資源簡介

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浙江省24屆中考之幾何綜合培優版（精選全省各市中考與模擬考經典真題，易錯題，壓軸題，適合中等生）
1．將一個正方體截一個角，得到如圖所示的幾何體，則這個幾何體的俯視圖是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區域的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．無法確定
3．如圖，在 ABCD中，點E、F分別在CD、BC的延長線上，且滿足∠ABC＝∠F．若AE∥BD，AB＝4，則EF的長為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過點D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，則線段DE的長為（　?。?br/>A．2 B． C．3 D．
5．如圖，點A，B在以CD為直徑的半圓上，B是的中點，連結BD，AC交于點E，若∠EDC＝25°，則∠ACD的度數是（　?。?br/>A．30° B．35° C．40° D．45°
6．如圖已知扇形AOB的半徑為6cm，圓心角的度數為120°，若將此扇形圍成一個圓錐的側面，則圍成的圓錐的底面積為（　　）
A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F為DE中點，連接BF．若AC＝8，BC＝6，則BF的長為（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．如圖，在矩形ABCD中，點M為AB的中點，將△ADM沿DM所在直線翻折壓平，得到△A′DM，延長DA′與BC交于點N，若BN＝2CN，AB＝2，則四邊形A′MBN的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
9．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP的長為（　?。?br/>A．3 B．4 C．3 D．4
10．如圖，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE，垂足為H，連接BH并延長，交CD于點F，DE交BF于點O．有下列結論：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正確的是（　?。?br/>A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．一個矩形ABCD按如圖1的方式分割成三個直角三角形，把較大的兩個三角形紙片按圖2放置，若圖2中兩個陰影部分面積滿足＝，則圖2中，下列結論錯誤的是（　?。?br/>A．AM＝CM B．DN＝3NE C．tanA＝ D．MN＝2NC
12．如圖，在矩形ABCD中，AB＞BC，延長DC至點E，使得CE＝BC，以DE為直徑的半圓O交BC延長線于點F．歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到結論：矩形ABCD的面積等于CF的平方（即S矩形ABCD＝CF2）．現連結FO并延長交AB于點G，若OF＝2OG，則△OCF與矩形ABCD的面積之比為（　?。?br/>A． B． C． D．
13．把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值為黃金分割，比值為，它被公認為是最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙娜麗莎．如圖2，點E是正方形ABCD的AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，以AE為邊作正方形AEHF，延長EH交CD于點I，連結BF交EI于點G，連結BI，則S△BCI：S△FGH為（　　）
A．1：1 B． C． D．
14．如圖所示，正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，且內接于正方形FGHI，連接DE，BE＞CE．已知正方形ABCD與正方形FGHI面積之比為，若DE∥CH，則＝（　　）
A． B． C． D．
15．如圖，△ABC的邊CB的延長線交EF于點D，且EF∥AB．若∠BDF＝116°，∠ACB＝66°，則∠A＝　 　°．
16．如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，點F在上，則∠CFD＝　 　度．
17．為了給同學慶祝生日，小明自己動手用扇形紙片制作了一頂圓錐形生日帽，生日帽的底面圓半徑r為7cm，高h為24cm，則該扇形紙片的面積為 　 　cm2．
18．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，CF⊥AD的延長線于點F．且BC＝CD＝10，AB＝21，AD＝9．則AC的長為 　 ?。?br/>19．以菱形ABCD對角線BD上的點O為圓心，OD為半徑作圓，與BC相交于點E，點A，C恰好都在圓O上，若OD：OB＝2：3，圓的半徑r＝4，則菱形ABCD的邊長為 　 ?。?br/>20．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點P是線段AD上一動點，當半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時，AP的長為 　 ?。?br/>21．點E為正方形ABCD的邊AB上一點，連接DE，AC，且DE與AC相交于點M．若＝ 則sin∠CDE＝　 ?。?br/>22．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，將△ABC繞BC的中點D順時針旋轉120°得到△A'B'C'，其中點B的運動路徑為，則圖中陰影部分的面積為 　 ?。?br/>23．如圖，一張矩形紙片ABCD中，（m為常數）．將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點H處，點D的對應點為點M，CD與HM交于點P．當點H落在BC的中點時，且，則m＝　 ?。?br/>24．如圖，⊙O的內接四邊形ABCD，AD∥BC，⊙O的直徑AE與BC交于點F，連接BD．若AE∥CD，sin∠DBC＝，EF＝2，則AE的長為 　 　．
25．如圖，在△ABC中，點E、F在AC上，且AE＝CF，AD∥BC，AD＝BC．
（1）求證：△EBC≌△FDA．（2）當AE＝EB，∠DFC＝130°時，求∠ABE的度數．
26．如圖所示，在△ABC中，AD是邊BC上的高線，CE是邊AB上的中線，DG⊥CE于點G，CD＝AE．
（1）證明：CG＝EG． （2）若AB＝10，AD＝6，求CE的長．
27．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一點，CD＝BC，過點D作DF⊥AC于點F，過點C作CE∥AB交DF的延長線于點E．
（1）求證：四邊形DBCE是平行四邊形．（2）若BD＝6，，求DE的長．
28．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，△DEF為正三角形，點E，F分別在菱形的邊AB，BC上滑動，且點E、F不與點A，B，C重合，BD與EF交于點G．
（1）證明：當點E，F在邊AB，BC上滑動時，總有AE＝BF．
（2）當BF＝2時，求BG的長．
29．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是的中點，AE與BC交于點F，∠C＝2∠EAB．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）若，CA＝12，求AF的長．
30．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中點，連接AD．分別過點A，點C作AE∥BC，CE∥DA，交點為E．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若∠B＝60°，AB＝6，求四邊形AECD的面積．
31．四邊形ABCD中，點E在邊AB上，連接DE，CE．
（1）如圖1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，證明：△ADE∽△BEC．
（2）如圖2，若四邊形ABCD為矩形，AB＝5，BC＝2，且△ADE與E、B、C為頂點的三角形相似，求AE的長．
32．如圖1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點F．
（1）探究：AF與BF的數量關系，寫出你的猜想并加以證明；
（2）如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，題目中的其他條件不變，（1）中得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，題目中的其他條件不變，使得（1）中得到的結論仍然成立，請直接寫出m的值．
24屆中考培優中等班幾何綜合（一）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共14小題）
1．將一個正方體截一個角，得到如圖所示的幾何體，則這個幾何體的俯視圖是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見的棱用實線表示．
【解答】解：從上面看可得到一個正方形，正方形里面有一條撇向的實線．
故選：C．
【點評】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
2．將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區域的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．無法確定
【分析】隨機事件A的概率P（A）＝事件A發生時涉及的圖形面積÷一次試驗涉及的圖形面積，因為這是幾何概率．
【解答】解：設正六邊形邊長為a，則灰色部分面積為3×＝，
白色區域面積為a×＝，
所以正六邊形面積為a2，
飛鏢落在白色區域的概率P＝＝，
故選：B．
【點評】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
3．如圖，在 ABCD中，點E、F分別在CD、BC的延長線上，且滿足∠ABC＝∠F．若AE∥BD，AB＝4，則EF的長為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由平行四邊形的性質可得AB＝CD＝4，AB∥CD，通過證明四邊形ABDE是平行四邊形，可得AB＝DE＝4，由等腰三角形的判定可證CE＝EF＝8．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，
∴∠ECF＝∠ABC，
又∵∠ABC＝∠F，
∴∠F＝∠ECF，
∴EF＝CE，
∵AE∥BD，AB∥CD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB＝DE＝4，
∴CE＝8＝EF，
故選：B．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過點D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，則線段DE的長為（　?。?br/>A．2 B． C．3 D．
【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5，
故選：B．
【點評】本題考查了三角形中位線定理、平行線的性質，等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的應用，關鍵是求出DE＝BE＝AE．
5．如圖，點A，B在以CD為直徑的半圓上，B是的中點，連結BD，AC交于點E，若∠EDC＝25°，則∠ACD的度數是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】連接AD，由圓周角定理得到∠DAC＝90°，∠CDE＝∠EDA＝25°，由直角三角形的性質即可求出∠ACD的度數．
【解答】解：連接AD，
∵CD是圓的直徑，
∴∠DAC＝90°，
∵B是的中點，
∴∠CDE＝∠EDA＝25°，
∴∠ADC＝50°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝40°．
故選：C．
【點評】本題考查圓周角定理，直角三角形的性質，關鍵是掌握圓周角定理．
6．如圖已知扇形AOB的半徑為6cm，圓心角的度數為120°，若將此扇形圍成一個圓錐的側面，則圍成的圓錐的底面積為（　　）
A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2
【分析】根據圓錐的計算公式即可求出答案．
【解答】解：由弧長公式可知：＝＝4π
∴底面圓的周長為4π，
設底面圓的半徑為CD＝r，
∴4π＝2πr
∴r＝2，
∴圓錐的底面積為π×22＝4π，
故選：A．
【點評】本題考查圓錐的計算，解的關鍵是熟練運用圓錐的計算公式，本題屬于基礎題型．
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F為DE中點，連接BF．若AC＝8，BC＝6，則BF的長為（　?。?br/>A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度；結合題意知線段BF是△CDE的中位線，則BF＝CD．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
又∵CD為中線，
∴CD＝AB＝5．
∵F為DE中點，BE＝BC即點B是EC的中點，
∴BF是△CDE的中位線，則BF＝CD＝2.5．
故選：B．
【點評】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，此題的突破口是推知線段CD的長度和線段BF是△CDE的中位線．
8．如圖，在矩形ABCD中，點M為AB的中點，將△ADM沿DM所在直線翻折壓平，得到△A′DM，延長DA′與BC交于點N，若BN＝2CN，AB＝2，則四邊形A′MBN的面積為（　?。?br/>A． B． C． D．
【分析】連接MN，根據矩形的性質得出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC，則AM＝BM＝，根據折疊的性質得，AD＝A′D，AM＝A′M＝BM，∠A＝∠DA′M＝90°，利用HL證明Rt△MA′N≌Rt△MBN，根據全等三角形的性質得出A′N＝BN，S△MA′N＝S△MBN，則四邊形A′MBN的面積＝2S△MBN，設CN＝x，則AD＝A′D＝3x，DN＝A′D+A′N＝5x，在Rt△DCN中，根據勾股定理求出x＝1，則BN＝2，再根據三角形面積公式求解即可．
【解答】解：如圖，連接MN，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC，
∵點M為AB的中點，
∴AM＝BM＝，
根據折疊的性質得，AD＝A′D，AM＝A′M＝BM，∠A＝∠DA′M＝90°，
又MN＝MN，
∴Rt△MA′N≌Rt△MBN（HL），
∴A′N＝BN，S△MA′N＝S△MBN，
∴四邊形A′MBN的面積＝2S△MBN，
∵BN＝2CN，
∴BN＝A′N＝2x，AD＝BC＝3CN，
設CN＝x，則AD＝A′D＝3x，
∴DN＝A′D+A′N＝5x，
在Rt△DCN中，DN2＝CD2+CN2，
∴（5x）2＝+x2，
∴x＝1（負值已舍），
∴BN＝2，
∴S△MBN＝BM BN＝××2＝，
∴四邊形A′MBN的面積＝2×6＝2，
故選：B．
【點評】此題考查了折疊的性質、矩形的性質，熟記折疊的性質并求出Rt△MA′N≌Rt△MBN是解題的關鍵．
9．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP的長為（　?。?br/>A．3 B．4 C．3 D．4
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的長，然后判定四邊形OMPN是正方形，求得正方形的對角線的長即可求得OM的長．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OB，OD，
由垂徑定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四邊形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四邊形MONP是正方形，
∴OP＝3
故選：C．
【點評】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解題的關鍵是正確地作出輔助線．
10．如圖，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE，垂足為H，連接BH并延長，交CD于點F，DE交BF于點O．有下列結論：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正確的是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】①根據角平分線的定義可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AE＝AB，從而得到AE＝AD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△AHD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE＝DH，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根據平角等于180°求出∠CED＝67.5°，從而判斷出①正確；
②求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根據等角對等邊可得OE＝OD＝OH，判斷出②正確；
③求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，然后利用“角邊角”證明△BEH和△HDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BH＝HF，判斷出③正確；
④根據全等三角形對應邊相等可得DF＝HE，然后根據HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝2HE，判斷出④正確．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正確；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（對頂角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正確；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正確；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正確；
故選：D．
【點評】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質，熟記各性質并仔細分析題目條件，根據相等的度數求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．
11．一個矩形ABCD按如圖1的方式分割成三個直角三角形，把較大的兩個三角形紙片按圖2方式放置，若圖2中兩個陰影部分面積滿足＝，則在圖2中，下列結論錯誤的是（　?。?br/>A．AM＝CM B．DN＝3NE C．tanA＝ D．MN＝2NC
【分析】如圖2，證明∠DBE＝∠C，再由等角的余角相等可得∠A＝∠ABM，所以AM＝BM＝CM，可以判斷A正確；
如圖2，過點M作MP⊥DE于P，證明△ABM∽△NDM，根據相似三角形面積比等于相似比的平方可得＝＝＝，設PD＝3a，PE＝5a，則PN＝3a，EN＝5a﹣3a＝2a，可判斷B正確；
如圖1，先計算AB＝CD＝10a，由勾股定理得CE＝6a，由三角函數定義可判斷C正確；
設AM＝5x，MN＝3x，則CM＝5x，可判斷D錯誤．
【解答】解：A、如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
如圖2，∠DBE＝∠ACB，
∴BM＝CM，
∵∠A+∠C＝∠ABM+∠CBM＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴AM＝BM，
∴AM＝CM，
故選項A正確，不符合題意；
B、如圖2，過點M作MP⊥DE于P，
∵∠ABE＝∠DEB＝90°，
∴∠ABE+∠DEB＝180°，
∴AB∥DE，
∴△ABM∽△NDM，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，
∴＝＝＝，
∵AM＝BM，
∴DM＝MN，
∴PD＝PN，
設PD＝3a，PE＝5a，則PN＝3a，EN＝5a﹣3a＝2a，
∴＝＝3，
∴DN＝3EN，
故選項B正確，不符合題意；
C、∵DE＝DN+EN＝6a+2a＝8a，DN＝6a，
∵＝，
∴AB＝CD＝10a，
如圖1，Rt△DEC中，CE＝6a，
∴tan∠ECD＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴tan∠BAC＝，
故選項C正確，不符合題意；
D、設AM＝5x，MN＝3x，則CM＝5x，
∴CN＝5x﹣3x＝2x，
∴＝＝，
∴MN＝CN，
故選項D錯誤，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了矩形的性質，平行線分線段成比例定理，直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，設未知數表示各線段的長是解題的關鍵．
12．如圖，在矩形ABCD中，AB＞BC，延長DC至點E，使得CE＝BC，以DE為直徑的半圓O交BC延長線于點F．歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到結論：矩形ABCD的面積等于CF的平方（即S矩形ABCD＝CF2）．現連結FO并延長交AB于點G，若OF＝2OG，則△OCF與矩形ABCD的面積之比為（　　）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性質得到OC∥BG，因此△CFO∽△BFG，推出＝＝＝，令OC＝2x，BG＝3x，FC＝2y，FB＝3y，得到BC＝CE＝y，OE＝OF＝2x+y，DC＝4x+y，由矩形ABCD的面積DC BC＝CF2，得到x＝y，由三角形、矩形面積公式，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC∥BG，
∴△CFO∽△BFG，
∴＝＝，
∵OF＝2OG，
∴＝＝＝，
∴設OC＝2x，BG＝3x，FC＝2y，FB＝3y，
∴BC＝CE＝y，OE＝OF＝2x+y，
∴DE＝4x+2y，
∴DC＝4x+y，
∵矩形ABCD的面積DC BC＝CF2，
∴（4x+y）y＝（2y）2，
∴x＝y，
∴△OCF的面積＝OC FC＝2xy＝y2，矩形ABCD的面積＝CF2＝4y2，
∴△OCF與矩形ABCD的面積之比＝＝．
故選：B．
【點評】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，關鍵是由△CFO∽△BFG，得到＝＝＝，應用矩形ABCD的面積DC BC＝CF2，即可解決問題．
13．把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值為黃金分割，比值為，它被公認為是最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙娜麗莎．如圖2，點E是正方形ABCD的AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，以AE為邊作正方形AEHF，延長EH交CD于點I，連結BF交EI于點G，連結BI，則S△BCI：S△FGH為（　　）
A．1：1 B． C． D．
【分析】根據正方形的性質得出BC＝CD＝DA＝AB，EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE．根據黃金分割的意義得出＝＝．由△FHG∽△BEG，得出＝，根據合比性質得出＝＝，那么GH＝HE＝AE，根據矩形的性質與判定得出IC＝BE，最后根據三角形的面積求出S△BCI：S△FGH＝．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝DA＝AB．
∵點E是正方形ABCD的AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，
∴＝＝．
∵四邊形AEHF是正方形，
∴EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE，
∴△FHG∽△BEG，
∴＝，
∴＝＝＝＝，
∴GH＝HE＝AE，
∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°，
∴四邊形BCIE是矩形，
∴IC＝BE，
∴S△BCI：S△FGH＝＝＝ ＝ ＝ ＝＝．
故選：D．
【點評】本題考查了正方形的性質，相似三角形、矩形的性質與判定，黃金分割的意義，比例的性質，三角形的面積，掌握黃金分割的意義是解題的關鍵．
14．如圖所示，正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，且內接于正方形FGHI，連接DE，BE＞CE．已知正方形ABCD與正方形FGHI面積之比為，若DE∥CH，則＝（　?。?br/>A． B． C． D．
【分析】設CI＝DH＝a，CH＝b，則IH＝a+b，根據正方形ABCD與正方形FGHI面積之比為，得到＝，求出BI＝CH＝2a，作BM⊥GH交GH于點M，作NE⊥BM交BM于點P，證明出△BPE∽△ENC，設CN＝m，則IN＝BP＝a+m然后利用相似三角形的性質得到＝，然后解方程求解即可．
【解答】解：由題意可得△BIC≌△CHD，
∴設CI＝DH＝a，CH＝b，則IH＝a+b，
∵∠H＝90°，
∴CD2＝CH2+DH2＝a2+b2，
∵正方形ABCD與正方形FGHI面積之比為59，
∴＝，即＝，
∴整理得2a2﹣5ab+2b2＝0，
∴2（）2﹣5ab+2＝0，
解得＝或＝2（舍去），
∴b＝2a，
∴BI＝CH＝2a，
如圖所示，作BM⊥GH交GH于點M，作NE⊥BM交BM于點P，
由題意可得，△AGD≌△DHC，
∵ED∥CH，
∴四邊形BINP，ENHD是矩形，
∴PN＝BI＝2a，EN＝DH＝a，
∴PE＝PN﹣EN＝a，
∴設CN＝m，則IN＝BP＝a+m，
∵BE⊥CE，
∴∠BEP+∠CEN＝90°，
∵BP⊥PN，
∴∠BEP+∠PBE＝90°，
∴∠CEN＝∠PBE，
又∵∠BPE＝∠ENC＝90°，
∴△BPE∽△ENC，
∴＝＝，即＝，
∴整理得a2﹣am+m2＝0，
∴（）2﹣+1＝0，
∴解得＝或（舍去），
∴＝．
故選：A．
【點評】此題考查了勾股定理，全等三角形的性質，相似三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
二．填空題（共10小題）
15．如圖，△ABC的邊CB的延長線交EF于點D，且EF∥AB．若∠BDF＝116°，∠ACB＝66°，則∠A＝　50　°．
【分析】先利用平行線的性質可得∠ABD＝∠BDF＝116°，然后利用三角形的外角性質進行計算，即可解答．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠ABD＝∠BDF＝116°，
∵∠ABD是△ABC的一個外角，
∴∠A＝∠ABD﹣∠ACB＝116°﹣66°＝50°，
故答案為：50．
【點評】本題考查了平行線的性質，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．
16．如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，點F在上，則∠CFD＝　36　度．
【分析】連接OC，OD．求出∠COD的度數，再根據圓周角定理即可解決問題；
【解答】解：如圖，連接OC，OD．
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CFD＝∠COD＝36°，
故答案為：36．
【點評】本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
17．為了給同學慶祝生日，小明自己動手用扇形紙片制作了一頂圓錐形生日帽，生日帽的底面圓半徑r為7cm，高h為24cm，則該扇形紙片的面積為 　175π　cm2．
【分析】先根據勾股定理求出圓錐的母線長，再根據圓錐的側面展開圖是扇形，利用圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2，列式計算即可．
【解答】解：∵生日帽的底面圓半徑r為7cm，高h為24cm，
∴圓錐的母線長為＝25（cm）．
∵底面圓半徑r為7cm，
∴底面周長＝14πcm，
∴該扇形紙片的面積為＝×14π×25＝175π（cm2）．
故答案為：175π．
【點評】本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．
18．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，CF⊥AD的延長線于點F．且BC＝CD＝10，AB＝21，AD＝9．則AC的長為 　17　．
【分析】根據垂直定義可得∠F＝∠CEA＝∠CEB＝90°，再利用角平分線的性質可得CF＝CE，從而利用HL證明Rt△CFD≌Rt△CEB，然后利用全等三角形的性質可得DF＝BE，從而利用HL證明Rt△AFC≌Rt△AEC，進而可得AF＝AE，再根據線段的和差關系可求出DF＝BE＝6，從而在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的長，最后在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC的長，即可解答．
【解答】解：∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠F＝∠CEA＝∠CEB＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵CD＝BC＝10，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴DF＝BE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，
∴9+DF＝21﹣BE，
解得：DF＝BE＝6，
∴CE＝＝＝8，
在Rt△AEC中，AE＝AB﹣BE＝21﹣6＝15，
∴AC＝＝＝17，
故答案為：17．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
19．以菱形ABCD對角線BD上的點O為圓心，OD為半徑作圓，與BC相交于點E，點A，C恰好都在圓O上，若OD：OB＝2：3，圓的半徑r＝4，則菱形ABCD的邊長為 　2．
【分析】連接AC交BD于H點，連接OC，如圖，利用OD：OB＝2：3計算出OB＝6，則BD＝10，再根據菱形的性質得到AC⊥BD，BH＝DH＝5，所以OH＝1，然后利用勾股定理定理，在Rt△OCH中計算出CH＝，接著在Rt△BCH中計算出BC即可．
【解答】解：連接AC交BD于H點，連接OC，如圖，
∵OD：OB＝2：3，圓的半徑r＝4，
∴OC＝OD＝4，OB＝6，
∴BD＝10，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，BH＝DH＝BD＝5，
∴OH＝OB﹣BH＝6﹣5＝1，
在Rt△OCH中，CH＝＝＝，
在Rt△BCH中，BC＝＝＝2，
即菱形ABCD的邊長為 2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了菱形的性質和勾股定理．
20．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點P是線段AD上一動點，當半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時，AP的長為 　6.5或3．
【分析】根據勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，當⊙P于BC相切時，點P到BC的距離＝6，過P作PH⊥BC于H，則PH＝6，當⊙P于AB相切時，點P到AB的距離＝6，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
當⊙P于BC相切時，點P到BC的距離＝6，
過P作PH⊥BC于H，
則PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
當⊙P與AB相切時，點P到AB的距離＝6，
過P作PG⊥AB于G，
則PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半徑為6的⊙P不與△ABC的AC邊相切，
綜上所述，AP的長為6.5或3，
故答案為：6.5或3．
【點評】本題考查了切線的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練正確切線的性質是解題的關鍵．
21．點E為正方形ABCD的邊AB上一點，連接DE，AC，且DE與AC相交于點M．若＝ 則sin∠CDE＝．
【分析】由△AME∽△CMD，推出＝＝，得到＝，因此＝，令AE＝x，AD＝4x，由勾股定理得到DE＝x，即可求出sin∠AED＝．由∠CDE＝∠AED，得到sin∠CDE＝sin∠AED＝．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE∥CD，AD＝CD，
∴△AME∽△CMD，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
令AE＝x，AD＝4x，
DE＝＝x，
∴sin∠AED＝＝＝．
∵AE∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∴sin∠CDE＝sin∠AED＝．
故答案為：．
【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，解直角三角形，正方形的性質，關鍵是由△AME∽△CMD，得到＝．
22．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，將△ABC繞BC的中點D順時針旋轉120°得到△A'B'C'，其中點B的運動路徑為，則圖中陰影部分的面積為 　3π﹣．
【分析】連接AD，求出BD的長，再由旋轉可知，∠BDB'＝120°，分別求出DE＝，EC＝，再由 S陰影＝S扇形BDB'﹣（S△ABC﹣S△CDE），即可求解．
【解答】解：連接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴AD⊥BC，∠ABC＝30°，
∵AB＝2，
∴AD＝，
∴BD＝3，
∴BC＝6，
由旋轉可知，∠BDB'＝120°，
∴S扇形BDB'＝＝3π，
∵∠CDE＝60°，∠ECD＝30°，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，DE＝，EC＝，
∴S△CDE＝×＝，S△ABC＝6×＝3，
∴S陰影＝×32﹣（3﹣）＝3π﹣，
故答案為：3π﹣．
【點評】本題考查旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，扇形面積公式是解題的關鍵．
23．如圖，一張矩形紙片ABCD中，（m為常數）．將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點H處，點D的對應點為點M，CD與HM交于點P．當點H落在BC的中點時，且，則m＝．
【分析】根據＝，設CP＝t，則CD＝AB＝3t，根據△CHP∽△BEH，得到BC2＝4BE t①，在Rt△BEH中，利用勾股定理得到（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，解①②即可求解．
【解答】解：∵＝，
設CP＝t，則CD＝AB＝3t，
∵點H是BC的中點，
∴CH＝BH＝BC，
∵△CHP∽△BEH，
∴＝，
即＝，
∴BC2＝4BE t①，
∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝3t，
∴AE＝EH＝3t﹣BE，
在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，
∴（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，
解①②得BE＝t，
∴BC2＝4BE t＝4×t＝t2，
∴BC＝t，
∴m＝＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，矩形的性質，從復雜的圖形中找出相似三角形是解題的關鍵．
24．如圖，⊙O的內接四邊形ABCD，AD∥BC，⊙O的直徑AE與BC交于點F，連接BD．若AE∥CD，sin∠DBC＝，EF＝2，則AE的長為 　6　．
【分析】根據題意得到∠ADE＝90°，又由圓周角定理和全等三角形的判定與性質得到DE＝BD，再根據平行線分線段成比例定理得到＝＝，進一步求解即可．
【解答】解：如圖，連接CE，連接DE交BC于G，
∵AD∥BC，
∴＝，
∴∠DEC＝∠ADB，AB＝CD，
∵AE∥CD，
∴＝，
∴∠EDC＝∠DBA，
∴△DEC≌△BDA（AAS），
∴DE＝BD，
∵AE是直徑，
∴∠ADE＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FGE＝90°，
∵sin∠DBC＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∵EF＝2，
∴AE＝6．
故答案為：6．
【點評】本題考查了圓的相關性質和平行線分線段成比例定理，熟練掌握這些結論是解題的關鍵．
三．解答題（共8小題）
25．如圖，在△ABC中，點E、F在AC上，且AE＝CF，AD∥BC，AD＝BC．
（1）求證：△EBC≌△FDA．
（2）當AE＝EB，∠DFC＝130°時，求∠ABE的度數．
【分析】（1）根據平行線的性質得到∠DAF＝∠C，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據平角的定義得到∠AFD＝50°，根據全等三角形的性質得到∠BEC＝∠AFD＝50°，根據等腰三角形的性質即可得到結論．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝EC，
在△EBC和△FDA中，
，
∴△EBC≌△FDA（SAS）；
（2）解：∵∠DFC＝130°，
∴∠AFD＝50°，
∵△EBC≌△FDA，
∴∠BEC＝∠AFD＝50°，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE，
∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE＝50°，
∴∠ABE＝25°．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，屬于基礎題，中考?？碱}型．
26．如圖所示，在△ABC中，AD是邊BC上的高線，CE是邊AB上的中線，DG⊥CE于點G，CD＝AE．
（1）證明：CG＝EG．
（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的長．
【分析】（1）連接DE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出DE＝AE，由CD＝AE，等量代換得到DE＝CD，再根據等腰三角形三線合一的性質，即可得出CG＝EG；
（2）過E作EM⊥BC于M．先證明EM是△ABD的中位線，可求出EM．根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出DE＝AB，由勾股定理求得DM的長，而CD＝AE＝DE，那么CM＝CD+DM，進而根據勾股定理求出CE．
【解答】（1）證明：連接DE，如圖．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又E為AB中點，
∴DE＝AE＝BE，
∵CD＝AE，
∴DE＝CD，又DG⊥EC，
∴EG＝CG；
（2）解：過E作EM⊥BC于M，如圖．
∵AD⊥BC，EM⊥BC，
∴EM∥AD，
∵E為AB中點，
∴EM是△ABD的中位線，
∴EM＝AD＝3．
∵AB＝10，
∵DE＝AB＝5，
∴DM＝4，
∵CD＝AE＝DE＝5，
∴CM＝CD+DM＝9，
∴CE＝＝3．
【點評】此題考查了勾股定理，三角形中位線的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
27．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一點，CD＝BC，過點D作DF⊥AC于點F，過點C作CE∥AB交DF的延長線于點E．
（1）求證：四邊形DBCE是平行四邊形．
（2）若BD＝6，，求DE的長．
【分析】（1）根據垂直的定義得到∠DFA＝90°，根據平行線的判定定理得到BC∥DF根據平行四邊形的判定定理即可得到結論；
（2）根據平行線的性質得到∠A＝∠ACE根據平行四邊形的性質得到CE＝BD＝6根據三角函數的定義得到EF＝2，設BC＝x，DF＝x﹣2，根據勾股定理即可得到結論．
【解答】（1）證明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∵∠C＝90o，
∴∠DFA＝∠C，
∴BC∥DF，
∵CE∥AB，
∴四邊形BDCE是平行四邊形；
（2）解：∵CE∥AB，
∴∠A＝∠ACE，
∵四邊形BDCE是平行四邊形，
∴CE＝BD＝6，
∵，
∴，
∴EF＝2，
設CD＝DE＝BC＝x，則DF＝x﹣2，
∵CD2﹣DF2＝CE2﹣EF2，
∴x2﹣（x﹣2）2＝32，
解得x＝9，
∴DE＝9．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質，三角函數的定義，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．
28．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，△DEF為正三角形，點E，F分別在菱形的邊AB，BC上滑動，且點E、F不與點A，B，C重合，BD與EF交于點G．
（1）證明：當點E，F在邊AB，BC上滑動時，總有AE＝BF．
（2）當BF＝2時，求BG的長．
【分析】（1）由“SAS”可證△ADE≌△BDF，可得AE＝BF；
（2）通過證明△ADE∽△BEG，可得，即可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AD∥BC，AD＝AB，∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD＝BD，∠A＝∠DBC＝∠ADB＝60°，
∵△DEF為正三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴AE＝BF；
（2）解：∵AB＝AD＝6，AE＝BF＝2，
∴BE＝4，
∵∠A+∠ADE＝∠DEF+∠BEF，∠A＝∠DEF＝60°，
∴∠ADE＝∠BEF，
又∵∠A＝∠ABD＝60°，
∴△ADE∽△BEG，
∴，
∴，
∴BG＝．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，菱形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
29．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是的中點，AE與BC交于點F，∠C＝2∠EAB．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）若，CA＝12，求AF的長．
【分析】（1）連接AD，通過E是弧BD的中點，∠C＝2∠EAB求證∠BAC＝90°即可求證AC是⊙O的切線；
（2）利用cosC＝，CA＝6求出CD的長，再通過求證∠EAC＝∠AFD即可推出CF＝AC＝12，再利用勾股定理即可計算出AF的長．
【解答】（1）證明：連接AD，如圖所示：
∵E是的中點，
∴，
∴∠EAB＝∠EAD，
∵∠ACB＝2∠EAB，
∴∠ACB＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
即∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∵AB是圓的直徑，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ACD中，cosC＝＝，
∴CD＝×12＝8，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠DAE+∠AFD＝90°，∠EAD＝∠EAB，
∴∠EAC＝∠AFD，
∴CF＝AC＝12，
∴DF＝4，
∵AD2＝AC2﹣CD2＝122﹣82＝80，
∴AF＝＝＝4．
【點評】本題考查勾股定理，與圓有關的計算，涉及圓切線的證明，銳角三角函數等知識點，本題正確作出輔助線，熟練掌握好圓切線的判定與性質以及能熟練解直角三角形是解題的關鍵．
30．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中點，連接AD．分別過點A，點C作AE∥BC，CE∥DA，交點為E．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）若∠B＝60°，AB＝6，求四邊形AECD的面積．
【分析】（1）先證四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質得AD＝BC＝CD，即可得出結論；
（2）過點A作AF⊥BC于點F，解直角三角形求出AF即可．
【解答】（1）證明：∵AD∥EC，AE∥DC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，
∴，
∴平行四邊形AECD是菱形；
（2）解：過點A作AF⊥BC于點F，則∠AFB＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
在Rt△CAB中，∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AB＝6，
∴BC＝2AB＝12，
∵D是BC的中點，
∴DC＝6，
在Rt△ABF中，，
∵，
∴，
∴菱形AECD＝CD ．
【點評】本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明四邊形ADCE為菱形是解題的關鍵．
31．四邊形ABCD中，點E在邊AB上，連接DE，CE．
（1）如圖1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，證明：△ADE∽△BEC．
（2）如圖2，若四邊形ABCD為矩形，AB＝5，BC＝2，且△ADE與E、B、C為頂點的三角形相似，求AE的長．
【分析】（1）由點E在邊AB上，且∠A＝∠DEC＝50°，得∠ADE＝130°﹣∠AED，∠BEC＝130°﹣∠AED，所以∠ADE＝∠BEC，又因為∠A＝∠B，所以根據“有兩個角分別相等的兩個三角形相似”即可證明△AED∽△BCE；
（2）分兩種情況：△ADE∽△BEC或△ADE∽△BCE，設AE＝x，根據相似三角形的對應邊成比例列方程求出x的值即可．
【解答】（1）證明：∵點E在邊AB上，且∠A＝∠DEC＝50°，
∴∠ADE＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，∠BEC＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC；
（2）如圖2、如圖3，
分兩種情況：
設AE＝x，
∵AB＝5，AD＝BC＝2，
當△ADE∽△BEC時，
∴＝，
∴＝，
解得x1＝1，x2＝4；
△ADE∽△BCE時，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝2.5，
綜上，AE的長為1或4或2.5．
【點評】此題考查相似三角形的判定與性質、同角的余角相等、矩形的性質等知識，找出圖形中的相似三角形并根據已知條件證明三角形相似是解題的關鍵．
32．如圖1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點F．
（1）探究：AF與BF的數量關系，寫出你的猜想并加以證明；
（2）如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，題目中的其他條件不變，（1）中得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，題目中的其他條件不變，使得（1）中得到的結論仍然成立，請直接寫出m的值．
【分析】（1）作DG⊥AB于G，證明△DFG≌△EFB，根據全等三角形的性質證明結論；
（2）仿照（1）的證明方法證明；
（3）作DH⊥AB于H，要使得結論AF＝3BF成立，則有∠DGF＝∠EBF＝90°，可得（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，可得m＝2．
【解答】解：（1）結論：AF＝3BF．
理由：如圖1，過點D作DG⊥AB于G，則∠DGB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴AC＝CB，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝AB，
∵DA＝DB，∠ADB＝90°，
∴DG＝AG＝BG＝AB，
在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，EB＝EC，
∴BE＝BC＝AB，
∴DG＝BE，
在△DFG和△EFB中，
，
∴△DFG≌△EFB（AAS），
∴FG＝BF，
∵AF＝3BF；
（2）猜想：AF＝3FB．
證明：如圖2中，過點D作DG⊥AB于G，則∠DGB＝90°．
∵DA＝DB，∠ADB＝60°．
∴AG＝BG，△DBA是等邊三角形．
∴DB＝BA．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝BG．
在Rt△DBG和Rt△BAC中，
，
∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．
∴DG＝BC．
∵BE＝EC，∠BEC＝60°，
∴△EBC是等邊三角形．
∴BC＝BE，∠CBE＝60°．
∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
∵∠DFG＝∠EFB，∠DGF＝∠EBF，
在△DFG和△EFB中，
，
∴△DFG≌△EFB（AAS）．
∴GF＝BF，
故 AF＝3FB；
（3）結論：m＝2，
理由：如圖3中，過點D作DG⊥AB于G，則∠DGB＝90°．
要使得結論AF＝3BF成立，則有∠DGF＝∠EBF＝90°，
∴（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，
∴90°﹣m ∠ABC+∠ABC＝90°，
∴m＝2．
【點評】本題屬于三角形綜合題，考查的是等腰直角三角形的性質、三角形全等的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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