資源簡介

7.5 正態分布 導學案
學習目標
1.利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義.
2.了解變量落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率大小.
3.會用正態分布去解決實際問題．
重點難點
重點：正態分布的特征，概率的表示，正態分布的均值、方差及其含義.
難點：描述正態分布隨機變量的概率分布.
課前預習 自主梳理
知識點一 正態曲線
正態曲線沿著橫軸方向水平移動只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態曲線
函數f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數．
顯然對于任意x∈R，f（x）>0，它的圖象在x軸的上方．可以證明x軸和曲線之間的區域的面積為1．我們稱f（x）為正態密度函數，稱它的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．
若隨機變量X的概率密度函數為f（x），則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～ N（μ，σ2），特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態分布．
知識點二　正態曲線的特點
1．對 x∈R，f（x）>0，它的圖象在x軸的上方．
2．曲線與x軸之間的面積為1.
3．曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．
4．曲線在x＝μ處達到峰值.
5．當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．
6．當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.
7．當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ較小時曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②.
知識點三　正態總體在三個特殊區間內取值的概率值及3σ原則
P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7；
P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5；
P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3.
盡管正態變量的取值范圍是（－∞，＋∞），但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區間[μ－3σ，μ＋3σ]內，而在此區間以外取值的概率大約只有0.002 7，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生．
在實際應用中，通常認為服從于正態分布N（μ，σ2）的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）正態曲線中參數的意義分別是樣本的均值與方差．( )
（2）正態曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數的變化而變化的．( )
（3）正態曲線可以關于y軸對稱．( )
（4）若，則.( )
（5）正態曲線是一條鐘形曲線.( )
（6）正態曲線在軸的上方，并且關于直線對稱.( )
2．已知隨機變量，則（ ）(附：若，則，)
A．0.02275 B．0.1588 C．0.15865 D．0.34135
3．為準備2022年北京冬季奧運會，某冰上項目組織計劃招收-批青少年參加集訓，以選拔運動員，最終共有20000名青少年報名參加測試，其測試成績（滿分100分）服從正態分布，成績在90分以上者可以進入集訓隊．若80分以上的人數為460，則可推斷進入集訓隊的人數為（ ）
A．18 B．22 C．26 D．30
4．設隨機變量，且，則 .
5．某科研院校培育大棗新品種，新培育的大棗單果質量近似服從正態分布（單位：），現有該新品種大棗個，估計單果質量在范圍內的大棗個數約為（ ）附：若，則，，.
A． B． C． D．
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
現實中，除了前面已經研究過的離散型隨機變量外，還有大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續型隨機變量（continuous random variable）．下面我們看一個具體問題．
問題 自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質量為400 g．由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質量與標準質量之間或多或少會存在一定的誤差（實際質量減去標準質量）．用X表示這種誤差，則X是一個連續型隨機變量，檢測人員在一次產品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X（單位：g）的觀測值如下：
-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9
-2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6. 0.4
2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1
2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5
3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6
-4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7
-0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6
2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9
-2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
（1）如何描述這100個樣本誤差數據的分布？
（2）如何構建適當的概率模型刻畫誤差的分布？
【師生活動】教師提出問題：根據我們已學的統計知識，你能用頻 率分布直方圖描述這組誤差數據的分布嗎？引導學生動手畫頻率分布直方圖.
根據已學的統計知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數據的分布，如圖7.5-1所示．頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應區間內的頻率，所有小矩形的面積之和為1．
學生畫出頻率分布直方圖后，教師引導學生觀察分析.
觀察圖形可知：誤差觀測值有正有負，并大致對稱地分布在的兩側，而且小誤差比大誤差出現得更頻繁．
環節二 觀察分析，感知概念
隨著樣本數據量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩定，接近一條光滑的鐘形曲線，如圖7.5-2所示．
根據頻率與概率的關系，可用圖7.5-3中的鐘形曲線（曲線與水平軸之間的面積為1）來描述袋裝食鹽質量誤差的概率分布，例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在內的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示．
【設計意圖】引導學生思考，使學生領悟描述連續型隨機變量概率分布的思想方法.
由函數知識可知，圖7.5-3中的鐘形曲線是一個函數．那么，這個函數是否存在解析式呢？
答案是肯定的，在數學家的不懈努力下，找到了以下刻畫隨機誤差分布的解析式：其中，為參數．
環節三 抽象概括，形成概念
顯然，對任意的，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區域的面積為1，我們稱為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線，如圖7.5-4所示．若隨機變量X的概率分布密度函數為，則稱隨機變量X服從正態分布（normal distribution），記為．特別地，當，時，稱隨機變量服從標準正態分布．
早在1734年，法國數學家棣莫弗（A．DeMoivre，1667-1754）在研究二項概率的近似計算時，已提出了正態密度函數的形式，但當時只是作為一個數學表達式．直到徳國數學家高斯（C．F．Gauss，1777-1855）提出“正態誤差”的理論后，正態密度函數才取得“概率分布”的身份．因此，人們也稱正態分布為高斯分布．
【師生活動】教師介紹得到正態密度函數的過程.
若，則如圖7.5-4所示，取值不超過的概率為圖中區域A的面積，而為區域B的面積．
正態分布在概率和統計中占有重要地位，它廣泛存在于自然現象、生產和生活實踐之中．在現實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態分布，例如，某些物理量的測量誤差，
某一地區同年齡人群的身高、體重、肺活量等，一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產量，自動流水線生產的各種產品的質量指標（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容），某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等，一般都近似服從正態分布．
探究2觀察正態曲線及相應的密度函數，你能發現 正態曲線的哪些特點？
【師生活動】教師提出問題，讓學生思考.學生觀察正態曲線及相應的正態密度函數，說出自己的發現，教師評價完善.
師生共同歸納總結：
觀察：觀察正態曲線及相應的密度函數，你能發現正態曲線的哪些特點？
由的密度函數及圖象可以發現，正態曲線還有以下特點：
（1）曲線是單峰的，它關于直線對稱；
（2）曲線在處達到峰值；
（3）當無限增大時，曲線無限接近軸．
【設計意圖】介紹正態密度函數的數學史料，讓學生了 解正態分布的概念；觀察正態曲線及相應的正態密度函數，了解正態曲線的特點.發展學生的數學抽象與直觀想象核心素養.
環節四 辨析理解 深化概念
思考：一個正態分布由參數和完全確定，這兩個參數對正態曲線的形狀有何影響 它們反映正態分布的哪些特征
【師生活動】教師提出問題，學生認真思考后發表自己的看法，教師評價完善.
師生共同歸納總結：
我們知道，函數的圖象可由的圖象平移得到．因此，在參數取固定值時，正態曲線的位置由確定，且隨著的變化而沿軸平移，如圖7.5-5所示．
當取定值時，因為曲線的峰值與成反比，而且對任意的，曲線與軸圍成的面積總為1．因此，當較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖7.5-6所示．
觀察圖7.5-5和圖7.5-6可以發現，參數反映了正態分布的集中位置，反映了隨機變量的分布相對于均值的離散程度．實際上，我們有
若，則，．
在實際問題中，參數，可以分別利用樣本平均值和樣本標準差來估計．
【設計意圖】通過觀察正態密度曲線的特征，了解正態 密度函數中參數的變化對曲線的影響，以及服從正態分布 的變量的均值和方差.
環節五 概念應用，鞏固內化
例 李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30 min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34 min，樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布．
（1）估計X，Y的分布中的參數；
（2）根據（1）中的估計結果，利用信息技術工具畫出X和Y的分布密度曲線；
（3）如果某天有38 min可用，李明應選擇哪種交通工具？如果某天只有34 min可用，又應該選擇哪種交通工具？請說明理由．
分析：對于第（1）問，正態分布由參數和完全確定，根據正態分布參數的意義，可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計，對于第（3）問，這是一個概率決策問題，首先要明確決策的準則，在給定的時間內選擇不遲到概率大的交通工具；然后結合圖形，根據概率的表示，比較概率的大小，作出判斷．
解：（1）隨機變量X的樣本均值為30，樣本標準差為6；隨機變量Y的樣本均值為34，樣本標準差為2．用樣本均值估計參數，用樣本標準差估計參數，可以得到，．
（2）X和Y的分布密度曲線如圖7.5-7所示．
（3）應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具．由圖7.5-7可知，，．
所以，如果有38 min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應選擇騎自行車；如果只有34 min可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應選擇坐公交車．
假設，可以證明：對給定的，是一個只與有關的定值．特別地，
，
，
．
上述結果可用圖7.5-8表示．
由此看到，盡管正態變量的取值范圍是，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區間內，而在此區間以外取值的概率大約只有0.002 7，通常認為這種情況幾乎不可能發生．
在實際應用中，通常認為服從于正態分布的隨機變量X只取中的值，這在統計學中稱為原則．
環節六 歸納總結，反思提升
1. 本節課學習的概念有哪些？
（1）正態曲線及其特點．
（2）正態分布．
（3）正態分布的應用，3σ原則．
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
（1）方法歸納：轉化化歸、數形結合．
（2）常見誤區：概率區間轉化不等價．
3.正態分布的研究路徑：
構建正態分布模型---正態分布的定義---概率的表示---正態密度曲線的特征----參數的意義----簡單應用.
【設計意圖】通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內 容，提高概括能力.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：教材第87頁習題7.5第1 4題.
備用練習
6．已知隨機變量，且，則（ ）
A．0.1587 B．0.1827 C．0.3173 D．0.8413
7．已知隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
8．設隨機變量x服從正態分布，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．關于正態分布N(μ，)，下列說法正確的是（ ）
A．隨機變量落在區間長度為3σ的區間之外是一個小概率事件
B．隨機變量落在區間長度為6σ的區間之外是一個小概率事件
C．隨機變量落在[－3σ，3σ]之外是一個小概率事件
D．隨機變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個小概率事件
10．已知隨機變量服從正態分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 錯誤 正確 正確 正確 錯誤
【分析】根據正態曲線的定義，性質判斷正誤，得到答案.
【詳解】（1）正態曲線中參數的意義分別是樣本的均值與標準差，錯誤；
（2）正態曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積為1，錯誤；
（3）當時，正態曲線關于y軸對稱，正確；
（4）若，由對稱性可知，正確；
（5）正態曲線是一條鐘形曲線，正確；
（6）正態曲線在軸的上方，并且關于直線對稱，錯誤.
故答案為：錯誤，錯誤，正確，正確，正確，錯誤
2．A
【分析】根據題意結合正態分布的對稱性運算求解.
【詳解】由題意可得：，則，
所以.
故選：A.
3．D
【分析】利用正態分布的對稱性求解即可
【詳解】由題意，得．又，
所以由正態分布曲線的對稱性可得
，故，
所以，
所以，
則90分以上的人數為，即進入集訓隊的人數為30．
故選：D
4．0.2##
【分析】由題設易知正態分布曲線關于y軸對稱，利用對稱性求即可.
【詳解】由，即正態分布曲線關于y軸對稱，
又，
所以.
故答案為：0.2
5．A
【分析】求出、的值，結合原則可求得的值，乘以可得結果.
【詳解】因為，，則，，
則
，
因此，估計單果質量在范圍內的大棗個數約為個.
故選：A.
6．A
【分析】根據隨機變量X服從正態分布，可知正態曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得.
【詳解】解：由題意得：
隨機變量
正態曲線的對稱軸是
故選：A
7．A
【分析】根據正態分布的對稱性求解可得.
【詳解】因為，且，所以，
又，所以.
故選：A
8．C
【分析】由隨機變量x服從正態分布，可得正態曲線的對稱軸為，然后對稱關系可求得結果
【詳解】解：因為隨機變量x服從正態分布，
所以正態曲線的對稱軸為，
因為，所以，得，
故選：C
9．D
【分析】根據正態分布的原則，結合小概率事件的定義，即可求解.
【詳解】由正態分布中的原則，可得，
所以或，
所以隨機變量落在之外是一個小概率事件.
故選：D.
10．B
【分析】根據正態曲線的對稱性，由的概率可求出．
【詳解】解：因為隨機變量服從正態分布，所以所對應的正態曲線關于對稱，所以，
．
故選：．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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