50°．
故答案為：90°或50°．
【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質，三角形的內角的定理，熟練掌握等腰三角形的性質，三角形的內角的定理是解答此題的關鍵；分類討論是解答此題的難點，也是易錯點之一．
8．（2023 山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為 　?。?br/>【答案】．
【點撥】過A作AH⊥BC于H，延長AD，BC于E，根據等腰三角形的性質得出BH＝HC＝BC＝3，根據勾股定理求出AH＝＝4，證明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根據等腰三角形的性質得出CE＝BC＝6，證明CD∥AH，得到＝，求出CD＝，根據勾股定理求出DE＝＝＝，根據CD∥AH，得到＝，即＝，求出結果即可．
【解析】解：過A作AH⊥BC于H，延長AD，BC于E，如圖所示：
則∠AHC＝∠AHB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝HC＝BC＝3，
∴AH＝＝4，
∵∠ADB＝∠CBD+∠CED，∠ADB＝2∠CBD，
∴∠CBD＝∠CED，
∴DB＝DE，
∵∠BCD＝90°，
∴DC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∴EH＝CE+CH＝9，
∴＝，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD∥AH，
∴，
∴，
解得AD＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
9．（2022 溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．
（1）求證：∠EBD＝∠EDB．
（2）當AB＝AC時，請判斷CD與ED的大小關系，并說明理由．
【答案】（1）見解析；
（2）CD＝ED，理由見解析．
【點撥】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質可得結論；
（2）利用平行線的性質可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可．
【解析】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關鍵．
10．（2023 煙臺）如圖，點C為線段AB上一點，分別以AC，BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在線段EC上取一點F，使EF＝AD，連接BF，DE．
（1）如圖1，求證：DE＝BF；
（2）如圖2，若AD＝2，BF的延長線恰好經過DE的中點G，求BE的長．
【答案】（1）見解析；
（2）BE的長為2+2．
【點撥】（1）根據等腰三角形的性質得出∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，進而得出AD∥CE，得出∠ADC＝∠DCE，即可證得△DCE≌△FEB（SAS），得出DE＝BF；
（2）作GH∥CD，交CE于H，即可證得DG＝EG，GH∥BE，根據三角形中位線定理求得GH＝1，設CE＝BE＝m，則EH＝，FH＝，根據三角形相似的性質得到，解得m＝2+2．
【解析】（1）證明：∵△ACD、△BCE分別是以AC，BC為底邊的等腰三角形，
∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠A＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB，
∴AD∥CE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵EF＝AD，CE＝BE，
∴△DCE≌△FEB（SAS），
∴DE＝BF；
（2）解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠DCA＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，
∴DC∥BE，
作GH∥CD，交CE于H，
∵DG＝EG，GH∥CD，
∴CH＝EH，
∵AD＝2，AD＝CD，
∴CD＝2，
∴GH＝，
設CE＝BE＝m，
∴EH＝，
∵EF＝AD＝2，
∴FH＝，
∵GH∥BE，
∴△GHF∽△BEF，
∴，即，
解得m＝2+2或m＝2﹣2（舍去），
∴BE的長為2+2．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的判定和性質，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，作出輔助線構建向上三角形是解題的關鍵．
類型二 等邊三角形的性質與判定
1．（2023 金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E，則∠DEC＝（　?。?br/>A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【點撥】根據等邊三角形的性質可得∠ABC＝60°，根據等邊三角形三線合一可得∠CBD＝30°，再根據作圖可知BD＝ED，進一步可得∠DEC的度數．
【解析】解：在等邊△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC邊上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故選：C．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．
2．（2022 綿陽）下列關于等邊三角形的描述不正確的是（　?。?br/>A．是軸對稱圖形 B．對稱軸的交點是其重心
C．是中心對稱圖形 D．繞重心順時針旋轉120°能與自身重合
【答案】C
【點撥】根據等邊三角形的性質，軸對稱圖形的定義，中心對稱圖形的定義進行判斷即可．
【解析】解：等邊三角形是軸對稱圖形，每條邊的高線所在的直線是其對稱軸，
故A選項不符合題意；
三條高線的交點為等邊三角形的重心，
∴對稱軸的交點是其重心，
故B選項不符合題意；
等邊三角形不是中心對稱圖形，
故C選項符合題意；
等邊三角形繞重心順時針旋轉120°能與自身重合，
故D選項不符合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，軸對稱圖形，中心對稱圖形等，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
3．（2022 鞍山）如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，∠2＝40°，則∠1的度數為（　?。?br/>A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【點撥】先根據等邊三角形的性質得到∠A＝60°，再根據三角形內角和定理計算出∠3＝80°，然后根據平行線的性質得到∠1的度數．
【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故選：A．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．也考查了平行線的性質．
4．（2023 濱州）已知點P是等邊△ABC的邊BC上的一點，若∠APC＝104°，則在以線段AP，BP，CP為邊的三角形中，最小內角的大小為（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【答案】B
【點撥】過點P作PD∥AB交AC于點D，過點PE∥AC交AB于點E，四邊形AEPD為平行四邊形，根據平行線的性質易得△CDP為等邊三角形，△BEP為等邊三角形，則CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP就是以線段AP，BP，CP為邊的三角形，求出△AEP的三個內角即可求解．
【解析】解：如圖，過點P作PD∥AB交AC于點D，過點PE∥AC交AB于點E，
則四邊形AEPD為平行四邊形，
∴DP＝AE，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵PD∥AB，
∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，
∴△CDP為等邊三角形，
∴CP＝DP＝CD，
∴CP＝DP＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，
∴△BEP為等邊三角形，
∴BP＝EP＝BE，
∴△AEP就是以線段AP，BP，CP為邊的三角形，
∵∠APC＝104°，
∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，
∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，
∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°，
∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴以線段AP，BP，CP為邊的三角形的三個內角分別為16°、44°、120°，
∴最小內角的大小為16°．
故選：B．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、平行線的性質、三角形外角性質，根據題意正確畫出圖形，推理論證得到△AEP就是以線段AP，BP，CP為邊的三角形是解題關鍵．
5．（2019 銅仁市）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，點E、F分別在邊DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，則S△CEF＝（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】根據菱形的性質以及已知數據可證得△CEF為等邊三角形且邊長為，代入等邊三角形面積公式即可求解．
【解析】解：∵四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠DAB＝60°
∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°
∵CE＝CD，CF＝CB
∴CE＝CF＝
∴△CEF為等邊三角形
∴S△CEF＝＝
故選：D．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質以及等邊三角形的判定與性質，由已知條件證明三角形CEF是等邊三角形是解題的關鍵．
6．（2022 張家界）如圖，點O是等邊三角形ABC內一點，OA＝2，OB＝1，OC＝，則△AOB與△BOC的面積之和為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】將△AOB繞點B順時針旋轉60°得△CDB，連接OD，可得△BOD是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD＝90°，從而解決問題．
【解析】解：將△AOB繞點B順時針旋轉60°得△CDB，連接OD，
∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，
∴△BOD是等邊三角形，
∴OD＝OB＝1，
∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，
∴OD2+OC2＝CD2，
∴∠DOC＝90°，
∴△AOB與△BOC的面積之和為S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理，旋轉的性質等知識，利用旋轉將△AOB與△BOC的面積之和轉化為S△BOC+S△BCD，是解題的關鍵．
7．（2020 臺州）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC上的三等分點．分別過點E，F沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是　6　．
【答案】6
【點撥】根據三等分點的定義可求EF的長，再根據等邊三角形的判定與性質即可求解．
【解析】解：∵等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC上的三等分點，
∴EF＝2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴剪下的△DEF的周長是2×3＝6．
故答案為：6．
【點睛】考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，關鍵是證明△DEF是等邊三角形．
8．（2023 雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點E，BC＝8，AE＝6，則AB的長為 　2　．
【答案】2．
【點撥】連接AC、BD交于點O，過點E作EF⊥AC，交AC于點F，先證明△BCD是等邊三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝2，最后運用勾股定理求得AB即可．
【解析】解：如圖：連接AC、BD交于點O，過點E作EF⊥AC，交AC于點F，
又∵BC＝DC，∠C＝60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD＝BC＝CD＝8，
∵AB＝AD，BC＝DC，
∴AC⊥BD，BO＝DO＝BD＝4，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝30°，
又∵AE∥CD，
∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．
∴AE＝EC＝6，
過點E作EF⊥AC，交AC于點F，
∴CF＝CE cos30°＝6×＝3，
AF＝AE cos30°＝6×＝3，
CO＝BC cos30°＝8×＝4，
∴AC＝CF+AF＝6，
∴AO＝AC﹣CO＝6﹣4＝2．
在Rt△BOA中，AB＝＝＝2．
故答案為：2．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質、平行線的性質、垂直平分線、勾股定理、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線成為解答本題的關鍵．
9．（2023 涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是 　1+?。?br/>【答案】1+．
【點撥】取AB的中點D，連接OD及DC，根據三角形的三邊關系得到OC小于等于OD+DC，只有當O、D及C共線時，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長為2，根據D為AB中點，得到BD為1，根據三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據勾股定理求出CD的長，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長求出OD的長，進而求出DC+OD，即為OC的最大值．
【解析】解：取AB中點D，連OD，DC，
∴OC≤OD+DC，
當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC為等邊三角形，D為AB中點，
∴BD＝1，BC＝2，
∴CD＝＝，
∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，
∴OD＝AB＝1，
∴OD+CD＝1+，即OC的最大值為1+．
故答案為：1+．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，其中找出OC最大時的長為CD+OD是解本題的關鍵．
10．（2023 武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長是 　　．
【答案】．
【點撥】根據等邊三角形的性質得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根據折疊的性質得到△BDE≌△FDE，根據已知條件得到圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，求得S△FHG＝S△ADG+S△CHE，根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵折疊△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，
∵DE平分等邊△ABC的面積，
∴圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，
∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，
∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴2＝，
∴，
∴GH2＝m2+n2，
解得GH＝或GH＝﹣（不合題意舍去），
故答案為：．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，折疊的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
類型三 線段垂直平分線的性質
1．（2023 青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是 　13　．
【答案】13．
【點撥】根據線段垂直平分線的性質得到BD＝CD，即可求解．
【解析】解：∵DE是BC的垂直平分線．
∴BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝AD+BD，
∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，
故答案為：13．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
2．（2023 麗水）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長是 　4　．
【答案】4．
【點撥】根據等腰三角形的判定定理求出AD，再根據線段垂直平分線的性質求出DC．
【解析】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴DC＝AD＝4，
故答案為：4．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的判定，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
3．（2022 青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E，∠BAE＝10°，則∠C的度數是 　40°?。?br/>【答案】40°．
【點撥】根據線段垂直平分線的性質可得AE＝EC，從而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形內角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，進行計算即可解答．
【解析】解：∵ED是AC的垂直平分線，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案為：40°．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
4．（2021 淮安）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（　?。?br/>A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【點撥】根據線段的垂直平分線的性質得到EB＝EA＝4，結合圖形計算，得到答案．
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故選：C．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
5．（2022 宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【點撥】根據題意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，從而可以求得△ABD的周長．
【解析】解：由題意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周長是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周長是19，
故選：C．
【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質，三角形的周長，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
6．（2022 湖北）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F．下列結論：
①四邊形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．
其中正確結論的個數是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【點撥】根據題意分別證明各個結論來判斷即可．
【解析】解：根據題意知，EF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四邊形AECF是菱形，
故①結論正確；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②結論正確；
∵S四邊形AECF＝CF CD＝AC OE×2＝AC EF，
故③結論不正確；
若AF平分∠BAC，則∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④結論正確；
故選：B．
【點睛】本題主要考查長方形的綜合題，熟練掌握長方形的性質，基本作圖，菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識是解題的關鍵．
7．（2021 河北）如圖，直線l，m相交于點O．P為這兩直線外一點，且OP＝2.8．若點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（　?。?br/>A．0 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【點撥】由對稱得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，即可得出結果．
【解析】解：連接OP1，OP2，P1P2，
∵點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2＞P1P2，
0＜P1P2＜5.6，
故選：B．
【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質，解本題的關鍵熟練掌握對稱性和三角形邊長的關系．
8．（2021 長沙）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝CD，延長BC至E，使得CE＝CA，連接AE．
（1）求證：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周長和面積．
【答案】（1）見證明過程；
（2）周長為16+4，面積為22．
【點撥】（1）證明AD是BC的中垂線，即可求解；
（2）利用勾股定理分別計算出BD和AE即可求出△ABE的周長和面積．
【解析】解：（1）證明：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的中垂線，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，
∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，
S△ABE＝＝＝22．
【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質、勾股定理，三角形面積的計算等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質以及勾股定理的應用是解題的關鍵．
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