資源簡(jiǎn)介

8.2.2 一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（第2課時(shí)）
導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，會(huì)用相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件.
2.了解非線性回歸模型.
3.會(huì)通過(guò)分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：一元線性回歸模型的基本思想，經(jīng)驗(yàn)回歸方程，最小二乘法.
難點(diǎn)：求最小二乘估計(jì)，殘差分析.
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識(shí)點(diǎn)一：殘差的概念
對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱(chēng)為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱(chēng)為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱(chēng)為殘差．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱(chēng)為殘差分析．
知識(shí)點(diǎn)二：刻畫(huà)回歸效果的方式
（1）殘差圖法
作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱(chēng)為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說(shuō)明擬合效果越好．
（2）殘差平方和法
殘差平方和 （yi－i）2，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差．
（3）利用R2刻畫(huà)回歸效果
決定系數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報(bào)變量的能力．
R2＝1－，R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差．
自主檢測(cè)
1．判斷正誤，正確的寫(xiě)正確，錯(cuò)誤的寫(xiě)錯(cuò)誤．
（1）殘差平方和越接近0， 線性回歸模型的擬合效果越好．( )
（2）在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)， 響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上．( )
（3）越小， 線性回歸模型的擬合效果越好．( )
2．在研究體重與身高的相關(guān)關(guān)系中，計(jì)算得到相關(guān)指數(shù)，則（　　）
A．是解釋變量 B．只有的樣本符合得到的相關(guān)關(guān)系
C．體重解釋了的身高 D．身高解釋了的體重
3．在最小二乘法中，用來(lái)刻畫(huà)各樣本點(diǎn)到直線“距離”的量是（ ）
A． B． C． D．
4．某車(chē)間加工零件的數(shù)量與加工時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：
零件數(shù)/個(gè) 12 23 31
加工時(shí)間/分 15 30 45
現(xiàn)已求得上表數(shù)據(jù)的回歸方程中的值為1.6，則據(jù)此回歸模型可以預(yù)測(cè)，加工100個(gè)零件所需要的加工時(shí)間約為（ ）
A．155分鐘 B．156分鐘 C．157分鐘 D．158分鐘
5．廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
廣告費(fèi)用（萬(wàn)元） 1 2 4 5
銷(xiāo)售額（萬(wàn)元） 10 26 35 49
根據(jù)上表可得回歸方程的約等于，據(jù)此模型預(yù)估廣告費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售額為（ ）
A．55萬(wàn)元 B．53萬(wàn)元 C．57萬(wàn)元 D．59萬(wàn)元
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
例 經(jīng)驗(yàn)表明，一般樹(shù)的胸徑（樹(shù)的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹(shù)就越高由于測(cè)量樹(shù)高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高，在研究樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場(chǎng)收集了某種樹(shù)的一些數(shù)據(jù)（表8.2-3），試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹(shù)高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
表8.2-3
編號(hào) 1 2 3 4 5 6
胸徑/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3
樹(shù)高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1
編號(hào) 7 8 9 10 11 12
胸徑/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2
樹(shù)高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7
分析：因?yàn)橐尚貜筋A(yù)測(cè)樹(shù)高，所以要以成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的胸徑為橫坐標(biāo)、樹(shù)高為縱坐標(biāo)描出散點(diǎn)，進(jìn)而得到散點(diǎn)圖，再根據(jù)散點(diǎn)圖推斷樹(shù)高與胸徑是否線性相關(guān)．如果是，再利用公式（2）計(jì)算出，即可．
解：以胸徑為橫坐標(biāo)、樹(shù)高為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，得到圖8.2-9．
在圖8.2-9中，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫(huà)樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系．
用d表示胸徑，表示樹(shù)高，根據(jù)最小二乘法，計(jì)算可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線如圖8.2-10所示，
根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由表8.2-3中胸徑的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出樹(shù)高的預(yù)測(cè)值（精確到0.1）以及相應(yīng)的殘差，如表8.2-4所示
表8.2-4
編號(hào) 胸徑/cm 樹(shù)高觀測(cè)值/m 樹(shù)高預(yù)測(cè)值/m 殘差/m
1 18.1 18.8 19.35 -0.6
2 20.1 19.2 19.85 -0.7
3 22.2 21.0 20.37 0.6
4 24.4 21.0 20.92 0.1
5 26.0 22.1 21.32 0.8
6 28.3 22.1 21.90 0.2
7 29.6 22.4 22.22 0.2
8 32.4 22.6 22.92 -0.3
9 33.7 23.0 23.24 -0.2
10 35.7 24.3 23.74 0.6
11 38.3 23.9 24.39 -0.5
12 40.2 24.7 24.86 -0.2
以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，得到圖8.2-11.
觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對(duì)值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對(duì)稱(chēng)軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi)．可見(jiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫(huà)了樹(shù)高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高．
【師生互動(dòng)】教師讓學(xué)生總結(jié)建立線性回歸模型的一般步驟.
建立線性回歸模型的基本步驟：
（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是響應(yīng)變量．
（2）畫(huà)出解釋變量與響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系 （如是否存在線性關(guān)系等）．
（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型．
（4）按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù).
（5）得出結(jié)果后需進(jìn)行線性回歸分析.
①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.
②決定系數(shù)R2取值越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好.
需要注意的是：若題中給出了檢驗(yàn)回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進(jìn)行分析檢驗(yàn)即可.
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
問(wèn)題 人們常將男子短跑100 m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱(chēng)為“百米飛人”．表8.2-5給出了1968年之前男子短跑100 m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù)，試依據(jù)這些成對(duì)數(shù)據(jù)，建立男子短跑100 m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
表8.2-5
編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968
記錄/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
以成對(duì)數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，得到圖8.2-12．
【師生活動(dòng)】師：以成對(duì)數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖如下圖所示.由散點(diǎn)圖可以看出，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.現(xiàn)在用丫表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄，f表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份，你能利用一元線性回歸模型求經(jīng)驗(yàn)回歸方程嗎？
在圖8.2-12中，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
用Y表示男子短跑100 m的世界紀(jì)錄，t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份，利用一元線性回歸模型
來(lái)刻畫(huà)世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系．根據(jù)最小二乘法，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．①
將經(jīng)驗(yàn)回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，得到圖8.2-13
師：在散點(diǎn)圖中畫(huà)出經(jīng)驗(yàn)回歸直線，你能看出其中存在的問(wèn)題嗎？
生：得到下圖：
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
觀察：從圖8.2-13中可以看到，經(jīng)驗(yàn)回歸方程①較好地刻畫(huà)了散點(diǎn)的變化趨勢(shì)，請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)觀察圖形，你能看出其中存在的問(wèn)題嗎？
以經(jīng)驗(yàn)回歸直線為參照，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的不足之處，以及散點(diǎn)的更為精細(xì)的分布特征，例如，第一個(gè)世界紀(jì)錄所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，并且前后兩時(shí)間段中的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的上方，中間時(shí)間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的下方，這說(shuō)明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周?chē)菄@著經(jīng)驗(yàn)回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對(duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征
思考：你能對(duì)模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？
仔細(xì)觀察圖8.2-12，可以發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近．回顧已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象具有類(lèi)似的形狀特征．注意到100 m短跑的第一個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線的周?chē)渲校瑸槲粗膮?shù)，且．
【設(shè)計(jì)意圖】目的是使學(xué)生明白，不是所有的兩個(gè)變量的關(guān)系都適合用一元線性回歸模型刻畫(huà).
師：這說(shuō)明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周?chē)菄@著經(jīng)驗(yàn)回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對(duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.
師:你能對(duì)模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？
生:仔細(xì)觀察散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.回顧已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象具有類(lèi)似的形狀特征.
【設(shè)計(jì)意圖】提醒學(xué)生需熟悉常見(jiàn)非線性函數(shù)模型的特點(diǎn).
用上述函數(shù)刻畫(huà)數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)，這是一個(gè)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)，其中，是待定參數(shù)．現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何利用成對(duì)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)和．
為了利用一元線性回歸模型估計(jì)參數(shù)和，我們引進(jìn)一個(gè)中間變量x，令．通過(guò)，將年份變量數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，得到新的成對(duì)數(shù)據(jù)（精確到0.01），如表8.2-6所示．
表8.2-6
編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29
Y/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
如果表8.2-6對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征，我們就可以借助一元線性回歸模型和新的成對(duì)數(shù)據(jù)，對(duì)參數(shù)和作出估計(jì)，進(jìn)而可以得到Y(jié)關(guān)于t的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出表8.2-6中成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖8.2-14所示，散點(diǎn)的分布呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征．
因此，用一元線性回歸模型
擬合表8.2-6中的成對(duì)數(shù)據(jù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，（*）
再在圖8.2-14中畫(huà)出（*）式所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線，得到圖8.2-15．
（1）.直接觀察法.在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的圖象（藍(lán)色）以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的圖象（紅色）.
圖8.2-15表明，經(jīng)驗(yàn)回歸方程（*）對(duì)于表8.2-6中的成對(duì)數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度．將圖8.2-15習(xí)圖8．2-13進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)和之間的線性相關(guān)程度比原始樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度強(qiáng)得多．
將代入式，得到由創(chuàng)紀(jì)錄年份預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的經(jīng)驗(yàn)回歸方程 ②
在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的圖象（藍(lán)色）以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的圖象（紅色），表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①．
【師生活動(dòng)】師：對(duì)于通過(guò)創(chuàng)紀(jì)錄時(shí)間預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的問(wèn)題，我們建立了兩個(gè)回歸模型，得到了兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程①②，你能判斷哪個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程擬合的精度更好嗎？
生：散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非常靠近②的圖象，表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①.
【設(shè)計(jì)意圖】分析兩個(gè)模型的擬合效果，由比較不同回歸模型擬合效果的需要，引出評(píng)價(jià)模型好壞的指標(biāo).
環(huán)節(jié)四 辨析理解 深化概念
下面通過(guò)殘差來(lái)比較這兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程對(duì)數(shù)據(jù)刻畫(huà)的好壞．在表8.2-5中，用表示編號(hào)為的年份數(shù)據(jù)，用表示編號(hào)為的紀(jì)錄數(shù)據(jù)，則經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差計(jì)算公式分別為
（2）.殘差分析:殘差平方和越小，模型擬合效果越好.
兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差（精確到0.001）如表8.2-7所示．觀察各項(xiàng)殘差的絕對(duì)值，發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程②遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于①，即經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的合效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①．
表8.2-5
編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968
0.591 -0.284 -0.301 -0.218 -0.196 0.111 0.092 0.205
-0.001 0.007 -0.012 0.015 -0.018 0.052 -0.021 -0.022
在一般情說(shuō)下，直接比較兩個(gè)模型的殘差比較困難，因?yàn)樵谀承┥Ⅻc(diǎn)上一個(gè)模型的殘差的絕對(duì)值比另一個(gè)模型的小，而另一些散點(diǎn)的情況則相反．可以通過(guò)比較殘差的平方和來(lái)比較兩個(gè)模型的效果．由，．
可知小于．因此在殘差平方和最小的標(biāo)準(zhǔn)下，非線性回歸模型
的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型
的擬合效果．
（3）.利用決定系數(shù)刻畫(huà)回歸效果.
也可以用決定系數(shù)來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果，的計(jì)算公式為
在表達(dá)式中，與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無(wú)關(guān)，殘差平方和與經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān)．因此越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．
由表8.2-7容易算出經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的分別約為0.7325和0.9983，因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫(huà)效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多．
用新的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果
另外，我們還可以用新的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果．事實(shí)上，我們還有1968年之后的男子短跑100 m世界記錄數(shù)據(jù)，如表8.2-8所示．
表8.2-8
編號(hào) 9 10 11 12 13 14 15
年份 1983 1988 1991 1991 1994 1996 1999
記錄/s 9.93 9.92 9.90 9.86 9.85 9.84 9.79
編號(hào) 16 17 18 19 20 21
年份 2002 2005 2007 2008 2008 1009
記錄/s 9.78 9.77 9.74 9.72 9.69 9.58
在散點(diǎn)圖8.2-12中，繪制表8.2-8中的散點(diǎn)（綠色），再添加經(jīng)驗(yàn)回歸方程①所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線（紅色），以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程②所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸曲線（藍(lán)色），得到圖8.2-17顯然綠色散點(diǎn)分布在藍(lán)色經(jīng)驗(yàn)回歸曲線的附近，遠(yuǎn)離紅色經(jīng)驗(yàn)回歸直線，表明經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于新數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①．
環(huán)節(jié)五 概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
思考：在上述問(wèn)題情境中，男子短跑100 m世界紀(jì)錄和紀(jì)錄創(chuàng)建年份之間呈現(xiàn)出對(duì)數(shù)關(guān)系，能借助于樣本相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)這種關(guān)系的強(qiáng)弱嗎？
在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意下列問(wèn)題：
（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體．例如，根據(jù)我國(guó)父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來(lái)描述美國(guó)父親身高與兒子身高之間的關(guān)系．同樣，根據(jù)生長(zhǎng)在南方多雨地區(qū)的樹(shù)高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來(lái)描述北方干旱地區(qū)的樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系．
（2）經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性．例如，根據(jù)20世紀(jì)80年代的父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來(lái)描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高之間的關(guān)系．
（3）解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)．一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果會(huì)比較好，超出這個(gè)范圍越遠(yuǎn)，預(yù)報(bào)的效果越差．
（4）不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值．事實(shí)上，它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值．
師生互動(dòng)：學(xué)生總結(jié)建立非線性回歸模型的基本步驟.教師及時(shí)補(bǔ)充完善.
建立非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型的基本步驟：
1.確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是響應(yīng)變量；
2.由經(jīng)驗(yàn)確定非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的模型；
3.通過(guò)變換，將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型；
4.按照公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常 ．
判斷模型的擬合效果的依據(jù)如下：
①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.
②決定系數(shù)斤取值越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好.
需要注意的是:若題中給出了檢驗(yàn)回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進(jìn)行分析檢驗(yàn)即可.
【設(shè)計(jì)意圖】探索非線性回歸分析問(wèn)題的求解方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié)，反思提升
1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？
（1）非線性回歸模型.
（2）決定系數(shù).
2．比較兩個(gè)模型擬合效果的方法：
（1）殘差法，殘差越大，擬合效果越差；殘差越小，擬合效果越小．
（2）R2法，R2越接近1，擬合效果越好，R2越接近0，擬合效果越差．
3．對(duì)于線性回歸模型與非線性回歸模型，當(dāng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分布在直線帶狀區(qū)域內(nèi)，則選用線性回歸模型刻畫(huà)；當(dāng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)分布在曲線帶狀區(qū)域內(nèi)，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)變換，再利用線性回歸模型進(jìn)行擬合．
4. 在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？
轉(zhuǎn)化與化歸思想.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力.
環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置
完成教材： 第121頁(yè)習(xí)題8.2第4題.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
備用練習(xí)
6．，兩個(gè)學(xué)科興趣小組在實(shí)驗(yàn)室研究某粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，共同記錄到粒子的一組坐標(biāo)信息．小組根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接對(duì)作線性回歸分析，得到：回歸方程，決定系數(shù)．小組先將數(shù)據(jù)按照變換，進(jìn)行整理，再對(duì)，作線性回歸分析，得到：回歸方程，決定系數(shù)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，下列方程中，最有可能是該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡方程的是（ ）
A． B．
C． D．
7．回歸直線方程的系數(shù)a，b的最小二乘法估計(jì)使函數(shù)最小，Q函數(shù)指（ ）
A． B．
C． D．
8．已知變量線性相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)為，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的線性回歸直線方程不可能是
A． B．
C． D．
9．的取值如下表所示，從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且則（ ）
x 0 3 4 5
y 0.9 1.9 3.2 4.4
A．8 B． C．2 D．
10．已知變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的四個(gè)樣本點(diǎn)，用最小二乘法得到回歸方程 過(guò)點(diǎn)的直線方程為，給出下列4個(gè)命題：
①；
②；
③；
④點(diǎn)一定在直線上.
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）
參考公式：，．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1． 正確 錯(cuò)誤 錯(cuò)誤
【分析】由線性回歸方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）殘差平方和越接近0，線性回歸模型的擬合效果越好，故正確；
（2）在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，解釋變量在軸上，響應(yīng)變量在軸上，故錯(cuò)誤；
（3）由的意義可知，越小，線性回歸模型的擬合效果越差，故錯(cuò)誤.
故答案為：（1）正確；（2）錯(cuò)誤；（3）錯(cuò)誤.
2．D
【分析】由相關(guān)指數(shù)的含義進(jìn)行判斷.
【詳解】是因變量或響應(yīng)變量，是自變量或解釋變量，所以A錯(cuò)誤.
表示解釋變量對(duì)響應(yīng)變量變化的貢獻(xiàn)率，表示身高解釋了的體重，所以D正確，B、C錯(cuò)誤.
故選：D
3．D
【分析】根據(jù)最小二乘法的定義判斷即可；
【詳解】解：由最小二乘法的定義可知，用來(lái)刻畫(huà)各個(gè)樣本點(diǎn)與直線之間的“距離”，它們的和表示這些點(diǎn)與直線的接近程度；
故選：D
4．A
【分析】先求出樣本中心點(diǎn)，然后代入求出，從而求出回歸方程及可作出預(yù)測(cè).
【詳解】由題意得：，，
回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，故有，∴，
故，當(dāng)時(shí)，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的求解及應(yīng)用，其中回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，屬常規(guī)考題.
5．C
【分析】根據(jù)題意，計(jì)算所給數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意可得回歸方程，將樣本中心點(diǎn)代入其中可得的值，即可得回歸直線的方程，將代入計(jì)算即可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，由所給的數(shù)據(jù)可得：，，
即樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為
又由回歸方程的約等于3，即，
則，解得，則回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，，所以廣告費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售額預(yù)計(jì)為萬(wàn)；
故選：C．
6．C
【分析】由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)可知，越大，擬合效果越好，由此可得回歸方程，整理得結(jié)論．
【詳解】由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)可知，越大，擬合效果越好，
又小組的決定系數(shù)，小組的決定系數(shù)，
小組的擬合效果好，則回歸方程為，
又，即．
故選：C．
7．A
【分析】由表示隨機(jī)誤差的平方和得出答案.
【詳解】是指所求回歸直線方程在各點(diǎn)的值與真實(shí)值的誤差的平方和，
即.
故選：A
8．D
【分析】由觀測(cè)數(shù)的樣本平均數(shù)為，即樣本中心為，驗(yàn)證回歸直線過(guò)樣本中心，即可得到答案.
【詳解】由題意，可知觀測(cè)數(shù)的樣本平均數(shù)為，即樣本中心為，
ABC三選項(xiàng)中，代入方程都求得，
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
所以直線不可能是回歸直線方程，
故選：D.
9．B
【分析】根據(jù)線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以有，
故選：B
10．C
【分析】作出散點(diǎn)圖，再計(jì)算方程，作出，由圖可判斷①②③；再求樣本中心點(diǎn)可判斷④.
【詳解】作出散點(diǎn)圖，直觀判斷可知，，故①正確，②錯(cuò)誤；
又，
所以，
所以
因?yàn)椋?br/>所以
所以的殘差平方和較小，所以③正確；
由回歸方程一定過(guò)樣本點(diǎn)中心，所以④正確.
故選：C
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

展開(kāi)更多......

收起↑