資源簡介

7.4.2超幾何分布 導學案
學習目標
1. 理解超幾何分布概念， 能夠判定隨機變量是否服從超幾何分布;
2. 會應用超幾何分布列的概率公式計算求解隨機事件的概率;
3. 能夠利用隨機變量服從超幾何分布的知識解決實際問題， 會求服從超幾何分布的隨機變量的均值.
重點難點
重點：超幾何分布的概率求法及應用
難點：區(qū)分超幾何分布與二項分布
課前預習 自主梳理
知識點一　超幾何分布
定義：一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．
知識點二 超幾何分布的期望
E（X）＝＝np（p為N件產(chǎn)品的次品率）．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫“正確”，錯誤的寫“錯誤”．
（1）超幾何分布的總體里只有兩類物品．( )
（2）超幾何分布的模型是不放回抽樣．( )
（3）超幾何分布與二項分布的期望值都為np.( )
（4）超幾何分布是不放回抽樣．( )
（5）超幾何分布的總體是只有兩類物品．( )
（6）超幾何分布與二項分布的均值相同．( )
（7）超幾何分布與二項分布沒有任何聯(lián)系．( )
（8）將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X服從超幾何分布.( )
（9）盒中有4個白球和3個黑球，有放回地摸取3個球，黑球的個數(shù)X服從超幾何分布.( )
（10）某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊3次，命中目標的次數(shù)X服從超幾何分布.( )
2．設隨機變量，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．某射擊選手每次射擊擊中目標的概率是0.8，這名選手在10次射擊中，恰有8次擊中目標的概率為
A． B．
C． D．
4．下列說法正確的有（ ）
A．若隨機變量X的數(shù)學期望，則
B．若隨機變量Y的方差
C．將一枚硬幣拋擲3次，記正面向上的次數(shù)為，則服從二項分布
D．從7男3女共10名學生干部中隨機選取5名學生干部，記選出女學生干部的人數(shù)為，則服從超幾何分布
5．生產(chǎn)方提供箱的一批產(chǎn)品，其中有箱不合格產(chǎn)品.采購方接收該批產(chǎn)品的準則是：從該批產(chǎn)品中任取箱產(chǎn)品進行檢測，若至多有箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品.則該批產(chǎn)品被接收的概率為 （結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.
新課導學
學習探究
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設情境，引入課題
前面我們學習了排列組合、離散型隨機變量的有關(guān)知識，本節(jié)課將利用這些知識繼續(xù)研究第二個重要的概率模型----超幾何分布.
問題 已知100件產(chǎn)品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件．設抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．
（1）采用有放回抽樣，隨機變量X服從二項分布嗎？
我們知道，如果采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立，此時X服從二項分布，即．
（2）如果采用不放回抽樣，請問抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X還服從二項分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？
采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個試驗，而且各次抽取的結(jié)果也不獨立，不符合n重伯努利試驗的特征，因此X不服從二項分布．
學生回答：不服從，需要根據(jù)古典概型來求X的分布列.
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
可以根據(jù)古典概型求X的分布列．由題意可知，X可能的取值為0，1，2，3，4．從100件產(chǎn)品中任取4件，樣本空間包含個樣本點，且每個樣本點都是等可能發(fā)生的．其中4件產(chǎn)品中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為．由古典概型的知識，得X的分布列為
．
計算的具體結(jié)果（精確到0.00001）如表7.4-1所示．
表7.4-1
X 0 1 2 3 4
P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002
（3）觀察上述分布列中的概率求解方法，與二項分布的有什么不同？從中得出什么規(guī)律？
【設計意圖】通過具體的問題情境，引發(fā)學生積極思考，也就是利用已學知識來觀察這個問題，通過參與互動，說出自己見解.從而引出超幾何分布的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為．其中，，，，．
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布（hypergeometric distribution）．
（4）剖析超幾何分布的概念：
1.公式 中個字母的含義
N—總體中的個體總數(shù)；M—總體中的特殊個體總數(shù)（如次品總數(shù)）
n—樣本容量；k—樣本中的特殊個體數(shù)（如次品數(shù)）
2.上述概率分布列計算公式是直接利用組合數(shù)的意義列式計算的，所以不要機械記憶這個概率分布列.
3. “任取n件，恰有k件次品”是可以理解為一次性抽取，也可以理解為逐個不放回抽取.
例4 從50名學生中隨機選出5名學生代表，求甲被選中的概率．
解：設X表示選出的5名學生中含甲的人數(shù)（只能取0或1），則X服從超幾何分布，且，，．
因此甲被選中的概率為
．
容易發(fā)現(xiàn)，每個人被抽到的概率都是，這個結(jié)論非常直觀，這里給出了嚴格的推導．
例5 一批零件共有30個，其中有3個不合格．隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率．
解：設抽取的10個零件中不合格品數(shù)為X，則X服從超幾何分布，且，，．X的分布列為
．
至少有 1 件不合格的概率為
．
也可以按如下方法求解：
．
歸納總結(jié)：（1）當研究的事物涉及二維離散型隨機變量（如：次品、兩類顏色等問題）時的概率分布可視為一個超幾何分布；
（2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以根據(jù)概率計算公式求出X取不同值時的概率.
【設計意圖】通過兩個例題，讓學生更加充分的認識超幾何分布的概率計算方法，提高他們的數(shù)學運算能力.也通過數(shù)學抽象和數(shù)學建模來達到問題歸類，方法統(tǒng)一.
環(huán)節(jié)四 辨析理解 深化概念
探究：服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么？
設隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)． 令，則是N件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，我們猜想，即．
實際上，由隨機變量均值的定義，令，，由隨機變量均值的定義：
當時，
．（1）
因為，所以
．
當時，注意到（1）式中間求和的第一項為0，類似可以證明結(jié)論依然成立．
【設計意圖】通過一個例題的計算，知道結(jié)果是滿足猜想E（X）=np，接下來將引導學生深知數(shù)學結(jié)論能否直接使用，必將進行嚴格的證明，此時鼓勵同學們課后去完成.因為課堂上如果去完成這個證明，將會使得課堂教學脫離教學重點，正好也鼓勵同學們進行課后思考和同時提升同學們的自學能力.
環(huán)節(jié)五 概念應用，鞏固內(nèi)化
例6 一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個數(shù)．
（1）分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
（2）分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率．
分析：因為只有兩種顏色的球，每次摸球都是一個伯努利試驗．摸出20個球，采用有放回摸球，各次試驗的結(jié)果相互獨立，；而采用不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布．
解：（1）對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結(jié)果是獨立的，因此，X的分布列為
．
對于不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布，X的分布列為
，．
（2）利用統(tǒng)計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值（精確到 0.00001 ），如表7.4-2 所示．
表7.4-2
k p1k p2k k p1k p2k
0 0.000 04 0.000 01 11 0.070 99 0.063 76
1 0.000 49 0.000 15 12 0.035 50 0.026 67
2 0.003 09 0.001 35 13 0.014 56 0.008 67
3 0.012 35 0.007 14 14 0.004 85 0.002 17
4 0.034 99 0.025 51 15 0.001 29 0.000 41
5 0.074 65 0.065 30 16 0.000 27 0.000 06
6 0.124 41 0.124 22 17 0.000 04 0.000 01
7 0.165 88 0.179 72 18 0.000 00 0.000 00
8 0.179 71 0.200 78 19 0.000 00 0.000 00
9 0.159 74 0.174 83 20 0.000 00 0.000 00
10 0.117 14 0.119 24
樣本中黃球的比例是一個隨機變量，根據(jù)表7.4-2，計算得
有放回摸球： ．
不放回摸球： ．
因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些．
兩種摸球方式下，隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布．雖然這兩種分布有相等的均值（都是8），但從兩種分布的概率分布圖（圖7.4-4）看，超幾何分布更集中在均值附近．
二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同．對于不放回抽樣，當n遠遠小于N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似．
【設計意圖】通過對二項分布和超幾何分布的問題對比分析和研究，以邏輯推理、直觀想象的教學方式，讓學生充分掌握超幾何分布的概念及其特點.通過問題的探究和對比，進一步了解了這兩個分布的區(qū)別和聯(lián)系.
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié)，反思提升
1.本節(jié)課學習的概念有哪些？
（1）超幾何分布的概念及特征．
（2）超幾何分布的均值．
（3）超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系．
2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？
（1）方法歸納：類比．
（2）常見誤區(qū)：超幾何分布與二項分布混淆，前者是不放回抽樣，后者是有放回抽樣．
【設計意圖】通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力.
環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置
完成教材：教材第80頁練習第1，2題.
備用練習
6．研究顯示，某地區(qū)實施人工降雨以后降水量超過200mm的率為.現(xiàn)在由于干旱，要對該地區(qū)連續(xù)4天使用人工降雨，則在這4天中至少有2天降水量超過200mm的概率為（ ）
A． B． C． D．
7．下列說法正確的是（ ）
A．數(shù)據(jù)1，3，5，7，9，11，13的第60百分位數(shù)為9
B．已知隨機變量服從二項分布：，設，則的方差
C．用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是
D．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為8
8．某中學組織了足球射門比賽，規(guī)定每名同學有次射門機會，踢進一球得分，沒踢進得分．小明參加比賽且沒有放棄任何一次射門機會，每次踢進的概率為，每次射門相互獨立．記為小明得分總和，為小明踢進球的次數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若隨機變量，，則（ ）
A． B． C． D．
10．下列關(guān)于超幾何分布的敘述中，正確的是（ ）
A．X的可能取值為0，1，2，…，20 B．
C．X的數(shù)學期望 D．當k＝8時，最大
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 正確 正確 正確 正確 正確 錯誤 錯誤 錯誤 錯誤
【分析】由超幾何分布概念可判斷正誤.
【詳解】第一空，超幾何分布總體只有兩類物品，故說法正確；
第二空，超幾何分布是不放回抽樣，故說法正確；
第三空，設超幾何分布中，某類物品數(shù)量為M，物品總數(shù)為N，則每次抽一個，不放回抽取n次，某類物品數(shù)量的期望為；
設二項分布中，出現(xiàn)某種情況的概率為p，則重復試驗n次，出現(xiàn)某種情況次數(shù)的期望為.則超幾何分布與二項分布的期望值都為np，故說法正確；
第四空，超幾何分布是不放回抽樣，故說法正確；
第五空，由第二空可知，說法正確；
第六空，由第三空可知，說法正確；
第七空，當總體分布很大時，超幾何分布近似于二項分布，故說法錯誤；
第八空，由題可知正面向上的次數(shù)X服從二項分布，故說法錯誤；
第九空，超幾何分布對應不放回抽取，故說法錯誤；
第十空，由題可知命中目標的次數(shù)X滿足二項分布，故說法錯誤.
故答案為：正確；正確；正確；正確；正確；正確；錯誤；錯誤；錯誤；錯誤.
2．A
【分析】利用二項分布的期望公式求解.
【詳解】因為隨機變量，且，
所以，所以,
故選:A.
3．A
【分析】由題意可知，選手射擊屬于獨立重復事件，屬于二項分布，按照二項分布求概率即可得到答案.
【詳解】設為擊中目標的次數(shù)，則，從而這名射手在10次射擊中，恰有8次擊中目標的概率為．選A.
【點睛】本題考查獨立重復事件發(fā)生的概率，考查二項分布公式的運用，屬于基礎題.
4．ABCD
【分析】利用離散型隨機變量的期望的性質(zhì)可判斷A，利用離散型隨機變量的方差的性質(zhì)可判斷B，利用二項分布的概念可判斷C，利用超幾何分布的概念可判斷D.
【詳解】對于選項A：因為，故A正確；
對于選項B：因為，故B正確；
對于選項C：根據(jù)二項分布的概念可知隨機變量服從，故C正確；
對于選項D：根據(jù)超幾何分布的概念可知服從超幾何分布，故D正確.
故選：ABCD.
5．
【分析】以箱為一批產(chǎn)品，從中隨機抽取箱，用表示“箱中不合格產(chǎn)品的箱數(shù)”，則服從超幾何分布，其中..，結(jié)合超幾何分布的概率公式即可求解.
【詳解】以箱為一批產(chǎn)品，從中隨機抽取箱，用表示“箱中不合格產(chǎn)品的箱數(shù)”，
則服從超幾何分布，其中..，
∴該批產(chǎn)品被接收的概率為：.
故答案為：.
6．B
【分析】利用獨立重復試驗概率公式即得.
【詳解】依題意，所求概率為.
故選：B.
7．AD
【分析】由百分位數(shù)的概念可判斷A，由二項分布的方差可知B錯誤，由古典概型可判斷C，由平均數(shù)的性質(zhì)可判斷D.
【詳解】對于A，共有7個數(shù)據(jù)，而，故第60百分位數(shù)為9，A正確；
對于B，易知，而，所以，B錯誤；
對于C，由古典概型可知：從51個體中抽取2個個體，每個個體被抽到的概率都是，C錯誤；
對于D，若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為，D正確.
故選：AD
8．AC
【分析】根據(jù)二項分布的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)學期望和方差的公式逐一判斷即可．
【詳解】由題意得，，因此，所以選項A正確；
，所以選項B不正確；
由題意得，則，所以選項C正確；
，，因此選項D不正確．
故選：AC．
9．D
【分析】根據(jù)二項分布的期望與方程的計算公式，由題中條件，列出方程，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，，
則，解得，
所以.
故選：D.
10．ACD
【分析】根據(jù)超幾何分布的定義和性質(zhì)即可判斷ABC選項；根據(jù)最大列不等式，解不等式即可得到，即可判斷D選項.
【詳解】根據(jù)超幾何分布的定義得到的可能取值為0，1，2，20，，，故AC正確，B錯；
，解得，所以時最大，故D正確.
故選：ACD.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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