資源簡介

4.1.2 數列的概念 導學案
（1）理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項.
（2）了解用累加法、累乘法由遞推公式求通項公式.
（3）會由數列{an}的前n項和Sn求數列{an}的通項公式．
1.教學重點：掌握數列的通項公式及應用．
2.教學難點：理解Sn與an的關系，能運用這個關系解決相關問題．
知識點一　數列的遞推公式
如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．
思考　僅由數列{an}的關系式an＝an－1＋2（n≥2，n∈N*）就能確定這個數列嗎？
答案　不能．知道了首項和遞推公式，才能確定這個數列．
知識點二　數列的前n項和Sn與an的關系
1．把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）遞推公式也是表示數列的一種方法.( )
（2）所有數列都有遞推公式.( )
（3） 成立的條件是( )
（4）在數列中，若，，則.( )
（5）利用，，可以確定數列．( )
（6）遞推公式是表示數列的一種方法．( )
（7）表示數列中所有偶數項的和.( )
2．下列圖案關于星星的數量構成一個數列，該數列的一個通項公式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知數列中，，，則的值為（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
4．已知數列{an}滿足a1>0，且an＋1＝an，則數列{an}最大項是(　　)
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
5．（多選）數列的遞推公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
環節一 創設情境，引入課題
問題1如果數列的通項公式為，那么120是不是這個數列的項？如果是，是第幾項？
例3如果數列的通項公式為，那么120是不是這個數列的項？如果是，是第幾項？
分析：要判斷120是不是數列中的項，就是要回答是否存在正整數，使得．也就是判斷上述關于的方程是否有正整數解．
解：令，解這個關于的方程，得（舍去），或．
所以，120是數列的項，是第10項．
【師生活動】教師引導學生理解題意：要判斷120是不是該數列中的項，就是要判斷是否存在正整數n，使得.我們令，接下來就是要判斷這個關于n的方程是否有正整數解．學生解這個關于n的方程，得或.教師提醒學生：
因為n是正整數，所以-12要舍掉.因此，120是這個數列的項，并且是第10項.在這道題講解后，教師總結：通項公式反映的是項與序號之間的關系，我們不僅要會通過序號求項，還要會像這道題一樣根據項求序號.
環節二 觀察分析，感知概念
問題2 圖4.1-3中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.在圖中４個大三角形中，著色的三角形的個數依次構成一個數列的前４項，寫出這個數列的一個通項公式.
例4圖4.1-3中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形．在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數依次構成一個數列的前4項，寫出這個數列的一個通項公式．
解：在圖4.1-3（1）（2）（3）（4）中，著色三角形的個數依次為1，3，9，27，
即所求數列的前4項都是3的指數冪，指數為序號減1．
因此，這個數列的一個通項公式是．
【師生活動】教師引導學生先數各圖中著色三角形的個數，從而得到數列的前四項：1，3，9，27.教師啟發學生：求這個數列的通項公式，就要找項與序號之間的關系.學生發現第1項是，第2項是，第3項，第4項是.這些數都是3的指數冪，指數為序號-1.因此，學生得出這個數列的一個通項公式就是.
追問：你能用數學語言歸納出后一項與前一項的關系嗎？
換個角度觀察圖4.1-3中的4個圖形．可以發現，，且每個圖形中的著色三角形都在下一個圖形中分裂為3個著色小三角形和1無色小三角形．于是從第2個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數都是前一個圖形中著色三角形個數的3倍．
這樣，例4中的數列的前4項滿足，，，．
由此猜測這個數列滿足公式
【師生活動】教師給學生以提示：當不能明顯看出數列的項的取值規律時，我們可以嘗試通過運算來尋找規律.如依次取出數列的某一項，減去或除以它的前一項，再對差或商加以觀察.教師強調這是一種通過運算發現規律的思想，在數列的研究中有重要作用.學生按照教師的提示，發現這個數列的后一項等于前一項的3倍.教師接著幫助學生通過圖形解釋這個問題：每個圖形中的著色三角形都在下一個圖形中分裂為３個著色小三角形和１個無色小三角形.于是從第２個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數都是前一個圖形中著色三角形個數的３倍.學生接著把發現的規律用數學語言歸納出來，得出.教師提醒學生注意：這個式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情況我們只能單獨討論.于是寫成.教師總結：同樣一個數列，從兩個不同的角度去觀察，就發現了不同的規律.通項公式反映的是項與序號之間的關系.而（n≥2）這個式子反映的是后一項與前一項之間的關系.根據這個式子，我們已知第1項就能推出第2項，已知第2項就能推出第3項，以此類推.
環節三 抽象概括，形成概念
問題3什么是一個數列的遞推公式？
像這樣，如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．知道了首項和遞推公式，就能求出數列的每一項了．
【師生活動】教師呈現數列遞推公式的定義：“如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式.”學生根據前面對遞推公式的認識，對教師呈現的數列遞推公式的定義進行理解.教師提醒學生：知道了首項和遞推公式，就能求出該數列的每一項了.
追問（1）：相鄰多項之間的關系能用遞推公式表示嗎？
當不能明顯看出數列的項的取值規律時，可以嘗試通過運算來尋找規律．如依次取出數列的某一項，減去或除以它的前一項，再對差或商加以觀察．
【師生活動】教師提到大名鼎鼎的斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引導學生通過觀察，發現這個數列第n項等于它的前一項（第n-1項）加上再往前一項（第n-2項）.學生認識到這其實就是相鄰三項之間的關系：.教師提醒學生注意：因為下標最小是1，所以這里n≥3.這個數列的遞推公式反映的是相鄰三項之間的關系.教師向學生介紹：這個數列由意大利數學家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性質.
追問（2）：一個數列的通項公式和遞推公式有何聯系與區別？
【師生活動】學生將通項公式和遞推公式相比較，發現和剛剛學習的通項公式一樣，遞推公式也是數列的一種表示方法.只不過通項公式反映的是項與序號之間的對應關系，而遞推公式反映的則是相鄰兩項或多項之間的關系.學生在教師的引導下認識到通項公式和遞推公式各有利弊，在數列的研究中都發揮著巨大的作用.
【設計意圖】通過具體問題的思考和分析，幫助學生認識數列中的遞推公式.發展學生數學抽象和數學建模的核心素養.
例5已知數列的首項為，遞推公式為，寫出這個數列的前5項．
解：由題意可知
，
，
，
，
．
【師生活動】教師引導學生根據遞推公式，令n=2，就得到.同理，令n分別等于3，4，5，就可依次求出，，.教師總結：知道了首項和遞推公式，就能求出數列的每一項了.
【設計意圖】強化遞推公式推數列的項，培養學生運算的素養.
環節四 辨析理解 深化概念
問題4什么是數列的前n項和公式？
在對數列的研究中，求數列某些項的和是主要問題之一．我們把數列從第1項起到第項止的各項之和，稱為數列的前項和，記作，即．
【師生活動】教師引導學生顧名思義：一個數列從第1項起到第n項止的各項之和就是該數列的前n項和，記作.如果數列的前n項和與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數列的前n項和公式.
探索數列的求和公式，曾是古代算學家非常感興趣的問題．
追問：數列的前n項和公式與通項公式有何聯系？
如果數列的前項和與它的序號之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的前項和公式．
顯然，而，
于是我們有
【師生活動】教師引導學生觀察，發現其中有.如果把留出來，前面的就是前n-1項的和，也就是.如果已知前n項和公式，那么把公式中的n給換成n-1，就能得到，然后用就可以得到.教師提醒學生注意是前n-1項的和，這里n一定是大于或等于2的，所以當n≥2時，.學生接著思考n=1的情況，發現就是第1項，所以就等于.于是我們有 .
【設計意圖】通過數列的通項與前n項和的認識，幫助學生理解.
環節五 概念應用，鞏固內化
問題5 已知數列的前n項和公式為，你能求出的通項公式嗎？
思考
已知數列的前項和公式為，你能求出的通項公式嗎？
因為，
，
并且當時，依然成立．
所以的通項公式是．
【師生活動】教師引導學生根據一個數列前n項和公式與通項公式的關系，即，進行求解.教師提醒學生關注n=1的情況是否滿足n≥2時求出的通項公式，如果不滿足，要分開寫.
【設計意圖】通過具體問題引出通項公式與遞推公式之間的關系，強化已知前n項和求通項，幫助學生課堂掌握.
環節六 歸納總結，反思提升
問題6請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題：
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
1.判斷給定的項是不是數列中的項，實質就是一個解方程的過程.若解得的是正整數，則該項是此數列中的項;否則，就不是此數列中的項.
2.求數列的最大(小)項的兩種方法:
（1）先判斷數列的增減情況，再求數列的最大(小)項;
（2）設是最大(小)項，則對任意的，且都成立，解不等式組即可.
3.與的關系:
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：第8頁 練習 第3，4題
第8頁 習題4.1 第6，7題
備用練習
6．若數列的通項公式，則此數列是（ ）
A．遞增數列 B．遞減數列 C．擺動數列 D．以上都不是
7．已知數列滿足，對一切，，則數列是（ ）
A．遞增數列 B．遞減數列 C．擺動數列 D．不確定
8．已知數列，則數列的第4項為
A． B． C． D．
9．已知數列的前項和滿足，求數列的通項公式.
10．已知數列的通項公式為.
(1)求數列的前三項，60是此數列的第幾項；
(2)n為何值時，.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 錯誤 錯誤 正確 錯誤 正確 錯誤
【分析】根據數列的表示方法以及數列前項和的性質一一分析即可.
【詳解】（1）根據數列的表示方法可知其正確，故（1）正確；
（2）不是所有數列都有遞推公式，故（2）錯誤；
（3） 成立的條件是且，故（3）錯誤；
（4）當時得到，故（4）正確；
（5）無法確定數列中某項，則不確定數列，故（5）錯誤；
（6）遞推公式是表示數列的一種方法，正確；
（7），其中既包含奇數項，也包含偶數項，故（7）錯誤；
故答案為：正確；錯誤；錯誤；正確；錯誤；正確；錯誤
2．C
【解析】根據已有的圖形結合選項驗證求解.
【詳解】由圖形可知：
當n=1時，有1個，排除BD,
當n=3時，有6個，排除A
故選：C
3．D
【分析】根據遞推公式代入即得
【詳解】因為，，
所以，
故選： D
4．A
【詳解】∵，且
∴
又∵
∴
∴此數列為遞減數列，最大項為.
故選A.
點睛：求解數列中的最大項或最小項的一般方法：
（1）研究數列的單調性，利用單調性求最值；
（2）可以用或；
（3）轉化為函數最值問題或利用數形結合求解.
5．CD
【分析】根據等差數列的通項和定義即可判斷.
【詳解】AB中沒有說明某一項, 無法進行遞推，故AB錯誤；
而CD均可遞推出，故CD正確.
故選：CD.
6．A
【分析】由，計算，得出，即可判斷出結果.
【詳解】因為，
所以，
因此數列是遞增數列.
故選A
【點睛】本題主要考查遞增數列的判斷，根據作差法比較大小即可，屬于常考題型.
7．B
【解析】由題可得數列為等比數列，進而得出，再由可得答案.
【詳解】解：因為，
所以數列為等比數列，，
又，則，
所以得，，
故數列是遞減數列.
故選：B.
【點睛】本題考查等比數列的單調性，注意要確定數列為正項等比數列，是基礎題.
8．B
【分析】根據數列的通項公式，求得的值.
【詳解】依題意.
故選：B.
【點睛】本小題主要考查根據數列的通項公式求某一項的值，屬于基礎題.
9．
【分析】利用降次作差并驗證即可.
【詳解】，當時，;
當時，.
由于不適合.
故.
10．(1)，第10項
(2)答案見解析
【分析】（1）直接代入計算即可；
（2）解一元二次方程和一元二次不等式即可.
【詳解】（1）由，得.
設，則，解得或(舍去).
∴是此數列的第10項.
（2）令，解得或(舍去)，∴.
令，解得或(舍去).
∴當時，.
令，解得.
∴當時，.
綜上，當，；
當時，；
當時，.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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