資源簡介

4.3.2等比數列的前n項和公式（第2課時）導學案
學習目標
1.能夠把實際問題轉化成數列問題.
2.進一步熟悉通過建立數列模型并應用數列模型解決實際問題的過程．
重點難點
1.掌握等比數列前n項和的性質．
2．能夠運用所學知識解決等差數列與等比數列的綜合應用問題.
課前預習 自主梳理
知識點1．等比數列前n項和的性質
（1）若數列{an}為非常數列的等比數列，且其前n項和Sn＝A·qn＋B（A≠0，B≠0，q≠0，q≠1），則必有A＋B＝0；反之，若某一非常數列的前n項和Sn＝A·qn－A（A≠0，q≠0，q≠1），則該數列必為等比數列．
（2）如果公比q≠－1或雖q＝－1但n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等比數列．
（3）當等比數列{an}的項數為偶數時，偶數項的和與奇數項的和之比＝q.
知識點2．分組求和
某些數列通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數列或等比數列，進而利用等差數列或等比數列的求和公式分別求和，從而得出原數列的和．
知識點3　等比數列前n項和的實際應用
1．解應用問題的核心是建立數學模型．
2．一般步驟：審題、抓住數量關系、建立數學模型．
3．注意問題是求什么（n，an，Sn）．
注意：
（1）解答數列應用題要注意步驟的規范性：設數列，判斷數列，解題完畢要作答．
（2）在歸納或求通項公式時，一定要將項數n計算準確．
（3）在數列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．
（4）在近似計算時，要注意應用對數方法，且要看清題中對近似程度的要求．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）對于公比的等比數列的前項和公式，其的系數與常數項互為相反數. ( )
（2）數列的前項和為，則數列一定是等比數列. ( )
（3）數列為等比數列，則成等比數列. ( )
（4）若某數列的前項和公式為且，則此數列一定是等比數列. ( )
（5）若等比數列的前項和，則.( )
（6）若數列是公比的等比數列，則其前項和公式可表示為（，且，）．( )
2．已知數列滿足，，設，則數列的前6項和為（ ）
A．127 B．255 C．31 D．63
3．數列{}中，已知對任意正整數n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則（ ）
A．(3n－1)2 B． (27n－1)
C． (3n－1) D．27n－1
4．數列的前n項和為，，若，則m的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．設等比數列的前項和為，若，且的公比為整數，則（ ）
A． B． C． D．
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
回顧上節課內容總結為：
分類討論的思想：
（1）利用等比數列前n項和公式時要分公比q＝1和q≠1兩種情況討論．
（2）研究等比數列的單調性時應進行討論：
當a1>0，q>1或a1<0，0當a1<0，q>1或a1>0，0當q<0時為擺動數列；當q＝1時為常數列．
2．函數的思想：等比數列的通項an＝a1qn－1＝·qn（q>0且q≠1）常和指數函數相聯系．
等比數列前n項和Sn＝·（qn－1）（q≠1）．
設A＝，則Sn＝A（qn－1）也與指數函數相聯系．
3．整體思想：應用等比數列前n項和時，常把qn，當成整體求解．
環節二 觀察分析，感知概念
例10如圖4.3-2，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E，F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續下去．
（1）求從正方形ABCD開始，連續10個正方形的面積之和；
（2）如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少
分析：可以利用數列表示各正方形的面積，根據條件可知，這是一個等比數列．
解：設正方形ABCD的面積為，后繼各正方形的面積依次為，，…，，…，則．
由于第個正方形的頂點分別是第個正方形各邊的中點，所以．
你能說明理由嗎？
因此，是以25為首項，為公比的等比數列．
設的前項和為．
（1）．
所以，前10個正方形的面積之和為．
（2）當無限增大時，無限趨近于所有正方形的面積和．而
．
隨著的無限增大，將趨近于0，將趨近于50．
所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50．
環節三 抽象概括，形成概念
例11去年某地產生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環保方式處理．預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．為了確定處理生活垃圾的預算，請寫出從今年起n年內通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）．
分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構成等比數列，而每年以環保方式處理的垃圾量構成等差數列．因此，可以利用等差數列、等比數列的知識進行計算．
解：設從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構成數列，每年以環保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構成數列，年內通過填埋方式處理的垃圾總量為（單位：萬噸），則，，
．
當時，．
所以，從今年起5年內，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸．
環節四 辨析理解 深化概念
例12某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為，，，…．
（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；
（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數；
（3）求的值（精確到1）．
分析：（1）可以利用“每年存欄數的增長率為8%”和“每年年底賣出100頭”建立與的關系；
（2）這是待定系數法的應用，可以將它還原為（1）中的遞推公式的形式，通過比較系數，得到方程組；（3）利用（2）的結論可得出解答．
解：（1）由題意，得，并且 ①
（2）將化成 ②
比較①的系數，可得，
解這個方程組，得．
所以，（1）中的遞推公式可以化為．
環節五 概念應用，鞏固內化
（3）由（2）可知，數列是以為首項，1.08為公比的等比數列，則
．
所以．
利用遞推公式，借助于電子表格的計算，能快捷地求得（3）的結果．你可以試一試．
環節六 歸納總結，反思提升
問題：請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題：
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
1．知識清單：
（1）構造等比數列．
（2）建立數學模型．
2．方法歸納：構造法、轉化法．
3．常見誤區：在實際問題中首項和項數弄錯．
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：第40頁 練習 第1，2，3，4題
第40頁 習題4.3 第1，2題
備用練習
6．設數列的前n項和為，若，則（ ）
A． B． C． D．
7．為響應國家號召，某地出臺了相關的優惠政策鼓勵“個體經濟”.個體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進貨，因質優價廉，供不應求.據測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續，預計到2023年5月底他的年所得收入（扣除當月生活費且還完貸款）為（ ）元（參考數據：，）
A．35200 B．43200 C．30000 D．32000
8．中國古代數學著作《九章算術》是人類科學史上應用數學的最早巔峰.書里記載了這樣一個問題“今有女子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾何？”譯文是“今有一女子很會織布，每日加倍增長，5天共織5尺，問每日各織布多少尺？”，則該女子第二天織布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
9．我國古代數學著作《九章算術》中記載問題：“今有垣厚十六尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢 ”，意思是：今有土墻厚尺，兩鼠從墻兩側同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩鼠相逢需要的最少天數為（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比數列的前n項和與前n項積分別為，，公比為正數，且，，則使成立的n的最大值為（ ）
A．8 B．9 C．12 D．13
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 錯誤 錯誤 正確 正確 正確
【分析】根據等比數列前項和公式判斷即可.
【詳解】設等比數列的前項和為，則當時，
當時，
令，則，故（1）（5）（6）正確；
對于（2）：當時不是等比數列，故錯誤；
對于（3）：令，則，顯然不成等比數列，故錯誤；
對于（4）：設數列的前項和公式為且，
當時，當時，
則，
顯然當時也成立，
所以是以為首項，為公比的等比數列，故正確；
故答案為：正確；錯誤；錯誤；正確；正確；正確.
2．D
【分析】原式變形得，即，結合等比數列通項公式求解即可
【詳解】由及，得，又，所以數列是等比數列，于是前6項和為，
故選：D.
3．B
【分析】由與的關系求出，再由等比數列的求和公式求解即可
【詳解】設Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，
則當n≥2時，Sn－1＝3n－1－1，
故an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，
又a1＝2，
所以an＝2×3n－1，
所以＝.
故選：B
4．C
【分析】利用關系可得，并求得，根據等比數列的定義及其前n項和公式，即可求m的值.
【詳解】由，則，兩式相減得：，而，
所以，故是首項、公比均為的等比數列，
所以，可得.
故選：C
5．D
【解析】利用等比數列的通項公式和前項和定義把已知等式用表示后可求得．
【詳解】因為，所以（舍去）.
故選：D．
6．C
【分析】根據通項與的關系可得遞推公式，再構造等比數列求的通項公式，進而代入求得得到即可
【詳解】當時，，解得.
當時，，
所，即，
所以，即，
所以數列是首項為3，公比為2的等比數列，則，
從而，故.
故選：C
7．D
【分析】根據題意，由條件可得數列是首項為4800，公比為1.2的等比數列，再由等比數列的通項公式即可得到結果.
【詳解】設2022年6月底小王手中有現款為元，
設2022年6月底為第一個月，以此類推，設第個月底小王手中有現款為，第個月月底小王手中有現款為，
則，即，
所以數列是首項為4800，公比為1.2的等比數列，
∴，即，
年所得收入為元.
故選：D.
8．B
【分析】由題得每日織布尺數成公比為2的等比數列，根據前5項和得第二天織布數.
【詳解】由題，設每日織布數的數列為，則為以2為公比的等比數列，
由題知，得，所以第二天織布尺數為.
故選：B.
9．C
【分析】設大鼠第天打洞尺，小鼠第天打洞尺，其中，分析可知兩數列均為等比數列，確定這兩個數列的首項和公比，利用等比數列的求和公式以及數列的單調性可求得結果.
【詳解】設大鼠第天打洞尺，小鼠第天打洞尺，其中，
則數列是首項為，公比為的等比數列，，
數列是首項為，公比為的等比數列，，
設數列的前項和為，則，
因為，故數列單調遞增，
因為，故兩鼠相遇至少需要天.
故選：C.
10．C
【分析】先求出，，再求出，接著求出并建立不等式，最后求解即可.
【詳解】解：因為，，公比為正數顯然不為1，所以，解得，，
所以，則，
要使，則，解得，
故n的最大值為12.
故選：C.
【點睛】本題考查等比數列的基本量法，是基礎題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑