資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
浙江省24屆中考之幾何綜合拔尖版（精選全省各市中考及模擬考經(jīng)典題型，易錯題型，壓軸 題型，適合尖子生）
1．如圖所示，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在⊙O上，邊AB、AC與⊙O分別交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F是劣弧上一點(diǎn)，且與D、E不重合，連接DF、EF，則∠DFE的度數(shù)為（　　）
A．115° B．118° C．120° D．125°
2．如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，OH⊥CD于點(diǎn)H．則（　　）
A．OH＝OC sin36° B．OH＝OC sin35° C．OH＝OC cos36° D．OH＝OC cos35°
3．把三個全等的三角形按如圖所示擺放在圓內(nèi)，點(diǎn)A，E，B，D四點(diǎn)在圓上，若∠BCD＝112°，則∠BAD的度數(shù)是（　　）
A．72° B．68° C．56° D．34°
4．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上且EF＝EC，連接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，則（　　）
A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°
5．如圖，從一個邊長是10的正五邊形紙片上剪出一個扇形（陰影部分），將剪下來的扇形圍成一個圓錐，這個圓錐的底面半徑為（　　）
A．1 B．3 C． D．2
6．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，若AB＝6，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點(diǎn)C作半圓ACB的切線分別交另兩個半圓于點(diǎn)D、E，連結(jié)AE，交半圓ACB于點(diǎn)F．若點(diǎn)F平分，DE＝10，則陰影部分的面積為（　　）
A．25 B． C．50 D．
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＞BC，延長DC至點(diǎn)E，使得CE＝BC，以DE為直徑的半圓O交BC延長線于點(diǎn)F．歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到結(jié)論：矩形ABCD的面積等于CF的平方（即S矩形ABCD＝CF2）．現(xiàn)連結(jié)FO并延長交AB于點(diǎn)G，若OF＝2OG，則△OCF與矩形ABCD的面積之比為（　　）
A． B． C． D．
9．把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值為黃金分割，比值為，它被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙娜麗莎．如圖2，點(diǎn)E是正方形ABCD的AB邊上的黃金分割點(diǎn)，且AE＞EB，以AE為邊作正方形AEHF，延長EH交CD于點(diǎn)I，連結(jié)BF交EI于點(diǎn)G，連結(jié)BI，則S△BCI：S△FGH為（　　）
A．1：1 B． C． D．
10．一個矩形ABCD按如圖1的方式分割成三個直角三角形，把較大的兩個三角形紙片按圖2方式放置，若圖2中兩個陰影部分面積滿足＝，則在圖2中，下列結(jié)論錯誤的是（　　）
A．AM＝CM B．DN＝3NE C．tanA＝ D．MN＝2NC
11．如圖，以Rt△ABC的三邊為邊分別向外作正方形．連結(jié)EI交BA于點(diǎn)J，作JK∥AC 交lH 于點(diǎn)K，連結(jié)IC交JK于點(diǎn)L．若SAFGC：SABDE＝9：16，則的值為（　　）
A． B． C． D．
12．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊分別向外作正方形，連接EH，GH，連接EG交AB于點(diǎn)K，當(dāng)∠EHG＝90°時，則的值為（　　）
A． B． C． D．
13．如圖，⊙O的半徑為4．將⊙O的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心O．則這條劣弧的弧長為 　 　．
14．如圖，圓錐的底面半徑為3cm，高為4cm，那么這個圓錐的側(cè)面積是　 　cm2．
15．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時，AP的長為　 　．
16．如圖所示，⊙O過 ABCD的A，B，C三點(diǎn)，且交AD于點(diǎn)E，BC為直徑，點(diǎn)D關(guān)于CE的對稱點(diǎn)為D'，連接D′E，D′C，若在⊙O中弧AE的度數(shù)═40°，圓心O在D′E上，則∠BCD′＝　 　度．
17．點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，連接DE，AC，且DE與AC相交于點(diǎn)M．若＝ 則sin∠CDE＝　 　．
18．如圖將菱形ABCD的沿DF翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，連結(jié)DE，EF，如果 BE＝BF，設(shè)△EBF的面積為 S1，△DFC 的面積為 S2，則∠C＝　 　，＝　 　．
19．如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE平分∠DBC交DC于E，F(xiàn)是BC延長線上一點(diǎn)，且CF＝CE，BE延長線交DF于G，則BG EG的值是　 　．
20．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，將△ABC繞BC的中點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C'，其中點(diǎn)B的運(yùn)動路徑為，則圖中陰影部分的面積為 　 　．
21．如圖，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，若∠BCF＝2∠EAB，則＝　 　．
22．如圖，將矩形ABCD的邊AD翻折到AE，使點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E在邊BC上，再將邊AD翻折到DF，且點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心，則＝　 　．
23．如圖，已知⊙O的半徑為2，所對的圓心角∠AOB＝60°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)D為半徑OB上一動點(diǎn)（D不與B重合）．將△CDB沿CD翻折得到△CDE，若點(diǎn)E落在半徑OA、OB、圍成的封閉圖形的邊界上，則CD的長為　 　．
24．如圖，一張矩形紙片ABCD中，（m為常數(shù)）．將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，CD與HM交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)H落在BC的中點(diǎn)時，且，則m＝　 　．
25．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長線交于點(diǎn)F．設(shè)＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長為　 　；
（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為　 　．
26．如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，E為CD上一點(diǎn)，tan∠EAD＝，以E為圓心，EA為半徑的弧交AB于F，交BC于G，若F為弧AG的中點(diǎn)，則AF＝　 　，tan∠GEC＝　 　．
27．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足為O，過點(diǎn)D作BD的垂線交BC的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cos∠ACB＝，求BC的長．
28．如圖，△ABC中，AB＝AC，圓O為△ABC 的外接圓，弦BD⊥OC 于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD．
（1）求證：BE＝BC； （2）若tan∠BCA＝3，EF＝2，求AB的長．
29．四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，CE．
（1）如圖1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，證明：△ADE∽△BEC．
（2）如圖2，若四邊形ABCD為矩形，AB＝5，BC＝2，且△ADE與E、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求AE的長．
30．如圖1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點(diǎn)F．
（1）探究：AF與BF的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明；
（2）如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，題目中的其他條件不變，（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，題目中的其他條件不變，使得（1）中得到的結(jié)論仍然成立，請直接寫出m的值．
31．在矩形ABCD中，（k為常數(shù)），點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上．
（1）如圖1，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，GF⊥AE，且，求證：AE＝FG；
（2）如圖2，將矩形ABCD沿GF折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．
①探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②連接CP，若，若，，求CP的長．
24屆強(qiáng)基班幾何綜合（一）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題）
1．如圖所示，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在⊙O上，邊AB、AC與⊙O分別交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F是劣弧上一點(diǎn)，且與D、E不重合，連接DF、EF，則∠DFE的度數(shù)為（　　）
A．115° B．118° C．120° D．125°
【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)及等邊△ABC的每一個內(nèi)角是60°，求出∠EFD＝120°．
【解答】解：四邊形EFDA是⊙O內(nèi)接四邊形，
∴∠EFD+∠A＝180°，
∵等邊△ABC的頂點(diǎn)A在⊙O上，
∴∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握兩個性質(zhì)定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
2．如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，OH⊥CD于點(diǎn)H．則（　　）
A．OH＝OC sin36° B．OH＝OC sin35°
C．OH＝OC cos36° D．OH＝OC cos35°
【分析】連接OD，則OD＝OC，∠COD＝×360°＝72°，由OH⊥CD于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得∠COH＝∠COD＝36°，則＝cos36°，所以O(shè)H＝OC cos36°，于是得到問題的答案．
【解答】解：連接OD，
∵點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，
∴OD＝OC，∠COD＝×360°＝72°，
∵OH⊥CD于點(diǎn)H，
∴∠OHC＝90°，∠COH＝∠DOH＝∠COD＝×72°＝36°，
∵＝cos∠COH＝cos36°，
∴OH＝OC cos36°，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正多邊形與圓、正多邊形的中心角、等腰三角形的“三線合一”、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解是的關(guān)鍵．
3．把三個全等的三角形按如圖所示擺放在圓內(nèi)，點(diǎn)A，E，B，D四點(diǎn)在圓上，若∠BCD＝112°，則∠BAD的度數(shù)是（　　）
A．72° B．68° C．56° D．34°
【分析】連接BD，結(jié)合已知條件，利用全等三角形性質(zhì)易得∠AEB的度數(shù)，AB＝AD，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)可求得∠ABD，∠ADB的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．
【解答】解：如圖，連接BD，
∵△AEB≌△ACB≌△ACD，
∴∠AEB＝∠ACB＝∠ACD，AB＝AD，
∵∠BCD＝112°，
∴∠AEB＝∠ACB＝∠ACD＝＝124°，
∵四邊形AEBD為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADB＝180°﹣∠AEB＝180°﹣124°＝56°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝56°，
∴∠BAD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及全等三角形的性質(zhì)，連接BD構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形后求得∠ADB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上且EF＝EC，連接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，則（　　）
A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EFC＝∠ECF＝α，求得∠AFE＝180°﹣α﹣β，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α，
∵EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF＝α，
∵∠AFB＝β，
∴∠AFE＝180°﹣α﹣β，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣β，
∵AE＝CE，EF＝CE，
∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴α﹣（90°﹣β）＝180°﹣α﹣β，
∴α+β＝135°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，從一個邊長是10的正五邊形紙片上剪出一個扇形（陰影部分），將剪下來的扇形圍成一個圓錐，這個圓錐的底面半徑為（　　）
A．1 B．3 C． D．2
【分析】先求出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐的底面周長，可求出底面半徑．
【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠BCD＝＝108°，
又∵弧BD的長為＝6π，即圓錐底面周長為6π，
設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝6π，
∴圓錐底面半徑為3，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查正多邊形與圓，扇形面積，弧長及圓周長，掌握扇形面積、弧長、圓周長的計算方法是正確解決問題的關(guān)鍵．
6．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，若AB＝6，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6，再利用AD是BC邊上的中線得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，則AD＝3，易證得△AEF是等邊三角形，H是等邊三角形AEF的重心，然后根據(jù)扇形面積公式，用一個扇形的面積減去△AEF的面積可得到圖中陰影部分的面積．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6，
∵AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，
∴AD＝3，
∵AE＝AF＝AD＝3，
∴△AEF是等邊三角形，
∵EG⊥AC于點(diǎn)G，
∴EG是∠AEF的角平分線，EG＝AE＝，
∴H是△AEF的重心，
∴S△AEF＝＝＝，
∴圖中陰影部分的面積＝﹣×＝﹣．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積的計算：陰影面積常用的方法：直接用公式法；和差法；割補(bǔ)法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點(diǎn)C作半圓ACB的切線分別交另兩個半圓于點(diǎn)D、E，連結(jié)AE，交半圓ACB于點(diǎn)F．若點(diǎn)F平分，DE＝10，則陰影部分的面積為（　　）
A．25 B． C．50 D．
【分析】設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連結(jié)OF交AC于點(diǎn)H，連結(jié)BD、OC，則點(diǎn)O為以AB為直徑的圓的圓心，由切線的性質(zhì)得DE⊥OC，則∠D＝∠OCE＝∠OCD＝∠E＝90°，所以BD∥OC∥AE，則＝＝1，則CD＝CE＝DE＝5，再證明∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝60°，由∠E＝90°，∠CAE＝∠COF＝30°，得AC＝2CE＝10，由∠ACB＝90°，∠BAC＝∠BOC＝30°，得BC＝AC tan30°＝，因?yàn)锽C2+AC2＝AB2，所以BC2+AC2＝AB2＝0，即可由S陰影＝S半圓BCD+S半圓AEC﹣S半圓ACB+S△ABC，求出陰影部分的面積，得到問題的答案．
【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連結(jié)OF交AC于點(diǎn)H，連結(jié)BD、OC，
∵∠ACB＝90°，
∴OC＝OA＝OB＝AB，點(diǎn)O為以AB為直徑的圓的圓心，
∵DE與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴DE⊥OC，
∵BC、AC分別為半圓的直徑，DE＝10，
∴∠D＝∠OCE＝∠OCD＝∠E＝90°，
∴BD∥OC∥AE，
∴＝＝1，
∴CD＝CE＝DE＝5，
∵∠OAC＝∠OCA＝∠CAF，
∴∠BOC＝2∠OAC＝2∠CAF，
∵＝，
∴∠AOF＝∠COF＝2∠CAF，
∴∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝×180°＝60°，
∵∠E＝90°，∠CAE＝∠COF＝30°，
∴AC＝2CE＝10，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝∠BOC＝30°，
∴BC＝AC tan30°＝10×＝，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴BC2+AC2﹣AB2＝0，
∵S陰影＝S半圓BCD+S半圓AEC﹣S半圓ACB+S△ABC，
∴S陰影＝π×（BC）2+π×（AC）2﹣π×（AB）2+×10×＝π（BC2+AC2﹣AB2）+＝，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、平行線分線段成比例定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形的面積等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＞BC，延長DC至點(diǎn)E，使得CE＝BC，以DE為直徑的半圓O交BC延長線于點(diǎn)F．歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖得到結(jié)論：矩形ABCD的面積等于CF的平方（即S矩形ABCD＝CF2）．現(xiàn)連結(jié)FO并延長交AB于點(diǎn)G，若OF＝2OG，則△OCF與矩形ABCD的面積之比為（　　）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性質(zhì)得到OC∥BG，因此△CFO∽△BFG，推出＝＝＝，令OC＝2x，BG＝3x，F(xiàn)C＝2y，F(xiàn)B＝3y，得到BC＝CE＝y(tǒng)，OE＝OF＝2x+y，DC＝4x+y，由矩形ABCD的面積DC BC＝CF2，得到x＝y(tǒng)，由三角形、矩形面積公式，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC∥BG，
∴△CFO∽△BFG，
∴＝＝，
∵OF＝2OG，
∴＝＝＝，
∴設(shè)OC＝2x，BG＝3x，F(xiàn)C＝2y，F(xiàn)B＝3y，
∴BC＝CE＝y(tǒng)，OE＝OF＝2x+y，
∴DE＝4x+2y，
∴DC＝4x+y，
∵矩形ABCD的面積DC BC＝CF2，
∴（4x+y）y＝（2y）2，
∴x＝y(tǒng)，
∴△OCF的面積＝OC FC＝2xy＝y(tǒng)2，矩形ABCD的面積＝CF2＝4y2，
∴△OCF與矩形ABCD的面積之比＝＝．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由△CFO∽△BFG，得到＝＝＝，應(yīng)用矩形ABCD的面積DC BC＝CF2，即可解決問題．
9．把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值為黃金分割，比值為，它被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙娜麗莎．如圖2，點(diǎn)E是正方形ABCD的AB邊上的黃金分割點(diǎn)，且AE＞EB，以AE為邊作正方形AEHF，延長EH交CD于點(diǎn)I，連結(jié)BF交EI于點(diǎn)G，連結(jié)BI，則S△BCI：S△FGH為（　　）
A．1：1 B． C． D．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BC＝CD＝DA＝AB，EH＝HF＝FA＝AE，F(xiàn)H∥AE．根據(jù)黃金分割的意義得出＝＝．由△FHG∽△BEG，得出＝，根據(jù)合比性質(zhì)得出＝＝，那么GH＝HE＝AE，根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定得出IC＝BE，最后根據(jù)三角形的面積求出S△BCI：S△FGH＝．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝DA＝AB．
∵點(diǎn)E是正方形ABCD的AB邊上的黃金分割點(diǎn)，且AE＞EB，
∴＝＝．
∵四邊形AEHF是正方形，
∴EH＝HF＝FA＝AE，F(xiàn)H∥AE，
∴△FHG∽△BEG，
∴＝，
∴＝＝＝＝，
∴GH＝HE＝AE，
∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°，
∴四邊形BCIE是矩形，
∴IC＝BE，
∴S△BCI：S△FGH＝＝＝ ＝ ＝ ＝＝．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形、矩形的性質(zhì)與判定，黃金分割的意義，比例的性質(zhì)，三角形的面積，掌握黃金分割的意義是解題的關(guān)鍵．
10．一個矩形ABCD按如圖1的方式分割成三個直角三角形，把較大的兩個三角形紙片按圖2方式放置，若圖2中兩個陰影部分面積滿足＝，則在圖2中，下列結(jié)論錯誤的是（　　）
A．AM＝CM B．DN＝3NE C．tanA＝ D．MN＝2NC
【分析】如圖2，證明∠DBE＝∠C，再由等角的余角相等可得∠A＝∠ABM，所以AM＝BM＝CM，可以判斷A正確；
如圖2，過點(diǎn)M作MP⊥DE于P，證明△ABM∽△NDM，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得＝＝＝，設(shè)PD＝3a，PE＝5a，則PN＝3a，EN＝5a﹣3a＝2a，可判斷B正確；
如圖1，先計算AB＝CD＝10a，由勾股定理得CE＝6a，由三角函數(shù)定義可判斷C正確；
設(shè)AM＝5x，MN＝3x，則CM＝5x，可判斷D錯誤．
【解答】解：A、如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
如圖2，∠DBE＝∠ACB，
∴BM＝CM，
∵∠A+∠C＝∠ABM+∠CBM＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴AM＝BM，
∴AM＝CM，
故選項A正確，不符合題意；
B、如圖2，過點(diǎn)M作MP⊥DE于P，
∵∠ABE＝∠DEB＝90°，
∴∠ABE+∠DEB＝180°，
∴AB∥DE，
∴△ABM∽△NDM，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，
∴＝＝＝，
∵AM＝BM，
∴DM＝MN，
∴PD＝PN，
設(shè)PD＝3a，PE＝5a，則PN＝3a，EN＝5a﹣3a＝2a，
∴＝＝3，
∴DN＝3EN，
故選項B正確，不符合題意；
C、∵DE＝DN+EN＝6a+2a＝8a，DN＝6a，
∵＝，
∴AB＝CD＝10a，
如圖1，Rt△DEC中，CE＝6a，
∴tan∠ECD＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴tan∠BAC＝，
故選項C正確，不符合題意；
D、設(shè)AM＝5x，MN＝3x，則CM＝5x，
∴CN＝5x﹣3x＝2x，
∴＝＝，
∴MN＝CN，
故選項D錯誤，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)表示各線段的長是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，以Rt△ABC的三邊為邊分別向外作正方形．連結(jié)EI交BA于點(diǎn)J，作JK∥AC 交lH 于點(diǎn)K，連結(jié)IC交JK于點(diǎn)L．若SAFGC：SABDE＝9：16，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【分析】延長AC，與IH的延長線交于點(diǎn)M，利用正方形的性質(zhì)得到＝，設(shè)AC＝3k，則AB＝4k，則利用勾股定理求得BC＝5k，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段CM，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用比例的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
【解答】解：延長AC，與IH的延長線交于點(diǎn)M，如圖，
∵若SAFGC：SABDE＝9：16，四邊形AFGC與四邊形ABDE為正方形，
∴＝，
∴設(shè)AC＝3k，則AB＝4k，
∴BC＝＝5k．
∵四邊形BCHI為正方形，
∴CH＝BC＝5k．
∵∠BCH＝90°，
∴∠ACB+∠HCM＝90°，
∵∠HCM+∠M＝90°，
∴∠ACB＝∠M．
∵BAC＝∠CHM＝90°，
∴△ABC∽△HCM，
∴，
∴，
∴HM＝k，CM＝k．
∴EC＝AE+AC＝4k+3k＝7k，
∵JK∥AC
∴△ILJ∽△ICE，△ILK∽△ICM，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)勾股定理，平行線的性質(zhì)，通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線得到A型圖，從而利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．
12．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊分別向外作正方形，連接EH，GH，連接EG交AB于點(diǎn)K，當(dāng)∠EHG＝90°時，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【分析】以A為原點(diǎn)，以AB邊所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，過E作EQ⊥x軸于Q，過H作HP⊥x軸于P，證明Rt△EAQ∽Rt△ABC∽Rt△BHP，得到E、H點(diǎn)、G點(diǎn)坐標(biāo)，求得kEH、kGH，當(dāng)∠EHG＝90°時，在△EHG中利用勾股定理，從而得b＝2a，再由EQ∥BC，即可得．
【解答】解：以A為原點(diǎn)，以AB邊所在直線為x軸建立如圖所示坐標(biāo)系：
設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴a2+b2＝c2，
過E作EQ⊥x軸于Q，過H作HP⊥x軸于P，
∵四邊形ACDE與四邊形BCMH都是正方形，
∴∠EAC＝∠CBH＝90°，AC＝AE＝b，BC＝BH＝a，
∴∠EAQ+∠BAC＝90°，∠HBP+∠ABC＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠EAQ，∠BAC＝∠HBP，
∴Rt△EAQ∽Rt△ABC∽Rt△BHP，
∴，，
即，，
∴AQ＝，EQ＝，HP＝，BP＝，
∴AP＝AB+BP＝c+＝，
∴E（﹣，），H（，），
∵四邊形BABGF是正方形，
∴AB＝BG＝FG，BG⊥x軸，
∴G（c，﹣c），
當(dāng)∠EHG＝90°時，
在Rt△EHG中，由勾股定理可得：
EH2+GH2＝EG2，
∴（+）2+（﹣）2+（﹣c）2+（+c）2＝（+c）2+（﹣﹣c）2，
整理可得：（a﹣b）（2a2+b2）＝﹣ab（a+b），
∴2a3+ab2﹣2a2b﹣b3＝﹣a2b﹣ab2，
∴（a2+b2）（2a﹣b）＝0，
∵a、b是三角形的邊長，
∴a＞0，b＞0，
∴a2+b2≠0，
∴2a﹣b＝0，
∴b＝2a，
∵a2+b2＝c2，
∴c2＝5a2，
∵EQ∥BC，
∴，
即，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例，理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
二．填空題（共14小題）
13．如圖，⊙O的半徑為4．將⊙O的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心O．則這條劣弧的弧長為 　π　．
【分析】如圖，連接OB，OA，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D．證明△OBD是等邊三角形，求出∠AOB＝120°，利用弧長公式求解．
【解答】解：如圖，連接OB，OA，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D．
由題意，AB垂直平分線段OD，
∴BO＝BD
∵OB＝OD，
∴OB＝BD＝OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD＝60°，
同法可證∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴的長＝＝π，
故答案為：π．
【點(diǎn)評】本題考查弧長公式，垂徑定理，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．
14．如圖，圓錐的底面半徑為3cm，高為4cm，那么這個圓錐的側(cè)面積是　15π　cm2．
【分析】利用勾股定理易得圓錐的母線長，那么圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2求出即可．
【解答】解：底面半徑為3cm，高為4cm，
則底面周長＝6π，由勾股定理得，母線長＝5，
那么側(cè)面面積＝×6π×5＝15πcm2．
故答案為：15π．
【點(diǎn)評】此題主要考查了圓錐的有關(guān)計算以及勾股定理，利用圓錐的側(cè)面積公式求出是解題關(guān)鍵．
15．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時，AP的長為 　6.5或3　．
【分析】根據(jù)勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，當(dāng)⊙P于BC相切時，點(diǎn)P到BC的距離＝6，過P作PH⊥BC于H，則PH＝6，當(dāng)⊙P于AB相切時，點(diǎn)P到AB的距離＝6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
當(dāng)⊙P于BC相切時，點(diǎn)P到BC的距離＝6，
過P作PH⊥BC于H，
則PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
當(dāng)⊙P與AB相切時，點(diǎn)P到AB的距離＝6，
過P作PG⊥AB于G，
則PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半徑為6的⊙P不與△ABC的AC邊相切，
綜上所述，AP的長為6.5或3，
故答案為：6.5或3．
【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練正確切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．如圖所示，⊙O過 ABCD的A，B，C三點(diǎn)，且交AD于點(diǎn)E，BC為直徑，點(diǎn)D關(guān)于CE的對稱點(diǎn)為D'，連接D′E，D′C，若在⊙O中弧AE的度數(shù)═40°，圓心O在D′E上，則∠BCD′＝　15　度．
【分析】由的度數(shù)＝40°，得到∠AOE＝40°，由平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)求出∠B＝55°，因此∠D＝55°，由軸對稱的性質(zhì)得到∠D′＝∠D＝55°，由三角形外角的性質(zhì)求出∠BCD′＝∠COE﹣∠D′＝15°．
【解答】解：∵的度數(shù)＝40°，
∴∠AOE＝40°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠D＝∠B，
∴∠AOB＝∠OAE＝70°，∠EOC＝∠AEO＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠D＝55°，
∵點(diǎn)D關(guān)于CE的對稱點(diǎn)為D'，
∴∠D′＝∠D＝55°，
∴∠BCD′＝∠COE﹣∠D′＝70°﹣55°＝15°．
故答案為：15．
【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是由以上知識點(diǎn)求出∠COE，∠D′的度數(shù)．
17．點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，連接DE，AC，且DE與AC相交于點(diǎn)M．若＝ 則sin∠CDE＝　　．
【分析】由△AME∽△CMD，推出＝＝，得到＝，因此＝，令A(yù)E＝x，AD＝4x，由勾股定理得到DE＝x，即可求出sin∠AED＝．由∠CDE＝∠AED，得到sin∠CDE＝sin∠AED＝．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE∥CD，AD＝CD，
∴△AME∽△CMD，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
令A(yù)E＝x，AD＝4x，
DE＝＝x，
∴sin∠AED＝＝＝．
∵AE∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∴sin∠CDE＝sin∠AED＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由△AME∽△CMD，得到＝．
18．如圖將菱形ABCD的沿DF翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，連結(jié)DE，EF，如果 BE＝BF，設(shè)△EBF的面積為 S1，△DFC 的面積為 S2，則∠C＝　72°　，＝　﹣2　．
【分析】三個等腰三角形△DAE、△DFC、△DEF全等，可得∠ADE＝∠CDF＝∠EDF，利用∠ADC+∠C＝180°求∠C；構(gòu)造△FGC∽△∠DFC，求出＝，由△BEF∽△GDF求出面積比，利用等高求出，進(jìn)而得到＝﹣2．
【解答】解：在DC上取一點(diǎn)G，使FG＝FC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠ADC+∠C＝180°，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
∴△DAE≌△DFC（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
由翻折得，∠CDF＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠EDF，
∵∠ADC+∠C＝180°，
∴∠ADE+∠CDF+∠EDF+∠C＝180°，
∴3∠CDF+∠C＝180°①，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠C，
∴∠DFC+∠C+∠CDF＝180°，
∴2∠C+∠CDF＝180°②，
由①②得∠C＝72°；
∵FG＝FC，
∠C＝∠FGC＝72°，
∴∠FGC＝∠DFC＝72°，
∵∠C＝∠C，
∴△FGC∽△DFC，
∴＝，
∵∠CDF＝180°﹣2∠C＝180°﹣2×72°＝36°，∠DFG＝∠FGC﹣∠CDF＝72°﹣36°＝36°，
∴∠CDF＝∠DFG，
∴GD＝GF＝FC，
∴＝，
∴FC2﹣DC2+FC DC＝0，
∴（）2+﹣1＝0，
∴＝，
∵∠BEF＝∠BFE＝∠FDG＝∠DFG＝36°，
∴△BEF∽△GDF，
∴＝＝，
∴＝（）2，
∴＝＝＝，
∴＝（）3＝﹣2，
∴＝﹣2，
故答案為：72°，﹣2．
【點(diǎn)評】本題在菱形下考查了頂角為36°底角為72°的等腰三角形的判定與性質(zhì)，涉及了三角形全等，三角形相似的判定與性質(zhì)，方程思想，關(guān)鍵是求出∠C，構(gòu)造△FGC∽△∠DFC，求出相似比．
19．如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE平分∠DBC交DC于E，F(xiàn)是BC延長線上一點(diǎn)，且CF＝CE，BE延長線交DF于G，則BG EG的值是 　4﹣2　．
【分析】由等腰三角形的判定與性質(zhì)知BM是等腰三角形BDF的中垂線．根據(jù)相似三角形△BGF∽△DGE的對應(yīng)邊成比例、等腰三角形的性質(zhì)列出比例式，即GE GB＝GD2，最后在直角△DCF中利用勾股定理來求GD2的值．
【解答】解：∵BC＝2，四邊形ABCD是正方形，
∴BD＝2．
又∵BE平分∠DBC交DF于G，BG⊥DF，
∴BD＝BF（等腰三角形“三合一”的性質(zhì)），DG＝FG，
∴CF＝2﹣2．
在△BGF和△DGE中，
∠GBF＝∠GDE，∠BGF＝∠DGE＝90°，
∴△BGF∽△DGE，
∴，
∴，即GE GB＝GD2，
∵DC2+FC2＝（2DG）2，即22+（2﹣2）2＝4DG2，
∴DG2＝4﹣2，即GE GB＝4﹣2．
故答案為：4﹣2．
【點(diǎn)評】本題綜合考查了正方形、相似三角形的有關(guān)知識．等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．
20．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，將△ABC繞BC的中點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C'，其中點(diǎn)B的運(yùn)動路徑為，則圖中陰影部分的面積為 　3π﹣　．
【分析】連接AD，求出BD的長，再由旋轉(zhuǎn)可知，∠BDB'＝120°，分別求出DE＝，EC＝，再由 S陰影＝S扇形BDB'﹣（S△ABC﹣S△CDE），即可求解．
【解答】解：連接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴AD⊥BC，∠ABC＝30°，
∵AB＝2，
∴AD＝，
∴BD＝3，
∴BC＝6，
由旋轉(zhuǎn)可知，∠BDB'＝120°，
∴S扇形BDB'＝＝3π，
∵∠CDE＝60°，∠ECD＝30°，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，DE＝，EC＝，
∴S△CDE＝×＝，S△ABC＝6×＝3，
∴S陰影＝×32﹣（3﹣）＝3π﹣，
故答案為：3π﹣．
【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，若∠BCF＝2∠EAB，則＝　　．
【分析】先求出BF，BH的長，通過證明△ABE∽△HBF，可得，即可求解．
【解答】解：如圖，延長BC至H，使FC＝CH，連接FH，
設(shè)，則CD＝mAD＝AB，
∵E，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，
∴BF＝AB＝CD＝mAD，BE＝BC＝AD，
∴CF＝＝AD，
∵CF＝CH＝AD，
∴∠CFH＝∠CHF，BH＝AD+AD，
∴∠BCF＝2∠CHF，
∵∠BCF＝2∠EAB，
∴∠BAE＝∠CHF，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABE∽△HBF，
∴，
∴＝，
∴m2＝或0（舍去），
∴m＝（負(fù)值舍去），
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，將矩形ABCD的邊AD翻折到AE，使點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E在邊BC上，再將邊AD翻折到DF，且點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心，則＝　4　．
【分析】作AG⊥DE于點(diǎn)G，作FH⊥AG于點(diǎn)H，則FH∥ED，由翻折得AE＝AD＝DF，所以EG＝DG，∠GAE＝∠GAD＝∠DAE，由點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心，得∠FEA＝∠FEB＝∠AEB，∠FAE＝∠FAB＝∠BAE，推導(dǎo)出∠DAE＝∠AEB，∠FAH＝∠GAE+∠FAE＝45°，于是得∠GAE＝∠FEA＝∠FEB，∠FAH＝∠AFH＝45°，由AG∥FE，得∠DEF＝∠AGD＝90°，再證明△AGE≌△DEF，得GE＝EF＝ED，設(shè)DF交AE于點(diǎn)L，可證明DF⊥AE，所以＝tan∠FEA＝tan∠EDF＝＝＝，則DL＝4FL，求得＝4，于是得到問題的答案．
【解答】解：作AG⊥DE于點(diǎn)G，作FH⊥AG于點(diǎn)H，則∠AHF＝∠AGE＝90°，
∴FH∥ED，
由翻折得AE＝AD＝DF，
∴EG＝DG，∠GAE＝∠GAD＝∠DAE，
∵點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心，
∴∠FEA＝∠FEB＝∠AEB，∠FAE＝∠FAB＝∠BAE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠C＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB，∠FAH＝∠GAE+∠FAE＝（∠DAE+∠BAE）＝∠BAD＝45°，
∴∠GAE＝∠FEA＝∠FEB，∠FAH＝∠AFH＝45°，
∴AG∥FE，
∴∠DEF＝∠AGD＝90°，
∵∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF﹣∠FAH＝∠DFA﹣∠AFH，
∴∠GAE＝∠GAD＝∠DFH＝∠EDF，
∵∠AGE＝∠DEF＝90°，AE＝DF，
∴△AGE≌△DEF（AAS），
∴GE＝EF＝ED，
設(shè)DF交AE于點(diǎn)L，
∵∠GAE＝∠FEA＝∠EDF，
∴∠ELF＝∠AED+∠EDF＝∠AED+∠FEA＝∠DEF＝90°，
∴DF⊥AE，
∴∠DLE＝90°，
∴＝tan∠FEA＝tan∠EDF＝＝＝，
∴DL＝2EL，EL＝2FL，
∴DL＝2×2FL＝4FL，
∴＝＝＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形、三角形的面積公式等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，已知⊙O的半徑為2，所對的圓心角∠AOB＝60°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)D為半徑OB上一動點(diǎn)（D不與B重合）．將△CDB沿CD翻折得到△CDE，若點(diǎn)E落在半徑OA、OB、圍成的封閉圖形的邊界上，則CD的長為 　1或2或　．
【分析】當(dāng)點(diǎn)E落在半徑OB上，點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)CD對稱，從而可以得到DE＝DB，由點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，∠AOB＝60°，OC＝OA＝2，可以求得CD的長；當(dāng)E落在上時，E與A重合，D與O重合，CD＝2，；當(dāng)點(diǎn)E落在半徑OA上，畫出相應(yīng)的圖形，由前面求得的OE的長與此時OE的長相等，可得E的坐標(biāo)和直線BE的解析式，得∠EBD＝45°，∠BDE＝2∠CDB＝90°，即得D（，0），CD＝．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E落在半徑OB上時，連接OC，如圖：
∵∠BDC＝∠EDC＝90°，∠AOB＝60°，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為2，
∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，
∴CD＝OC sin30°＝2×＝1，
∴OD＝OC cos30°＝2×＝，
∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，
∵DE＝DB，
∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，
當(dāng)E落在上時，如圖：
此時E與A重合，D與O重合，
∴CD＝2，
當(dāng)點(diǎn)E落在半徑OA上時，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，連接OC，BE，AC，如圖：
由已知可得，CE＝CB＝CA，
同E在OB上可知此時OE＝2﹣2，C（，1），
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，
∴E（﹣1，3﹣），
∵B（2，0），
∴直線BE的解析式為y＝﹣x+2，
∴∠EBD＝45°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDB＝45°，
∴∠BDE＝2∠CDB＝90°，
∵E（﹣1，3﹣），
∴D（，0），
∵C（，1），
∴CD＝，
綜上所述，CD的長為1或2或，
故答案為：1或2或．
【點(diǎn)評】本題考查扇形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，會尋找特殊位置解決問題．
24．如圖，一張矩形紙片ABCD中，（m為常數(shù)）．將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，CD與HM交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)H落在BC的中點(diǎn)時，且，則m＝　　．
【分析】根據(jù)＝，設(shè)CP＝t，則CD＝AB＝3t，根據(jù)△CHP∽△BEH，得到BC2＝4BE t①，在Rt△BEH中，利用勾股定理得到（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，解①②即可求解．
【解答】解：∵＝，
設(shè)CP＝t，則CD＝AB＝3t，
∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，
∴CH＝BH＝BC，
∵△CHP∽△BEH，
∴＝，
即＝，
∴BC2＝4BE t①，
∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝3t，
∴AE＝EH＝3t﹣BE，
在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，
∴（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，
解①②得BE＝t，
∴BC2＝4BE t＝4×t＝t2，
∴BC＝t，
∴m＝＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，從復(fù)雜的圖形中找出相似三角形是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長線交于點(diǎn)F．設(shè)＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長為 　﹣1　；
（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為 　　．
【分析】（1）根據(jù)AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的長，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到AE的長，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以得到EF的長，從而可以得到線段CF的長；
（2）然后根據(jù)題目中的條件，可以得到△ADG≌△FGC，△EGC∽△GFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)可以得到CE和EB的比值，從而可以得到λ的值．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵＝λ＝1，
∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∵AB＝2，∠B＝90°，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1，
故答案為：﹣1；
（2）∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADG和△FCG中，
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，CF＝DA，
設(shè)CD＝2a，則CG＝a，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴＝，
∵GC＝a，CF＝2a，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝＝＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
26．如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，E為CD上一點(diǎn)，tan∠EAD＝，以E為圓心，EA為半徑的弧交AB于F，交BC于G，若F為弧AG的中點(diǎn)，則AF＝　5　，tan∠GEC＝　　．
【分析】過E點(diǎn)作EH⊥AF于H點(diǎn)，連接AG、FG，如圖，在Rt△ADE中利用正切的定義得到an∠EAD＝＝，則設(shè)DE＝x，AD＝3x，根據(jù)垂徑定理得到AH＝FH＝DE＝x，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到FG＝FA＝2x，再證明∠FAG＝∠EAD，則tan∠BAG＝＝，于是可計算出BG＝3，在Rt△BFG中利用勾股定理得到（9﹣2x）2+32＝（2x）2，解方程求出x，則AF＝5，DE＝，AD＝，所以CG＝，CE＝，然后在Rt△CGE中利用正切的定義得到an∠GEC的值．
【解答】解：過E點(diǎn)作EH⊥AF于H點(diǎn)，連接AG、FG，如圖，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ADE中，∵tan∠EAD＝＝，
∴設(shè)DE＝x，AD＝3x，
∵∠AHE＝∠HAD＝∠D＝90°，
∴四邊形ADEH為矩形，
∴AH＝DE＝x，AD∥AE，
∴∠DAE＝∠HEA，
∵EH⊥AF，
∴AH＝FH＝x，∠HEA＝∠HEF，
∵F為弧AG的中點(diǎn)，
∴FG＝FA＝2x，∠AEF＝∠GEF，
∵∠FAG＝∠GEF＝∠AEF，
∴∠FAG＝∠EAD，
在Rt△ABG中，∵tan∠BAG＝＝，
∴BG＝AB＝×9＝3，
在Rt△BFG中，∵BF＝9﹣2x，F(xiàn)G＝2x，BG＝3，
∴（9﹣2x）2+32＝（2x）2，
解得x＝，
∴AF＝5，DE＝，AD＝，
∴CG＝BC﹣BG＝，CE＝CD﹣DE＝，
在Rt△CGE中，tan∠GEC＝＝．
故答案為：5，．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了矩形的性質(zhì)和解直角三角形．
三．解答題（共5小題）
27．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足為O，過點(diǎn)D作BD的垂線交BC的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cos∠ACB＝，求BC的長．
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理得到AC∥DE，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACB＝∠DEB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，求得BE＝5，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AC⊥BD，BD⊥DE，
∴AC∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
又∵AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB，
∴cos∠ACB＝cos∠DEB＝＝，
∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，
∴BE＝5，
∴BC＝BE﹣CE＝3，
故BC的長為3．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
28．如圖，△ABC中，AB＝AC，圓O為△ABC 的外接圓，弦BD⊥OC 于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD．
（1）求證：BE＝BC；
（2）若tan∠BCA＝3，EF＝2，求AB的長．
【分析】（1）證明△ABC∽△BEC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；
（2）求出CE的長，求出BC＝10，由（1）知，△ABC∽△BEC，得出，則可得出答案．
【解答】（1）證明：∵BD⊥OC，
∴，
∴∠CBE＝∠CAB，
又∵∠ECB＝∠BCA，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∵AB＝AC，
∴BE＝BC；
（2）解：∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵BD⊥OC，tan∠BCA＝3，EF＝2，
∴，
∴CF＝6，
∴，
設(shè)BC＝x，
∵BC2＝BF2+CF2，BF＝BE﹣EF＝x﹣2，
∴x2＝（x﹣2）2+62，
∴x＝10．
∴BC＝10，
由（1）知，△ABC∽△BEC，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)評】此題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義等知識，證明三角形相似得出BC的長是解題的關(guān)鍵．
29．四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，CE．
（1）如圖1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，證明：△ADE∽△BEC．
（2）如圖2，若四邊形ABCD為矩形，AB＝5，BC＝2，且△ADE與E、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求AE的長．
【分析】（1）由點(diǎn)E在邊AB上，且∠A＝∠DEC＝50°，得∠ADE＝130°﹣∠AED，∠BEC＝130°﹣∠AED，所以∠ADE＝∠BEC，又因?yàn)椤螦＝∠B，所以根據(jù)“有兩個角分別相等的兩個三角形相似”即可證明△AED∽△BCE；
（2）分兩種情況：△ADE∽△BEC或△ADE∽△BCE，設(shè)AE＝x，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程求出x的值即可．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)E在邊AB上，且∠A＝∠DEC＝50°，
∴∠ADE＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，∠BEC＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC；
（2）如圖2、如圖3，
分兩種情況：
設(shè)AE＝x，
∵AB＝5，AD＝BC＝2，
當(dāng)△ADE∽△BEC時，
∴＝，
∴＝，
解得x1＝1，x2＝4；
△ADE∽△BCE時，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝2.5，
綜上，AE的長為1或4或2.5．
【點(diǎn)評】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、矩形的性質(zhì)等知識，找出圖形中的相似三角形并根據(jù)已知條件證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
30．如圖1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，連接DE交AB于點(diǎn)F．
（1）探究：AF與BF的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明；
（2）如圖2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，題目中的其他條件不變，（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，題目中的其他條件不變，使得（1）中得到的結(jié)論仍然成立，請直接寫出m的值．
【分析】（1）作DG⊥AB于G，證明△DFG≌△EFB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）仿照（1）的證明方法證明；
（3）作DH⊥AB于H，要使得結(jié)論AF＝3BF成立，則有∠DGF＝∠EBF＝90°，可得（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，可得m＝2．
【解答】解：（1）結(jié)論：AF＝3BF．
理由：如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，則∠DGB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴AC＝CB，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝AB，
∵DA＝DB，∠ADB＝90°，
∴DG＝AG＝BG＝AB，
在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，EB＝EC，
∴BE＝BC＝AB，
∴DG＝BE，
在△DFG和△EFB中，
，
∴△DFG≌△EFB（AAS），
∴FG＝BF，
∵AF＝3BF；
（2）猜想：AF＝3FB．
證明：如圖2中，過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，則∠DGB＝90°．
∵DA＝DB，∠ADB＝60°．
∴AG＝BG，△DBA是等邊三角形．
∴DB＝BA．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝BG．
在Rt△DBG和Rt△BAC中，
，
∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．
∴DG＝BC．
∵BE＝EC，∠BEC＝60°，
∴△EBC是等邊三角形．
∴BC＝BE，∠CBE＝60°．
∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
∵∠DFG＝∠EFB，∠DGF＝∠EBF，
在△DFG和△EFB中，
，
∴△DFG≌△EFB（AAS）．
∴GF＝BF，
故 AF＝3FB；
（3）結(jié)論：m＝2，
理由：如圖3中，過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，則∠DGB＝90°．
要使得結(jié)論AF＝3BF成立，則有∠DGF＝∠EBF＝90°，
∴（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，
∴90°﹣m ∠ABC+∠ABC＝90°，
∴m＝2．
【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
31．在矩形ABCD中，（k為常數(shù)），點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上．
（1）如圖1，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，GF⊥AE，且，求證：AE＝FG；
（2）如圖2，將矩形ABCD沿GF折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．
①探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②連接CP，若，若，，求CP的長．
【分析】（1）先證明△ABE≌△DAQ（ASA），得AE＝DQ，再證明四邊形DQFG是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)G作GM⊥AB于M，證明△ABE∽△GMF，即可求解；
（3）過點(diǎn)P作PM⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)M，利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠QAO＝∠ADO，
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵FQ∥DG，
∴四邊形DQFG是平行四邊形，
∴GF＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴AE＝FG；
（2），理由如下：
如圖，過點(diǎn)G作GM⊥AB于M，
∵AE⊥FG，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四邊形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴；
（3）解：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)M，
∵FB∥GC，F(xiàn)E∥GP，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝，
∴設(shè)BE＝4k，BF＝3k，EF＝AF＝5k，
∵＝，F(xiàn)G＝2，
∴AE＝，
∴（4k）2，
∴k＝或﹣（舍去），
∴BE＝，AB＝，EF＝AF＝，BF＝2，
∵BC：AB＝3：4，
∴BC＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣，AD＝PE＝BC＝4，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FEB∽△EPM，
∴，
∴，
∴EM＝，PM＝，
∴CM＝EM﹣CE＝，
∴CP＝＝．
【點(diǎn)評】本題是相似三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，靈活運(yùn)用各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
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