資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題13 線段、角度的數量關系問題
考點掃描☆聚焦中考
線段、角度的數量關系問題近幾年中考中主要以選擇題或填空題的形式考查，題目較為簡單，屬于低檔題；考查內容主要有：直線或線段的性質、角的相關概念；考查熱點主要有：線段的中點與線段的性質相關的計算、角的相關概念及性質。
考點剖析☆典型例題
例1 （2021 臺州）小光準備從A地去往B地，打開導航、顯示兩地距離為37.7km，但導航提供的三條可選路線長卻分別為45km，50km，51km（如圖）．能解釋這一現象的數學知識是（　　）
A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短
C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．兩點確定一條直線
【答案】A
【點撥】根據線段的性質，可得答案．
【解析】解：從A地去往B地，打開導航、顯示兩地距離為37.7km，理由是兩點之間線段最短，
故選：A．
【點睛】本題考查了線段的性質，熟記線段的性質并應用是解題的關鍵．
例2（2021 包頭）已知線段AB＝4，在直線AB上作線段BC，使得BC＝2，若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【點撥】根據題意可分為兩種情況，①點C在線段AB上，可計算出AC的長，再由D是線段AC的中點，即可得出答案；②BC在線段AB的延長線上，可計算出AC的長，再由D是線段AC的中點，即可得出答案．
【解析】解：根據題意分兩種情況，
①如圖1，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2，
∵D是線段AC的中點，
∴AD＝＝；
②如圖2，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵D是線段AC的中點，
∴AD＝＝×6＝3．
∴線段AD的長為1或3．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了兩點之間的距離，正確理解題目并進行分情況進行計算是解決本題的關鍵．
例3（2023 河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（　　）
A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向
【答案】D
【點撥】根據題意可得：∠ABC＝70°，AB∥CD，然后利用平行線的性質可得∠ABC＝∠DCB＝70°，從而根據方向角的定義，即可解答．
【解析】解：如圖：
由題意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝70°，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏東70°方向，
故選：D．
【點睛】本題考查了方向角的定義，熟練掌握方向角的定義是解題的關鍵．
例4（2022 甘肅）若∠A＝40°，則∠A的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【點撥】根據互余兩角之和為90°計算即可．
【解析】解：∵∠A＝40°，
∴∠A的余角為：90°﹣40°＝50°，
故選：A．
【點睛】本題考查的是余角的定義，如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角．
考點過關☆專項突破
類型一 線段及其數量關系
1．（2021 河北）如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側的線段m在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（　　）
A．a B．b C．c D．d
【答案】A
【點撥】利用直尺畫出遮擋的部分即可得出結論．
【解析】解：利用直尺畫出圖形如下：
可以看出線段a與m在一條直線上．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了線段，射線，直線，利用直尺動手畫出圖形是解題的關鍵．
2．（2022 柳州）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【點撥】應用兩點的所有連線中，可以有無數種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．進行判定即可得出答案．
【解析】解：根據題意可得，
從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是②．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了線段的性質，熟練掌握線段的性質進行求解是解決本題的關鍵．
3．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應用的數學知識是（ ）
A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線
C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊
【答案】B
【點撥】由直線公理可直接得出答案．
【解析】解：建筑工人砌墻時，經常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法用幾何知識解釋應是：兩點確定一條直線．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了直線的性質，要想確定一條直線，至少要知道兩點．
4．（2022 桂林）如圖，點C是線段AB的中點，若AC＝2cm，則AB＝　4　cm．
【答案】4．
【點撥】根據中點的定義可得AB＝2AC＝4cm．
【解析】解：根據中點的定義可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查中點的定義，熟知中點的定義是解題關鍵．
5．（2020 涼山州）點C是線段AB的中點，點D是線段AC的三等分點．若線段AB＝12cm，則線段BD的長為（　　）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm
【答案】C
【點撥】根據線段中點的定義和線段三等分點的定義即可得到結論．
【解析】解：∵C是線段AB的中點，AB＝12cm，
∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），
點D是線段AC的三等分點，
①當AD＝AC時，如圖，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；
②當AD＝AC時，如圖，
BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．
所以線段BD的長為10cm或8cm，
故選：C．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，線段中點的定義，分類討論思想的運用是解題的關鍵．
6．（2021·內蒙古·中考真題）已知線段，在直線AB上作線段BC，使得．若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【點撥】先分C在AB上和C在AB的延長線上兩種情況，分別畫出圖形，然后運用中點的定義和線段的和差進行計算即可．
【解析】解：如圖：當C在AB上時，AC=AB-BC=2,
∴AD=AC=1

如圖：當C在AB的延長線上時，AC=AB+BC=6,
∴AD=AC=3

故選C．
【點睛】本題主要考查了線段的和差、中點的定義以及分類討論思想，靈活運用分類討論思想成為解答本題的關鍵．
7．（2021 泰州）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點的位置關系是（　　）
A．點A在B、C兩點之間 B．點B在A、C兩點之間
C．點C在A、B兩點之間 D．無法確定
【答案】A
【點撥】用假設法分別計算各選項中的a值，再根據a＞0判斷即可．
【解析】解：∵AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，A、B、C三點互不重合
∴a＞0，
若點A在B、C之間，
則AB+AC＝BC，
即2a+1+3a＝a+4，
解得a＝，
故A情況存在，
若點B在A、C之間，
則BC+AB＝AC，
即a+4+3a＝2a+1，
解得a＝﹣，
故B情況不存在，
若點C在A、B之間，
則BC+AC＝AB，
即a+4+2a+1＝3a，
此時無解，
故C情況不存在，
∵互不重合的A、B、C三點在同一直線上，
故選：A．
【點睛】本題主要考查兩點間的距離及整式的加減，分類討論和反證法的應用是解題的關鍵．
8．（2021·黑龍江大慶·中考真題）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，按照這樣的規律，則20條直線兩兩相交最多有 個交點
【答案】190
【點撥】根據題目中的交點個數，找出條直線相交最多有的交點個數公式：．
【解析】解：2條直線相交有1個交點；
3條直線相交最多有個交點；
4條直線相交最多有個交點；
5條直線相交最多有個交點；
20條直線相交最多有．
故答案為：190．
【點睛】本題考查的是多條直線相交的交點問題，解答此題的關鍵是找出規律，即條直線相交最多有．
9．（2020·內蒙古赤峰·中考真題）一個電子跳蚤在數軸上做跳躍運動.第一次從原點O起跳，落點為A1，點A1表示的數為1；第二次從點A1起跳，落點為OA1的中點A2；第三次從A2點起跳，落點為0A2的中點A3；如此跳躍下去……最后落點為OA2019的中點A2020.則點A2020表示的數為 ．
【答案】
【點撥】先根據數軸的定義、線段中點的定義分別求出點表示的數，再歸納類推出一般規律，由此即可得．
【解析】由題意得：點表示的數為
點表示的數為
點表示的數為
點表示的數為
歸納類推得：點表示的數為（n為正整數）
則點表示的數為
故答案為：．
類型二 角的相關概念及性質
1．（2023 臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數是（　　）
A．50° B．80° C．130° D．150°
【答案】C
【點撥】本題根據∠ABC的位置和量角器的使用方法可得出答案．
【解析】解：根據∠ABC起始位置BA，另一條邊BC可得：∠ABC＝130°．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了學生量角器的使用方法，結合∠ABC的位置進行思考是解題關鍵．
2．（2021 百色）已知∠α＝25°30′，則它的余角為（　　）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
【答案】B
【點撥】根據余角的定義，兩個銳角和為90°的角互余．
【解析】解：由題意得：∠α＝25°30′，
故其余角為（90°﹣∠α）＝64°30′．
故選：B．
【點睛】本題考查的知識點是兩個角的互余，互余的兩個角的和為90°．
3．（2022 陜西）若∠A＝48°，則∠A的補角的度數為（　　）
A．42° B．52° C．132° D．142°
【答案】C
【點撥】兩角相加為180°，則兩角互補．
【解析】解：180°﹣48°＝132°．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了補角的定義，正確把握定義是解題關鍵．
4．（2020 自貢）如果一個角的度數比它補角的2倍多30°，那么這個角的度數是（　　）
A．50° B．70° C．130° D．160°
【答案】C
【點撥】若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補．結合已知條件列方程求解．
【解析】解：設這個角是x°，根據題意，得
x＝2（180﹣x）+30，
解得：x＝130．
即這個角的度數為130°．
故選：C．
【點睛】此題考查了補角的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握互補兩角之和為180°．
5．（2023 北京）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，則∠BOC的大小為（　　）
A．36° B．44° C．54° D．63°
【答案】C
【點撥】先求出∠COD的度數，然后根據∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
【解析】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣36°
＝54°．
故選：C．
【點睛】本題考查了余角和補角的知識，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，根據角的和差首先求出∠COD的度數．
6．（2020 通遼）如圖，將一副三角尺按下列位置擺放，使∠α和∠β互余的擺放方式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】根據余角和補角的概念、結合圖形進行判斷即可．
【解析】解：A．∠α與∠β互余，故本選項正確；
B．∠α＝∠β，故本選項錯誤；
C．∠α＝∠β，故本選項錯誤；
D．∠α與∠β互補，故本選項錯誤，
故選：A．
【點睛】本題考查了余角和補角，是基礎題，熟記概念與性質是解題的關鍵．
7．（2022 煙臺）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（　　）
A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°
【答案】A
【點撥】根據題意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根據等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠C＝75°，從而求出∠BAC的度數，然后利用平行線的性質可得∠DAB＝∠ABE＝40°，從而求出∠DAC的度數，即可解答．
【解析】解：如圖：
由題意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小島C相對于小島A的方向是北偏東70°，
故選：A．
【點睛】本題考查了方向角，等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
8．（2021 興安盟）74°19′30″＝　74.325　°．
【答案】74.325
【點撥】先將30″化成“分”，再將19.5′化成“度”即可．
【解析】解：30×（）′＝0.5′，
19′+0.5′＝19.5′，
19.5×（）°＝0.325°，
74°+0.325°＝74.325°，
故答案為：74.325．
【點睛】本題考查度、分、秒的換算，掌握度、分、秒的換算進率和換算方法是得出正確答案的前提．
9．（2020 通遼）如圖，點O在直線AB上，∠AOC＝53°17′28″．則∠BOC的度數是　126°42′32″　．
【答案】126°42′32″．
【點撥】依據鄰補角的定義，即可得到∠BOC的度數．
【解析】解：∵點O在直線AB上，且∠AOC＝53°17′28″，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，
故答案為：126°42′32″．
【點睛】本題主要考查了鄰補角的定義．解題的關鍵是掌握鄰補角的定義：如果兩個角互為鄰補角，那么它們的和為180°．
10．（2023 樂山）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數為 　20°　．
【答案】20°．
【點撥】根據鄰補角定義求得∠BOC的度數，再根據角平分線定義即可求得答案．
【解析】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分線，
∴∠BOD＝∠BOC＝20°，
故答案為：20°．
【點睛】本題主要考查角平分線的定義，此為幾何中基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
11．（2022 湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝　40°　．
【答案】40°．
【點撥】根據平面鏡反射的規律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，根據三角形內角和定理求出∠OED的度數，即可得到∠AEF＝∠OED的度數．
【解析】解：∵一束光沿CD方向，先后經過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，
∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，
在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠AEF＝∠OED＝40°．
故答案為：40°．
【點睛】本題考查了角的計算，根據平面鏡反射的規律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED是解題的關鍵．
12．（2022 益陽）如圖，PA，PB表示以P為起點的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝　90　°．
【答案】90．
【點撥】根據題意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后進行計算即可解答．
【解析】解：如圖：
由題意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，
故答案為：90．
【點睛】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關鍵．
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專題13 線段、角度的數量關系問題
考點掃描☆聚焦中考
線段、角度的數量關系問題近幾年中考中主要以選擇題或填空題的形式考查，題目較為簡單，屬于低檔題；考查內容主要有：直線或線段的性質、角的相關概念；考查熱點主要有：線段的中點與線段的性質相關的計算、角的相關概念及性質。
考點剖析☆典型例題
例1 （2021 臺州）小光準備從A地去往B地，打開導航、顯示兩地距離為37.7km，但導航提供的三條可選路線長卻分別為45km，50km，51km（如圖）．能解釋這一現象的數學知識是（　　）
A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短
C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．兩點確定一條直線
例2（2021 包頭）已知線段AB＝4，在直線AB上作線段BC，使得BC＝2，若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
例3（2023 河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（　　）
A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向
例4（2022 甘肅）若∠A＝40°，則∠A的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
考點過關☆專項突破
類型一 線段及其數量關系
1．（2021 河北）如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側的線段m在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（　　）
A．a B．b C．c D．d
2．（2022 柳州）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應用的數學知識是（ ）
A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線
C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊
4．（2022 桂林）如圖，點C是線段AB的中點，若AC＝2cm，則AB＝　　cm．
5．（2020 涼山州）點C是線段AB的中點，點D是線段AC的三等分點．若線段AB＝12cm，則線段BD的長為（　　）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm
6．（2021·內蒙古·中考真題）已知線段，在直線AB上作線段BC，使得．若D是線段AC的中點，則線段AD的長為（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
7．（2021 泰州）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點的位置關系是（　　）
A．點A在B、C兩點之間 B．點B在A、C兩點之間
C．點C在A、B兩點之間 D．無法確定
8．（2021·黑龍江大慶·中考真題）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，按照這樣的規律，則20條直線兩兩相交最多有 個交點
9．（2020·內蒙古赤峰·中考真題）一個電子跳蚤在數軸上做跳躍運動.第一次從原點O起跳，落點為A1，點A1表示的數為1；第二次從點A1起跳，落點為OA1的中點A2；第三次從A2點起跳，落點為0A2的中點A3；如此跳躍下去……最后落點為OA2019的中點A2020.則點A2020表示的數為 ．
類型二 角的相關概念及性質
1．（2023 臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數是（　　）
A．50° B．80° C．130° D．150°
2．（2021 百色）已知∠α＝25°30′，則它的余角為（　　）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
3．（2022 陜西）若∠A＝48°，則∠A的補角的度數為（　　）
A．42° B．52° C．132° D．142°
4．（2020 自貢）如果一個角的度數比它補角的2倍多30°，那么這個角的度數是（　　）
A．50° B．70° C．130° D．160°
5．（2023 北京）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，則∠BOC的大小為（　　）
A．36° B．44° C．54° D．63°
6．（2020 通遼）如圖，將一副三角尺按下列位置擺放，使∠α和∠β互余的擺放方式是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 煙臺）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（　　）
A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°
8．（2021 興安盟）74°19′30″＝　　°．
9．（2020 通遼）如圖，點O在直線AB上，∠AOC＝53°17′28″．則∠BOC的度數是　　．
10．（2023 樂山）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數為 　　．
11．（2022 湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝　　．
12．（2022 益陽）如圖，PA，PB表示以P為起點的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝　　°．
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