資源簡介

4.2.1等差數列的概念 第1課時 導學案
學習目標
1.理解等差數列、等差中項的概念.
2.掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡單的問題.
3.掌握等差數列的判斷與證明方法．
重點難點
1.重點：掌握等差數列的通項公式、理解等差數列及等差中項的概念．
2.難點：等差數列的通項公式推導及應用、掌握等差數列的判定方法.
課前預習 自主梳理
1．等差數列、等差中項的概念
等差數列 一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示
等差中項 由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列．這時，A叫做a與b的等差中項，且2A＝a＋b
2．等差數列的通項公式
（1）首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式為an＝a1＋（n－1）d.
（2）第n項與第m項的關系為an＝am＋（n－m）d，從而可得變形公式：d＝.
3.從函數角度認識等差數列{an}
若數列{an}是等差數列，首項為a1，公差為d，
則an＝f（n）＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）．
（1）點（n，an）落在直線y＝dx＋（a1－d）上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d ；
（2）這些點的橫坐標每增加1，函數值增加d.
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫正確，錯誤的寫錯誤．
（1）如果一個數列的每一項與它的前一項的差是一個常數，那么這個數列是等差數列．( )
（2）數列不是等差數列．( )
（3）在等差數列中，除第1項和最后一項外，其余各項都是它前一項和后一項的等差中項．( )
（4）數列是等差數列．( )
（5）數列的通項公式為則是等差數列．( )
（6）若一個數列從第2項起每一項與它前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．( )
（7）若三個數滿足，則一定是等差數列．( )
2．已知數列是等差數列，且.若，則數列是.
A．以3為首項，3為公差的等差數列
B．以6為首項，3為公差的等差數列
C．以3為首項，6為公差的等差數列
D．以6為首項，6為公差的等差數列
3．設數列都是等差數列，，則（ ）
A．4034 B．4036 C．4038 D．4040
4．已知等差數列中各項都不相等，，且，則公差（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
5．已知等差數列為遞增數列，若，，則數列的公差等于（ ）
A．1 B．2 C．9 D．10
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
【實際情境】（1）1896年，雅典舉行了第一屆現代奧運會，到2008年的北京奧運會已經是第29屆奧運會.觀察奧運會舉辦的年份所對應的數列： 1896，1900，1904，…，2008，2012，（ ） 你能預測出第33屆奧運會的時間嗎？
學生口答：2024.2024如何預測出來的？ 根據已有數的規律，每兩個相鄰數之間相差4，而且后一個數總比前一個數多4.
【設計意圖】創設奧運會的數學情境，以問題為導向，這樣的導入貼近學生的實際生活，引起學生極大的興趣.用這一實例，借助于實際意義讓學生感受“等差數列”的問題是自然、清楚、明白的.
【實際情境】下面，我們再來觀察幾個生活當中的數列.
引入三個生活問題中的數列：
（2）2000年女子舉重4個體重級別：48，53，58，63.
（3）各年末本利和（存100元）：104.25， 108.5， 112.75， 117，121.25，……
（4）氣溫隨高度的變化/km：28， 21.5， 15， 8.5， 2 ，-4.5.
【設計意圖】由生活情境的多個數列引出下面的探究問題.
我們知道，數列是一種特殊的函數．在函數的研究中，我們在理解了函數的一般概念，了解了函數變化規律的研究內容（如單調性、奇偶性等）后，通過研究基本初等函數，不僅加深了對函數的理解，而且掌握了冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等非常有用的函數模型．類似地，在了解了數列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規律的數列，建立它們的通項公式和前n項和公式，并運用它們解決實際問題和數學問題，從中感受數學模型的現實意義與應用．下面，我們從一類取值規律比較簡單的數列入手．
環節二 觀察分析，感知概念
請看下面幾個問題中的數列．
1．北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環形的石板，從內到外各圈的石板數依次為9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①
2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上衣對應的尺碼分別是38，40，42，44，46，48． ②
3．測量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③
4．某人向銀行貸款萬元，貸款時間為年．如果個人貸款月利率為，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應還本金元，每月支付給銀行的利息（單位：元）依次為，，，，…． ④
如果按月還款，等額本金還款方式的計算公式是每月歸還本金=貸款總額÷貸款期總月數，利息部分=（貸款總額一已歸還本金累計額）×月利率．
對于①，我們發現
，，…，，
換一種寫法，就是
，，…，．
改變表達方式使數列的取值規律更突出了．
如果用表示數列①，那么有，，…，．
這表明，數列①有這樣的取值規律：從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數．數列②~④也有這樣的取值規律．
環節三 抽象概括，形成概念
思考
在代數的學習中，我們常常通過運算來發現規律．例如，在指數函數的學習中，我們通過運算發現了A，B兩地旅游人數的變化規律．類似地，你能通過運算發現以上數列的取值規律嗎？
問題1：什么是等差數列？
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列（arithmetic progression），這個常數叫做等差數列的公差（common difference），公差通常用字母表示．例如，數列①的公差．
由三個數組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列．這時，叫做與的等差中項（arithmetic mean）．根據等差數列的定義可以知道，．
在日常生活中，人們常常用到等差數列．例如，在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級（如前面例子中的上衣尺碼）．你能舉出一些例子嗎？
問題2：如何求？　
探究
你能根據等差數列的定義推導它的通項公式嗎？
追問1：如果已知一個等差數列的首項是，公差是 ，那么這個數列的通項能求出來嗎？
設一個等差數列的首項為，公差為．根據等差數列的定義，可得，
就是等差數列的遞推公式．
所以，，，…．
于是
……
歸納可得．
當時，上式為．這就是說，上式當時也成立．
注：需要特別強調的是，由猜想歸納得出這個通項公式的方法稱作不完全歸納法，這種方法僅僅是猜想出來的結論，沒有說服力，嚴格的證明需要——數學歸納法，將在以后學習.
因此，首項為，公差為的等差數列的通項公式為．
這種求通項公式的方法叫累加法，是探討數列通項的一種常見方法.后續的學習還會繼續研究.我們在這里的要求是:需要你記住這個公式，它是解決等差數列通項公式的主要方法.
說明：通項公式中，有四個量:首項，公差，序號和第項，知道其中的任意三個量，就可以求出另一個量，即知三求一 . 下面，我們通過幾個例子來看這個公式的用法.
環節四 辨析理解 深化概念
思考
觀察等差數列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關？
由于，所以當時，等差數列的第項是一次函數當時的函數值，即．
如圖4.2-1，在平面直角坐標系中畫出函數的圖象，就得到一條斜率為，截距為的直線．在這條直線上描出點，，…，，…，就得到了等差數列的圖象．事實上，公差的等差數列的圖象是點組成的集合，這些點均勻分布在直線上．
反之，任給一次函數（為常數），則，，…，，…，構成一個等差數列，其首項為，公差為．
下面，我們利用通項公式解決等差數列的一些問題．
環節五 概念應用，鞏固內化
例1 （1）已知等差數列的通項公式為，求的公差和首項．
（2）求等差數列8，5，2，…的第20項．
分析：（1）已知等差數列的通項公式，只要根據等差數列的定義，由即可求出公差；
（2）可以先根據數列的兩個已知項求出通項公式，再利用通項公式求數列的第20項．
解：（1）當時，由的通項公式，可得．
于是．
把代入通項公式，得．
所以，的公差為，首項為3．
（2）由已知條件，得．
把，代入，得．
把代入上式，得．
所以，這個數列的第20項是．
說明：這道題是在等差數列通項公式的四個量中，知道，， ，求.體現了等差數列通項公式中“知三求一”的方程思想.
例2 是不是等差數列的項？如果是，是第幾項
分析：先求出數列的通項公式，它是一個關于的方程，再看是否能使這個方程有正整數解．
解：由，，得這個數列的通項公式為
令
解這個關于的方程，得．
所以，是這個數列的項，是第100項．
【設計意圖】讓學生體會并總結：判斷一個數是否為數列的項，只須令通項公式等于這個數，得到關于n的方程.若方程有正整數解，則它就是，否則不是.
環節六 歸納總結，反思提升
問題3：請同學們回顧本節課的學習內容，并回答下列問題：
1. 本節課學習的概念有哪些？
2. 在解決問題時，用到了哪些數學思想？
1．知識清單：
（1）等差數列的有關概念．
（2）等差數列的通項公式．
（3）等差數列的判定與證明．
2．方法歸納：列方程組法、迭代法、構造法．
3．常見誤區：在具體應用問題中項數不清．
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：
教材第15頁 第123題
備用練習
6．在等差數列{an}中，若，公差d=2，則a7=（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
7．若等差數列，，則公差的值為（ ）
A． B．1 C． D．
8．在等差數列中，，則（ ）
A．16 B．8 C．10 D．14
9．在等差數列中，，，則（ ）
A．40 B．70 C．80 D．90
10．已知在等差數列中，，則（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 錯誤 正確 正確 錯誤 錯誤 正確
【分析】根據等差數列的定義和等差中項的性質一一分析即可.
【詳解】（1）該常數可能不是同一個常數，則不符合等差數列定義，故（1）錯誤；
（2）數列是等差數列，公差為0，故（2）錯誤；
（3）根據等差數列性質知，，故（3）正確；
（4）數列是等差數列，其公差為0，故（4）正確；
（5），，，，故不是等差數列，故（5）錯誤；
（6）該數列必須為同一個常數，故（6）錯誤；
（7）根據等差中項性質知一定是等差數列，故（7）正確.
故答案為：錯誤；錯誤；正確；正確；錯誤；錯誤；正確
2．D
【分析】由，可以求出等差數列的通項公式，而后根據，可以判斷出數列是等差數列，也就能求出它的首項和公差.
【詳解】因為數列是等差數列，，設公差為，所以有，解得，所以，因此，而，所以數列是以6為首項，6為公差的等差數，故本題選D.
【點睛】本題考查了等差數列的基本量計算，考查了用定義判斷一個數列是等差數列，考查了數學運算能力.
3．B
【分析】令，則也是等差數列，然后根據條件求出其通項即可.
【詳解】令，∵數列為等差數列，
∴也是等差數列，不妨設其公差為．∵,
∴，解得．∴．∴．
故選：B
4．B
【分析】利用等差數列的通項公式表示已知條件，解方程即可求解.
【詳解】，且，
整理可得，；
；
.
故選：B．
5．A
【分析】根據給定條件結合等差數列性質計算出，進而求出與即可得解.
【詳解】在等差數列中，依題意，，
解得，而，且為遞增數列，即，則，，
所以數列的公差.
故選：A
6．A
【分析】根據，公差d=2，利用等差數列的性質求解即可.
【詳解】因為等差數列{an}中，且，公差d=2，
所以a7=a3+4d=7.
故選：A
【點睛】本題主要考查等差數列的基本性質，屬于基礎題.
7．B
【分析】根據等差數列的定義計算可得.
【詳解】因為，所以公差.
故選：B
8．A
【分析】計算，再根據計算得到答案.
【詳解】設等差數列的公差為，，所以，
所以.
故選：A
9．D
【分析】由已知條件利用等差數列的通項公式求出首項和公差，由此能求出答案．
【詳解】解：在等差數列中，設公差為d，
，，
，解得，，
．
故選：D．
10．BC
【分析】根據等差數列的通項公式和已知條件可知，然后根據，
便可求得答案.
【詳解】解：由題意，
設等差數列的公差為d，
則
即，所以
故選：BC.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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