資源簡介

8.1.1 變量的相關關系 導學案
學習目標
1.結合實例，了解樣本相關系數的統計含義.
2.了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.
3.結合實例，會通過樣本相關系數比較多組成對樣本數據的相關性．
重點難點
1.教學重點：
利用散點圖進行相關關系的判斷，相關系數r的應用。
2.教學難點：
了解樣本相關系數的統計含義，散點圖和樣本相關系數
課前預習 自主梳理
知識點一　相關關系的定義
相關關系的定義：兩個變量有關系，但沒有確切到可由其中一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．
知識點二　相關關系的分類
（1）按變量間的增減性分為正相關和負相關．
①正相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢；
②負相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢．
（2）按變量間是否有線性特征分為線性相關和非線性相關(曲線相關)．
①線性相關：如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們稱這兩個變量線性相關；
②非線性相關或曲線相關：如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，我們稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫“正確”，錯誤的寫“錯誤”．
（1）函數關系是一種確定關系，而相關關系是一種不確定關系．( )
（2）樣本相關系數r越大，兩變量的相關性越強．( )
（3）散點圖可以直觀地分析出兩個變量是否具有相關性．( )
（4）若變量x，y滿足函數關系，則這兩個變量線性相關．( )
（5）兩個變量的相關關系是一種確定的關系( )
（6）當一個變量的值增加時，另一個變量的值隨之減少，則稱這兩個變量負相關.( )
（7）一般地，樣本容量越大，用樣本相關系數估計兩個變量的相關系數的效果越好.( )
（8）統計活動中，分析數據時通常用統計圖表計算數據的數據特征．( )
（9）在一定范圍內，農作物的產量與施肥量之間的關系是相關關系．( )
2．下列說法正確的是（ ）
A．圓的面積與半徑之間的關系是相關關系
B．糧食產量與施肥量之間的關系是函數關系
C．一定范圍內，學生的成績與學習時間成正相關關系
D．人的體重與視力成負相關關系
3．已知變量x和y滿足關系y＝0.1x－10，變量z與y負相關，則下列結論中正確的是
(　　)
A．x與y負相關，x與z負相關
B．x與y正相關，x與z正相關
C．x與y正相關，x與z負相關
D．x與y負相關，x與z正相關
4．已知變量和滿足關系，變量與正相關，下列結論中正確的是（ ）
A．與正相關，與負相關 B．與正相關，與正相關
C．與負相關，與負相關 D．與負相關，與正相關
5．研究表明某地的山高與該山的年平均氣溫具有相關關系，根據所采集的數據得到線性回歸方程，則下列說法錯誤的是
A．年平均氣溫為時該山高估計為
B．該山高為處的年平均氣溫估計為
C．該地的山高與該山的年平均氣溫的正負相關性與回歸直線的斜率的估計值有關
D．該地的山高與該山的年平均氣溫成負相關關系
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
在必修課程中，我們學習了單個變量的觀察數據的直觀表示和統計特征的刻畫等知識與方法．例如，用直方圖描述樣本數據的分布規律，用均值刻畫樣本數據的集中趨勢，用方差刻畫樣本數據的離散程度等．這些方法主要適用于通過樣本認識單個變量的統計規律．在現實中，我們還經常需要了解兩個或兩個以上變量之間的關系．例如，教育部門為掌握學生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關系；醫療衛生部門要制定預防青少年近視的措施，需要了解有哪些因素會影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；商家要根據顧客的意見改進服務水平，希望了解哪些因素影響服務水平，以及這些因素是如何起作用的；等等．為此，我們需要進一步學習通過樣本推斷變量之間關系的知識和方法．
本章的學習內容有成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型和列聯表等，這些知識與方法在解決實際問題中非常有用．可以發現，兩個隨機變量的相關性可以通過成對樣本數據進行分析；利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機關系，進行預測；利用列聯表可以檢驗兩個隨機變量的獨立性．本章的學習對于提高我們解決實際問題的能力，提升數據分析、數學建模等素養都是非常有幫助的．
我們知道，如果變量是變量的函數，那么由就可以唯一確定．然而，現實世界中還存在這樣的情況：兩個變量之間有關系，但密切程度又達不到函數關系的程度．例如，人的體重與身高存在關系，但由一個人的身高值并不能確定他的體重值．那么，該如何刻畫這兩個變量之間的關系呢？下面我們就來研究這個問題．
環節二 觀察分析，感知概念
我們知道，一個人的體重與他的身高有關系．一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小．但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素．像這樣，兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系(correlation)．
兩個變量具有相關關系的事例在現實中大量存在．例如：
1．子女身高y與父親身高x之間的關系．一般來說，父親的個子高，其子女的個子也會比較高；父親個子矮，其子女的個子也會比較矮．但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結構、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高．
2．商品銷售收入y與廣告支出x之間的關系．一般來說，廣告支出越多，商品銷售收入越高．但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質量、居民收入等因素有關．
3．空氣污染指數y與汽車保有量x之間的關系．一般來說，汽車保有量增加，空氣污染指數會上升．但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業生產排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數的因素．
4．糧食畝產量y與施肥量x之間的關系．在一定范圍內，施肥量越大，糧食畝產就越高．但施肥量并不是決定糧食畝產量的唯一因素，糧食畝產量還要受到土壤質量、降水量、田間管理水平等因素的影響．
因為在相關關系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無法直接用函數去描述量之間的這種關系．對上述各例中兩個變量之間的相關關系，我們往往會根據自己以往積累的經驗作出推斷．“經驗之中有規律”，經驗的確可以為我們的決策提供一定的依據，但僅憑經驗推斷又有不足．例如，不同經驗的人對同一情形可能會得出不同結論，不是所有的情形都有經驗可循等．因此，在研究兩個變量之間的相關關系時，我們需要借助數據說話，即通過樣本數據分析，從數據中提取信息，并構建適當的模型，再利用模型進行估計或推斷．
環節三 抽象概括，形成概念
探究：在對人體的脂肪含量和年齡之間關系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數據，如表8.1-1所示．表中每個編號下的年齡和脂肪含量數據都是對同一個體的觀測結果，它們構成了成對數據
表8.1—1
編號 1 2 3 4 5 6 7
年齡/歲 23 27 39 41 45 49 50
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
編號 8 9 10 11 12 13 14
年齡/歲 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根據以上數據，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎？
為了更加直觀地描述上述成對樣本數據中脂肪含量與年齡之間的關系，類似于用直方圖描述單個變量樣本數據的分布特征，我們用圖形展示成對樣本數據的變化特征．用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表8.1-1中每個編號下的成對樣本數據都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成了如圖8.1-1所示的統計圖．我們把這樣的統計圖叫做散點圖(scatter plot)．
觀察圖8.1—1可以發現，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應的脂肪含量值呈現增高的趨勢．這樣，由成對樣本數據的分布規律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關關系．
環節四 辨析理解 深化概念
如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(positive correlation)；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關(negative correlation)．
由圖8.1—1，能夠推斷脂肪含量與年齡這兩個變量正相關．
思考：
（1）兩個變量負相關時，成對樣本數據的散點圖有什么特點？
（2）你能舉出生活中兩個變量正相關或負相關的一些例子嗎？
散點圖是描述成對數據之間關系的一種直觀方法．觀察散點圖8.1-1，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現正相關性，而且從整體上可以看出散點落在某條直線附近．一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(linear correlation)．
環節五 概念應用，鞏固內化
觀察散點圖8.1-2，我們發現：圖(1)中的散點落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個變量具有相關性，但不是線性相關；類似地，圖(2)中的散點落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關性，但它們既不是正相關，也不是負相關；圖(3)中的散點雜亂無章，無規律可言，看不出兩個變量有什么相關性．
一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．
環節六 歸納總結,反思提升
1.本節課學習的概念有哪些？
（1）相關關系．
（2）散點圖．
（3）正相關、負相關、線性相關、非線性相關．
（4）樣本相關系數．
2.在解決問題時，用到了哪些數學思想？
數形結合．
3.常見誤區：
相關關系與函數關系不分，樣本相關系數絕對值的大小與相關程度的關系．
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：第103頁練習第3,4題.
備用練習
6．（多選）下列結論正確的是（ ）
A．函數關系是一種確定性關系
B．相關關系是一種非確定性關系
C．在研究身高與年齡的關系時，散點圖中可用橫軸表示年齡，縱軸表示身高
D．散點圖能準確反映變量間的關系
7．下列關系中，屬于相關關系的是（ ）．
A．正方形的邊長與面積之間的關系
B．農作物的產量與施肥量之間的關系
C．出租車車費與行駛的里程之間的關系
D．降雪量與交通事故的發生率之間的關系
8．以下兩個變量成負相關的是 ．
①學生的學籍號與學生的數學成績；
②堅持每天吃早餐的人數與患胃病的人數；
③氣溫與冷飲銷售量；
④電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量．
9．根據下面四個散點圖中點的分布狀態，可以直觀地判斷兩個變量之間具有線性相關關系的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列說法正確的是（　　）
A．闖紅燈與交通事故發生率的關系是相關關系
B．同一物體的加速度與作用力是函數關系
C．產品的成本與產量之間的關系是函數關系
D．廣告費用與銷售量之間的關系是相關關系
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 錯誤 正確 錯誤 錯誤 錯誤 正確 正確 正確
【分析】根據回歸分析的相關概念和定義逐項分析.
【詳解】（1）函數關系是一種確定關系，而相關關系是一種不確定關系，故正確；
（2）樣本相關系數r的絕對值越大，兩變量的相關性越強，故錯誤；
（3）通過散點圖可以看出兩個變量是否基本在一條直線上，進而散點圖可以直觀地分析出兩個變量是否具有相關性，故正確；
（4）由函數關系是一種確定關系，而相關關系是一種不確定關系，
所以若變量x，y滿足函數關系，則這兩個變量是確定關系，故錯誤；
（5）兩個變量的相關關系是一種不確定的關系，故錯誤；
（6）存在相關關系的兩個變量，當一個變量的值增加時，另一個變量的值隨之減少，則稱這兩個變量負相關，故錯誤；
（7）一般地，樣本容量越大，用樣本相關系數估計兩個變量的相關系數的效果越好，故正確；
（8）統計活動中，分析數據時通常用統計圖表計算數據的數據特征，故正確；
（9）在一定范圍內，農作物的產量與施肥量之間的關系是相關關系，故正確.
故答案為：（1）正確；（2）錯誤；（3）正確；（4）錯誤；（5）錯誤；（6）錯誤；（7）正確；（8）正確；（9）正確.
2．C
【分析】函數關系是變量之間的確定關系，相關關系是變量之間確實存在關系但不具有確定性，據此判斷即可.
【詳解】解：對于A，圓的面積與半徑之間的關系是確定的關系，是函數關系，所以A錯誤；
對于B，糧食產量與施肥量之間的關系是不是函數關系，是相關關系，所以B錯誤；
對于C，一定范圍內，學生的成績與學習時間是成正相關關系的，所以C正確；
對于D，人的體重與視力是沒有相關關系的，所以D錯誤.
故選：C.
【點睛】考查相關關系的判斷，基礎題.
3．C
【詳解】 由題意知，變量和之間滿足關系，所以變量和是正相關關系，
又變量和是負相關，所以變量和是負相關關系，故選C.
4．C
【分析】根據相關系數的符號判斷相關性，又由變量與正相關，分析可得與的相關性，即可得答案.
【詳解】解：根據題意，變量和滿足關系，其相關系數為，
所以與負相關；
又由變量與正相關，則與負相關；
故選：C
【點睛】本題考查由線性回歸方程，正確理解相關系數的符號與正相關還是負相關的對應是解題的關鍵.
5．B
【分析】由已知線性回歸直線方程，可估計平均氣溫為時該地的山高，即可得到答案．
【詳解】線性回歸直線方程為，當 時即年平均氣溫為時該山高估計為，故正確；當時解得即山高為處的年平均氣溫估計為，故錯誤；該地的山高與該山的年平均氣溫的正負相關性與回歸直線的斜率的估計值有關，故正確；
由，該地的山高與該山的年平均氣溫成負相關關系，故正確．故選B
【點睛】本題考查線性回歸直線方程的應用，考查相關的意義，判斷能力，屬于基礎題．
6．ABC
【分析】根據函數概念和相關關系概念判斷即可.
【詳解】對于A：因為函數關系是確定關系，所以A正確；
對于B：因為相關關系是非確定性關系，所以B正確；
對于C：兩個變量轉換成數據后，一個對應點的橫坐標，一個對應點的縱坐標，所以C正確；
對于D：散點圖只能大致反映變量間關系，所以D錯誤.
故選：ABC.
7．BD
【分析】根據相關關系的概念逐項分析可得答案.
【詳解】A中，正方形的邊長與面積之間的關系是函數關系；
B中，農作物的產量與施肥量之間不具有嚴格的函數關系，但具有相關關系；
C中，出租車車費與行駛的里程之間的關系為確定的函數關系；
D中，降雪量與交通事故的發生率之間具有相關關系．
故選：BD．
8．②
【分析】
根據相關關系的知識確定正確答案.
【詳解】
①無相關關系；②負相關；③④正相關.
故答案為：②
9．BC
【分析】根據散點圖中點的分布情況即可得答案.
【詳解】A中的點無規律分布，范圍很廣，表明兩個變量之間的相關程度很小；
B，C中的點分布在一條直線的附近，兩個變量之間具有線性相關關系；
D中所有的點分布在一條曲線附近，所以不是線性相關關系.
故選：BC．
10．ABD
【分析】利用相關關系的定義判斷.
【詳解】闖紅燈與發生交通事故之間不是因果關系，但具有相關性，是相關關系，所以A正確；
物體的加速度與作用力的關系是函數關系，B正確；
產品的成本與產量之間是相關關系，C錯誤；
廣告費用與銷售量之間是相關關系，D正確．
故選：ABD
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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