資源簡介

4.2.1等差數(shù)列的概念 第2課時(shí) 導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的常用性質(zhì).
2.能運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)簡化計(jì)算.
重點(diǎn)難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣
2.難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識點(diǎn)一　等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣
設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝ (m，n∈N*，且m≠n).
其中，①的幾何意義是點(diǎn)(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上.
②可以用來利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1.
③可用來由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差.
知識點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì)
1.若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有
數(shù)列 結(jié)論
{c＋an} 公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))
{c·an} 公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))
{an＋an＋k} 公差為kd的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))
2.下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.
3.在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列.
4.等差數(shù)列{an}的公差為d，則d>0 {an}為遞增數(shù)列；
d<0 {an}為遞減數(shù)列；d＝0 {an}為常數(shù)列.
思考　若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝ap一定成立嗎？
答案　不一定.如常數(shù)列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.
自主檢測
1．判斷正誤：（正確的寫“正確”， 錯(cuò)誤的寫 “ 錯(cuò)誤 ”）
（1）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列；( )
（2）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列； ( )
（3）若是等差數(shù)列，則對任意都有；( )
（4）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的公差與函數(shù)的圖象的斜率相等. ( )
2．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＝10，則a1＋a7等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
3．等差數(shù)列中，，，則公差等于（ ）
A．2 B．20 C．100 D．不確定
4．在等差數(shù)列中，若，則 .
5．已知等差數(shù)列中，，，則的值是 .
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
例3某公司購置了一臺價(jià)值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值就會減少（為正常數(shù)）萬元.已知這臺設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價(jià)值將低于購進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請確定的取值范圍.
分析：這臺設(shè)備使用年后的價(jià)值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，由題意可知，10年之內(nèi)（含10年)，這臺設(shè)備的價(jià)值應(yīng)不小于萬元；而10年后，這臺設(shè)備的價(jià)值應(yīng)小于11萬元.可以利用的通項(xiàng)公式列不等式求解.
解：設(shè)使用年后，這臺設(shè)備的價(jià)值為萬元，則可得數(shù)列.由已知條件，得
由于是與無關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列是一個(gè)公差為的等差數(shù)列.因?yàn)橘忂M(jìn)設(shè)備的價(jià)值為220萬元，所以，于是.
根據(jù)題意，得
即
解這個(gè)不等式組，得.
所以，的取值范圍為.
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
例4已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）是不是數(shù)列的項(xiàng) 若是，它是的第幾項(xiàng) 若不是，說明理由.
分析：（1）是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把表示為中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)中的第項(xiàng)是中的第項(xiàng)，根據(jù)條件可以求出與的關(guān)系式，由此即可判斷是否為的項(xiàng).
解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為.由題意可知，，，于是
.
因?yàn)?，所以，所?
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
如果插入個(gè)數(shù)，那么的公差是多少？
所以.
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）數(shù)列的各項(xiàng)依次是數(shù)列的第1，5，9，13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，則.
令，解得
.
所以，是數(shù)列的第8項(xiàng).
對于第（2）小題，你還有其他解決方法嗎？
環(huán)節(jié)四 辨析理解 深化概念
例5已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且.求證.
分析：只要根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出，再利用已知條件即可得證.
證明：設(shè)數(shù)列的公差為，則
所以
因?yàn)?，所?br/>環(huán)節(jié)五 概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
思考
例5是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，圖4.2-2是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié)，反思提升
問題7請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下列問題：
1. 本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？
2. 在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？
1.等差數(shù)列的性質(zhì)
（1）在等差數(shù)列中，，且，則.
（2）若為公差為的等差數(shù)列，則是公差為的等差數(shù)列.
（3）若為公差為的等差數(shù)列，則是公差為的等差數(shù)列.
（4）若是等差數(shù)列，公差為，則也是等差數(shù)列，公差為
（5）若分別是以為公差的等差數(shù)列，則是以為公差的等差數(shù)列.
（6）若是等差數(shù)列，公差為，則，組成公差為的等差數(shù)列.
（7）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列.
2.若是公差為的等差數(shù)列，則還具有其他性質(zhì)
（1）
（2）下標(biāo)成等差數(shù)列，則數(shù)列成等差數(shù)列，公差為.
（3）是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列(首項(xiàng)不一定選.
（4）若為等差數(shù)列，則(為非零常數(shù))也為等差數(shù)列.
（5）去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公差為的等差數(shù)列.
（6）奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.
（7）若成等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列.
環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置
完成教材： 課本17頁習(xí)題4.2第1、2題
備用練習(xí)
6．已知{an}滿足，，則的值為（ ）
A．48 B．96
C．120 D．130
7．下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
8．已知等差數(shù)列的公差為，若，，則首項(xiàng)的值可能是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
9．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則中最小的一項(xiàng)是（ ）
A． B． C． D．
10．有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯(cuò)誤 錯(cuò)誤 正確 正確
【分析】（1）舉出反例即可得；
（2）舉出反例即可得；
（3）利用通項(xiàng)公式進(jìn)行分析即可得；
（4）計(jì)算公差即斜率即可得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，顯然是等差數(shù)列，此時(shí)，
顯然不成等差數(shù)列，所以不是等差數(shù)列，故說法錯(cuò)誤；
（2）當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)為等差數(shù)列，但不是等差數(shù)列，故說法錯(cuò)誤；
（3）因?yàn)?，所以?br/>又，所以，
故說法正確；
（4）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的公差為，
函數(shù)的圖象的斜率也為，故說法正確.
故答案為：錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；正確；正確
2．C
【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算
【詳解】a1＋a7＝a3＋a5＝10.
故選：C
3．A
【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可
【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，
所以公差，
故選：A
【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列公差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題
4．
【分析】運(yùn)用等差數(shù)列公差公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意得.
故答案為：
5．15
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，再由，解方程組，求得和公差的值，從而計(jì)算的值，即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，即.
再由，可得，.
故.
故答案為：15
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，求出首項(xiàng)和公差的值，是解題的關(guān)鍵，屬于容易題.
6．B
【分析】利用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，結(jié)合累乘法進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，
于是當(dāng)時(shí)，，
即，
所以，
故選：B
7．ABD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得：
A中，滿足(常數(shù))，所以是等差數(shù)列；
B中，滿足(常數(shù))，所以是等差數(shù)列；
C中，因?yàn)椋粷M足等差數(shù)列的定義，所以不是等差數(shù)列；
D中，滿足(常數(shù))，所以是等差數(shù)列.
故選：ABD.
8．BC
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)，建立不等式組，可得答案.
【詳解】
由題意，得，所以.
故選：BC.
9．B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
即，
所以有，顯然當(dāng)時(shí)，，
因此中最小的一項(xiàng)是，
故選：B
10．B
【解析】根據(jù)兩個(gè)等差數(shù)列的公差，得到公共項(xiàng)的公差，從而得到新數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過新數(shù)列中的項(xiàng)小于等于，從而得到的范圍，得到答案.
【詳解】等差數(shù)列2，6，10，…，190，公差為，
等差數(shù)列2，8，14，…，200，公差為，
所以由兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，
其公差為，首項(xiàng)為，
所以通項(xiàng)為，
所以，解得，
而，所以的最大值為，
即新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查求兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列，屬于中檔題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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