資源簡介

7.4.1 二項分布 導學案
學習目標
1.理解n重伯努利試驗的概念.
2.掌握二項分布.
3.能利用n重伯努利試驗及二項分布解決一些簡單的實際問題．
重點難點
1．重點：n重伯努利試驗、二項分布及其數字特征.
2．難點：在實際問題中抽象出模型的特征，識別二項分布.
課前預習 自主梳理
知識點一　n重伯努利試驗及其特征
1．n重伯努利試驗的概念
將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．
2．n重伯努利試驗的共同特征
（1）同一個伯努利試驗重復做n次．
（2）各次試驗的結果相互獨立．
思考　在相同條件下，有放回地抽樣試驗是n重伯努利試驗嗎？
答案　是．其滿足n重伯努利試驗的共同特征．
知識點二　二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p（0P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.
稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p）．
知識點三　二項分布的均值與方差
若X～B（n，p），則E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）設為重伯努利試驗中事件A發生的次數，則．( )
（2）在n重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響．( )
（3）對于n重伯努利試驗，各次試驗中事件發生的概率可以不同．( )
（4）如果在1次試驗中某事件發生的概率是p，那么在n重伯努利試驗中這個事件恰好發生k次的概率.( )
2．已知，且，則等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．如果X～B(15，)，則使P(X＝k)最大的k值（ ）
A．3 B．4
C．4或5 D．3或4
4．已知隨機變量服從二項分布，且，則（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
5．一個盒子里裝有大小相同的紅球、白球共30個，其中白球4個．從中任取兩個，則概率為的事件是（ ）
A．沒有白球 B．至少有一個白球
C．至少有一個紅球 D．至多有一個白球
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
劉備帳下的智囊團除諸葛亮以外還有9名謀士，假定對某事進行決策時，這9名謀士貢獻正確意見的概率均為0.7，諸葛亮貢獻正確意見的概率為0.85.現劉備為某事可 行與否征求智囊團的意見.有以下兩種方案：
（1）征求每名謀士的意見，并按多數人的意見作出決策.（2）采納諸葛亮的意見.應按哪種方案作出決定？學完本節課，你就能夠幫助劉備作出決定了.
【設計意圖】通過具體的問題情境，引發學生思考，積極參與互動，說出自己的見解，從而引入伯努利試驗的概念.
前面我們學習了離散型隨機變量的有關知識，本節將利用這些知識研究兩類重要的概率模型——二項分布和超幾何分布．
在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結果．例如，檢驗一件產品結果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫學檢驗結果為陽性或陰性等．我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗（Bernoulli trials）．
思考1：你能根據"重伯努利試驗的定義，歸納總結它的特征嗎？
我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：
（1）同一個伯努利試驗重復做n次；
（2）各次試驗的結果相互獨立．
“重復”意味著各次試驗成功的概率相同．
學生思考、討論、交流，得出n重伯努利試驗具有如下 共同特征：
（1）同一個伯努利試驗重復做n次；
（2）各次試驗的結果相互獨立.
【設計意圖】在具體實例的基礎上理解伯努利試驗和n 重伯努利試驗的概念，并探究江重伯努利試驗的特征，提 升數學抽象核心素養.
在歸納總結出n重伯努利試驗的特征后，教師提出以 下問題讓學生思考：
環節二 觀察分析，感知概念
思考：下面3個隨機試驗是否為n重伯努利試驗？如果是，那么其中的伯努利試驗是什么？對于每個試驗，定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？重復試驗的次數是多少？
（1）拋擲一枚質地均勻的硬幣10次．
（2）某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續射擊3次．
（3）一批產品的次品率為5%，有放回地隨機抽取20件．
在伯努利試驗中，我們關注某個事件A是否發生，而在n重伯努利試驗中，我們關注事件A發生的次數X．進一步地，因為X是一個離散型隨機變量，所以我們實際關心的是它的概率分布列．例如，對產品抽樣檢驗，隨機抽取n件，我們關心樣本中不合格品數的概率分布列．
思考2：伯努利試驗和n重伯努利試驗有什么不同？
【師生活動】教師展示問題，讓學生思考.
在學生思考的同時，教師可以適當引導，讓學生在充 分理解這兩個概念的基礎上進行辨析.
伯努利試驗是一個“只有兩個結果的試驗”，在試驗 中，只關注某個事件發生或不發生；"重伯努利試驗是對 一個“只有兩個結果的試驗”重復進行了 n次，試驗中的關 注點是某個事件“發生”的次數X.進一步地，因為X是一 個離散型隨機變量，所以我們實際關心的是它的概率分 布列.
【設計意圖】通過辨析伯努利試驗和 重伯努利試驗，加深學生對這兩個概念的理解.
探究：某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8．連續3次射擊，中靶次數X的概率分布列是怎樣的？
【師生活動】教師和學生共同完成這一問題的分析和解答過程，讓 學生體驗二項分布模型的構建過程.
用A：表示“第i次射擊中靶”，用如圖7.4-1的樹狀圖表示試驗的可能結果．
由分步乘法計數原理，3次獨立重復試驗共有種可能結果，它們兩兩互斥，每個結果都是3個相互獨立事件的積．由概率的加法公式和乘法公式得
，
，
，
．
為了簡化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次射擊恰好2次中靶的所有可能結果可表示為011，110，101，這三個結果發生的概率都相等，均為，并且與哪兩次中靶無關．因此，3次射擊恰好2次中靶的概率為．同理可求中靶0次、1次、3次的概率．于是，中靶次數X的分布列為，．
環節三 抽象概括，形成概念
思考：如果連續射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數X等于2的結果有哪些？寫出中靶次數X的分布列．
【師生活動】
學生類比上面的分析，自己獨立完成解答.
3次射擊恰好2次中靶的所有可能結果可表示為0011，0110，0101，1001，1010，1100．中靶次數X的分布列為，．
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為，
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布（binomial distribution），記作．
對比二項分布與二項式定理，你能看出它們之間的聯系嗎？
由二項式定理，容易得到．
【設計意圖】通過對具體問題的分析，讓學生掌握二項 分布的概念及其特點，發展學生的數學抽象核心素養.
環節四 辨析理解 深化概念
例1 將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：
（1）恰好出現5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出現的頻率在內的概率．
分析：拋擲一枚質地均勻的硬幣，出現“正面朝上”和“反面朝上”兩種結果且可能性相等，這是一個10重伯努利試驗．因此，正面朝上的次數服從二項分布．
解：設“正面朝上”，則．用X表示事件A發生的次數，則，
（1）恰好出現 5 次正面朝上等價于，于是；
（2）正面朝上出現的頻率在內等價于，于是
．
【設計意圖】通過典例解析，在具體的問題情境中，深化 學生對二項分布的理解.發展學生的數學建模和數學運算 核心素養.
例2 圖7.4-2是一塊高爾頓板的示意圖．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列．
【師生活動】
教師展示例題，設計以下問題引導學生分析.
對于本例題來說：
（1）伯努利試驗是什么？
（2）“成功”的事件是什么？ “成功”的概率是多少？
（3）重復試驗的次數是多少？各次試驗結果之間是否 相互獨立？
（4）成功的次數與落入格子的號碼的對應關系是 什么？
分析：小球落入哪個格子取決于在下落過程中與各小木釘碰撞的結果．設試驗為觀察小球碰到小木釘后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”兩種可能結果，且概率都是0.5．在下落的過程中，小球共碰撞小木釘10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響，因此這是一個10重伯努利試驗．小球最后落入格子的號碼等于向右落下的次數，因此X服從二項分布．
解：設“向右下落”，則 “向左下落”，且．因為小球最后落入格子的號碼X等于事件A發生的次數，而小球在下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以．于是，X的分布列為．
X的概率分布圖如圖7.4-3所示．
【設計意圖】以問題引導學生分析，幫助他們逐步掌握 抽象模型特征的一般步驟.釘板試驗可以使學生認識到隨機現象的特點，即偶然中蘊含著必然規律，提升學生的數 學建模核心素養.
環節五 概念應用，鞏固內化
例3 甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？
分析：判斷哪個賽制對甲有利，就是看在哪個賽制中甲最終獲勝的概率大．可以把“甲最終獲勝”這個事件，按可能的比分情況表示為若干事件的和，再利用各局比賽結果的獨立性逐個求概率；也可以假定賽完所有n局，把n局比賽看成n重伯努利試驗，利用二項分布求“甲最終獲勝”的概率．
解法1：采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分2：0或2：1，前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝．因為每局比賽的結果是獨立的，甲最終獲勝的概率為．
類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分3：0，3：1或3：2．因為每局比賽的結果是獨立的，所以甲最終獲勝的概率為．
解法2：采用3局2勝制，不妨設賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局數，則，甲最終獲勝的概率為．
采用5局3勝制，不妨設賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局數，則．甲最終獲勝的概率為
．
因為，所以5局3勝制對甲有利．實際上，比賽局數越多，對實力較強者越有利．
為什么假定賽滿3局或5局，不影響甲最終獲勝的概率？
歸納
一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：
（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發生的概率p；
（2）確定重復試驗的次數n，并判斷各次試驗的獨立性；
（3）設X為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，則．
對于一個離散型隨機變量，除了關心它的概率分布列外，我們還關心它的均值和方差等數字特征．因此，一個服從二項分布的隨機變量，其均值和方差也是我們關心的．
【設計意圖】對于例3，給出了兩種解法.前一種解法符 合比賽實際規則，比較容易理解，但不符合二項分布的特 征.后一種解法用二項分布求解，解法較簡單，但不易理解. 需要思考的問題是為什么假定賽滿3局或5局不影響甲 最終獲勝的概率.利用不同方法解決問題，拓展學生的思 維，提高學生解決問題的能力，同時培養他們的邏輯推理 和數學建模核心素養.
探究
假設隨機變量X服從二項分布，那么X的均值和方差各是什么？
我們知道，拋擲一枚質地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，如果擲100次硬幣，期望有次正面朝上．根據均值的含義，對于服從二項分布的隨機變量X，我們猜想．
我們不妨從簡單開始，先考察n較小的情況．
（1）當時，X服從兩點分布，分布列為，．
均值和方差分別為，．
（2）當時，X的分布列為
，，．
均值和方差分別為
，
．
一般地，可以證明：
如果，那么，．
下面我們對均值進行證明．
令，由，可得．
令，則．
由，可得
（注意到）
令，則
．
二項分布的應用非常廣泛．例如，生產過程中的質量控制和抽樣方案，都是以二項分布為基礎的；參加某保險人群中發生保險事故的人數，試制藥品治愈某種疾病的人數，感染某種病毒的家禽數等，都可以用二項分布來描述．
環節六 歸納總結，反思提升
1. 本節課學習的概念有哪些？
（1）n重伯努利試驗的概念及特征．
（2）二項分布的概念及表示．
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為，
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布（binomial distribution），記作．
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
（1）方法歸納：數學建模．
（2）常見誤區：二項分布的判斷錯誤．
3.確定一個二項分布模型的步驟如下：
（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發生的概率p；
（2）確定重復試驗的次數n，并判斷各次試驗的獨立性；
（3）設X為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，則．
【設計意圖】通過總結，進一步鞏固本節所學內容，提高 概括總結的能力.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：教材第76 77頁練習第1，2，3題.
備用練習
6．若，且，則（ ）
A．a的最小值為4 B．的最小值為4
C．a的最大值為4 D．的最大值為4
7．若X～B（20，0.3），則（ ）
A．E（X）＝3 B．P（X≥1）＝1﹣0.320
C．D（X）＝4 D．P（X＝10）
8．某人在19次射擊中擊中目標的次數為X，若，若最大，則（ ）
A．14或15 B．15 C．15或16 D．16
9．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，，且，則（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．已知某疾病的某種療法治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨立，設其中被治愈的人數為X，則下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 正確 錯誤 正確
【分析】根據重伯努利試驗的特征和二項分布的定義可依次判斷各個選項得到結果.
【詳解】一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗為重伯努利試驗，
在重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互之間沒有影響，各次試驗中事件發生的概率相同，
故（2）正確，（3）錯誤；
二項分布的定義為：在重伯努利試驗中，
設每次試驗中事件發生的概率為，用表示事件發生的次數，
則這個事件恰好發生次的概率，
如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，
記作，故（1）正確，（4）正確．
故答案為：（1）正確，（2）正確，（3）錯誤，（4）正確．
2．B
【分析】由條件結合二項分布期望公式列方程求，再由期望公式求.
【詳解】因為，，
所以，所以，
所以，
所以.
故選：B.
3．D
【分析】利用做商法比較大小，，得．即可得出結論．
【詳解】解：，得．
所以當時，，
當時，，
其中時，，
從而或4時，取得最大值，
故選：D
4．C
【分析】先由和二項分布的期望計算公式求得，再根據二項分布方差計算公式，可得選項.
【詳解】因為，所以，故．
故選：C.
【點睛】本題考查二項分布的期望和方差的計算公式，屬于基礎題.
5．B
【分析】根據，，以及所代表的意義，可得到正確的選項.
【詳解】表示從30個球中任取兩個球的不同取法的總數，表示從30個球中任取兩個球且兩球是
一紅一白的不同取法的總數，表示從4個白球中任取兩個不同的球的取法總數，故為從
30個球中任取兩個球，至少有一個白球的概率，
故選：B.
6．B
【分析】根據二項分布方差的性質得到方程，得到，由基本不等式求出.
【詳解】因為，所以，
則，因為（當且僅當時，等號成立），
所以，則的最小值為4．
故選：B
7．D
【分析】根據二項分布的均值，方差以及概率公式求解即可.
【詳解】因為，所以，
故選：D
【點睛】本題主要考查了二項分布的均值，方差以及概率公式，屬于中檔題.
8．C
【分析】由二項分布的概率計算公式及計算即可.
【詳解】因為在19次射擊中擊中目標的次數為X，，
所以，且.
若最大，則.
，即
解得：，
因為且，所以當或時，最大.
故選：C.
9．A
【分析】由二項分布的方差公式可求出或，又因為可得，所以可求出，再由二項分布的期望即可求出答案.
【詳解】解：由二項分布的方差公式有，
解得: 或.
而即，
解得:
所以，從而.
故選:A
10．B
【分析】
根據二項分布的概率公式、期望與方差公式及期望與方差的性質計算即可逐一判定.
【詳解】由題意可得，
則，
所以，，故AC錯誤；
由二項分布的概率公式得，故B正確；
，
若，
則，
化簡得，解得，與條件矛盾，即D錯誤.
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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